Važan ekonomski problem je pravovremena obnova opreme: automobila, alatnih mašina, televizora, magnetofonskih traka itd. Starenje opreme uključuje fizičko i zastarjelo, što rezultira povećanim troškovima popravke i održavanja, smanjenom produktivnosti rada i vrijednosti likvidnosti. Zadatak je odrediti optimalno vrijeme za zamjenu stare opreme. Kriterijum optimalnosti je prihod od rada opreme (problem maksimizacije) ili ukupni operativni troškovi tokom planiranog perioda (problem minimizacije).

Pretpostavimo da je rad opreme planiran za određeni vremenski period n godine. Oprema ima tendenciju da stari i stvara sve manji prihod tokom vremena r(t) (t je starost opreme). Istovremeno, moguće je početkom svake godine prodati zastarjelu opremu po cijeni S(t), što zavisi i od starosti t, i kupiti novu opremu po cijeni P.

Starost opreme podrazumeva period rada opreme nakon poslednje zamene, definisan u godinama. Potrebno je pronaći optimalan plan zamjene opreme tako da ukupan prihod za sve n godine bio bi maksimum, s obzirom da je na početku rada, starost opreme bila t 0 godina

Početni podaci u problemu su prihodi r(t) iz upotrebe u roku od jedne godine od starosti opreme t godine, rezidualna vrijednost S(t), cijena nove opreme P i početnu starost opreme t 0 .

t			…	n
r	r(0)	r(1)	…	r(n)
S	S(0)	S(1)	…	S(n)

Prilikom sastavljanja dinamičkog modela za izbor optimalne strategije obnove opreme, proces zamjene se smatra kao n-korak, odnosno period rada je podijeljen na n stepenice.

Odaberimo kao korak optimizaciju plana zamjene opreme k-th by n godine. Očigledno je da će prihod od rada opreme tokom ovih godina zavisiti od starosti opreme na početku razmatranog koraka, tj. k godine.

Budući da se proces optimizacije provodi od posljednjeg koraka ( k = n), zatim dalje k-tom koraku ne zna se u kojim godinama od prvog do ( k-1) treba zamijeniti i, shodno tome, starost opreme na početku nije poznata k godine. Označimo starost opreme koja određuje stanje sistema t. Po iznosu t primjenjuje se sljedeće ograničenje:

1 ≤ t ≤ t 0 + k – 1 (19.5)

Izraz (9.5) to ukazuje t ne može prekoračiti starost opreme za ( k–1)-tu godinu rada, uzimajući u obzir starost na početku prve godine, tj t 0 godina; i ne može biti manji od jedan (ovo starosna oprema će morati da počne k-. godine, ako je do njegove zamjene došlo početkom prethodne ( k–1)-ta godina).

Dakle, varijabla t u ovom problemu je varijabla stanja sistema uključena k-th korak. Varijabilna kontrola uključena k-th korak je logička varijabla koja može uzeti jednu od dvije vrijednosti: store ( OD) ili zamijeni ( W) oprema na početku k godina:

Bellmanova funkcija Fk(t) definira se kao maksimalni mogući prihod od rada opreme za godine od k-th by n-th if do početka k godina opreme je bila t godine. Primjenom ove ili one kontrole, sistem prelazi u novo stanje. Tako, na primjer, ako na početku k godine oprema je očuvana, pa do početka ( k+ 1)-te godine, njegova starost će se povećati za jedan (stanje sistema će postati t+ 1), u slučaju zamjene stare opreme, nova će stići na početak ( k+ 1) godina starosti t= 1 godina.

Na osnovu toga možete napisati jednačinu koja vam omogućava da rekurzivno izračunate Bellmanove funkcije na osnovu rezultata prethodnog koraka. Za svaku opciju upravljanja prihod je definisan kao zbir dva pojma: direktni rezultat upravljanja i njegove posljedice.

Ukoliko se na početku svake godine unese oprema koja je starija od t godine, tada će prihod za tu godinu biti r(t). Povratak na vrh ( k+ 1)-ta godina starosti opreme će dostići ( t+ 1) i maksimalni mogući prihod za preostale godine (sa ( k+ 1)th in n th) biće Fk +1 (t+ 1). Ako na početku k godine donesena odluka o zamjeni opreme, zatim se prodaje stara oprema t godine za cijenu S(t), kupljen nov za P jedinica, i njen rad tokom k godina nove opreme doneće profit r(0). Do početka iduće godine, starost opreme će biti 1 godinu, a za sve preostale godine od ( k+ 1)th in n-ti maksimalni mogući prihod će biti Fk+1 (1). Od njih dvoje opcije menadžment se bira onaj koji donosi maksimalan prihod. Dakle, Bellmanova jednačina u svakom kontrolnom koraku ima oblik:

Funkcija Fk(t) se izračunava u svakom kontrolnom koraku za sve 1 ≤ t ≤ t 0 + k- 1. Menadžment pri kojem se ostvaruje maksimalni prihod je optimalan.

Za prvi korak uvjetne optimizacije sa k = n funkcija je prihod za posljednju n godina:

(19.7)

Vrijednosti funkcije F n(t) definisano Fn-1(t), Fn-2(t) do F 1 (t).

F 1 (t 0) predstavljaju moguće povrate za sve godine. Maksimalni prihod se ostvaruje pod nekom kontrolom, primjenom koje u prvoj godini utvrđujemo starost opreme do početka druge godine.

Za datu starost opreme bira se kontrola koja ostvaruje maksimalan prihod za godine od drugog do n th i tako dalje. Kao rezultat toga, u fazi bezuvjetne optimizacije određuju se godine na čijem početku treba zamijeniti opremu.

Primjer 2 Pronađite optimalnu strategiju rada opreme za period od 6 godina ako je godišnji prihod r(t) i preostalu vrijednost S(t) u zavisnosti od starosti date su u tabeli. 19.6, cijena nove opreme je P= 13, a starost opreme do početka operativnog perioda je 1 godina.

Tabela 19.6

t
r(t)
S(t)

I stage. Uslovna optimizacija.

1. korak: k= 6. Za njega moguća stanja sistema t = 1, 2, …, 6.

Funkcionalna jednadžba ima oblik (19.7):

2. korak: k= 5. Za njegov korak, moguća stanja sistema t = 1, 2, …, 5.

Funkcionalna jednačina ima oblik:

3. korak: k = 4.

4. korak: k = 3.

5. korak: k = 2.

6. korak: k = 1.

Rezultati Bellmanovog proračuna Fk(t) date su u tabeli. 19.7, u kojoj k- godina korišćenja t- starost opreme.

Tabela 19.7

k t

U tabeli. 19.7 istaknuta je vrijednost funkcije koja odgovara stanju "Z" - zamjena opreme.

II faza. Bezuslovna optimizacija.

Bezuslovna optimizacija počinje sa korakom u k= 1. Maksimalni mogući prihod od rada opreme za 1. do 6. godinu je F 1 (1) = 37. Ovaj optimalni dobitak se postiže ako se oprema ne zamijeni u prvoj godini. Zatim će se do početka druge godine starost opreme povećati za jedan i iznosit će: t 2 = t 1 + 1 = 2. Bezuslovna optimalna kontrola za k = 2, X 2 (2) = OD, tj. maksimalni prihod za godine 2 do 6 se postiže ako se oprema ne zamijeni. Do početka treće godine starost opreme će se povećati za jedan i iznosiće: t 3 = t 2 + 1 = 2. Bezuslovna optimalna kontrola X 3 (3) = 3, odnosno da bi se ostvarila maksimalna dobit za preostale godine potrebno je zamijeniti opremu. Do početka četvrte godine, k= 4 starost opreme će postati jednaka t 4 = 1. Bezuslovna optimalna kontrola X 4 (1) = OD. Shodno tome dalje.

optimalna strategija dinamičkog programiranja

AT opšti pogled Problem se postavlja na sljedeći način: odrediti optimalnu strategiju korištenja opreme u vremenskom periodu od m godina, a dobit za svakih I godina, i= od korištenja opreme starosti t godina treba biti maksimalna.

Poznato: r(t) - prihod od prodaje proizvedenih proizvoda godišnje na opremi starosti t godina, l(t) - godišnji troškovi u zavisnosti od starosti opreme t, c(t) - rezidualna vrijednost opreme starosti t godine, P - trošak nove opreme. Pod starost opreme se podrazumijeva period rada opreme nakon posljednje zamjene, izražen u godinama.

Da bi se izgradio matematički model, dole formulisane faze se izvode uzastopno.

1. Određivanje broja koraka. Broj stepenica jednak je broju godina rada opreme.

2. Određivanje stanja sistema. Stanje sistema karakteriše starost opreme t; t=.

3. Definicija kontrola. Na početku i-tog koraka, i=, može se odabrati jedna od dvije kontrole: zamijeniti ili ne zamijeniti opremu. Svakoj kontrolnoj opciji je dodijeljen broj

uc - ako oprema nije zamijenjena;

uz - ako je oprema zamijenjena.

4. Definicija funkcije isplate uključena i-ti korak. Funkcija isplativosti na i-tom koraku je dobit od korištenja opreme do kraja i-te godine rada, t=, i=.

u1= uc - ako oprema nije zamijenjena početkom i-te godine;

u2= uz - ako je oprema zamijenjena.

Dakle, ako se oprema ne proda, onda je dobit od njene upotrebe razlika između troškova proizvodnje i operativnih troškova. Prilikom zamjene opreme, dobit je razlika između preostale vrijednosti opreme i cijene nove opreme, kojoj se dodaje razlika između troškova proizvodnje i operativnih troškova za novu opremu, čija je starost na početku proizvodnje. i-ti korak je 0 godina.

5. Definicija funkcije promjene stanja

u1 uc - ako je Xi=0

u2= uz - ako je Xi=1

6. Sastavljanje funkcionalne jednadžbe za i=m.

7. Sastavljanje glavne funkcionalne jednačine

Gdje je Wi(t) dobit od korištenja opreme stare t godina od i-og koraka (od kraja i-te godine) do kraja operativnog perioda.

Wi + 1 (t + 1) - dobit od korišćenja opreme starosti t + 1 godina od (i + 1)-tog koraka do kraja operativnog perioda;

Na ovaj način, matematički model zadatak je izgrađen.

Algoritam za rješavanje problema

Hajde da uvedemo notaciju:

t je starost opreme.

L(t) - proizvodnja proizvoda na opremi, čija je starost t godina.

R(t) - troškovi održavanja opreme.

P(t) - rezidualna vrijednost opreme.

P - trošak nove opreme

Fn(t) - dobit od stare opreme čija je starost t godina.

n je posljednja godina.

na staroj opremi (1)

Ovo je funkcionalna jednadžba

Obrazac ulaznog dokumenta

Podaci se mogu uneti pomoću tabele:

Tabela broj 1. Informacije o unosu podataka.

Prema formuli

Opis softvera i hardvera

Program je razvijen u programskom jeziku Borland

Delphi 7.0 koristeći operativni sistem Microsoft Windows XP Professional

Prilikom razvoja programa korištene su Delphi komponente:

String Grid - za popunjavanje direktorija i prikaz rezultata

Uredi - za unos vrijednosti

Dugme - za kreiranje dugmeta

Oznaka - kreiranje etiketa za jednostavnu upotrebu

Slika - slike

Glavni meni - Programski meni

OpenDialog - otvaranje dijaloga

Prilikom razvoja softver korišćeni su i sledeći sistemski uslužni programi:

Antivirusni program (Dr.Web 4.44)

Programi za arhiviranje (WinRar v3.45).

Microsoft Office uslužni programi Microsoft Word, Excel).

grafički uređivači (PhotoShop v CS3)

Prilikom razvoja softvera korišćen je računar sa sledećim karakteristikama:

Procesor: Intel Pentium(R) 3,00 GHz

RAM: 1Gb DDR2 PC 533

Video kartica: NVIDIA Gee Force FX 6600 128Mb

Hard disk: 200 Gb

Monitor: 17" [email protected]

Primjer za otklanjanje grešaka

pronađite maksimalan profit pri zamjeni opreme nakon 2 godine:

Prema formuli

Zaključak: Maksimalni profit od 215 jedinica dobićemo ako opremu za 2 godine promijenimo na treću.

Opis programa

Program za rješavanje problema zamjene opreme namijenjen je preduzećima koja se bave bilo kojom vrstom djelatnosti koja zahtijeva korištenje određene opreme. Iz više razloga, oprema se fizički istroši, tj. pokvari se i ne može se popraviti, ili se javljaju takvi kvarovi u kojima je lakše kupiti novu opremu nego popraviti staru, ili se moralno istroši, tj. stope rasta ekonomski razvoj Industrije za proizvodnju ove opreme su veoma velike. Dakle, da bi "proizvodnja proizvoda" na takvoj opremi stigla maksimalan efekat potrebno ga je periodično menjati. Ovaj program izračunava broj godina nakon kojih trebate promijeniti opremu kako biste ostvarili maksimalan profit.

Programski jezik Delphi 6 korišćen je za razvoj programa "Rešavanje problema zamene opreme". Trenutno je ovo objektno orijentisano programsko okruženje veoma popularno, njegova osnova je Object Pascal jezik. Omogućava vam da kreirate aplikacije različitog stepena složenosti - od najjednostavnijih programa do profesionalnih dizajniranih za rad sa bazama podataka. Dodatno, pomoć za program je formatirana kao HTML stranice pomoću programa Arachnophilia.

Sav rad sa programom zasniva se na radu sa menijem, njegov opis se može naći u stavci menija Pomoć/Sadržaj/Rad sa menijem.

Ovaj program je kreirao kursni projekat na temu " Matematičke metode' na ovu temu.

Uvod……………………………………………………………………………………………….3

Poglavlje 1. Teorijski opis modela zamjene opreme…………..….4

1.1. Karakteristike stanja privrednog subjekta i identifikacija trendova u njegovom razvoju………………………………………………………..……...4

1.2. Informaciono-metodološka podrška ekonomskom modeliranju…………………………………………………………………………..4

1.2.1. Metodička osnova za rješavanje modela……….…………..4

1.2.2. Informaciono-metodološka podrška metode…………..…9

Poglavlje 2. Proračun indikatora ekonomsko-matematičkog modela i ekonomska interpretacija rezultata……………………………………...13

2.1. Pronalaženje uvjetno optimalnog rješenja problema…………...15

2.2. Izrada optimalnog plana zamjene opreme…………21

Zaključak………………………………………………………………………………….24

Reference…………………………………………………………………………..…..26

Prijave…………………………………………………………………………………..27

Uvod

Postoje mnoge kompanije širom svijeta koje koriste mašine za proizvodnju svojih proizvoda. Stoga je prilikom njegove implementacije potrebno izraditi optimalan plan korištenja i zamjene opreme. Zadaci zamjene opreme smatraju se višestepenim procesom koji je tipičan za dinamičko programiranje.

Mnoga preduzeća zadržavaju ili zamjenjuju hardver na volju, umjesto da koriste tehnike dinamičkog programiranja. Preporučljivo je primijeniti ove metode, jer vam to omogućava najjasnije maksimiziranje profita ili minimiziranje troškova.

Svrha ovog rada je određivanje optimalnog vremena za zamjenu stare opreme.

Zadaci ovog rada su:

u pronalaženju uslovno optimalnog rješenja problema;

u izradi optimalnog plana zamjene opreme.

Starenje opreme uključuje njeno fizičko i moralno propadanje. Kao rezultat, povećavaju se troškovi proizvodnje, povećavaju se troškovi održavanja i popravki, smanjuje se produktivnost rada i likvidna vrijednost. Kriterijum optimalnosti je ili dobit od rada opreme, ili ukupni operativni troškovi u planiranom periodu.

Rad sadrži 2 poglavlja, 12 tabela, 1 aplikaciju, 5 slika i dizajniran je na 30 stranica.

Poglavlje 1. Teorijski opis modela zamjene opreme

1.1. Karakteristike stanja privrednog subjekta i identifikacija trendova u njegovom razvoju

U cilju efikasnog obavljanja svojih aktivnosti, proizvodna udruženja i preduzeća moraju periodično mijenjati opremu koju koriste. Ova zamjena uzima u obzir produktivnost korištene opreme i troškove povezane s održavanjem i popravkom opreme.

Karakteristika dinamičkog programiranja je pristup rješavanju problema u fazama, od kojih je svaka povezana s jednom kontroliranom varijablom. Obezbeđuje skup rekurentnih računskih procedura koje povezuju različite faze izvodljivo rješenje zadataka u cjelini kada dođe do posljednje faze.

() (1.1)

(1.1) - Bellmanov princip optimalnosti.

(1.2)

gdje t je starost opreme na početku k-ta godina ( k=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10);

- kontrola sprovedena na početku k-ta godina; P 0 je trošak nove opreme.

(1.2) - funkcionalna Bellmanova jednadžba.

1.2. Informaciono-metodološka podrška ekonomskog modeliranja

1.2.1. Metodološka osnova za rješavanje modela

U problemima dinamičkog programiranja ekonomski proces zavisi od vremena (na nekoliko vremenskih perioda (faza)), stoga se pronalazi niz optimalnih rješenja (sukcesivno za svaku fazu) koja osiguravaju optimalan razvoj cjelokupnog procesa u cjelini. Problemi dinamičkog programiranja nazivaju se višestepenim ili višestepenim. Dinamičko programiranje je matematički aparat koji omogućava optimalno planiranje višestepenih kontrolisanih procesa i procesa koji zavise od vremena. Ekonomski proces se naziva upravljivim ako je moguće uticati na tok njegovog razvoja. Menadžment je skup odluka donesenih u svakoj fazi kako bi se utjecalo na tok procesa. U ekonomskim procesima, upravljanje se sastoji od raspodjele i preraspodjele sredstava u svakoj fazi. Na primjer, proizvodnja proizvoda bilo kojeg poduzeća je kontrolirani proces, jer je određena promjenom sastava opreme, obima zaliha sirovina, iznosa finansiranja itd. Upravljanje je skup odluka koje se donose na početku svake godine planskog perioda da se preduzeću obezbede sirovine, zamena opreme, visina finansiranja itd. Čini se da je za postizanje maksimalnog obima proizvodnje najlakši način uložiti najveći mogući iznos sredstava i koristiti opremu punim kapacitetom. Ali to bi dovelo do brzog trošenja opreme i, kao rezultat, do smanjenja proizvodnje. Stoga se puštanje proizvoda mora planirati na način da se izbjegnu neželjeni efekti. Neophodno je predvidjeti mjere kojima će se obezbijediti dopuna opreme u slučaju njenog trošenja, tj. po vremenskim periodima. Iako ovo drugo dovodi do smanjenja početnog obima proizvodnje, pruža mogućnost proširenja proizvodnje u budućnosti. Dakle, ekonomski proces proizvodnje se može smatrati da se sastoji od nekoliko faza (koraka), od kojih svaka utiče na njegov razvoj.

Početak faze (koraka) kontrolisanog procesa smatra se momentom donošenja odluke (o visini kapitalnih ulaganja, o zamjeni opreme). određene vrste itd.). Prekretnica se obično shvata kao poslovna godina.

Dinamičko programiranje, koristeći planiranje korak po korak, omogućava ne samo pojednostavljenje rješenja problema, već i rješavanje onih problema na koje se metode ne mogu primijeniti. matematička analiza. Pojednostavljivanje rješenja postiže se značajnim smanjenjem broja opcija koje se proučavaju, jer umjesto jednokratnog rješavanja složenog multivarijantnog problema, metoda postupnog planiranja podrazumijeva višestruko rješavanje relativno jednostavnih problema.

planiranje korak po korak proces, polazeći od interesa cijelog procesa u cjelini, tj. pri donošenju odluke u posebnoj fazi uvijek je potrebno imati na umu krajnji cilj.

Pretpostavimo da je neki sistem S u nekom početnom stanju S 0 i kojim se može upravljati. Dakle, zbog implementacije neke kontrole U, navedeni sistem prelazi iz početnog stanja S 0 u konačno stanje S k. U ovom slučaju kvalitet svake od implementiranih kontrola U karakteriše odgovarajuća vrijednost funkcije W(U). Problem je pronaći takav U* iz skupa mogućih kontrola U, pri čemu funkcija W(U) uzima ekstremnu (maksimalnu ili minimalnu) vrijednost W(U*).

Problemi dinamičkog programiranja imaju geometrijsku interpretaciju. Stanje fizičkog sistema S može se opisati numeričkim parametrima, kao što su potrošnja goriva i brzina, iznos ulaganja i tako dalje. Nazovimo ove parametre koordinatama sistema; tada se stanje sistema može predstaviti tačkom S, a prelazak iz jednog stanja S 1 u drugo S 2 - putanjom tačke S. Kontrola U znači odabir određene putanje za pomicanje tačke S od S 1 do S 2 , tj. uspostavljanje određenog zakona kretanja tačke S.

Tokom rada, oprema je podložna fizičkom i moralnom habanju. Postoje dva načina obnavljanja opreme - potpuno i djelomično. Kod potpune restauracije oprema se zamjenjuje novom, a kod djelimične restauracije oprema se popravlja. Za optimalno korištenje opreme potrebno je pronaći starost u kojoj se ona mora zamijeniti kako bi prihod od stroja bio maksimalan ili, ako se prihod ne može izračunati, troškovi održavanja minimalni. Ovaj pristup se razmatra sa stanovišta ekonomskih interesa potrošača.

Za optimizaciju popravke i zamjene opreme potrebno je izraditi strategiju zamjene mašine za planirani period. Jedan od dva pristupa se može koristiti kao ekonomski interes:

1. Maksimalni prihod od automobila za određeni vremenski period.

2. Minimalni troškovi za potrebe popravke i održavanja, ako se prihod ne može izračunati.

Ovaj problem se rješava metodom dinamičkog programiranja. Glavna ideja ove metode je zamijeniti istovremeni odabir više parametre birajući ih jedan po jedan. Ova metoda se može koristiti za rješavanje različitih problema optimizacije. Općenitost pristupa rješavanju različitih problema jedna je od prednosti ove metode.

Razmotrite mehanizam za optimizaciju popravke i zamjene opreme. Da bismo riješili problem, uvodimo sljedeću notaciju:

t je starost opreme;

d(t) - neto godišnji prihod od opreme starosti t;

U(t) - troškovi za potrebe popravke i održavanja mašine starosti t;

C je cijena nove opreme.

Da bismo riješili ovaj problem, uvodimo funkciju fn(t) , koja pokazuje vrijednost maksimalnog prihoda za posljednjih n - godina, s tim da smo na početku perioda od n - godina imali auto star t - godina .

Algoritam za rješavanje problema je sljedeći:

1) f1(t) = max d(0) - S

) fn(t) = max fn-1(t+1) + d(t)

fn-1(1) + d(0) - C

Povećanje troškova će dovesti do smanjenja neto prihoda, koji se izračunava na sljedeći način:

d(t) = r(t) - u(t)

r(t) - godišnji prihod od opreme starosti t;

u(t) - godišnji troškovi za potrebe popravke i održavanja

oprema starosti t.

Pristup maksimizaciji prihoda

Za rješavanje ovog problema uvodimo funkciju fn(t) koja pokazuje vrijednost maksimalnog prihoda za posljednjih n godina, pod uslovom da smo na početku perioda od n godina imali opremu staru t godina.

Ako je preostala 1 godina do kraja perioda

Ako je do kraja perioda ostalo n godina

(t) = max

gdje je t starost opreme;

d (t) - neto godišnji prihod od opreme starosti t;

C je cijena nove opreme.

Povećanje troškova će dovesti do smanjenja neto prihoda, koji se izračunava na sljedeći način

(t) = r(t) - u(t)

gdje je r (t) godišnji prihod od opreme starosti t;

u(t) - godišnji troškovi za potrebe popravke i održavanja opreme starosti t.

Računamo neto prihod koristeći formulu, poznavajući dinamiku prihoda i rast troškova popravke.

Tabela 2. Neto prihod od opreme po godinama

Dinamičko programiranje. Problem zamene opreme

Pronađite optimalno vrijeme za zamjenu opreme. Početna cijena opreme q 0 =6000 konv. jedinica, spasonosna vrijednost L(t)=q 0 2 -i , trošak održavanja opreme starosti i godina za 1 godinu S(t)=0,1q 0 (t+1), vijek trajanja opreme je 5 godine. Na kraju svog korisnog vijeka, oprema se prodaje. Riješite problem grafički.

Da biste napravili graf u softveru Wolfram Mathematica 6.0, unesite

g = Grafikon [(6000*2^-x, 600*(x + 1)), (x, 0, 5)]

Kao rezultat, dobijamo grafikon:

Iz grafikona to vidimo optimalno vreme zamjena opreme je druga godina njenog rada.

Dinamičko programiranje. Optimalna raspodjela sredstava između preduzeća

Pronađite optimalnu raspodjelu sredstava u iznosu od 9 konvencionalnih jedinica. jedinice između četiri kompanije. Dobit svakog preduzeća je funkcija uloženih sredstava u njega i prikazana je u tabeli:

Uložena sredstva
I enterprise
II preduzeće
III preduzeće
IV preduzeće

Investicije u svako preduzeće su višestruke od 1 konvencionalne jedinice. jedinice

Podijelimo proces dodjele sredstava preduzećima u 4 faze: u prvoj fazi y 1 sredstva se dodeljuju preduzeću P 1 , u drugoj - y 2 sredstva preduzeću P 2 , u trećoj - y 3 sredstva preduzeću P 3 , na četvrtom trećem - y 4 sredstva preduzeću P 4

x n \u003d x n - 1 - y n, n = 1,2,3, 4.

Imajte na umu da se u četvrtoj fazi alokacije sredstava cjelokupni iznos od x 3 ulaže u preduzeće P 4, dakle y 3 = x 4.

Koristimo Bellmanove jednadžbe za N = 4.

Kao rezultat dobijamo sledeće tabele:

Tabela 1

tabela 2

Tabela 3

Tabela 4

Iz tabele 4 proizilazi da će optimalna kontrola biti y 1 * =3, dok je optimalni profit 42. Zatim dobijamo

x 1 = x 0 -y 1 * = 9-3 = 6, 2 (x 1) \u003d 2 (6) = 30, y 2 * \u003d 1

x 2 = x 1 -y 2 * = 6-1 = 5, 3 (x 2) \u003d 3 (5) = 23, y 3 * \u003d 1

x 3 = x 2 -y 3 * = 5-1 = 4, 4 (x 3) \u003d 4 (4) = 15, y 3 * \u003d 4

Dakle, najoptimalnije je ulaganje u preduzeća P1, P2, P3 i P4 Novac u iznosu od 4, 1,1 i 3 konvencionalne jedinice, respektivno. U ovom slučaju dobit će biti maksimalna i iznosit će 42 konvencionalne jedinice. jedinice