Dom » lokalno grijanje » Primjeri matematičkih modela. Matematički model

Primjeri matematičkih modela. Matematički model

Šta je matematički model?

Koncept matematičkog modela.

Matematički model je vrlo jednostavan koncept. I veoma važno. Matematički modeli su ti koji povezuju matematiku i stvarni život.

jednostavnim riječima, matematički model je matematički opis bilo koje situacije. I to je to. Model može biti primitivan, može biti super složen. Kakva je situacija, kakav je model.)

U bilo kom (ponavljam - u bilo kom!) posao, gdje treba nešto izračunati i izračunati - bavimo se matematičkim modeliranjem. Čak i ako to ne znamo.)

P \u003d 2 CB + 3 CB

Ovaj zapis će biti matematički model troškova za naše kupovine. Model ne uzima u obzir boju pakovanja, rok trajanja, ljubaznost blagajnika itd. Zato ona model, nije prava kupovina. Ali troškovi, tj. šta nam treba- znaćemo sigurno. Naravno, ako je model ispravan.

Korisno je zamisliti šta je matematički model, ali to nije dovoljno. Najvažnije je da budete u mogućnosti da napravite ove modele.

Kompilacija (konstrukcija) matematičkog modela problema.

Sastaviti matematički model znači prevesti uslove problema u matematički oblik. One. pretvoriti riječi u jednačinu, formulu, nejednakost itd. Štoviše, okrenite ga tako da ova matematika striktno odgovara originalnom tekstu. U suprotnom, na kraju ćemo dobiti matematički model nekog drugog nama nepoznatog problema.)

Tačnije, trebate

Na svijetu postoji beskonačan broj zadataka. Stoga, ponuditi jasne upute korak po korak za sastavljanje matematičkog modela bilo koji zadaci su nemogući.

Ali postoje tri glavne tačke na koje morate obratiti pažnju.

1. U svakom zadatku postoji tekst, što je čudno.) Ovaj tekst, po pravilu, ima eksplicitne, otvorene informacije. Brojevi, vrijednosti itd.

2. U bilo kojem zadatku postoji skrivene informacije. Ovo je tekst koji pretpostavlja prisustvo dodatnog znanja u glavi. Bez njih - ništa. Osim toga, matematičke informacije su često skrivene iza jednostavnih riječi i ... izmiču pozornost.

3. U svakom zadatku mora se dati komunikacija između podataka. Ova veza može biti data u jasnom tekstu (nešto je jednako nečemu), ili može biti skrivena iza jednostavnih riječi. Ali jednostavne i jasne činjenice se često zanemaruju. A model nije sastavljen ni na koji način.

Odmah moram reći da je za primjenu ove tri tačke problem potrebno pročitati (i pažljivo!) nekoliko puta. Uobičajena stvar.

A sada - primjeri.

Počnimo sa jednostavnim problemom:

Petrović se vratio sa pecanja i ponosno predstavio svoj ulov porodici. Pažljivijim ispitivanjem ispostavilo se da 8 riba dolazi iz sjevernih mora, 20% svih riba dolazi iz južnih mora, a niti jedna iz lokalne rijeke u kojoj je Petrovič pecao. Koliko je ribe Petrović kupio u prodavnici morskih plodova?

Sve ove riječi treba pretvoriti u neku vrstu jednačine. Da biste to uradili, ponavljam, uspostaviti matematičku vezu između svih podataka problema.

Gdje početi? Prvo ćemo izdvojiti sve podatke iz zadatka. Počnimo redom:

Hajde da se fokusiramo na prvu tačku.

Šta je ovde eksplicitno matematičke informacije? 8 riba i 20%. Ne puno, ali nam ne treba puno.)

Obratimo pažnju na drugu tačku.

Tražite prikriveno informacije. Ona je ovde. ovo su riječi: „20% sve ribe". Ovdje treba shvatiti koji su procenti i kako se računaju. Inače se zadatak ne može riješiti. Upravo to je dodatna informacija koja bi trebala biti u glavi.

Ima i ovdje matematički informacije koje su potpuno nevidljive. to pitanje zadatka: "Koliko ste ribe kupili... To je takođe broj. A bez toga, nijedan model neće biti sastavljen. Stoga, označimo ovaj broj slovom "X". Još ne znamo čemu je x jednako, ali će nam takva oznaka biti vrlo korisna. Za više informacija o tome šta uzeti za x i kako se nositi s tim, pogledajte lekciju Kako riješiti matematičke probleme? Hajde da to napišemo odmah:

x komada - ukupan broj riba.

U našem problemu južne ribe su date u procentima. Moramo ih prevesti u komade. Zašto? Šta je onda unutra bilo koji zadatak modela bi trebao biti u istim količinama. Komadi - tako da je sve u komadima. Ako nam se daju, recimo sati i minute, sve prevedemo u jednu stvar - ili samo sate, ili samo minute. Nije bitno šta. Važno je da sve vrijednosti su bile iste.

Nazad na obelodanjivanje. Ko ne zna koliki je postotak, nikad neće otkriti, da... A ko zna, odmah će reći da su ovdje dati procenti od ukupnog broja riba. Ne znamo ovaj broj. Ništa neće biti od toga!

Ukupan broj riba (u komadima!) nije uzalud sa slovom "X" određen. Neće uspjeti prebrojati južnu ribu u komadima, ali možemo li je zapisati? Volim ovo:

0,2 x komada - broj riba iz južnih mora.

Sada smo preuzeli sve informacije iz zadatka. I eksplicitne i skrivene.

Obratimo pažnju na treću tačku.

Tražite matematička veza između podataka zadatka. Ova veza je toliko jednostavna da je mnogi ne primjećuju... Ovo se često dešava. Ovdje je korisno jednostavno zapisati prikupljene podatke u gomilu, pa vidjeti šta je što.

šta imamo? Tu je 8 komada sjeverne ribe, 0,2 x komada- južna riba i x riba- ukupno. Da li je moguće te podatke nekako povezati? Yes Easy! ukupan broj riba jednaki zbir južnog i sjevernog! Pa, ko bi pomislio ...) Pa zapisujemo:

x = 8 + 0,2x

Ovo će biti jednačina matematički model našeg problema.

Imajte na umu da u ovom problemu od nas se ne traži ništa da preklopimo! Mi smo sami, van glave, shvatili da će nam zbir južne i sjeverne ribe dati ukupan broj. Stvar je toliko očigledna da izmiče iz pažnje. Ali bez ovog dokaza, matematički model se ne može sastaviti. Volim ovo.

Sada možete primijeniti svu snagu matematike da riješite ovu jednačinu). Za to je dizajniran matematički model. Rješavamo ovu linearnu jednačinu i dobijamo odgovor.

odgovor: x=10

Hajde da napravimo matematički model drugog problema:

Petroviča su pitali: "Koliko novca imate?" Petrović je zaplakao i odgovorio: "Da, samo malo. Ako potrošim polovinu novca, a polovinu ostatka, onda će mi ostati samo jedna vreća novca..." Koliko novca ima Petrović?

Opet, radimo tačku po tačku.

1. Tražimo eksplicitne informacije. Nećete ga odmah pronaći! Eksplicitna informacija je jedan torba za novac. Ima još nekih polovina... Pa, sredićemo to u drugom pasusu.

2. Tražimo skrivene informacije. Ovo su polovice. Šta? Nije baš jasno. Tražim više. Postoji još jedan problem: "Koliko novca ima Petrović?" Označimo iznos novca slovom "X":

X- sav novac

I ponovo pročitajte problem. Već znam da je Petrović X novca. Ovdje polovice rade! Zapisujemo:

0,5 x- pola novca.

Ostatak će također biti polovina, tj. 0,5 x. A pola polovine se može napisati ovako:

0,5 0,5 x = 0,25x- polovina ostatka.

Sada se otkrivaju i snimaju sve skrivene informacije.

3. Tražimo vezu između snimljenih podataka. Ovdje možete jednostavno pročitati Petrovičeve patnje i matematički ih zapisati):

Ako potrošim pola novca...

Hajde da zapišemo ovaj proces. Sav novac - X. pola - 0,5 x. Potrošiti znači oduzeti. Fraza postaje:

x - 0,5 x

i pola ostalo...

Od ostatka oduzmite drugu polovinu:

x - 0,5 x - 0,25 x

onda će mi ostati samo jedna vreća novca...

I postoji jednakost! Nakon svih oduzimanja ostaje jedna vreća novca:

x - 0,5 x - 0,25x \u003d 1

Evo ga, matematički model! Ovo je opet linearna jednadžba, rješavamo, dobijamo:

Pitanje za razmatranje. Četiri je šta? Rublja, dolar, juan? A u kojim jedinicama imamo novca u matematičkom modelu? U vrećama! Dakle četiri torba Petrovičev novac. Nije ni loše.)

Zadaci su, naravno, elementarni. Ovo je posebno da bi se uhvatila suština izrade matematičkog modela. U nekim zadacima može biti mnogo više podataka u kojima se lako možete zbuniti. To se često dešava u tzv. zadaci kompetencije. Kako izvući matematički sadržaj iz gomile riječi i brojeva prikazano je na primjerima

Još jedna napomena. Kod klasičnih školskih zadataka (cijeve pune bazen, čamci negdje plove itd.) svi podaci se po pravilu biraju vrlo pažljivo. Postoje dva pravila:
- ima dovoljno informacija u problemu da ga se riješi,
- u zadatku nema dodatnih informacija.

Ovo je nagoveštaj. Ako postoji neka neiskorištena vrijednost u matematičkom modelu, razmislite da li postoji greška. Ako na bilo koji način nema dovoljno podataka, najvjerovatnije nisu otkrivene i zabilježene sve skrivene informacije.

U kompetenciji i drugim životnim zadacima ova pravila se ne poštuju striktno. Nemam nagoveštaja. Ali i takvi problemi se mogu riješiti. Osim, naravno, ako ne vježbate na klasiku.)

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učenje - sa interesovanjem!)

možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Matematički model b je matematički prikaz stvarnosti.

Matematičko modeliranje- proces izgradnje i proučavanja matematičkih modela.

Sve prirodne i društvene nauke koje koriste matematički aparat se, zapravo, bave matematičkim modeliranjem: zamenjuju stvarni objekat njegovim matematičkim modelom, a zatim ga proučavaju.

Definicije.

Nijedna definicija ne može u potpunosti pokriti stvarnu aktivnost matematičkog modeliranja. Uprkos tome, definicije su korisne jer pokušavaju da istaknu najvažnije karakteristike.

Definicija modela prema A. A. Lyapunovu: Modeliranje je indirektno praktično ili teorijsko proučavanje objekta, u kojem se direktno ne proučava predmet koji nas zanima, već neki pomoćni umjetni ili prirodni sistem:

nalazi u nekoj objektivnoj korespondenciji sa spoznajnim objektom;

može ga zamijeniti u određenim aspektima;

koji tokom svog proučavanja na kraju daje informacije o objektu koji se modelira.

Prema udžbeniku Sovjetova i Jakovljeva: „model je objekat-zamena originalnog objekta, koji obezbeđuje proučavanje nekih svojstava originala“. “Zamjena jednog objekta drugim kako bi se dobile informacije o najvažnijim svojstvima originalnog objekta pomoću objekta modela naziva se modeliranje.” „Pod matematičkim modeliranjem podrazumijevat ćemo proces uspostavljanja korespondencije datom realnom objektu nekog matematičkog objekta, koji se zove matematički model, i proučavanje ovog modela, koji omogućava dobijanje karakteristika stvarnog objekta koji se razmatra. Vrsta matematičkog modela zavisi kako od prirode stvarnog objekta tako i od zadataka proučavanja objekta i od potrebne pouzdanosti i tačnosti rešavanja ovog problema.

Prema Samarskom i Mihajlovu, matematički model je „ekvivalent“ objekta, koji u matematičkom obliku odražava njegova najvažnija svojstva: zakone kojima se povinuje, veze svojstvene njegovim sastavnim delovima, itd. On postoji u trijadama „ model-algoritam-program” . Nakon kreiranja trijade “model-algoritam-program”, istraživač dobija univerzalni, fleksibilan i jeftin alat, koji se prvo otklanja i testira u probnim računarskim eksperimentima. Nakon što se utvrdi adekvatnost trijade originalnom objektu, s modelom se izvode različiti i detaljni „eksperimenti“ koji daju sva tražena kvalitativna i kvantitativna svojstva i karakteristike objekta.

Prema monografiji Myshkisa: „Pređimo na opštu definiciju. Hajde da istražimo neki skup S svojstava realnog objekta a sa

uz pomoć matematike. Da bismo to uradili, biramo „matematički objekat“ a" - sistem jednačina, ili aritmetičke relacije, ili geometrijske figure, ili kombinaciju oboje, itd. - čije proučavanje pomoću matematike treba da odgovori na postavljena pitanja o svojstvima S. U ovim uslovima a" se naziva matematički model objekta a u odnosu na ukupnost S njegovih svojstava".

Prema A. G. Sevostyanovu: „Matematički model je skup matematičkih odnosa, jednačina, nejednakosti, itd., koji opisuju glavne obrasce svojstvene procesu, objektu ili sistemu koji se proučava.”

Nešto manje opštu definiciju matematičkog modela, zasnovanu na idealizaciji "ulaz-izlaz-stanje" pozajmljenoj iz teorije automata, daje Wiktionary: "Apstraktni matematički prikaz procesa, uređaja ili teorijske ideje; koristi skup varijabli za predstavljanje ulaza, izlaza i internih stanja, i skupove jednačina i nejednakosti da opiše njihove interakcije.”

Konačno, najsažetija definicija matematičkog modela: "Jednačina koja izražava ideju."

Formalna klasifikacija modela.

Formalna klasifikacija modela zasniva se na klasifikaciji korištenih matematičkih alata. Često izgrađen u obliku dihotomija. Na primjer, jedan od popularnih skupova dihotomija je:

Linearni ili nelinearni modeli; Koncentrisani ili distribuirani sistemi; Deterministički ili stohastički; Statički ili dinamički; diskretno ili kontinuirano.

i tako dalje. Svaki konstruisani model je linearan ili nelinearan, deterministički ili stohastički,... Naravno, mogući su i mješoviti tipovi: koncentrirani u jednom pogledu, distribuirani modeli u drugom itd.

Klasifikacija prema načinu na koji je predmet predstavljen.

Uz formalnu klasifikaciju, modeli se razlikuju po načinu na koji predstavljaju objekt:

Strukturni modeli predstavljaju objekat kao sistem sa sopstvenim uređajem i mehanizmom funkcionisanja. Funkcionalni modeli ne koriste takve reprezentacije i odražavaju samo spoljašnje percipirano ponašanje objekta. U svom ekstremnom izrazu nazivaju se i modelima "crne kutije", a mogući su i kombinovani tipovi modela, koji se ponekad nazivaju i "sivom kutijom".

Gotovo svi autori koji opisuju proces matematičkog modeliranja ukazuju na to da se prvo gradi posebna idealna konstrukcija, smisleni model. Ovdje nema utvrđene terminologije, a drugi autori ovaj idealni objekt nazivaju konceptualnim modelom, spekulativnim modelom ili predmodelom. U ovom slučaju, konačna matematička konstrukcija naziva se formalni model ili jednostavno matematički model koji se dobija kao rezultat formalizacije ovog modela sadržaja. Konstrukcija smislenog modela može se izvršiti korištenjem skupa gotovih idealizacija, kao u mehanici, gdje idealne opruge, kruta tijela, idealna klatna, elastični mediji, itd. daju gotove strukturne elemente za smisleno modeliranje. Međutim, u oblastima znanja u kojima ne postoje potpuno završene formalizovane teorije, stvaranje smislenih modela postaje mnogo komplikovanije.

Rad R. Peierlsa daje klasifikaciju matematičkih modela koji se koriste u fizici i, šire, u prirodnim naukama. U knjizi A. N. Gorbana i R. G. Khleboprosa ova je klasifikacija analizirana i proširena. Ova klasifikacija je prvenstveno fokusirana na fazu konstruisanja smislenog modela.

Ovi modeli "predstavljaju probni opis fenomena, a autor ili vjeruje u njegovu mogućnost, ili čak smatra da je istinita." Prema R. Peierlsu, na primjer, model Sunčevog sistema prema Ptolomeju i Kopernikanski model, Rutherfordov model atoma i model Velikog praska.

Nijedna hipoteza u nauci ne može se dokazati jednom za svagda. Richard Feynman je to vrlo jasno rekao:

“Uvijek imamo mogućnost da opovrgnemo teoriju, ali imajte na umu da nikada ne možemo dokazati da je tačna. Pretpostavimo da ste iznijeli uspješnu hipotezu, izračunali kuda ona vodi i otkrili da su sve njene posljedice eksperimentalno potvrđene. Da li to znači da je vaša teorija tačna? Ne, to jednostavno znači da to niste uspjeli opovrgnuti.

Ako se izgradi model prvog tipa, to znači da je on privremeno prepoznat kao istinit i da se može koncentrirati na druge probleme. Međutim, to ne može biti poenta istraživanja, već samo privremena pauza: status modela prvog tipa može biti samo privremen.

Fenomenološki model sadrži mehanizam za opisivanje fenomena. Međutim, ovaj mehanizam nije dovoljno uvjerljiv, ne može se dovoljno potvrditi dostupnim podacima ili se ne slaže dobro s dostupnim teorijama i akumuliranim znanjem o objektu. Stoga fenomenološki modeli imaju status privremenih rješenja. Vjeruje se da je odgovor još uvijek nepoznat i da je potrebno nastaviti potragu za "istinskim mehanizmima". Peierls odnosi, na primjer, kalorijski model i kvarkov model elementarnih čestica na drugi tip.

Uloga modela u istraživanju može se vremenom promijeniti, može se dogoditi da novi podaci i teorije potvrde fenomenološke modele i da se oni nadograđuju na

status hipoteze. Isto tako, nova znanja mogu postupno doći u sukob sa modelima-hipotezama prvog tipa, a mogu se prenijeti na drugi. Dakle, model kvarka postepeno prelazi u kategoriju hipoteza; atomizam u fizici je nastao kao privremeno rešenje, ali je tokom istorije prešao u prvi tip. Ali eterski modeli su prešli iz tipa 1 u tip 2, i sada su izvan nauke.

Ideja pojednostavljivanja je vrlo popularna pri izgradnji modela. Ali pojednostavljenje je drugačije. Peierls razlikuje tri vrste pojednostavljenja u modeliranju.

Ako je moguće konstruisati jednačine koje opisuju sistem koji se proučava, to ne znači da se one mogu rešiti čak i uz pomoć računara. Uobičajena tehnika u ovom slučaju je korištenje aproksimacija. Među njima su modeli linearnog odziva. Jednačine se zamjenjuju linearnim. Standardni primjer je Ohmov zakon.

Ako koristimo model idealnog plina da opišemo dovoljno razrijeđene plinove, onda je ovo model tipa 3. Pri većim gustinama plina, također je korisno zamisliti jednostavniju situaciju idealnog plina za kvalitativno razumijevanje i evaluaciju, ali onda je to već tip 4. .

U modelu tipa 4, detalji se odbacuju koji mogu primjetno i ne uvijek kontrolirano utjecati na rezultat. Iste jednadžbe mogu poslužiti kao model tipa 3 ili tipa 4, ovisno o fenomenu koji se model koristi za proučavanje. Dakle, ako se koriste modeli linearnog odziva u nedostatku složenijih modela, onda su to već fenomenološki linearni modeli i pripadaju sljedećem tipu 4.

Primjeri: primjena modela idealnog plina na neidealni, van der Waalsova jednadžba stanja, većina modela fizike čvrstog stanja, tekućine i nuklearne fizike. Put od mikroopisa do svojstava tijela koja se sastoje od velikog broja čestica je veoma dugačak. Mnogi detalji moraju biti izostavljeni. To dovodi do modela 4. tipa.

Heuristički model zadržava samo kvalitativnu sličnost sa stvarnošću i predviđa predviđanja samo "po redu veličine". Tipičan primjer je aproksimacija srednjeg slobodnog puta u kinetičkoj teoriji. Daje jednostavne formule za koeficijente viskoznosti, difuzije, toplotne provodljivosti, u skladu sa realnošću po redu veličine.

Ali kada se gradi nova fizika, daleko je od toga da se odmah dobije model koji daje barem kvalitativan opis objekta - model petog tipa. U ovom slučaju, model se često koristi po analogiji, koji barem na neki način odražava stvarnost.

R. Peierls citira istoriju upotrebe analogija u prvom članku W. Heisenberga o prirodi nuklearnih sila. “Ovo se dogodilo nakon otkrića neutrona, i iako je sam W. Heisenberg shvatio da se jezgra mogu opisati kao da se sastoje od neutrona i protona, još uvijek se nije mogao riješiti ideje da bi se neutron na kraju trebao sastojati od protona i elektrona. . U ovom slučaju nastala je analogija između interakcije u sistemu neutron-proton i interakcije atoma vodika i protona. Upravo ta analogija ga je dovela do zaključka da između neutrona i protona moraju postojati razmjenske sile interakcije, koje su analogne silama izmjene u H − H sistemu, zbog tranzicije elektrona između dva protona. ... Kasnije je ipak dokazano postojanje razmjenskih sila interakcije između neutrona i protona, iako one nisu u potpunosti iscrpljene

interakcija između dvije čestice... Ali, slijedeći istu analogiju, W. Heisenberg je došao do zaključka da ne postoje nuklearne sile interakcije između dva protona i do postulacije odbijanja između dva neutrona. Oba ova potonja nalaza su u suprotnosti sa nalazima kasnijih studija.

A. Ajnštajn je bio jedan od velikih majstora misaonog eksperimenta. Evo jednog od njegovih eksperimenata. Izmišljena je u mladosti i na kraju je dovela do izgradnje specijalne teorije relativnosti. Pretpostavimo da u klasičnoj fizici pratimo svjetlosni val brzinom svjetlosti. Promatraćemo elektromagnetno polje koje se periodično menja u prostoru i konstantno je u vremenu. Prema Maxwellovim jednačinama, to ne može biti. Iz ovoga je mladi Ajnštajn zaključio: ili se zakoni prirode menjaju kada se promeni referentni okvir, ili brzina svetlosti ne zavisi od referentnog okvira. Odabrao je drugu - ljepšu opciju. Još jedan poznati Einsteinov misaoni eksperiment je paradoks Einstein-Podolsky-Rosen.

A evo i tipa 8, koji se široko koristi u matematičkim modelima bioloških sistema.

Ovo su također misaoni eksperimenti sa imaginarnim entitetima, koji pokazuju da je navodni fenomen u skladu s osnovnim principima i interno konzistentan. To je glavna razlika u odnosu na modele tipa 7, koji otkrivaju skrivene kontradikcije.

Jedan od najpoznatijih takvih eksperimenata je geometrija Lobačevskog. Drugi primjer je masovna proizvodnja formalno kinetičkih modela hemijskih i bioloških oscilacija, autotalasa, itd. Paradoks Einstein-Podolsky-Rosen je zamišljen kao model tipa 7 kako bi se demonstrirala nekonzistentnost kvantne mehanike. Na potpuno neplanski način, na kraju se pretvorio u model tipa 8 – demonstraciju mogućnosti kvantne teleportacije informacija.

Zamislite mehanički sistem koji se sastoji od opruge pričvršćene na jednom kraju i tereta mase m pričvršćenog na slobodni kraj opruge. Pretpostavit ćemo da se opterećenje može kretati samo u smjeru ose opruge. Hajde da napravimo matematički model ovog sistema. Stanje sistema ćemo opisati rastojanjem x od centra tereta do njegovog ravnotežnog položaja. Interakciju opruge i opterećenja opisujemo koristeći Hookeov zakon, nakon čega koristimo drugi Newtonov zakon da ga izrazimo u obliku diferencijalne jednadžbe:

gdje znači drugi izvod od x u odnosu na vrijeme..

Rezultirajuća jednačina opisuje matematički model razmatranog fizičkog sistema. Ovaj obrazac se naziva "harmonički oscilator".

Prema formalnoj klasifikaciji, ovaj model je linearan, deterministički, dinamičan, koncentrisan, kontinuiran. U procesu njegove izgradnje napravili smo mnoge pretpostavke koje možda nisu istinite u stvarnosti.

U odnosu na stvarnost, to je najčešće model tipa 4, simplifikacija, jer su neke bitne univerzalne karakteristike izostavljene. U nekoj aproksimaciji, takav model prilično dobro opisuje pravi mehanički sistem, jer

odbačeni faktori imaju zanemarljiv uticaj na njegovo ponašanje. Međutim, model se može poboljšati uzimajući u obzir neke od ovih faktora. To će dovesti do novog modela, sa širim opsegom.

Međutim, kada se model usavrši, složenost njegovog matematičkog proučavanja može se značajno povećati i učiniti model praktično beskorisnim. Često vam jednostavniji model omogućava bolje i dublje istraživanje stvarnog sistema od složenijeg.

Ako model harmonijskog oscilatora primenimo na objekte koji su daleko od fizike, njegov značajni status može biti drugačiji. Na primjer, kada se ovaj model primjenjuje na biološke populacije, najvjerovatnije ga treba pripisati analogiji tipa 6.

Tvrdi i mekani modeli.

Harmonski oscilator je primjer takozvanog "tvrdog" modela. Dobija se kao rezultat snažne idealizacije realnog fizičkog sistema. Da bismo riješili pitanje njegove primjenjivosti, potrebno je razumjeti koliko su značajni faktori koje smo zanemarili. Drugim riječima, potrebno je istražiti "meki" model, koji se dobija malom perturbacijom "tvrdog". Može se dati, na primjer, sljedećom jednadžbom:

Ovdje - neka funkcija, koja može uzeti u obzir silu trenja ili ovisnost koeficijenta krutosti opruge o stupnju njenog rastezanja, ε - neki mali parametar. Eksplicitni oblik funkcije f nas trenutno ne zanima. Ako dokažemo da se ponašanje mekog modela suštinski ne razlikuje od ponašanja tvrdog modela, problem će se svesti na proučavanje tvrdog modela. Inače će primjena rezultata dobivenih u proučavanju krutog modela zahtijevati dodatna istraživanja. Na primjer, rješenje jednadžbe harmonijskog oscilatora su funkcije oblika

Odnosno, oscilacije sa konstantnom amplitudom. Da li iz ovoga slijedi da će pravi oscilator oscilirati neograničeno s konstantnom amplitudom? Ne, jer uzimajući u obzir sistem sa proizvoljno malim trenjem, dobijamo prigušene oscilacije. Ponašanje sistema se kvalitativno promijenilo.

Ako sistem zadrži svoje kvalitativno ponašanje pod malom perturbacijom, kaže se da je strukturno stabilan. Harmonski oscilator je primjer strukturno nestabilnog sistema. Međutim, ovaj model se može koristiti za proučavanje procesa u ograničenim vremenskim intervalima.

Svestranost modela.

Najvažniji matematički modeli obično imaju važno svojstvo univerzalnosti: fundamentalno različite stvarne pojave mogu se opisati istim matematičkim modelom. Na primjer, harmonijski oscilator opisuje ne samo ponašanje opterećenja na oprugu, već i druge oscilatorne procese, često potpuno drugačije prirode: male oscilacije klatna, fluktuacije nivoa tekućine u posudi u obliku slova U, ili promjena jačine struje u oscilatornom kolu. Dakle, proučavajući jedan matematički model, proučavamo odjednom čitavu klasu fenomena opisanih njime. Upravo je ovaj izomorfizam zakona izraženih matematičkim modelima u različitim segmentima naučnog znanja doveo Ludwiga von Bertalanffyja da stvori Opću teoriju sistema.

Direktni i inverzni problemi matematičkog modeliranja

tijela od različitih materijala, svaki materijal je specificiran kao njegova standardna mehanička idealizacija, nakon čega se sastavljaju jednadžbe, usput se neki detalji odbacuju kao beznačajni, vrše se proračuni, upoređuju sa mjerenjima, usavršava se model itd. Međutim, za razvoj tehnologija matematičkog modeliranja, korisno je rastaviti ovaj proces na njegove glavne sastavne elemente.

Tradicionalno, postoje dvije glavne klase problema povezanih s matematičkim modelima: direktni i inverzni.

Direktan zadatak: struktura modela i svi njegovi parametri se smatraju poznatim, glavni zadatak je proučavanje modela kako bi se izvuklo korisno znanje o objektu. Koje statičko opterećenje most može izdržati? Kako će reagovati na dinamičko opterećenje, kako će avion savladati zvučnu barijeru, hoće li se raspasti od treperenja - to su tipični primjeri direktnog problema. Formulacija ispravnog direktnog problema zahtijeva posebnu vještinu. Ako se ne postave prava pitanja, most se može srušiti, čak i ako je napravljen dobar model za njegovo ponašanje. Tako se 1879. godine u Velikoj Britaniji srušio metalni most preko rijeke Tey, čiji su projektanti napravili model mosta, izračunali ga za 20-struku sigurnosnu granicu za nosivost, ali su zaboravili na vjetrove koji stalno duvaju u tim mostovima. mjesta. I nakon godinu i po dana je propao.

AT U najjednostavnijem slučaju, direktni problem je vrlo jednostavan i svodi se na eksplicitno rješenje ove jednadžbe.

Inverzni problem: poznat je skup mogućih modela, potrebno je izabrati određeni model na osnovu dodatnih podataka o objektu. Najčešće je struktura modela poznata i potrebno je odrediti neke nepoznate parametre. Dodatne informacije mogu se sastojati od dodatnih empirijskih podataka ili zahtjeva za objekt. Dodatni podaci mogu doći nezavisno od procesa rješavanja inverznog problema ili biti rezultat eksperimenta posebno planiranog u toku rješavanja.

Jedan od prvih primjera virtuoznog rješenja inverznog problema uz što potpunije korištenje dostupnih podataka bila je metoda koju je konstruirao I. Newton za rekonstrukciju sila trenja iz uočenih prigušenih oscilacija.

AT Drugi primjer je matematička statistika. Zadatak ove nauke je razvoj metoda za snimanje, opisivanje i analizu opservacionih i eksperimentalnih podataka u cilju izgradnje verovatnosnih modela masovnih nasumičnih pojava. One. skup mogućih modela je ograničen vjerojatnosnim modelima. U specifičnim problemima, skup modela je ograničeniji.

Računarski sistemi modeliranja.

Za podršku matematičkom modeliranju razvijeni su kompjuterski matematički sistemi, na primjer, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim, itd. Oni vam omogućavaju da kreirate formalne i blok modele jednostavnih i složenih procesa i uređaja i lako mijenjate parametre modela tokom simulacija. Blok modeli su predstavljeni blokovima, čiji je skup i veza određen dijagramom modela.

Dodatni primjeri.

Stopa rasta je proporcionalna trenutnoj veličini populacije. Opisuje se diferencijalnom jednadžbom

gdje je α neki parametar određen razlikom između plodnosti i mortaliteta. Rješenje ove jednadžbe je eksponencijalna funkcija x = x0 e. Ako stopa nataliteta premašuje stopu smrtnosti, veličina populacije raste neograničeno i vrlo brzo. Jasno je da se to u stvarnosti ne može dogoditi zbog ograničenosti

resurse. Kada se dostigne određena kritična veličina populacije, model prestaje da bude adekvatan, jer ne uzima u obzir ograničene resurse. Preciznost Malthusovog modela može biti logistički model, koji je opisan Verhulstovom diferencijalnom jednadžbom

gdje je xs "ravnotežna" veličina populacije, pri kojoj je stopa nataliteta tačno kompenzirana stopom smrtnosti. Veličina populacije u takvom modelu teži ravnotežnoj vrijednosti xs , a ovo ponašanje je strukturno stabilno.

Pretpostavimo da na određenoj teritoriji žive dvije vrste životinja: zečevi i lisice. Neka je broj zečeva x, broj lisica y. Koristeći Malthusov model sa potrebnim korekcijama, uzimajući u obzir ishranu zečeva lisicama, dolazimo do sledećeg sistema koji nosi naziv Lotka-Volterra modela:

Ovaj sistem ima ravnotežno stanje kada je broj zečeva i lisica konstantan. Odstupanje od ovog stanja dovodi do fluktuacija u broju zečeva i lisica, slično fluktuacijama u harmonijskom oscilatoru. Kao iu slučaju harmonijskog oscilatora, ovo ponašanje nije strukturno stabilno: mala promjena u modelu može dovesti do kvalitativne promjene ponašanja. Na primjer, stanje ravnoteže može postati stabilno, a fluktuacije stanovništva će nestati. Moguća je i suprotna situacija, kada će svako malo odstupanje od ravnotežnog položaja dovesti do katastrofalnih posljedica, sve do potpunog izumiranja jedne od vrsta. Na pitanje koji se od ovih scenarija ostvaruje, Volterra-Lotka model ne daje odgovor: ovdje su potrebna dodatna istraživanja.

Da biste napravili matematički model, potrebno vam je:

pažljivo analizirati stvarni predmet ili proces;
istaći njegove najznačajnije karakteristike i svojstva;
definisati varijable, tj. parametri čije vrijednosti utječu na glavne karakteristike i svojstva objekta;
opisuju zavisnost osnovnih svojstava objekta, procesa ili sistema od vrijednosti varijabli koristeći logičke i matematičke odnose (jednačine, jednakosti, nejednakosti, logičke i matematičke konstrukcije);
istaći unutrašnje veze objekta, procesa ili sistema koristeći ograničenja, jednačine, jednakosti, nejednakosti, logičke i matematičke konstrukcije;
odrediti vanjske odnose i opisati ih korištenjem ograničenja, jednačina, jednakosti, nejednakosti, logičkih i matematičkih konstrukcija.

Matematičko modeliranje, osim proučavanja objekta, procesa ili sistema i sastavljanja njihovog matematičkog opisa, uključuje i:

konstrukcija algoritma koji modelira ponašanje objekta, procesa ili sistema;
provjera adekvatnosti modela i objekta, procesa ili sistema na osnovu računskog i prirodnog eksperimenta;
prilagođavanje modela;
koristeći model.

Matematički opis procesa i sistema koji se proučavaju zavisi od:

prirodu realnog procesa ili sistema i sastavlja se na osnovu zakona fizike, hemije, mehanike, termodinamike, hidrodinamike, elektrotehnike, teorije plastičnosti, teorije elastičnosti itd.
potrebnu pouzdanost i tačnost proučavanja i proučavanja realnih procesa i sistema.

Izgradnja matematičkog modela obično počinje izgradnjom i analizom najjednostavnijeg, najgrubljeg matematičkog modela predmeta, procesa ili sistema koji se razmatra. U budućnosti, ako je potrebno, model se dorađuje, njegova korespondencija s objektom postaje potpunija.

Uzmimo jednostavan primjer. Morate odrediti površinu stola. Obično se za to mjere njegova dužina i širina, a zatim se dobiveni brojevi množe. Takav elementarni postupak zapravo znači sljedeće: stvarni objekt (ploha stola) zamjenjuje se apstraktnim matematičkim modelom – pravokutnikom. Dimenzije dobivene kao rezultat mjerenja dužine i širine površine stola pripisuju se pravokutniku, a površina takvog pravokutnika se približno uzima kao željena površina stola. Međutim, model pravougaonika stola je najjednostavniji, najgrublji model. Uz ozbiljniji pristup problemu, prije korištenja modela pravokutnika za određivanje površine tablice, ovaj model treba provjeriti. Provjere se mogu izvršiti na sljedeći način: izmjerite dužine suprotnih strana stola, kao i dužine njegovih dijagonala i uporedite ih međusobno. Ako su, uz traženi stepen tačnosti, dužine suprotnih strana i dužine dijagonala u paru jednake, tada se površina stola zaista može smatrati pravougaonikom. U suprotnom, model pravougaonika će morati biti odbačen i zamijenjen općim modelom četverougla. Uz veći zahtjev za preciznošću, možda će biti potrebno dodatno precizirati model, na primjer, da se uzme u obzir zaokruživanje uglova stola.

Uz pomoć ovog jednostavnog primjera pokazano je da matematički model nije jedinstveno određen predmetom koji se proučava, procesom ili sistem.

ILI (bit će potvrđeno sutra)

Načini rješavanja mat. modeli:

1, Izgradnja m. na osnovu zakona prirode (analitička metoda)

2. Formalni način uz pomoć statističkih. Obrada i rezultati mjerenja (statistički pristup)

3. Konstrukcija brojila na osnovu modela elemenata (složeni sistemi)

1, Analitički - koristite uz dovoljno proučavanja. Opšta pravilnost poznata. modeli.

2. eksperiment. U nedostatku informacija

3. Imitacija m. - istražuje svojstva predmeta sst. Generalno.

Primjer izgradnje matematičkog modela.

Matematički model je matematički prikaz stvarnosti.

Matematičko modeliranje je proces konstruisanja i proučavanja matematičkih modela.

Sve prirodne i društvene nauke koje koriste matematički aparat se, zapravo, bave matematičkim modeliranjem: zamenjuju objekat njegovim matematičkim modelom, a zatim ga proučavaju. Povezivanje matematičkog modela sa stvarnošću vrši se uz pomoć lanca hipoteza, idealizacija i pojednostavljenja. Uz pomoć matematičkih metoda, u pravilu se opisuje idealan objekt, izgrađen u fazi smislenog modeliranja.

Zašto su potrebni modeli?

Vrlo često, prilikom proučavanja objekta, nastaju poteškoće. Sam original ponekad nije dostupan, ili njegova upotreba nije preporučljiva, ili je uključivanje originala skupo. Svi ovi problemi se mogu riješiti uz pomoć simulacije. Model u određenom smislu može zamijeniti predmet koji se proučava.

Najjednostavniji primjeri modela

§ Fotografija se može nazvati modelom osobe. Da biste prepoznali osobu, dovoljno je vidjeti njegovu fotografiju.

§ Arhitekta je kreirao tlocrt novog stambenog prostora. Pokretom ruke može premjestiti višespratnicu iz jednog dijela u drugi. U stvarnosti, to ne bi bilo moguće.

Tipovi modela

Modeli se mogu podijeliti na materijal" i idealan. gornji primjeri su materijalni modeli. Idealni modeli često imaju ikonski oblik. Istovremeno, stvarni pojmovi zamjenjuju se nekim znakovima, koji se lako mogu fiksirati na papiru, u memoriji računala itd.

Matematičko modeliranje

Matematičko modeliranje spada u klasu modeliranja znakova. U isto vrijeme, modeli se mogu kreirati iz bilo kojeg matematičkog objekta: brojeva, funkcija, jednadžbi itd.

Izgradnja matematičkog modela

§ Postoji nekoliko faza konstruisanja matematičkog modela:

1. Razumijevanje zadatka, isticanje najvažnijih kvaliteta, svojstava, vrijednosti i parametara za nas.

2. Uvođenje notacije.

3. Izrada sistema ograničenja koja moraju zadovoljiti unesene vrijednosti.

4. Formulisanje i evidentiranje uslova koje željeno optimalno rešenje mora da zadovolji.

Proces modeliranja se ne završava sastavljanjem modela, već njime samo počinje. Nakon što su sastavili model, biraju metodu za pronalaženje odgovora, rješavaju problem. nakon što se nađe odgovor, uporedite ga sa stvarnošću. I moguće je da odgovor ne zadovoljava, u tom slučaju se model modificira ili čak bira potpuno drugačiji model.

Primjer matematičkog modela

Zadatak

Proizvodno udruženje, koje obuhvata dve fabrike nameštaja, treba da unapredi svoj mašinski park. Štaviše, prva fabrika nameštaja treba da zameni tri mašine, a druga sedam. Narudžbe se mogu izvršiti u dvije fabrike alatnih mašina. Prva fabrika može proizvesti najviše 6 mašina, a druga fabrika će prihvatiti narudžbu ako ih ima najmanje tri. Potrebno je odrediti način narudžbe.

Prema udžbeniku Sovjetova i Jakovljeva: "model (latinski modul - mjera) je objekt-zamjena originalnog objekta, koji pruža proučavanje nekih svojstava originala." (str. 6) “Zamjena jednog objekta drugim kako bi se uz pomoć modela objekta dobile informacije o najvažnijim svojstvima originalnog objekta naziva se modeliranje.” (str. 6) „Pod matematičkim modeliranjem shvatićemo proces uspostavljanja korespondencije datom realnom objektu nekog matematičkog objekta, koji se naziva matematički model, i proučavanje ovog modela, koji omogućava dobijanje karakteristika stvarnog objekta koji se razmatra . Vrsta matematičkog modela zavisi kako od prirode stvarnog objekta tako i od zadataka proučavanja objekta i od potrebne pouzdanosti i tačnosti rešavanja ovog problema.

Konačno, najsažetija definicija matematičkog modela: „Jednačina koja izražava ideju».

Klasifikacija modela

Formalna klasifikacija modela

Formalna klasifikacija modela zasniva se na klasifikaciji korištenih matematičkih alata. Često izgrađen u obliku dihotomija. Na primjer, jedan od popularnih skupova dihotomija je:

i tako dalje. Svaki konstruisani model je linearan ili nelinearan, deterministički ili stohastički,... Naravno, mogući su i mešoviti tipovi: koncentrisani u jednom pogledu (u smislu parametara), distribuirani modeli u drugom itd.

Klasifikacija prema načinu na koji je objekat predstavljen

Uz formalnu klasifikaciju, modeli se razlikuju po načinu na koji predstavljaju objekt:

Strukturni ili funkcionalni modeli

Strukturni modeli predstavljaju objekat kao sistem sa sopstvenim uređajem i mehanizmom funkcionisanja. funkcionalni modeli ne koriste takve reprezentacije i odražavaju samo spoljašnje percipirano ponašanje (funkcionisanje) objekta. U svom ekstremnom izrazu nazivaju ih i modelima "crne kutije". Mogući su i kombinovani tipovi modela, koji se ponekad nazivaju "modeli" siva kutija».

Sadržajni i formalni modeli

Gotovo svi autori koji opisuju proces matematičkog modeliranja ukazuju da se prvo gradi posebna idealna konstrukcija, tj. model sadržaja. Ovdje nema utvrđene terminologije, a drugi autori ovaj objekt nazivaju idealnim konceptualni model , spekulativni model ili premodel. U ovom slučaju se zove konačna matematička konstrukcija formalni model ili samo matematički model dobijen kao rezultat formalizacije ovog modela sadržaja (predmodela). Konstrukcija smislenog modela može se izvršiti korištenjem skupa gotovih idealizacija, kao u mehanici, gdje idealne opruge, kruta tijela, idealna klatna, elastični mediji, itd. daju gotove strukturne elemente za smisleno modeliranje. Međutim, u oblastima znanja u kojima ne postoje potpuno završene formalizovane teorije (najbolje fizike, biologije, ekonomije, sociologije, psihologije i većine drugih oblasti), stvaranje smislenih modela je dramatično složenije.

Smislena klasifikacija modela

Nijedna hipoteza u nauci ne može se dokazati jednom za svagda. Richard Feynman je to vrlo jasno rekao:

“Uvijek imamo mogućnost da opovrgnemo teoriju, ali imajte na umu da nikada ne možemo dokazati da je tačna. Pretpostavimo da ste iznijeli uspješnu hipotezu, izračunali kuda ona vodi i otkrili da su sve njene posljedice eksperimentalno potvrđene. Da li to znači da je vaša teorija tačna? Ne, to jednostavno znači da to niste uspjeli opovrgnuti.

Tip 2: Fenomenološki model (ponašati se kao da…)

Uloga modela u istraživanju može se vremenom mijenjati, može se dogoditi da novi podaci i teorije potvrde fenomenološke modele i da se promovišu u status hipoteze. Isto tako, nova znanja mogu postupno doći u sukob sa modelima-hipotezama prvog tipa, a mogu se prenijeti na drugi. Dakle, model kvarka postepeno prelazi u kategoriju hipoteza; atomizam u fizici je nastao kao privremeno rešenje, ali je tokom istorije prešao u prvi tip. Ali eterski modeli su prešli iz tipa 1 u tip 2, i sada su izvan nauke.

Ideja pojednostavljivanja je vrlo popularna pri izgradnji modela. Ali pojednostavljenje je drugačije. Peierls razlikuje tri vrste pojednostavljenja u modeliranju.

Tip 3: Aproksimacija (nešto se smatra veoma velikim ili veoma malim)

Ako je moguće konstruisati jednačine koje opisuju sistem koji se proučava, to ne znači da se one mogu rešiti čak i uz pomoć računara. Uobičajena tehnika u ovom slučaju je korištenje aproksimacija (modeli tipa 3). Među njima modeli linearnog odziva. Jednačine se zamjenjuju linearnim. Standardni primjer je Ohmov zakon.

A evo i tipa 8, koji se široko koristi u matematičkim modelima bioloških sistema.

Tip 8: Demonstracija mogućnosti (glavna stvar je pokazati unutrašnju konzistentnost mogućnosti)

Ovo su također misaoni eksperimenti. sa imaginarnim entitetima koji to pokazuju navodni fenomen u skladu sa osnovnim principima i interno konzistentan. To je glavna razlika u odnosu na modele tipa 7, koji otkrivaju skrivene kontradikcije.

Jedan od najpoznatijih ovih eksperimenata je geometrija Lobačevskog (Lobačevski ju je nazvao "imaginarna geometrija"). Drugi primjer je masovna proizvodnja formalno kinetičkih modela hemijskih i bioloških oscilacija, autotalasa, itd. Paradoks Einstein-Podolsky-Rosen je zamišljen kao model tipa 7 kako bi se demonstrirala nekonzistentnost kvantne mehanike. Na potpuno neplanski način, na kraju se pretvorio u model tipa 8 – demonstraciju mogućnosti kvantne teleportacije informacija.

Primjer

Razmotrimo mehanički sistem koji se sastoji od opruge pričvršćene na jednom kraju i tereta s masom pričvršćenom na slobodni kraj opruge. Pretpostavit ćemo da se opterećenje može kretati samo u smjeru ose opruge (na primjer, kretanje se događa duž šipke). Hajde da napravimo matematički model ovog sistema. Stanje sistema ćemo opisati rastojanjem od centra opterećenja do njegovog ravnotežnog položaja. Opišimo interakciju opruge i opterećenja pomoću Hookeov zakon() nakon čega koristimo drugi Newtonov zakon da ga izrazimo u obliku diferencijalne jednadžbe:

gdje znači drugi izvod od s obzirom na vrijeme: .

Rezultirajuća jednačina opisuje matematički model razmatranog fizičkog sistema. Ovaj obrazac se naziva "harmonički oscilator".

U odnosu na stvarnost, najčešće se radi o modelu tipa 4. pojednostavljenje(„izostavljamo neke detalje radi jasnoće“), budući da su neke bitne univerzalne karakteristike (na primjer, disipacija) izostavljene. U nekoj aproksimaciji (recimo, sve dok je odstupanje opterećenja od ravnoteže malo, sa malim trenjem, ne predugo i podložan određenim drugim uslovima), takav model prilično dobro opisuje pravi mehanički sistem, jer odbačeni faktori imaju zanemariv uticaj na njegovo ponašanje. Međutim, model se može poboljšati uzimajući u obzir neke od ovih faktora. To će dovesti do novog modela, sa širim (iako opet ograničenim) opsegom.

Tvrdi i mekani modeli

Ovdje - neka funkcija, koja može uzeti u obzir silu trenja ili ovisnost koeficijenta krutosti opruge o stupnju njenog istezanja - neki mali parametar. Eksplicitni oblik funkcije nas trenutno ne zanima. Ako dokažemo da se ponašanje mekog modela suštinski ne razlikuje od ponašanja tvrdog (bez obzira na eksplicitni oblik remetalnih faktora, ako su dovoljno mali), problem će se svesti na proučavanje tvrdog modela. Inače će primjena rezultata dobivenih u proučavanju krutog modela zahtijevati dodatna istraživanja. Na primjer, rješenje jednadžbe harmonijskog oscilatora su funkcije oblika , odnosno oscilacije sa konstantnom amplitudom. Da li iz ovoga slijedi da će pravi oscilator oscilirati neograničeno s konstantnom amplitudom? Ne, jer uzimajući u obzir sistem sa proizvoljno malim trenjem (uvek prisutno u realnom sistemu), dobijamo prigušene oscilacije. Ponašanje sistema se kvalitativno promijenilo.

Ako sistem zadrži svoje kvalitativno ponašanje pod malom perturbacijom, kaže se da je strukturno stabilan. Harmonski oscilator je primjer strukturno nestabilnog (nehrapavog) sistema. Međutim, ovaj model se može koristiti za proučavanje procesa u ograničenim vremenskim intervalima.

Univerzalnost modela

Najvažniji matematički modeli obično imaju važno svojstvo univerzalnost: fundamentalno različite stvarne pojave mogu se opisati istim matematičkim modelom. Na primjer, harmonijski oscilator opisuje ne samo ponašanje opterećenja na oprugu, već i druge oscilatorne procese, često potpuno drugačije prirode: male oscilacije klatna, fluktuacije nivoa tekućine u posudi u obliku oblika ili promjena jačine struje u oscilatornom kolu. Dakle, proučavajući jedan matematički model, proučavamo odjednom čitavu klasu fenomena opisanih njime. Upravo je ovaj izomorfizam zakona izraženih matematičkim modelima u različitim segmentima naučnog znanja doveo Ludwiga von Bertalanffyja da stvori „Opću teoriju sistema“.

Direktni i inverzni problemi matematičkog modeliranja

Mnogo je problema povezanih s matematičkim modeliranjem. Prvo, potrebno je osmisliti osnovnu shemu objekta koji se modelira, reproducirati ga u okviru idealizacije ove nauke. Dakle, vagon se pretvara u sistem ploča i složenijih tijela napravljenih od različitih materijala, svaki materijal se daje kao njegova standardna mehanička idealizacija (gustina, moduli elastičnosti, standardne karakteristike čvrstoće), nakon čega se usput sastavljaju jednadžbe. neki detalji se odbacuju kao beznačajni, vrše se proračuni, upoređuju se sa mjerenjima, model se rafinira i tako dalje. Međutim, za razvoj tehnologija matematičkog modeliranja, korisno je rastaviti ovaj proces na njegove glavne sastavne elemente.

Tradicionalno, postoje dvije glavne klase problema povezanih s matematičkim modelima: direktni i inverzni.

Direktan problem: struktura modela i svi njegovi parametri se smatraju poznatim, glavni zadatak je proučavanje modela kako bi se izvuklo korisno znanje o objektu. Koje statičko opterećenje most može izdržati? Kako će reagovati na dinamičko opterećenje (na primjer, na marš čete vojnika, ili na prolazak voza različitim brzinama), kako će avion savladati zvučnu barijeru, hoće li se raspasti od lepršanja - ovo su tipični primjeri direktnog zadatka. Postavljanje ispravnog direktnog problema (postavljanje ispravnog pitanja) zahtijeva posebnu vještinu. Ako se ne postave prava pitanja, most se može srušiti, čak i ako je napravljen dobar model za njegovo ponašanje. Tako se 1879. godine u Velikoj Britaniji srušio metalni most preko rijeke Tey, čiji su projektanti napravili model mosta, izračunali ga za 20-struku granicu sigurnosti za nosivost, ali su zaboravili na vjetrove koji stalno duvaju na tim mjestima. . I nakon godinu i po dana je propao.

U najjednostavnijem slučaju (jedna oscilatorna jednadžba, na primjer), direktni problem je vrlo jednostavan i svodi se na eksplicitno rješenje ove jednačine.

Inverzni problem: poznato je mnogo mogućih modela, potrebno je odabrati određeni model na osnovu dodatnih podataka o objektu. Najčešće je struktura modela poznata i potrebno je odrediti neke nepoznate parametre. Dodatne informacije mogu se sastojati u dodatnim empirijskim podacima, ili u zahtjevima za objekt ( projektantski zadatak). Dodatni podaci mogu doći bez obzira na proces rješavanja inverznog problema ( pasivno posmatranje) ili biti rezultat eksperimenta posebno planiranog tokom rješenja ( aktivni nadzor).

Drugi primjer je matematička statistika. Zadatak ove nauke je razvoj metoda za snimanje, opisivanje i analizu opservacionih i eksperimentalnih podataka u cilju izgradnje verovatnosnih modela masovnih nasumičnih pojava. One. skup mogućih modela je ograničen vjerojatnosnim modelima. U specifičnim problemima, skup modela je ograničeniji.

Sistemi kompjuterske simulacije

Za podršku matematičkom modeliranju razvijeni su kompjuterski matematički sistemi, na primjer, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim, itd. Oni vam omogućavaju da kreirate formalne i blok modele jednostavnih i složenih procesa i uređaja i lako mijenjate parametre modela tokom simulacija. Block Models predstavljeni su blokovima (najčešće grafičkim), čiji su skup i veza specificirani dijagramom modela.

Dodatni primjeri

Malthusov model

Stopa rasta je proporcionalna trenutnoj veličini populacije. Opisuje se diferencijalnom jednadžbom

gdje je određeni parametar određen razlikom između nataliteta i stope smrtnosti. Rješenje ove jednadžbe je eksponencijalna funkcija. Ako stopa nataliteta premašuje stopu smrtnosti (), veličina populacije se povećava neograničeno i vrlo brzo. Jasno je da se to u stvarnosti ne može dogoditi zbog ograničenih resursa. Kada se dostigne određena kritična veličina populacije, model prestaje da bude adekvatan, jer ne uzima u obzir ograničene resurse. Preciznost Malthusovog modela može biti logistički model, koji je opisan Verhulstovom diferencijalnom jednadžbom

gdje je "ravnotežna" veličina populacije, pri kojoj je stopa nataliteta tačno kompenzirana stopom smrtnosti. Veličina populacije u takvom modelu teži ravnotežnoj vrijednosti i ovo ponašanje je strukturno stabilno.

sistem grabežljivac-plijen

Recimo da na određenom području žive dvije vrste životinja: zečevi (jedu biljke) i lisice (jedu zečeve). Neka je broj zečeva, broj lisica. Koristeći Malthusov model sa potrebnim korekcijama, uzimajući u obzir ishranu zečeva lisicama, dolazimo do sledećeg sistema koji nosi naziv modeli sa tacnama - Volterra:

Ovaj sistem ima ravnotežno stanje u kojem je broj zečeva i lisica konstantan. Odstupanje od ovog stanja dovodi do fluktuacija u broju zečeva i lisica, slično fluktuacijama u harmonijskom oscilatoru. Kao iu slučaju harmonijskog oscilatora, ovo ponašanje nije strukturno stabilno: mala promjena u modelu (na primjer, uzimajući u obzir ograničene resurse potrebne zečevima) može dovesti do kvalitativne promjene ponašanja. Na primjer, stanje ravnoteže može postati stabilno, a fluktuacije stanovništva će nestati. Moguća je i suprotna situacija, kada će svako malo odstupanje od ravnotežnog položaja dovesti do katastrofalnih posljedica, sve do potpunog izumiranja jedne od vrsta. Na pitanje koji se od ovih scenarija ostvaruje, Volterra-Lotka model ne daje odgovor: ovdje su potrebna dodatna istraživanja.

Bilješke

"Matematički prikaz stvarnosti" (Encyclopaedia Britanica)
Novik I. B., O filozofskim pitanjima kibernetičkog modeliranja. M., Znanje, 1964.
Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modeliranje sistema: Proc. za univerzitete - 3. izd., revidirano. i dodatne - M.: Više. škola, 2001. - 343 str. ISBN 5-06-003860-2
Samarsky A. A., Mihajlov A. P. Matematičko modeliranje. Ideje. Metode. Primjeri. - 2. izdanje, ispravljeno. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
Myshkis A. D., Elementi teorije matematičkih modela. - 3. izd., Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 s ISBN 978-5-484-00953-4
Sevostyanov, A.G. Modeliranje tehnoloških procesa: udžbenik / A.G. Sevostyanov, P.A. Sevostyanov. - M.: Laka i prehrambena industrija, 1984. - 344 str.
Vikirječnik: matematički modeli
CliffsNotes.com. Glosar nauke o Zemlji. 20. septembar 2010
Model redukcije i pristupi grubog zrna za fenomene više razmjera, Springer, Complexity serija, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 str. ISBN 3-540-35885-4
“Teorija se smatra linearnom ili nelinearnom, ovisno o tome koji – linearni ili nelinearni – matematički aparat, kakve – linearne ili nelinearne – matematičke modele koristi. ... ne poričući ovo drugo. Moderni fizičar, ako bi slučajno redefinirao tako važan entitet kao što je nelinearnost, najvjerovatnije bi postupio drugačije, i, preferirajući nelinearnost kao važniju i uobičajeniju od dvije suprotnosti, definisao bi linearnost kao „ne-ne- linearnost”. Danilov Yu. A., Predavanja o nelinearnoj dinamici. Elementarni uvod. Sinergetika: od prošlosti do serije budućnosti. Ed.2. - M.: URSS, 2006. - 208 str. ISBN 5-484-00183-8
„Dinamički sistemi modelovani konačnim brojem običnih diferencijalnih jednačina nazivaju se paušalnim ili tačkastim sistemima. Oni su opisani korištenjem konačno-dimenzionalnog faznog prostora i karakterizirani su konačnim brojem stupnjeva slobode. Jedan te isti sistem pod različitim uslovima može se smatrati ili koncentrisanim ili distribuiranim. Matematički modeli distribuiranih sistema su parcijalne diferencijalne jednačine, integralne jednačine ili obične jednačine kašnjenja. Broj stepeni slobode distribuiranog sistema je beskonačan, a za određivanje njegovog stanja potreban je beskonačan broj podataka. Anishchenko V.S., Dynamic Systems, Soros Educational Journal, 1997, br. 11, str. 77-84.
“U zavisnosti od prirode proučavanih procesa u sistemu S, sve vrste modeliranja mogu se podijeliti na determinističko i stohastičko, statičko i dinamičko, diskretno, kontinuirano i diskretno-kontinuirano. Determinističko modeliranje prikazuje determinističke procese, odnosno procese u kojima se pretpostavlja odsustvo bilo kakvih slučajnih uticaja; stohastičko modeliranje prikazuje probabilističke procese i događaje. … Statičko modeliranje se koristi za opisivanje ponašanja objekta u bilo kojem trenutku, dok dinamičko modeliranje odražava ponašanje objekta tokom vremena. Diskretno modeliranje služi za opisivanje procesa za koje se pretpostavlja da su diskretni, odnosno, kontinuirano modeliranje vam omogućava da reflektujete kontinuirane procese u sistemima, a diskretno-kontinuirano modeliranje se koristi za slučajeve u kojima želite da istaknete prisustvo i diskretnih i kontinuiranih procesa. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A. ISBN 5-06-003860-2
Obično matematički model odražava strukturu (uređaj) objekta koji se modelira, svojstva i međusobne veze komponenti ovog objekta koje su bitne za potrebe proučavanja; takav model se naziva strukturnim. Ako model odražava samo kako objekt funkcionira – na primjer, kako reagira na vanjske utjecaje – onda se naziva funkcionalnom ili, figurativno, crnom kutijom. Mogući su i kombinovani modeli. Myshkis A. D. ISBN 978-5-484-00953-4
„Očigledna, ali najvažnija početna faza izgradnje ili odabira matematičkog modela je da se dobije što jasnija ideja o objektu koji se modelira i da se na osnovu neformalnih diskusija usavrši njegov sadržajni model. U ovoj fazi ne treba štedjeti vrijeme i napore, od toga umnogome ovisi uspjeh cjelokupne studije. Više puta se dešavalo da se značajan rad utrošen na rješavanje matematičkog problema pokazao nedjelotvornim ili čak uzaludan zbog nedovoljne pažnje ovoj strani stvari. Myshkis A. D., Elementi teorije matematičkih modela. - 3. izd., Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 s ISBN 978-5-484-00953-4, str. 35.
« Opis konceptualnog modela sistema. U ovoj podfazi izgradnje modela sistema: a) konceptualni model M se opisuje apstraktnim terminima i konceptima; b) opis modela je dat koristeći tipične matematičke šeme; c) hipoteze i pretpostavke su konačno prihvaćene; d) izbor postupka za aproksimaciju stvarnih procesa prilikom izgradnje modela je utemeljen. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modeliranje sistema: Proc. za univerzitete - 3. izd., revidirano. i dodatne - M.: Više. škola, 2001. - 343 str. ISBN 5-06-003860-2, str. 93.
Blekhman I. I., Myshkis A. D., Panovko N. G., Primijenjena matematika: Predmet, logika, karakteristike pristupa. Sa primjerima iz mehanike: Udžbenik. - 3. izd., Rev. i dodatne - M.: URSS, 2006. - 376 str. ISBN 5-484-00163-3, Poglavlje 2.

MATEMATIČKI MODEL - predstavljanje fenomena ili procesa koji se proučavaju u konkretnom naučnom znanju jezikom matematičkih pojmova. Istovremeno, na putu proučavanja stvarnih matematičkih karakteristika modela trebalo bi da se stekne niz svojstava fenomena koji se proučava. Izgradnja M.m. najčešće diktira potreba za kvantitativnom analizom pojava i procesa koji se proučavaju, bez koje je, pak, nemoguće eksperimentalno provjerljiva predviđanja o njihovom toku.

Proces matematičkog modeliranja, po pravilu, prolazi kroz sljedeće faze. U prvoj fazi, veze između glavnih parametara budućeg M.m. Prije svega, riječ je o kvalitativnoj analizi proučavanih pojava i formulaciji obrazaca koji povezuju glavne objekte istraživanja. Na osnovu toga se vrši identifikacija objekata koji omogućavaju kvantitativni opis. Faza se završava izgradnjom hipotetičkog modela, drugim riječima, zapisa na jeziku matematičkih koncepata kvalitativnih ideja o odnosima između glavnih objekata modela, koji se mogu kvantitativno okarakterizirati.

U drugoj fazi se odvija proučavanje stvarnih matematičkih problema do kojih vodi izgrađeni hipotetički model. Glavna stvar u ovoj fazi je dobiti empirijski provjerljive teorijske posljedice (rješenje direktnog problema) kao rezultat matematičke analize modela. Istovremeno, nisu rijetki slučajevi kada je za izgradnju i proučavanje M.m. u različitim oblastima konkretnog naučnog znanja koristi se isti matematički aparat (npr. diferencijalne jednačine) i javljaju se matematički problemi istog tipa, iako vrlo netrivijalni u svakom konkretnom slučaju. Osim toga, u ovoj fazi, upotreba brze računarske tehnologije (računara) postaje od velike važnosti, koja omogućava da se dobije približna rješenja problema, često nemogućih u okviru čiste matematike, sa prethodno nedostupnim (bez upotreba računara) stepen tačnosti.

Treću fazu karakterišu aktivnosti na utvrđivanju stepena adekvatnosti konstruisanog hipotetičkog M.m. one pojave i procese za čije proučavanje je bio namenjen. Naime, u slučaju da su svi parametri modela specificirani, istraživači pokušavaju otkriti kako su, u okviru tačnosti zapažanja, njihovi rezultati u skladu sa teorijskim posljedicama modela. Odstupanja iznad tačnosti zapažanja ukazuju na neadekvatnost modela. Međutim, često postoje slučajevi kada, prilikom izgradnje modela, određeni broj njegovih parametara ostaje nepromijenjen.

neodređeno. Problemi u kojima su parametarske karakteristike modela uspostavljene na način da su teorijske posljedice uporedive u okviru tačnosti opažanja sa rezultatima empirijskih ispitivanja nazivaju se inverzni problemi.

U četvrtoj fazi, uzimajući u obzir identifikaciju stepena adekvatnosti izgrađenog hipotetičkog modela i pojavu novih eksperimentalnih podataka o fenomenima koji se proučavaju, vrši se naknadna analiza i modifikacija modela. Ovdje donesena odluka varira od bezuslovnog odbacivanja primijenjenih matematičkih alata do usvajanja konstruisanog modela kao temelja za izgradnju fundamentalno nove naučne teorije.

Prvi M.m. pojavio u antičkoj nauci. Dakle, da bi modelirao Sunčev sistem, grčki matematičar i astronom Eudoxus dao je svakoj planeti četiri sfere, čija je kombinacija kretanja stvorila hipopeda - matematičku krivulju sličnu posmatranom kretanju planete. Kako, međutim, ovaj model nije mogao objasniti sve uočene anomalije u kretanju planeta, kasnije je zamijenjen epicikličkim modelom Apolonija iz Pergea. Hiparh je u svojim studijama koristio najnoviji model, a zatim, podvrgavajući ga nekim modifikacijama, Ptolomej. Ovaj model, kao i njegovi prethodnici, zasnivao se na vjerovanju da planete prave ujednačene kružne kretnje, čije preklapanje objašnjava očigledne nepravilnosti. Istovremeno, treba napomenuti da je Kopernikanski model bio suštinski nov samo u kvalitativnom smislu (ali ne kao M.M.). I samo je Kepler, na osnovu zapažanja Tycho Brahea, izgradio novi M.m. Sunčev sistem, dokazujući da se planete ne kreću kružnim, već eliptičnim orbitama.

Trenutno su najadekvatniji MM konstruisani za opisivanje mehaničkih i fizičkih pojava. O adekvatnosti M.m. izvan fizike se može, uz nekoliko izuzetaka, govoriti s priličnom dozom opreza. Ipak, ispravljanje hipotetičnosti, a često i jednostavno neadekvatnosti M.m. u različitim oblastima znanja ne treba potcenjivati njihovu ulogu u razvoju nauke. Česti su slučajevi kada su čak i modeli koji su daleko od adekvatnih u velikoj meri organizovani i stimulisali dalja istraživanja, uz pogrešne zaključke, sadržali ona zrnca istine koja su u potpunosti opravdala napore uložene u razvoj ovih modela.

književnost:

Matematičko modeliranje. M., 1979;

Ruzavin G.I. Matematizacija naučnih saznanja. M., 1984;

Tutubalin V.N., Barabasheva Yu.M., Grigoryan A.A., Devyatkova G.N., Uger E.G. Diferencijalne jednadžbe u ekologiji: povijesna i metodološka refleksija // Pitanja povijesti prirodnih znanosti i tehnologije. 1997. br. 3.

Rječnik filozofskih pojmova. Naučno izdanje profesora V.G. Kuznetsova. M., INFRA-M, 2007, str. 310-311.

Podijeli: