Kvadratnih oblika.
Značaj formi. Silvesterov kriterijum

Pridjev "kvadrat" odmah sugerira da je ovdje nešto povezano s kvadratom (drugi stepen), a vrlo brzo ćemo znati to "nešto" i šta je oblik. Ispalo je odmah :)

Dobrodošli na moju novu lekciju, a kao trenutno zagrijavanje pogledat ćemo prugasti oblik linearno. Linearni oblik varijable pozvao homogena polinom 1. stepena:

- neke specifične brojke * (pretpostavljamo da je barem jedan od njih različit od nule), i su varijable koje mogu uzeti proizvoljne vrijednosti.

* U ovoj temi ćemo samo razmotriti realni brojevi .

Već smo se susreli sa terminom "homogen" u lekciji o homogeni sistemi linearnih jednačina, a u ovom slučaju to implicira da polinom nema dodanu konstantu .

Na primjer: – linearni oblik dvije varijable

Sada je oblik kvadratan. kvadratni oblik varijable pozvao homogena polinom 2. stepena, čiji svaki termin sadrži ili kvadrat varijable ili duplo proizvod varijabli. Tako, na primjer, kvadratni oblik dvije varijable ima sljedeći oblik:

Pažnja! Ovo je standardni unos i ne morate ništa mijenjati u njemu! Unatoč „užasnom“ izgledu, ovdje je sve jednostavno - dvostruki indeksi konstanti signaliziraju koje su varijable uključene u jedan ili drugi pojam:
– ovaj izraz sadrži proizvod i (kvadrat);
- evo posla;
- i evo posla.

- Odmah predvidim grubu grešku kada izgube "minus" koeficijenta, ne shvatajući da se to odnosi na pojam:

Ponekad postoji "školska" verzija dizajna u duhu, ali samo ponekad. Usput, imajte na umu da nam konstante ovdje ne govore baš ništa, pa je stoga teže zapamtiti „laku notaciju“. Pogotovo kada ima više varijabli.

A kvadratni oblik tri varijable već sadrži šest članova:

... zašto se množitelji "dva" stavljaju u "mješovite" pojmove? Ovo je zgodno i uskoro će biti jasno zašto.

Međutim, zapisat ćemo opću formulu, zgodno je urediti je "listom":

- pažljivo proučite svaki red - u tome nema ništa loše!

Kvadratni oblik sadrži članove sa kvadratnim varijablama i članove sa njihovim par proizvoda (cm. kombinatorne formule kombinacija) . Ništa drugo - nema "usamljenog x" i nema dodane konstante (onda ne dobijate kvadratni oblik, već heterogena polinom 2. stepena).

Matrična notacija kvadratnog oblika

Ovisno o vrijednostima, razmatrani oblik može imati i pozitivne i negativne vrijednosti, a isto vrijedi i za bilo koji linearni oblik - ako je barem jedan od njegovih koeficijenata različit od nule, onda se može pokazati pozitivnim ili negativnim (u zavisnosti o vrijednostima).

Ovaj oblik se zove naizmjenično. A ako je sve transparentno sa linearnom formom, onda su stvari mnogo interesantnije sa kvadratnom formom:

Sasvim je jasno da ovaj oblik može poprimiti vrijednosti bilo kojeg znaka, dakle, kvadratni oblik također može biti naizmjeničan.

Možda nije:

– uvijek, osim ako su oba jednaka nuli.

- za bilo koga vektor osim nule.

I generalno govoreći, ako za bilo koji ne-nula vektor , , tada se kvadratni oblik naziva pozitivno definitivno; ako onda negativno određeno.

I sve bi bilo u redu, ali određenost kvadratnog oblika vidljiva je samo u jednostavnim primjerima, a ta se vidljivost gubi već uz malu komplikaciju:
– ?

Moglo bi se pretpostaviti da je forma pozitivno definisana, ali da li je zaista tako? Odjednom postoje vrijednosti na kojima je manji od nule?

Na ovaj račun, tamo teorema: ako sve sopstvene vrijednosti matrice kvadratnog oblika su pozitivne * , tada je pozitivno definisano. Ako su svi negativni, onda je negativan.

* U teoriji je dokazano da su sve vlastite vrijednosti realne simetrične matrice validan

Napišimo matricu gornjeg oblika:
i iz jednačine hajde da je nađemo sopstvene vrijednosti:

Rešavamo staro dobro kvadratna jednačina:

, dakle forma je pozitivno definisana, tj. za bilo koje vrijednosti različite od nule, veći je od nule.

Čini se da razmatrana metoda funkcionira, ali postoji jedno veliko ALI. Već za matricu "tri sa tri" traženje svojstvenih vrijednosti je dug i neugodan zadatak; sa velikom verovatnoćom dobijate polinom 3. stepena sa iracionalnim korenima.

Kako biti? Postoji lakši način!

Silvesterov kriterijum

Ne, ne Sylvester Stallone :) Prvo da vas podsjetim na šta angular minors matrice. Ovo je odrednice koje "rastu" iz svog gornjeg lijevog ugla:

a posljednja je tačno jednaka determinanti matrice.

Sada, u stvari, kriterijum:

1) Definisan kvadratni oblik pozitivno ako i samo ako su SVI njegovi ugaoni minori veći od nule: .

2) Definisan kvadratni oblik negativan ako i samo ako se njegovi ugaoni minori smenjuju u znaku, dok je 1. minor manji od nule: , , ako je paran ili , ako je neparan.

Ako barem jedan kutni minor ima suprotan predznak, tada oblik naizmjenično znakovno. Ako su ugaoni minori predznaka „onaj“, ali među njima ima nula, onda je ovo poseban slučaj, koji ću analizirati malo kasnije, nakon što kliknemo na uobičajenije primjere.

Analizirajmo ugaone minore matrice :

I to nam odmah govori da forma nije negativno određena.

Zaključak: svi manji uglovi su veći od nule, dakle oblik pozitivno definisano.

Postoji li razlika s metodom vlastitih vrijednosti? ;)

Pišemo matricu oblika iz Primjer 1:

njegov prvi ugaoni minor, a drugi , odakle proizilazi da je oblik znakovno-alternirajući, tj. ovisno o vrijednostima, može poprimiti i pozitivne i negativne vrijednosti. Međutim, ovo je tako očigledno.

Uzmite oblik i njegovu matricu iz Primjer 2:

ovde uopšte bez uvida da ne razumem. Ali sa Sylvesterovim kriterijumom, nije nas briga:
, stoga oblik definitivno nije negativan.

, i definitivno nije pozitivan. (jer svi manji uglovi moraju biti pozitivni).

Zaključak: oblik se mijenja.

Primjeri zagrijavanja za samostalno rješavanje:

Primjer 4

Istražite kvadratne forme za predznak-definitivnost

a)

U ovim primjerima sve je glatko (pogledajte kraj lekcije), ali u stvari, izvršiti takav zadatak Silvesterov kriterijum možda neće biti dovoljan.

Poenta je da postoje "granični" slučajevi, naime: ako postoji ne-nula vektor , tada je oblik definiran nenegativan, ako onda nepozitivna. Ovi oblici imaju ne-nula vektori za koje .

Ovdje možete donijeti takvu "harmoniku":

Isticanje pun kvadrat, odmah vidimo nenegativnost oblik: , štoviše, jednak je nuli za bilo koji vektor s jednakim koordinatama, na primjer: .

Primjer "ogledala". nepozitivna određeni oblik:

i još trivijalniji primjer:
– ovdje je oblik jednak nuli za bilo koji vektor , gdje je proizvoljan broj.

Kako otkriti nenegativnost ili nepozitivnost forme?

Za ovo nam je potreban koncept glavni maloljetnici matrice. Glavni mol je mol sastavljen od elemenata koji se nalaze na preseku redova i kolona sa istim brojevima. Dakle, matrica ima dva glavna minora 1. reda:
(element je na raskrsnici 1. reda i 1. kolone);
(element je na raskrsnici 2. reda i 2. kolone),

i jedan veliki mol 2. reda:
- sastavljena od elemenata 1., 2. reda i 1., 2. kolone.

Matrica "tri sa tri" Postoji sedam glavnih minora, a ovdje već morate mahati bicepsima:
- tri maloletna lica I reda,
tri maloletnika 2. reda:
- sastavljena od elemenata 1., 2. reda i 1., 2. kolone;
- sastavljena od elemenata 1., 3. reda i 1., 3. kolone;
- sastoji se od elemenata 2., 3. reda i 2., 3. kolone,
i jedan mol 3. reda:
- sastavljena od elemenata 1., 2., 3. reda i 1., 2. i 3. kolone.
Vježba za razumijevanje: zapišite sve glavne sporedne vrijednosti matrice .
Provjeravamo na kraju lekcije i nastavljamo.

Švarcenegerov kriterijum:

1) Definisan kvadratni oblik koji nije nula* nenegativan ako i samo ako SVI njegovi glavni maloljetnici nenegativan(veće ili jednako nuli).

* Nulti (degenerisani) kvadratni oblik ima sve koeficijente jednake nuli.

2) Nenulti kvadratni oblik sa definisanom matricom nepozitivna ako i samo ako je:
– glavni maloljetnici 1. reda nepozitivna(manje ili jednako nuli);
su glavni maloljetnici 2. reda nenegativan;
– glavni maloljetnici 3. reda nepozitivna(alternacija je počela);
…
– dur mol . reda nepozitivna, ako je neparan ili nenegativan, ako je paran.

Ako je barem jedan maloljetnik suprotnog predznaka, tada je oblik predznak naizmjeničan.

Pogledajmo kako funkcionira kriterij u gornjim primjerima:

Napravimo matricu oblika i primarno izračunajmo ugaone minore - šta ako je definisan pozitivno ili negativno?

Dobijene vrijednosti ne zadovoljavaju Sylvesterov kriterij, međutim, drugi minor nije negativan, a zbog toga je potrebno provjeriti 2. kriterij (u slučaju 2. kriterijuma, neće se automatski ispuniti, odnosno odmah se donosi zaključak o promeni predznaka forme).

Glavni maloletnici 1. reda:
- su pozitivni
2. red dur mol:
- nije negativan.

Dakle, SVI glavni minori su nenegativni, dakle oblik nenegativan.

Napišimo matricu oblika , za koje, očigledno, Silvesterov kriterijum nije zadovoljen. Ali također nismo dobili suprotne predznake (jer su oba ugaona minora jednaka nuli). Stoga provjeravamo ispunjenost kriterija nenegativnosti/nepozitivnosti. Glavni maloletnici 1. reda:
- nije pozitivno
2. red dur mol:
- nije negativan.

Dakle, prema Schwarzeneggerovom kriteriju (tačka 2), forma je određena nepozitivno.

Sada, potpuno naoružani, analiziraćemo zabavniji problem:

Primjer 5

Ispitajte kvadratnu formu na znak-definitivnost

Ovaj obrazac je ukrašen redoslijedom "alfa", koji može biti jednak bilo kojem realnom broju. Ali biće samo zabavnije odlučiti.

Prvo, zapišimo matricu obrazaca, vjerovatno su se mnogi već prilagodili da to urade usmeno: na glavna dijagonala na kvadrate stavljamo koeficijente, a na simetrična mjesta - polukoeficijente odgovarajućih "pomiješanih" proizvoda:

Izračunajmo ugaone minore:

Proširiću treću odrednicu duž 3. retka:

Pozitivno određeni kvadratni oblici

Definicija. Kvadratni oblik iz n nepoznato se zove pozitivno definitivno, ako je njegov rang jednak pozitivnom indeksu inercije i jednak broju nepoznatih.

Teorema. Kvadratični oblik je pozitivno određen ako i samo ako uzima pozitivne vrijednosti na bilo kojem skupu varijabilnih vrijednosti koji nije nula.

Dokaz. Neka je kvadratni oblik nedegenerirana linearna transformacija nepoznatih

vratio u normalu

.

Za bilo koji skup varijabilnih vrijednosti različit od nule, barem jedan od brojeva različito od nule, tj. . Neophodnost teoreme je dokazana.

Pretpostavimo da kvadratni oblik ima pozitivne vrijednosti na bilo kojem skupu varijabli koji nije nula, ali je njegov indeks inercije pozitivan. Nedegeneriranom linearnom transformacijom nepoznatih

Hajde da to vratimo u normalu. Bez gubitka općenitosti, možemo pretpostaviti da u ovom normalnom obliku kvadrat posljednje varijable ili nema ili ulazi u njega sa predznakom minus, tj. , gdje ili . Pretpostavimo da je skup vrijednosti varijabli različit od nule, dobivenih kao rezultat rješavanja sistema linearnih jednadžbi

U ovom sistemu, broj jednačina je jednak broju varijabli, a determinanta sistema je različita od nule. Prema Cramerovoj teoremi, sistem ima jedinstveno rješenje i ono je različito od nule. Za ovaj set. Kontradikcija sa uslovom. Dolazimo do kontradikcije sa pretpostavkom, što dokazuje dovoljnost teoreme.

Koristeći ovaj kriterij, nije moguće iz koeficijenata utvrditi da li je kvadratni oblik pozitivno-definitan. Odgovor na ovo pitanje daje još jedna teorema, za čiju formulaciju uvodimo još jedan koncept. Glavna dijagonalna matrična manjina su maloljetnici smješteni u njegovom gornjem lijevom uglu:

, , , … , .

Teorema.Kvadratni oblik je pozitivno određen ako i samo ako su svi njegovi glavni dijagonalni minori pozitivni.

Dokaz izvršićemo metodom potpune matematičke indukcije na broj n varijable kvadratnog oblika f.

Hipoteza indukcije. Pretpostavimo da za kvadratne forme sa manje varijabli n izjava je tačna.

Razmotrimo kvadratni oblik iz n varijable. Sakupite u jednu zagradu sve pojmove koji sadrže . Preostali članovi formiraju kvadratni oblik u varijablama. Prema hipotezi indukcije, tvrdnja je tačna za njega.

Pretpostavimo da je kvadratni oblik pozitivno određen. Tada je kvadratni oblik također pozitivno određen. Ako pretpostavimo da to nije slučaj, onda postoji skup promenljivih vrednosti koji nije nula , za koji i shodno tome, , što je u suprotnosti s činjenicom da je kvadratni oblik pozitivno određen. Po hipotezi indukcije, svi glavni dijagonalni minori kvadratnog oblika su pozitivni, tj. svi prvi glavni minori kvadratnog oblika f su pozitivni. Zadnji glavni mol kvadratnog oblika – je determinanta njegove matrice. Ova determinanta je pozitivna, jer se njen predznak poklapa sa predznakom matrice njenog normalnog oblika, tj. sa predznakom determinante matrice identiteta.

Neka su svi glavni dijagonalni minori kvadratnog oblika pozitivni. Tada su svi glavni dijagonalni minori kvadratnog oblika pozitivni iz jednakosti . Po hipotezi indukcije, kvadratni oblik je pozitivno određen, tako da postoji nedegenerirana linearna transformacija varijabli koja formu svodi na oblik sume kvadrata novih varijabli. Ova linearna transformacija se može proširiti na nedegenerisanu linearnu transformaciju svih varijabli postavljanjem . Kvadratni oblik se ovom transformacijom svodi na oblik

Kvadratni oblici

kvadratni oblik f(x 1, x 2,..., x n) od n varijabli naziva se zbir, čiji je svaki član ili kvadrat jedne od varijabli, ili proizvod dvije različite varijable, uzete sa određenim koeficijentom: f(x 1, x 2, ...,x n) = (a ij = a ji).

Matrica A, sastavljena od ovih koeficijenata, naziva se matrica kvadratnog oblika. Uvek je tako simetrično matrica (tj. matrica simetrična oko glavne dijagonale, a ij = a ji).

U matričnom zapisu, kvadratni oblik ima oblik f(X) = X T AX, gdje je

Zaista

Na primjer, zapišimo kvadratni oblik u matričnom obliku.

Da bismo to učinili, nalazimo matricu kvadratnog oblika. Njegovi dijagonalni elementi jednaki su koeficijentima na kvadratima varijabli, a preostali elementi jednaki su polovini odgovarajućih koeficijenata kvadratnog oblika. Dakle

Neka se matrica-stupac varijabli X dobije nedegeneriranom linearnom transformacijom matrice-kolone Y, tj. X = CY, gdje je C nedegenerirana matrica reda n. Zatim kvadratni oblik
f(X) = X T AX = (CY) T A (CY) = (Y T C T) A (CY) = Y T (C T AC) Y.

Dakle, pod nedegeneriranom linearnom transformacijom C, matrica kvadratnog oblika ima oblik: A * = C T AC.

Na primjer, pronađimo kvadratni oblik f(y 1, y 2) dobijen iz kvadratnog oblika f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 linearnom transformacijom.

Kvadratni oblik se zove kanonski(Ima kanonski pogled) ako su svi njegovi koeficijenti a ij = 0 za i ≠ j, tj.
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + ... + a nn x n 2 = .

Njegova matrica je dijagonalna.

Teorema(dokaz ovdje nije dat). Bilo koji kvadratni oblik može se svesti na kanonski oblik korištenjem nedegenerirane linearne transformacije.

Na primjer, svodimo na kanonski oblik kvadratni oblik
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Da biste to učinili, prvo odaberite cijeli kvadrat za varijablu x 1:

f (x 1, x 2, x 3) = 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d 2 (x 1 + x 2 ) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

Sada biramo puni kvadrat za varijablu x 2:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 - 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2 ) - (5/100) x 3 2 =
\u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 - (1/20) x 3 2.

Tada nedegenerirana linearna transformacija y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 - (1/10) x 3 i y 3 = x 3 dovodi ovaj kvadratni oblik u kanonski oblik f (y 1 , y 2, y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Imajte na umu da je kanonski oblik kvadratnog oblika definiran dvosmisleno (isti kvadratni oblik se može svesti na kanonski oblik na različite načine). Međutim, kanonski oblici dobiveni različitim metodama imaju niz zajedničkih svojstava. Konkretno, broj članova s ​​pozitivnim (negativnim) koeficijentima kvadratnog oblika ne ovisi o tome kako se oblik svodi na ovaj oblik (na primjer, u razmatranom primjeru uvijek će biti dva negativna i jedan pozitivan koeficijent). Ovo svojstvo se zove zakon inercije kvadratnih oblika.

Provjerimo ovo tako što ćemo isti kvadratni oblik na drugačiji način svesti na kanonski oblik. Započnimo transformaciju s varijablom x 2:
f (x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 \u003d - 3 (x 2 2 -
- 2 * x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2) - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 =
\u003d -3 (x 2 - (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 \ u003d f (y 1, y 2, y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2, gdje je y 1 \u003d - (2/3) x 1 + x 2 - (1/6) x 3, y 2 = (2/3) x 1 + (1/6 ) x 3 i y 3 = x 1 . Ovdje je pozitivan koeficijent 2 na y 3 i dva negativna koeficijenta (-3) na y 1 i y 2 (i koristeći drugu metodu, dobili smo pozitivan koeficijent 2 na y 1 i dva negativna koeficijenta - (-5) na y 2 i (-1 /20) za y 3).

Također treba napomenuti da je rang matrice kvadratnog oblika, tzv rang kvadratnog oblika, jednak je broju nenultih koeficijenata kanonskog oblika i ne mijenja se pod linearnim transformacijama.

Kvadratni oblik f(X) se zove pozitivno (negativan) siguran, ako je za sve vrijednosti varijabli koje nisu istovremeno jednake nuli, ono je pozitivno, tj. f(X) > 0 (negativno, tj.
f(X)< 0).

Na primjer, kvadratni oblik f 1 (X) \u003d x 1 2 + x 2 2 je pozitivno određen, jer je zbir kvadrata, a kvadratni oblik f 2 (X) \u003d -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 je negativno određen, jer predstavlja može se predstaviti kao f 2 (X) \u003d - (x 1 - x 2) 2.

U većini praktičnih situacija je nešto teže utvrditi predznačnu određenost kvadratnog oblika, pa se za to koristi jedna od sljedećih teorema (formuliramo ih bez dokaza).

Teorema. Kvadratni oblik je pozitivno (negativno) određen ako i samo ako su sve vlastite vrijednosti njegove matrice pozitivne (negativne).

Teorema (Sylvesterov kriterijum). Kvadratni oblik je pozitivno određen ako i samo ako su svi glavni minori matrice ovog oblika pozitivni.

Dur (ugao) mol K-ti red matrice A n-tog reda naziva se determinanta matrice, sastavljena od prvih k redova i stupaca matrice A ().

Imajte na umu da se za negativno-definirane kvadratne forme predznaci glavnih minora izmjenjuju, a minor prvog reda mora biti negativan.

Na primjer, ispitujemo kvadratni oblik f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 za predznak-definiranost.

= (2 - l)*
*(3 - l) - 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 \u003d l 2 - 5l + 2 = 0; D \u003d 25 - 8 \u003d 17;
. Stoga je kvadratni oblik pozitivno određen.

Metoda 2. Glavni minor prvog reda matrice A D 1 = a 11 = 2 > 0. Glavni minor drugog reda D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Dakle, prema Sylvesterovom kriteriju, kvadratni oblik je pozitivno određen.

Ispitujemo još jedan kvadratni oblik za predznak-određenost, f (x 1, x 2) \u003d -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metoda 1. Konstruirajmo matricu kvadratnog oblika A = . Karakteristična jednačina će imati oblik = (-2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + 5l + 2 \u003d 0; D \u003d 25 - 8 \u003d 17;
. Stoga je kvadratni oblik negativno određen.

kvadratni oblik f(x 1, x 2,..., x n) od n varijabli naziva se zbir, čiji je svaki član ili kvadrat jedne od varijabli, ili proizvod dvije različite varijable, uzete sa određenim koeficijentom: f(x 1, x 2, ...,h n) = (a ij =a ji).

Matrica A, sastavljena od ovih koeficijenata, naziva se matrica kvadratnog oblika. Uvek je tako simetrično matrica (tj. matrica simetrična u odnosu na glavnu dijagonalu, a ij = a ji).

U matričnom zapisu, kvadratni oblik ima oblik f(X) = X T AX, gdje je

Zaista

Na primjer, zapišimo kvadratni oblik u matričnom obliku.

Da bismo to učinili, nalazimo matricu kvadratnog oblika. Njegovi dijagonalni elementi jednaki su koeficijentima na kvadratima varijabli, a preostali elementi jednaki su polovini odgovarajućih koeficijenata kvadratnog oblika. Dakle

Neka se matrica-stupac varijabli X dobije nedegeneriranom linearnom transformacijom matrice-kolone Y, tj. X = CY, gdje je C nedegenerirana matrica reda n. Tada je kvadratni oblik f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) =Y T (C T AC)Y.

Dakle, sa nedegenerisanom linearnom transformacijom C, matrica kvadratnog oblika ima oblik: A * =C T AC.

Na primjer, pronađimo kvadratni oblik f(y 1, y 2) dobijen iz kvadratnog oblika f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 linearnom transformacijom.

Kvadratni oblik se zove kanonski(Ima kanonski pogled), ako su svi njegovi koeficijenti a ij \u003d 0 na i≠j, tj. f (x 1, x 2,..., x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + ... + a nn x n 2 = .

Njegova matrica je dijagonalna.

Teorema(dokaz ovdje nije dat). Bilo koji kvadratni oblik može se svesti na kanonski oblik korištenjem nedegenerirane linearne transformacije.

Na primjer, dovedemo u kanonski oblik kvadratni oblik f (x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Da biste to učinili, prvo odaberite cijeli kvadrat za varijablu x 1:

f (x 1, x 2, x 3) = 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d 2 (x 1 + x 2 ) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

Sada biramo puni kvadrat za varijablu x 2:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 - 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2 ) - (5/100) x 3 2 \u003d \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 - (1/20) x 3 2.

Tada nedegenerirana linearna transformacija y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 - (1/10) x 3 i y 3 = x 3 dovodi ovaj kvadratni oblik u kanonski oblik f (y 1 , y 2, y 3) \u003d 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Imajte na umu da je kanonski oblik kvadratnog oblika definiran dvosmisleno (isti kvadratni oblik se može svesti na kanonski oblik na različite načine1). Međutim, kanonski oblici dobiveni različitim metodama imaju niz zajedničkih svojstava. Konkretno, broj članova s ​​pozitivnim (negativnim) koeficijentima kvadratnog oblika ne ovisi o tome kako se oblik svodi na ovaj oblik (na primjer, u razmatranom primjeru uvijek će biti dva negativna i jedan pozitivan koeficijent). Ovo svojstvo se zove zakon inercije kvadratnih oblika.

Provjerimo ovo tako što ćemo isti kvadratni oblik na drugačiji način svesti na kanonski oblik. Započnimo transformaciju s varijablom x 2: f (x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 \u003d -3 (x 2 2 - - 2 * x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2) - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 = = -3 (x 2 - (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 \u003d f (y 1, y 2, y 3) \u003d - 3y 1 2 - -3y 2 2 + 2y 3 2, gdje je y 1 = - (2/3) x 1 + x 2 - (1/6) x 3, y 2 = (2/3) x 1 + (1 /6) x 3 i y 3 = x 1 . Ovdje je pozitivan koeficijent 2 na y 3 i dva negativna koeficijenta (-3) na y 1 i y 2 ).

Također treba napomenuti da je rang matrice kvadratnog oblika, tzv rang kvadratnog oblika, jednak je broju nenultih koeficijenata kanonskog oblika i ne mijenja se pod linearnim transformacijama.

Kvadratni oblik f(X) se zove pozitivno(negativan)siguran, ako za sve vrijednosti varijabli koje nisu istovremeno jednake nuli, ono je pozitivno, tj. f(X) > 0 (negativno, tj. f(X)< 0).

Na primjer, kvadratni oblik f 1 (X) \u003d x 1 2 + x 2 2 je pozitivno određen, jer je zbir kvadrata, a kvadratni oblik f 2 (X) \u003d -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 je negativno određen, jer predstavlja može se predstaviti kao f 2 (X) \u003d - (x 1 - x 2) 2.

U većini praktičnih situacija je nešto teže utvrditi predznačnu određenost kvadratnog oblika, pa se za to koristi jedna od sljedećih teorema (formuliramo ih bez dokaza).

Teorema. Kvadratni oblik je pozitivno (negativno) određen ako i samo ako su sve vlastite vrijednosti njegove matrice pozitivne (negativne).

Teorema (Sylvesterov kriterijum). Kvadratni oblik je pozitivno određen ako i samo ako su svi glavni minori matrice ovog oblika pozitivni.

Dur (ugao) mol K-ti red matrice An-tog reda naziva se determinanta matrice, sastavljena od prvih k redova i stupaca matrice A ().

Imajte na umu da se za negativno-definirane kvadratne forme predznaci glavnih minora izmjenjuju, a minor prvog reda mora biti negativan.

Na primjer, ispitujemo kvadratni oblik f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 za predznak-definiranost.

= (2 -)* *(3 -) - 4 = (6 - 2- 3+ 2) - 4 = 2 - 5+ 2 = 0; D= 25 - 8 = 17; . Stoga je kvadratni oblik pozitivno određen.

Metoda 2. Glavni minor prvog reda matrice A  1 = a 11 = 2 > 0. Glavni minor drugog reda  2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Dakle, prema Sylvesterovom kriteriju , kvadratni oblik je pozitivno određen.

Ispitujemo još jedan kvadratni oblik za predznak-određenost, f (x 1, x 2) \u003d -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metoda 1. Konstruirajmo matricu kvadratnog oblika A = . Karakteristična jednačina će imati oblik = (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+ 2) – 4 = 2 + 5+ 2 = 0; D= 25 – 8 = 17 ; . Stoga je kvadratni oblik negativno određen.

Metoda 2. Glavni minor prvog reda matrice A  1 \u003d a 11 \u003d \u003d -2< 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 >0. Dakle, prema Sylvesterovom kriteriju, kvadratni oblik je negativno određen (znaci glavnih minora se izmjenjuju, počevši od minusa).

I kao još jedan primjer, ispitujemo kvadratni oblik f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 za predznak.

Metoda 1. Konstruirajmo matricu kvadratnog oblika A = . Karakteristična jednačina će imati oblik = (2 -)* *(-3 -) - 4 = (-6 - 2+ 3+ 2) - 4 = 2 +- 10 = 0; D= 1 + 40 = 41; . Jedan od ovih brojeva je negativan, a drugi pozitivan. Znaci sopstvenih vrednosti su različiti. Dakle, kvadratni oblik ne može biti ni negativan ni pozitivno određen, tj. ovaj kvadratni oblik nije znakom određen (može uzeti vrijednosti bilo kojeg predznaka).

Metoda 2. Glavni minor prvog reda matrice A  1 = a 11 = 2 > 0. Glavni minor drugog reda  2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1Razmatrani metod svođenja kvadratnog oblika na kanonski oblik je pogodan za korištenje kada se ispod kvadrata varijabli pojavljuju koeficijenti različiti od nule. Ako ih nema, još uvijek je moguće izvršiti konverziju, ali morate koristiti neke druge trikove. Na primjer, neka je f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 - x 1 2 - x 2 2 =

\u003d (x 1 + x 2) 2 - x 1 2 - x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - (x 1 2 - 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 1 x 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - - (x 1 - x 2) 2 - 2x 1 x 2; 4x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 - (x 1 - x 2) 2; f (x 1, x 2) = 2x 1 x 2 \u003d (1/2) * * (x 1 + x 2 ) 2 - (1/2) * (x 1 - x 2) 2 \u003d f (y 1, y 2) \u003d (1/2) y 1 2 - (1/2) y 2 2, gdje je y 1 = x 1 + x 2, ay 2 = x 1 - x 2.