Optimalna politika zamjene hardvera. Neki ekonomski problemi riješeni metodama dinamičkog programiranja

Uvod……………………………………………………………………………………………….3

Poglavlje 1. Teorijski opis modela zamjene opreme…………..….4

1.1. Karakteristike stanja privrednog subjekta i identifikacija trendova u njegovom razvoju………………………………………………………..……...4

1.2. Informaciono-metodološka podrška ekonomskom modeliranju…………………………………………………………………………..4

1.2.1. Metodička osnova za rješavanje modela……….…………..4

1.2.2. Informaciono-metodološka podrška metode…………..…9

Poglavlje 2. Proračun indikatora ekonomsko-matematičkog modela i ekonomska interpretacija rezultata……………………………………...13

2.1. Pronalaženje uvjetno optimalnog rješenja problema…………...15

2.2. Izrada optimalnog plana zamjene opreme…………21

Zaključak………………………………………………………………………………….24

Reference……………………………………………………………………………………..…..26

Prijave…………………………………………………………………………………..27

Uvod

Postoje mnoge kompanije širom svijeta koje koriste mašine za proizvodnju svojih proizvoda. Stoga je prilikom njegove implementacije potrebno izraditi optimalan plan korištenja i zamjene opreme. Zadaci zamjene opreme smatraju se višestepenim procesom koji je tipičan za dinamičko programiranje.

Mnoga preduzeća zadržavaju ili zamjenjuju hardver na volju, umjesto da koriste tehnike dinamičkog programiranja. Preporučljivo je primijeniti ove metode, jer vam to omogućava najjasnije maksimiziranje profita ili minimiziranje troškova.

Svrha ovog rada je utvrditi optimalno tajming zamena stare opreme.

Zadaci ovog rada su:

u pronalaženju uslovno optimalnog rješenja problema;

u izradi optimalnog plana zamjene opreme.

Starenje opreme uključuje njeno fizičko i moralno propadanje. Kao rezultat, povećavaju se troškovi proizvodnje, povećavaju se troškovi održavanja i popravki, smanjuje se produktivnost rada i likvidna vrijednost. Kriterijum optimalnosti je ili dobit od rada opreme, ili ukupni operativni troškovi u planiranom periodu.

Rad sadrži 2 poglavlja, 12 tabela, 1 aplikaciju, 5 slika i dizajniran je na 30 stranica.

Poglavlje 1. Teorijski opis modela zamjene opreme

1.1. Karakteristike stanja privrednog subjekta i identifikacija trendova u njegovom razvoju

Da bi efikasno obavljale svoje aktivnosti, proizvodna udruženja i preduzeća moraju periodično menjati opremu koju koriste. Ova zamjena uzima u obzir produktivnost korištene opreme i troškove povezane s održavanjem i popravkom opreme.

Karakteristika dinamičkog programiranja je pristup rješavanju problema u fazama, od kojih je svaka povezana s jednom kontroliranom varijablom. Obezbeđuje skup rekurentnih računskih procedura koje povezuju različite faze izvodljivo rješenje zadataka u cjelini kada dođe do posljednje faze.

() (1.1)

(1.1) - Bellmanov princip optimalnosti.

(1.2)

gdje t je starost opreme na početku k-ta godina ( k=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10);

- kontrola sprovedena na početku k-ta godina; P 0 je trošak nove opreme.

(1.2) - funkcionalna Bellmanova jednadžba.

1.2. Informaciono-metodološka podrška ekonomskog modeliranja

1.2.1. Metodološka osnova za rješavanje modela

U problemima dinamičkog programiranja ekonomski proces zavisi od vremena (na nekoliko vremenskih perioda (faza)), stoga se pronalazi niz optimalnih rješenja (sukcesivno za svaku fazu) koja osiguravaju optimalan razvoj cjelokupnog procesa u cjelini. Problemi dinamičkog programiranja nazivaju se višestepenim ili višestepenim. Dinamičko programiranje je matematički aparat koji omogućava optimalno planiranje višestepenih kontrolisanih procesa i procesa koji zavise od vremena. Ekonomski proces se naziva upravljivim ako je moguće uticati na tok njegovog razvoja. Menadžment je skup odluka donesenih u svakoj fazi kako bi se utjecalo na tok procesa. U ekonomskim procesima upravljanje se sastoji u raspodjeli i preraspodjeli sredstava u svakoj fazi. Na primjer, proizvodnja proizvoda bilo kojeg poduzeća je kontrolirani proces, jer je određena promjenom sastava opreme, obima zaliha sirovina, iznosa finansiranja itd. Upravljanje je skup odluka koje se donose na početku svake godine planskog perioda da se preduzeću obezbede sirovine, zamena opreme, visina finansiranja itd. Čini se da je za postizanje maksimalnog obima proizvodnje najlakši način uložiti najveći mogući iznos sredstava i koristiti opremu punim kapacitetom. Ali to bi dovelo do brzog trošenja opreme i, kao rezultat, do smanjenja proizvodnje. Stoga se puštanje proizvoda mora planirati na način da se izbjegnu neželjeni efekti. Neophodno je predvidjeti mjere kojima će se obezbijediti dopuna opreme u slučaju njenog trošenja, tj. po vremenskim periodima. Iako ovo drugo dovodi do smanjenja početnog obima proizvodnje, pruža mogućnost proširenja proizvodnje u budućnosti. Dakle, ekonomski proces proizvodnje može se smatrati da se sastoji od nekoliko faza (koraka), od kojih svaka utiče na njegov razvoj.

Početak faze (koraka) kontrolisanog procesa smatra se momentom donošenja odluke (o visini kapitalnih ulaganja, o zamjeni opreme). određene vrste itd.). Prekretnica se obično shvata kao poslovna godina.

Dinamičko programiranje, koristeći planiranje korak po korak, omogućava ne samo pojednostavljenje rješenja problema, već i rješavanje onih problema na koje se metode ne mogu primijeniti. matematička analiza. Pojednostavljenje rješenja postiže se značajnim smanjenjem broja opcija koje se proučavaju, jer umjesto jednokratnog rješavanja složenog multivarijantnog problema, metoda postupnog planiranja uključuje rješavanje relativno jednostavnih problema više puta.

planiranje korak po korak proces, polazeći od interesa cjelokupnog procesa u cjelini, tj. pri donošenju odluke u posebnoj fazi uvijek je potrebno imati na umu krajnji cilj.

Pretpostavimo da je neki sistem S u nekom početnom stanju S 0 i kojim se može upravljati. Dakle, zbog implementacije neke kontrole U, navedeni sistem prelazi iz početnog stanja S 0 u konačno stanje S k. U ovom slučaju, kvalitet svake od implementiranih kontrola U karakteriše odgovarajuća vrijednost funkcije W(U). Problem je pronaći takav U* iz skupa mogućih kontrola U, pri čemu funkcija W(U) uzima ekstremnu (maksimalnu ili minimalnu) vrijednost W(U*).

Problemi dinamičkog programiranja imaju geometrijsku interpretaciju. Stanje fizičkog sistema S može se opisati numeričkim parametrima, kao što su potrošnja goriva i brzina, iznos ulaganja i tako dalje. Nazovimo ove parametre koordinatama sistema; tada se stanje sistema može predstaviti tačkom S, a prelazak iz jednog stanja S 1 u drugo S 2 - putanjom tačke S. Kontrola U znači odabir određene putanje za pomicanje tačke S od S 1 do S 2 , tj. uspostavljanje određenog zakona kretanja tačke S.

Važan ekonomski problem je pravovremena obnova opreme: automobila, alatnih mašina, televizora, magnetofonskih traka itd. Starenje opreme uključuje fizičko i zastarjelo, što rezultira povećanim troškovima popravke i održavanja, smanjenom produktivnosti rada i vrijednosti likvidnosti. Zadatak je odrediti optimalno vrijeme za zamjenu stare opreme. Kriterijum optimalnosti je prihod od rada opreme (problem maksimizacije) ili ukupni operativni troškovi u planiranom periodu (problem minimizacije).

Pretpostavimo da je rad opreme planiran za određeni vremenski period n godine. Oprema ima tendenciju da stari i stvara sve manji prihod tokom vremena r(t) (t je starost opreme). Istovremeno, moguće je početkom svake godine prodati zastarjelu opremu po cijeni S(t), što zavisi i od starosti t, i kupiti novu opremu po cijeni P.

Pod starošću opreme podrazumijeva se period rada opreme nakon posljednje zamjene, definisan u godinama. Potrebno je pronaći optimalan plan zamjene opreme kako bi ukupan prihod bio za sve n godine bio bi maksimum, s obzirom da je na početku rada, starost opreme bila t 0 godina

Početni podaci u problemu su prihodi r(t) iz upotrebe u roku od jedne godine starosti opreme t godine, rezidualna vrijednost S(t), cijena nove opreme P i početnu starost opreme t 0 .

t			…	n
r	r(0)	r(1)	…	r(n)
S	S(0)	S(1)	…	S(n)

Prilikom sastavljanja dinamičkog modela za izbor optimalne strategije obnove opreme, proces zamjene se smatra kao n-korak, odnosno period rada je podijeljen na n stepenice.

Odaberimo kao korak optimizaciju plana zamjene opreme k-th by n godine. Očigledno je da će prihod od rada opreme tokom ovih godina zavisiti od starosti opreme na početku razmatranog koraka, tj. k godine.

Budući da se proces optimizacije provodi od posljednjeg koraka ( k = n), zatim dalje k-tom koraku ne zna se u kojim godinama od prvog do ( k-1) treba zamijeniti i, shodno tome, starost opreme na početku nije poznata k godine. Označimo starost opreme koja određuje stanje sistema t. Po iznosu t primjenjuje se sljedeće ograničenje:

1 ≤ t ≤ t 0 + k – 1 (19.5)

Izraz (9.5) to ukazuje t ne može prekoračiti starost opreme za ( k–1)-tu godinu rada, uzimajući u obzir starost na početku prve godine, tj t 0 godina; i ne može biti manji od jedan (ovo starosna oprema će morati da počne k-. godine, ako je do njegove zamjene došlo početkom prethodne ( k–1)-ta godina).

Dakle, varijabla t u ovom problemu je varijabla stanja sistema uključena k-th korak. Varijabilna kontrola uključena k-th korak je logička varijabla koja može uzeti jednu od dvije vrijednosti: store ( With) ili zamijeni ( W) oprema na početku k godina:

Bellmanova funkcija Fk(t) definira se kao maksimalni mogući prihod od rada opreme za godine od k-th by n-th if do početka k starost opreme je bila t godine. Primjenom ove ili one kontrole, sistem prelazi u novo stanje. Tako, na primjer, ako na početku k godine oprema je očuvana, pa do početka ( k+ 1)-te godine, njegova starost će se povećati za jedan (stanje sistema će postati t+ 1), u slučaju zamjene stare opreme, nova će stići na početak ( k+ 1) godina starosti t= 1 godina.

Na osnovu toga možete napisati jednadžbu koja vam omogućava da rekurzivno izračunate Bellmanove funkcije na osnovu rezultata prethodnog koraka. Za svaku opciju upravljanja prihod se definiše kao zbir dva pojma: direktni rezultat upravljanja i njegove posljedice.

Ako se na početku svake godine stavi oprema koja je starija od t godine, tada će prihod za tu godinu biti r(t). Povratak na vrh ( k+ 1)-ta godina starosti opreme će dostići ( t+ 1) i maksimalni mogući prihod za preostale godine (sa ( k+ 1)th in n th) biće Fk +1 (t+ 1). Ako na početku k godine donesena odluka o zamjeni opreme, zatim se prodaje stara oprema t godine za cijenu S(t), kupljen nov za P jedinice, i njen rad tokom k godina nove opreme doneće profit r(0). Do početka naredne godine, starost opreme će biti 1 godinu, a za sve preostale godine od ( k+ 1)th in n-ti maksimalni mogući prihod će biti Fk+1 (1). Od njih dvoje opcije menadžment se bira onaj koji donosi maksimalan prihod. Dakle, Bellmanova jednačina u svakom kontrolnom koraku ima oblik:

Funkcija Fk(t) se izračunava u svakom kontrolnom koraku za sve 1 ≤ t ≤ t 0 + k- 1. Menadžment pri kojem se ostvaruje maksimalni prihod je optimalan.

Za prvi korak uvjetne optimizacije sa k = n funkcija je prihod za posljednju n godina:

(19.7)

Vrijednosti funkcije F n(t) definisano Fn-1(t), Fn-2(t) do F 1 (t).

F 1 (t 0) predstavljaju moguće povrate za sve godine. Maksimalni prihod se ostvaruje pod nekom kontrolom, primjenom koje u prvoj godini utvrđujemo starost opreme do početka druge godine.

Za datu starost opreme bira se kontrola koja ostvaruje maksimalni prihod za godine od drugog do n th i tako dalje. Kao rezultat toga, u fazi bezuvjetne optimizacije određuju se godine na čijem početku treba zamijeniti opremu.

Primjer 2 Naći optimalna strategija rad opreme na period od 6 godina, ako je godišnji prihod r(t) i preostalu vrijednost S(t) u zavisnosti od starosti date su u tabeli. 19.6, cijena nove opreme je P= 13, a starost opreme do početka operativnog perioda je 1 godina.

Tabela 19.6

t
r(t)
S(t)

I stage. Uslovna optimizacija.

1. korak: k= 6. Za njega moguća stanja sistema t = 1, 2, …, 6.

Funkcionalna jednadžba ima oblik (19.7):

2. korak: k= 5. Za svoj korak, moguća stanja sistema t = 1, 2, …, 5.

Funkcionalna jednačina ima oblik:

3. korak: k = 4.

4. korak: k = 3.

5. korak: k = 2.

6. korak: k = 1.

Rezultati Bellmanovog proračuna Fk(t) date su u tabeli. 19.7, u kojoj k- godina korišćenja t- starost opreme.

Tabela 19.7

k t

U tabeli. 19.7 istaknuta je vrijednost funkcije koja odgovara stanju "Z" - zamjena opreme.

II faza. Bezuslovna optimizacija.

Bezuslovna optimizacija počinje sa korakom u k= 1. Maksimalni mogući prihod od rada opreme za 1. do 6. godinu je F 1 (1) = 37. Ovaj optimalni dobitak se postiže ako se oprema ne zamijeni u prvoj godini. Zatim će se do početka druge godine starost opreme povećati za jedan i iznosit će: t 2 = t 1 + 1 = 2. Bezuslovna optimalna kontrola za k = 2, X 2 (2) = With, tj. maksimalni prihod za godine 2 do 6 se postiže ako se oprema ne zamijeni. Do početka treće godine starost opreme će se povećati za jedan i iznosiće: t 3 = t 2 + 1 = 2. Bezuslovna optimalna kontrola X 3 (3) = 3, odnosno da bi se ostvarila maksimalna dobit za preostale godine, potrebno je zamijeniti opremu. Do početka četvrte godine, k= 4 starost opreme će postati jednaka t 4 = 1. Bezuslovna optimalna kontrola X 4 (1) = With. Shodno tome dalje.

Poznato je da se oprema vremenom istroši, fizički i psihički stari. Tokom rada, po pravilu, smanjuje se njegova produktivnost i povećavaju operativni troškovi. Održavanje. S vremenom postaje neophodna zamjena opreme, jer je njen daljnji rad skuplji od popravka. Odavde Problem zamene se može formulisati na sledeći način. U procesu rada, oprema daje godišnju dobit, zahtijeva operativne troškove i ima zaostalu vrijednost. Ove karakteristike zavise od starosti opreme. Svake godine oprema se može zadržati, prodati po zaostaloj cijeni i kupiti nova. Ako je oprema očuvana, povećavaju se operativni troškovi i smanjuje se produktivnost. Zamjena zahtijeva značajna dodatna kapitalna ulaganja. Problem je odrediti optimalnu strategiju zamjene u planskom periodu kako bi ukupna dobit za ovaj period bila maksimalna.

Za kvantitativnu formulaciju problema uvodimo sljedeću notaciju: r(t) je trošak proizvodnje proizveden godišnje na jedinici opreme starosti t godina; u(t) - troškovi povezani sa radom ove opreme; s(t) - rezidualna vrijednost opreme stare t godina; p je nabavna cijena opreme; T je trajanje perioda planiranja; t = 0,1, 2,... , T je broj tekuće godine.

Odluka. Da bismo riješili problem, primjenjujemo R. Bellmanov princip optimalnosti. Razmotrite intervale (godine) planskog perioda u nizu od kraja do početka. Hajde da uvedemo funkciju uslovno optimalnih vrednosti ciljne funkcije Fk(t). Ova funkcija prikazuje maksimalnu dobit primljenu od opreme starosti t godina za posljednjih k godina planskog perioda. Ovdje se starost opreme razmatra u smjeru prirodnog toka vremena. Na primjer, t = 0 odgovara upotrebi potpuno nove opreme. Vremenski koraci procesa su numerisani obrnutim redosledom. Na primjer, za k = 1 smatra se posljednja godina planskog perioda, za k = 2 posljednje dvije godine itd., za k = T posljednje T godine, odnosno cijeli planski period. Smjerovi promjene t i k prikazani su na slici.

U ovom problemu, hardver je sistem. Njeno stanje karakteriše starost. Upravljački vektor je odluka u trenutku t = = 0,1, 2,..., T o zadržavanju ili zamjeni opreme. Da bi se pronašla optimalna politika zamjene, potrebno je analizirati, po principu optimalnosti, proces od kraja do početka. Da bismo to učinili, napravimo pretpostavku o stanju opreme na početku prošle godine (k = 1). Neka oprema bude stara t godina. Na početku T-te godine postoje dvije mogućnosti: 1) da se oprema sačuva za T-tu godinu, tada će dobit za prošlu godinu biti r(t) - u(t); 2) prodati opremu po preostaloj vrijednosti i kupiti novu, tada će dobit za prošlu godinu biti jednaka s (t) - p + r (0) - u (0), gdje je r (0) trošak proizvoda proizvedenih na novoj opremi za prvu godinu ulaska; u(0) - operativni troškovi ove godine. Ovdje je preporučljivo odvijati proces od kraja do početka. Za prošlu godinu (k = 1) optimalna politika sa stanovišta cjelokupnog procesa biće politika koja obezbjeđuje maksimalan profit samo za prošlu godinu. Uzimajući u obzir vrijednost dobiti u drugačijem postupku (zamjena – konzervacija), dolazimo do zaključka da odluku o zamjeni opreme starosti t godina treba donijeti u slučaju kada je dobit od nove opreme u posljednjem periodu veći je od starog, tj. s obzirom na to

Dakle, za prošlu godinu, optimalna politika i maksimalni profit F 1 (t) se nalaze iz uslova

Neka je k = 2, tj. razmotrimo dobit za dva posljednjih godina. Pretpostavljamo o mogućem stanju t opreme na početku pretposljednje godine. Ako se početkom ove godine donese odluka da se oprema zadrži, onda će se do kraja godine dobiti dobit r(t) - u(t). Početkom prošle godine oprema će ići u stanje t+1, a uz optimalnu politiku u prošloj godini donosiće profit jednak F 1 (t+1). Dakle, ukupna dobit za dvije godine će biti r(t) - u(t) + F 1 (t + 1). Ako se na početku pretposljednje godine donese odluka o zamjeni opreme, onda će dobit za pretposljednju godinu biti s(t)-p+r(0)-u(0). Pošto se nabavi nova oprema, ona će početkom prošle godine biti u stanju t = 1. Dakle, ukupna dobit za posljednje dvije godine uz optimalnu politiku u prošloj godini će biti

Uslovno optimalna u poslednje dve godine biće politika koja donosi maksimalan profit:

Slično, nalazimo izraze za uslovno optimalnu dobit za posljednje tri godine, četiri, itd. Opća funkcionalna jednačina će imati oblik

Tako, okrećući ceo proces od kraja do početka, dobijamo da će maksimalni profit za planirani period T biti F T (t 0). Pošto je početno stanje poznato, iz izraza za F T (t 0) nalazimo optimalno rješenje na početku prve godine, zatim rezultirajuće optimalno rješenje za drugu godinu i tako dalje. Pogledajmo brojčani primjer.

Razvijte optimalnu politiku zamjene opreme pod sljedećim uvjetima:

1) trošak r(t) proizvoda proizvedenih upotrebom opreme za godinu i troškovi u(t) vezani za rad opreme dati su u tabeli;

2) spasonosna vrednost mašine ne zavisi od njene starosti i jednaka je 2;

3) cena nove opreme se ne menja tokom vremena i iznosi 15;

4) trajanje planskog perioda je 12 godina.

Dakle, s(t) = 2, p = 15, T = 12.

Napišimo funkcionalne jednačine za F 1 (t) i F k (t) sa numeričke vrijednosti naš primjer:

Koristeći izraze (8.9), (8.10), sekvencijalno ćemo izračunati vrijednosti maksimalnog profita F k (t) i zapisati ih u posebnu tabelu (tabela 8.4). Prvi red dobijamo davanjem parametra t u jednakosti (8.9) vrijednosti 0,1,...,12 i korištenjem početnih podataka u tabeli. 8.3. Na primjer, pri t = 0

Imajte na umu da ako je dobit od nove opreme jednaka dobiti od stare, onda je bolje zadržati staru još godinu dana:

Iz tabele. 8.3 može se vidjeti da r(t) – u(t) opada sa povećanjem t. Stoga će za t > 9 politika zamjene opreme biti optimalna. Da bismo razlikovali koja politika rezultira uvjetno optimalnom vrijednošću profita, razgraničit ćemo ove vrijednosti (do t = 9 uključujući, politika očuvanja je optimalna) debelom linijom. Za popunjavanje drugog reda tabele. 8.4 koristimo formulu (8.10). Za k = 2 dobijamo

Damo parametru t vrijednosti 0,1,2,...,12, uzmimo vrijednosti r(t) i u(t) iz tabele. 8.3, a vrijednosti F 1 (t + 1) - iz prvog reda tabele. 8.4. Za treći red dobijamo formulu za proračun iz jednakosti (8.10) za k = 3:

itd. Popunjavanjem tabele. 8.4, koristimo njegove podatke da riješimo problem. Ova tabela sadrži mnogo vrijednih informacija i omogućava vam rješavanje cijele porodice problema u koje smo uronili originalni problem.

Neka, na primjer, na početku planskog perioda imamo opremu staru 6 godina. Razvićemo "politiku supstitucije" za period od dvanaest godina, donoseći maksimalan profit. Informacije za to su dostupne u tabeli. 8.4. Maksimalni profit koji se može ostvariti za 12 godina, pod uslovom da je na početku postojala oprema od 6 godina, nalazi se u tabeli. 8.4 na raskrsnici kolone t = 6 i reda F12(t); to je 180 jedinica.

Desno od isprekidane linije upisuje se vrijednost maksimalnog profita F12(6) = 180, tj. u oblasti politike zamjene. To znači da se za postizanje maksimalnog profita u roku od 12 godina oprema mora zamijeniti početkom prve godine. Tokom prve godine nova oprema će stariti godinu dana, odnosno, nakon zamjene opreme i rada na njoj godinu dana, imaćemo opremu staru godinu dana 11 godina prije kraja planskog perioda. Iz tabele. 8.4 uzimamo F11(l) = 173. Ova vrijednost se nalazi u području "politike očuvanja", tj. u drugoj godini planskog perioda potrebno je sačuvati opremu staru 1 godinu, a nakon rada na njoj godinu dana, 10 godina prije kraja planskog perioda imaćemo opremu staru 2 godine.

Otkrivamo da je vrijednost F10(2) = 153 smještena u područje za spremanje. Na opremi smo radili još godinu dana. Sada je do kraja planskog perioda ostalo još 9 godina, a starost opreme je 3 godine. Pronađite F9(3) = 136. Ovo je područje za spremanje. Na opremi smo radili još godinu dana. Njegova starost postaje jednaka 4 godine. Do kraja planskog perioda ostalo je još 8 godina. Definirajte F8(4) = 120. Ovo je područje zamjene. Zamjenjujemo opremu novom. Radićemo na tome već četvrtu godinu. Stareće za godinu dana. Do kraja planskog perioda ostalo je još 7 godina. Pronađite F7(l) = 113. Ovo je područje za spremanje. Nastavljajući slična razmišljanja, utvrđujemo da se F6(2) = 93, F5(3) = 76 nalaze u zaštićenom području, F4(4)=60 - u području zamjene, F3(l) = 53, F2(2) = 33, F1(3) = 16 - u oblasti za čuvanje. Razvijenu politiku predstavlja sljedeći lanac:

Dakle, umjesto da tražimo optimalnu "politiku zamjene" za period planiranja od 12 godina, originalni problem smo uronili u porodicu sličnih, kada period varira od 1 do 12. Rješenje je zasnovano na principu optimalnost za bilo koje stanje sistema, bez obzira na njegovu istoriju. Optimalna "politika supstitucije" je optimalna za preostali broj godina. Tab. 8.4 sadrži informacije za rješavanje drugih problema. Iz njega se može pronaći optimalna strategija zamjene opreme sa bilo kojim početnim stanjem od 0 do 12 godina i za bilo koji planirani period ne duži od 12 godina. Na primjer, pronađimo "politiku zamjene" za period planiranja od 10 godina, ako je na početku bila petogodišnja oprema:

Pojednostavili smo zadatak zamjene opreme. U praksi se ne zanemaruju detalji. Lako je uzeti u obzir, na primjer, slučaj kada rezidualna vrijednost opreme s(t) ovisi o vremenu. Možda će se odlučiti da se oprema ne zamijeni novom, već onom koja je već radila neko vrijeme. Također nije teško uzeti u obzir mogućnost većeg remonta stare opreme. U ovom slučaju, koncept "stanja" sistema mora uključivati ​​vrijeme posljednje popravke opreme. Funkcija Fk(ti,t2) izražava dobit za posljednjih k godina planskog perioda, pod uvjetom da je na početku postojala oprema starosti t1 koja je nakon t2 godina rada pretrpjela velike popravke. Karakteristike r, s i i također će biti funkcije dvije varijable t1 i t2.

Zamjena opreme je važno ekonomsko pitanje. Zadatak je odrediti optimalno vrijeme za zamjenu stare opreme (mašina, industrijske zgrade itd.). Starenje opreme uključuje njeno fizičko i moralno propadanje, usled čega se povećavaju troškovi proizvodnje, troškovi popravke i održavanja, smanjuje se produktivnost rada i likvidna vrednost. Kriterijum optimalnosti je, po pravilu, ili dobit od rada opreme (problem maksimizacije) ili ukupni operativni troškovi u planiranom periodu (problem minimizacije).

Glavna karakteristika opreme - parametar stanja - njena starost t.

Prilikom sastavljanja dinamičkog modela zamjene, proces zamjene se smatra "korak po korak", dijeleći cijeli period rada na P stepenice. Moguću kontrolu na svakom koraku karakteriše kvalitativne karakteristike, Na primjer X e (spremi opremu), X"(zamjena) i Xp (popravka).

Razmotrimo konkretan primjer.

11.3. Oprema radi 5 godina, nakon toga se prodaje. Na početku svake godine možete odlučiti da li ćete opremu zadržati ili je zamijeniti novom. Cijena nove opreme R 0 = 4000 rub. Poslije t godine rada (1< t< 5) oprema se može prodati za g(t) = p 0 T" rub. (tečna vrijednost). Troškovi održavanja tokom cijele godine zavise od starosti t opreme i jednaki su r(i) = 600(i + l). Odrediti optimalnu strategiju rada opreme tako da ukupni troškovi, uzimajući u obzir početnu kupovinu i finalnu prodaju, budu minimalni.

Odluka. Metoda podjele kontrole na korake, prirodne, po godinama, P= 5. Parametar stanja – starost mašine – s k _ t =t, s Q = 0 - mašina je nova na početku 1. godine rada. Kontrola u svakom koraku ovisi o dvije varijable X e i X

Jednačine stanja zavise od kontrole:

(11.22)

Zaista, ako do i-tog koraka s k _ { =t, zatim prilikom snimanja mašine (X to = X e ) nakon godinu dana, starost mašine će se povećati za 1. Ako se mašina zameni novom (X k = X"), onda to znači da je do početka ⅞-ro koraka njena starost t= 0, a nakon godinu dana rada ¢=1, tj. s k = 1.

Indikator učinka ⅛-tog koraka:

(11.23)

At X e troškovi samo za rad mašine starosti ja, at X Prodato 1 auto (-4000-2"" J, kupljeno novo (4000) i radilo prve godine (600), ukupni troškovi su (-4000 ∙ 2"" + 4000 + 600).

Neka su uvjetni optimalni troškovi za npr

rad mašine od A-tog koraka do kraja, pod uslovom da do početka A-tog koraka mašina ima starost t godine. Pišemo Wellmanove jednačine (11.5) i (11.8) za funkcije, zamjenjujući problem maksimizacije problemom minimizacije:

(11.24)

Vrijednost – trošak starosti mašine

t godine (prema stanju mašina se prodaje nakon 5 godina rada).

(11.25)

Iz definicije funkcija slijedi

Hajde da damo geometrijsko rešenje ovog problema. Na osi apscise iscrtaćemo korak broj A, na osi ordinate - starost t automobili. Tačka (A - 1, t) na ravni odgovara početku A-te godine rada mašine starosti t godine. Kretanje po grafikonu u zavisnosti od prihvaćene kontrole na A-m korak prikazano na sl. 11.7.

Stanje početka rada mašine odgovara tački , kraja - tačkama s(6; t). Svaka putanja koja prevodi tačku prema van sastoji se od segmenata-koraka koji odgovaraju godinama rada. Potrebno je odabrati putanju u kojoj će troškovi rada mašine biti minimalni.

Rice. 11.7

Iznad svakog segmenta koji povezuje tačke [to-jedan; /) i [za,¢ + 1), zapisujemo troškove koji odgovaraju kontroli Xe koja se nalazi iz (11.23): 600(ί + ΐ), a preko segmenta koji povezuje tačke (k-; ¢) i [to; d) upisati troškove koji odgovaraju menadžmentu X 3, tj. 4600-4000 2_i. Tako ćemo označiti sve segmente koji povezuju tačke na grafu, a koji odgovaraju prijelazima iz bilo kojeg stanja s k _ ja da navedem s k (Sl. 11.8). Na primjer, preko segmenata koji spajaju tačke (za; 2) i (/r+1; 3), košta broj 1800, što odgovara troškovima rada tokom svake godine starosti mašine t= 2 godine, a preko segmenata spajanje (za, 2) i (£+1; 1), košta broj 3600 - ovo je zbir troškova kupovine mašine i rada novo auto u roku od godinu dana bez "troškova" (prihoda) za prodani automobil starosti t godine. Treba napomenuti da 0< t< к.

Izvršimo uslovnu optimizaciju na označenom grafu stanja (vidi sliku 11.8).

V korak. Početna stanja - bodovi (4; ¢), konačna - (5; ¢). U stanjima (5; ¢) automobil je prodan, uslovni optimalni prihod od prodaje je 4000 2_ί, ali pošto je funkcija cilja povezana sa troškovima, onda u krugove tačaka (5; ¢) stavljamo vrednost prihoda sa znakom minus.

Hajde da analiziramo kako je moguće doći iz svakog početnog stanja u konačno na V koraku.

Država(4; 1). Od njega je moguće doći do stanja (5; 2) tako što ćete potrošiti 1200 na rad mašine, a zatim dobiti 1000 od prodaje, tj. ukupni troškovi su 200, a navesti (5; 1) sa troškovima 2600 - 2000 = 600. Dakle, ako je sistem bio u tački (4; 1) do poslednjeg koraka, onda bi trebalo da pređete na tačku (5; 2). ) (označavamo ovaj smjer dvostruke strelice), i neizbježno minimalni troškovi, koji odgovaraju ovom prijelazu, jednaki su 200 (ovu vrijednost Zg (1) = 200 stavljamo u krug tačke (4; 1)).

Država(4; 2). Od nje možete doći do tačke (5; 3) sa troškovima 1800 - 500 = 1300 i do tačke (5; 1) sa troškovima 3600 - 2000 = 1600. Odaberite prvu kontrolu, označite je dvostrukom strelicom i Zg( 2) = 1300 stavite tačke u krug (4; 2).

Argumentirajući na isti način za svaku tačku pretposljednjeg koraka, nalazimo za bilo koji ishod koraka IV optimalnu kontrolu u koraku V, označavamo je na Sl. 11.8 duplo

Rice. 11.8

strelica. Zatim planiramo IV korak, analizirajući svako stanje u kojem se sistem može nalaziti kraj III korak, vodeći računa o optimalnom nastavku do kraja procesa, tj. riješi za svih 0< t < 4 при k = 4 jednačine (11.22). Na primjer, ako početak IV koraka odgovara stanju (3; 1), onda prilikom upravljanja X sistem ide do tačke (4; 2), troškovi na ovom koraku su 1200, a ukupni troškovi za poslednja dva koraka su 1200 + 1300 = 2500. X" troškovi za dva koraka su 2600 + 200 = 2800. Odaberemo minimalne troškove 2500, stavimo ih u krug (3; 1) i označimo odgovarajuće kontrole u ovom koraku dvostrukom strelicom koja vodi iz stanja (3; 1) navesti (4; 2). Ovo radimo za svako stanje (3; t)(vidi sliku 11.8).

Nastavljajući uslovnu optimizaciju koraka III, II i I, dobijamo na Sl. 11.8 takva situacija: iz svake tačke (stanja) izlazi strelica koja pokazuje kuda se treba kretati u ovom koraku, ako je sistem u ovoj tački, a kružići označavaju minimalne troškove za prelazak iz ove tačke u konačno stanje. Jednačine (11.22) su u svakom koraku rješavane grafički.

Nakon uslovne optimizacije, dobićemo u tački (0; 0) minimalni trošak rada mašine za 5 godina uz naknadnu prodaju: Zmin =11900. Zatim konstruišemo optimalnu putanju, krećući se od tačke s0(0; 0) duž dvostrukih strelica do.?. Dobijamo set bodova:

{(0; 0),(1;1), (2; 2),(3:1), (4; 2), (5; 3)},

što odgovara optimalnoj kontroli X*(XC, Xe, X X e , X e ). Optimalan način rada Operacija je zamjena mašine novom početkom 3. godine.

Dakle, označeni graf (mreža) omogućava vizualno tumačenje projektne šeme i rješavanje problema pomoću DP metode.

Kao što je već napomenuto, modeli i računska šema DP-a su vrlo fleksibilni u pogledu mogućnosti uključivanja u model razne modifikacije zadataka. Na primjer, sličan problem bi se mogao uzeti u obzir veliki broj opcije kontrole, "popravak", " remont“, itd. Moguće je razmotriti zamjenu opreme novom, uzimajući u obzir tehnički napredak, moguće je uzeti u obzir promjene u troškovima pogonske opreme nakon njene popravke, ovisno o godini rada (skuplje Svi ovi faktori mogu se uzeti u obzir računskom šemom DP-a.

• Sve cijene su uslovne.
• Podsjećamo vas da su svi troškovi izraženi u konvencionalnim rubljama.

Zadatak zamjene opreme je određivanje optimalnog vremena za zamjenu stare opreme (mašina, industrijskih zgrada i sl.) tokom njenog rada. Vremenom rastu troškovi proizvodnje za tekuće i velike popravke i održavanje, produktivnost rada i likvidna vrijednost se smanjuju.

Stoga, u određenom trenutku, postoji potreba (ekonomska izvodljivost) da se stara oprema zamijeni novom. Kriterijum optimalnosti je, po pravilu, ili dobit od rada opreme (problem maksimizacije) ili ukupni operativni troškovi u planiranom periodu (problem minimizacije).

Dakle, zadatak je pronaći raspored zamjene stare opreme novom opremom u planiranom periodu rada.

Glavna karakteristika opreme je parametar stanja - starost.

Prilikom sastavljanja dinamičkog modela zamjene, proces zamjene se smatra kao - korak, razbijajući cijeli period rada na n koraka. Moguću kontrolu na svakom koraku karakterišu kvalitativne karakteristike, npr.
(sačuvajte opremu)
(zamijenite hardver).

Prilikom rješavanja problema zamjene opreme koriste se sljedeći početni podaci:

– period planiranja;

-likvidnu vrijednost opreme (
);

– troškovi održavanja opreme (
);

- početni trošak opreme ().

Jednačine stanja sistema zavise od upravljanja:

U stvari, ako da -th korak
, uz održavanje opreme
za godinu dana, starost opreme će se povećati za 1. Ako se oprema zamijeni novom
, onda to znači da na početku korak njenih godina =0, a nakon godinu dana rada =1, tj.
.

Indikator učinka -ti korak:

.

Neka bude
– uslovno optimalni troškovi za rad opreme, počev od -ti korak do kraja, pod uslovom da do početka -th step oprema ima svoju starost godine.

Tada će Bellmanove jednačine izgledati ovako:

Geometrijsko rješenje problema zamjene opreme. Shema proračuna za rješavanje problema zamjene opreme može se predstaviti kao dvokoordinatni dijagram (graf). Na x-osi ćemo iscrtati broj koraka , na y-osi - starost opreme . Dot
na ravni odgovara početku -godina rada opreme godine. Kretanje po grafikonu u zavisnosti od prihvaćene kontrole na -ti korak je prikazan na slici.

Iznad svakog segmenta koji povezuje tačke
i
, što odgovara kontroli
troškove održavanja opreme, te preko segmenta koji povezuje tačke
i
, ispisujemo troškove koji odgovaraju zamjeni opreme - upravljanje
. Tako će svi segmenti koji povezuju tačke na grafu koji odgovaraju prelazima iz bilo kojeg stanja biti označeni
u stanje .

Rješenje tipičnog primjera

Zadatak 4

U proizvodnom preduzeću "TITAN" radi oprema
godine, nakon čega se prodaje (smatra se da je nakon godine, usled zastarelosti, oprema nije u mogućnosti da obezbedi proizvodnju konkurentnih proizvoda). Početkom svake godine menadžment preduzeća odlučuje da zadrži opremu ili da je zameni novom sličnom (u ovom slučaju se stara oprema prodaje, a prihod koristi za pokrivanje dela troškova nove oprema). Početna cijena nove opreme je
hiljada rubalja, troškovi održavanja opreme -
hiljada rubalja, a likvidna vrijednost opreme -
hiljada rubalja. date su u tabeli. jedanaest.

Tabela 11

Ulazni podaci za zadatak zamjene hardvera

potrebno:

1. Odrediti minimalne ukupne troškove proizvodnog preduzeća "TITAN" za rad opreme u posmatranom periodu .

2. Odrediti optimalnu strategiju (raspored) rada opreme, obezbeđujući minimalne ukupne troškove proizvodnog preduzeća "TITAN" za rad u posmatranom periodu. po trenutnim cijenama.

3. Dajte ekonomsku interpretaciju dobijenog rješenja.

1. Odredimo minimalne ukupne troškove proizvodnog preduzeća "TITAN" za rad opreme za 5 godina. Izvršimo uslovnu optimizaciju na označenom grafu (slika 28).

5 koraka. U državama (5, ) oprema je prodata, uslovno optimalni prihod od prodaje jednak je likvidnoj vrijednosti
, ali budući da je funkcija cilja povezana s troškovima, onda u krugovima tačaka (5, ) iznos prihoda stavite znakom "-".

Stanje (4,1).

Dakle, ako je sistem bio u tački (4.1) do posljednjeg koraka, onda treba ići u tačku (5.2) (ovaj smjer označavamo isprekidanom linijom).

Stanje (4,2).