Odabir optimalne strategije zamjene opreme kao problem dinamičkog programiranja. Dinamičko programiranje

Zadatak zamjene opreme je odrediti optimalno tajming zamjena stare opreme (mašina, industrijskih objekata i sl.) tokom njenog rada. Vremenom, troškovi proizvodnje za tekuće i remont i usluga, produktivnost rada, smanjenje likvidne vrijednosti.

Stoga, u određenom trenutku, postoji potreba (ekonomska izvodljivost) da se stara oprema zamijeni novom. Kriterijum optimalnosti je, po pravilu, ili dobit od rada opreme (problem maksimizacije) ili ukupni operativni troškovi u planiranom periodu (problem minimizacije).

Dakle, zadatak je pronaći raspored zamjene stare opreme novom opremom u planiranom periodu rada.

Glavna karakteristika opreme je parametar stanja - starost.

Prilikom sastavljanja dinamičkog modela zamjene, proces zamjene se smatra kao - korak, razbijajući cijeli period rada na n koraka. Moguću kontrolu na svakom koraku karakterišu kvalitativne karakteristike, npr.
(sačuvajte opremu)
(zamijenite hardver).

Prilikom rješavanja problema zamjene opreme koriste se sljedeći početni podaci:

– period planiranja;

-likvidnu vrijednost opreme (
);

– troškovi održavanja opreme (
);

- početni trošak opreme ().

Jednačine stanja sistema zavise od upravljanja:

U stvari, ako da -th korak
, uz održavanje opreme
za godinu dana, starost opreme će se povećati za 1. Ako se oprema zamijeni novom
, onda to znači da na početku korak njenih godina =0, a nakon godinu dana rada =1, tj.
.

Indikator učinka -ti korak:

.

Neka bude
– uslovno optimalni troškovi za rad opreme, počev od -ti korak do kraja, pod uslovom da do početka -th step oprema ima svoju starost godine.

Tada će Bellmanove jednačine izgledati ovako:

Geometrijsko rješenje problema zamjene opreme. Shema proračuna za rješavanje problema zamjene opreme može se predstaviti kao dvokoordinatni dijagram (graf). Na x-osi ćemo iscrtati broj koraka , na y-osi - starost opreme . Dot
na ravni odgovara početku -godina rada opreme godine. Kretanje po grafikonu u zavisnosti od prihvaćene kontrole na -ti korak je prikazan na slici.

Iznad svakog segmenta koji povezuje tačke
i
, što odgovara kontroli
troškove održavanja opreme, te preko segmenta koji povezuje tačke
i
, ispisujemo troškove koji odgovaraju zamjeni opreme - upravljanje
. Tako će svi segmenti koji povezuju tačke na grafu koji odgovaraju prelazima iz bilo kojeg stanja biti označeni
u stanje .

Rješenje tipičnog primjera

Zadatak 4

U proizvodnom preduzeću "TITAN" radi oprema
godine, nakon čega se prodaje (smatra se da je nakon godine, usled zastarelosti, oprema nije u mogućnosti da obezbedi proizvodnju konkurentnih proizvoda). Početkom svake godine menadžment preduzeća odlučuje da zadrži opremu ili da je zameni novom sličnom (u ovom slučaju se stara oprema prodaje, a prihod koristi za pokrivanje dela troškova nove oprema). Početna cijena nove opreme je
hiljada rubalja, troškovi održavanja opreme -
hiljada rubalja, a likvidna vrijednost opreme -
hiljada rubalja. date su u tabeli. jedanaest.

Tabela 11

Ulazni podaci za zadatak zamjene hardvera

potrebno:

1. Odrediti minimalne ukupne troškove proizvodnog preduzeća "TITAN" za rad opreme u posmatranom periodu .

2. Odrediti optimalnu strategiju (raspored) rada opreme, obezbeđujući minimalne ukupne troškove proizvodnog preduzeća "TITAN" za rad u posmatranom periodu. po trenutnim cijenama.

3. Dajte ekonomsku interpretaciju dobijenog rješenja.

1. Odredimo minimalne ukupne troškove proizvodnog preduzeća "TITAN" za rad opreme za 5 godina. Izvršimo uslovnu optimizaciju na označenom grafu (slika 28).

5 koraka. U državama (5, ) oprema je prodata, uslovno optimalni prihod od prodaje jednak je likvidnoj vrijednosti
, ali budući da je funkcija cilja povezana s troškovima, onda u krugovima tačaka (5, ) iznos prihoda stavite znakom "-".

Stanje (4,1).

Dakle, ako je sistem bio u tački (4.1) do posljednjeg koraka, onda treba ići u tačku (5.2) (ovaj smjer označavamo isprekidanom linijom).

Stanje (4,2).

Nakon što su koraci 1-7 završeni, i matematički model sastavljen, pređite na njegovo izračunavanje.

Glavne faze rješavanja problema dinamičko programiranje:

• 1. Određivanje skupa mogućih stanja Sm za posljednji korak.
• 2. Izvođenje uslovne optimizacije za svako stanje s € Sm na posljednjem m-ti korak formulom (1.3) i definicijom uslovne optimalne kontrole x(s), s€ Sm
• 3. Određivanje skupa mogućih stanja Si za i-ti korak, i=2,3…,m-1.
• 4. Uslovna optimizacija i-tog koraka, i=2,3…,m-1 za svako stanje s€ S m prema formuli (1.4) i određivanje uslovne optimalne kontrole x i (s), s€ S m , i=2 ,3…,m-1.
• 5. Određivanje početnog stanja sistema s 1 , optimalnog pojačanja W1(S1) i optimalne kontrole x1(S1) po formuli (1.4) za i=1. Ovo je optimalni dobitak za cijeli problem W* =W 1 (x 1 *).
• 6. Provođenje bezuslovne optimizacije upravljanja. Da bi se izvršila bezuslovna optimizacija, potrebno je optimalnu kontrolu x 1 *=x 1 (s 1) koja se nalazi na prvom koraku zameniti u formulu (1.2) i odrediti sledeće stanje sistema s 1 =f 1 (s 1 ,x 1). Za promijenjeno stanje pronaći optimalnu kontrolu x 2 *=x 2 (s 2), zamijeniti je u formulu (1.2) itd. Za i-to stanje s 1 pronađite s i+1 =f i+1 (s i ,x i *) i x* i+1 (s i+1), itd.

Dinamičko programiranje općenito slijedi dva pristupa rješavanju problema:

• Dinamičko programiranje odozgo prema dolje: problem se dijeli na manje podprobleme, oni se rješavaju i zatim kombinuju kako bi se riješio originalni problem. Pamćenje se koristi za rješavanje podzadataka koji se često pojavljuju;
• · dinamičko programiranje odozdo prema gore: svi podzadaci koji su naknadno potrebni za rješavanje originalnog problema se izračunavaju unaprijed, a zatim koriste za izgradnju rješenja originalnog problema.

Ovaj način je bolji od top-down programiranja u smislu veličine potrebnog steka i broja poziva funkcija, ali ponekad nije lako unaprijed shvatiti koje podprobleme trebamo riješiti u budućnosti.

Problem zamjene opreme je određivanje optimalnog vremena za zamjenu stare opreme. Kriterijum optimalnosti je ili prihod od rada opreme (problem maksimizacije) ili ukupni operativni troškovi (problem minimizacije) tokom planiranog perioda. Razmotrićemo problem maksimizacije, a kriterijum optimalnosti će biti prihod od rada opreme.

Bellmanov princip optimalnosti je najvažniji stav dinamičkog programiranja, koji kaže da optimalno ponašanje u problemima dinamičkog programiranja ima svojstvo da bez obzira na početno stanje i odluku (tj. "kontrolu"), naknadne odluke moraju predstavljati optimalno ponašanje u odnosu na stanje proizašla iz prvog rješenja. Ovaj princip se takođe može izraziti argumentacijom suprotnog: ako ne koristite najbolji način ono što imamo sada, onda u budućnosti nećemo moći na najbolji način iskoristiti ono što možemo imati.

Stoga, ako postoji optimalna putanja, onda je bilo koji njen dio također optimalna putanja.

Ovaj princip nam omogućava da formulišemo efikasan metod rješavanje široke klase problema u više koraka.

Pod Bellmanovom funkcijom u trenutnom trenutku podrazumijevamo minimalnu vrijednost kriterija kvalitete u trenutnom trenutku: Ako je t=0, tada

Dakle, vrijednost Bellmanove funkcije S(x,t) određuje minimalnu vrijednost funkcionala za bilo koje početno stanje x(t) u bilo kojem trenutku t. S druge strane, vrijednost Bellmanove funkcije poklapa se s vrijednošću tzv. strujnih kontrolnih gubitaka:

Planiran je rad opreme n godine, ali oprema s vremenom stari i donosi sve manji godišnji profit r(t), gdje t- starost opreme. Istovremeno, postoji izbor: ili na početku bilo koje godine, prodati zastarjelu opremu po cijeni S(t), što takođe zavisi od starosti, i kupiti novu opremu po ceni P ili ostavite opremu u funkciji. Potrebno je pronaći optimalan plan zamjene opreme kako bi ukupna dobit za sve n godine bila je maksimalna, s obzirom da je do početka operativnog perioda starost opreme t 0 godine.

Ulazni podaci za ovaj zadatak su:

r(t)- operativni prihod za godinu dana starosti opreme t godine;

S(t)- rezidualna vrijednost opreme;

P- cijena nove opreme;

t 0 - početnu starost opreme.

Varijabilna kontrola uključena k-th korak je logička varijabla koja može uzeti dvije vrijednosti: C - spasiti, Z - zamijeniti opreme na početku k godine. Varijabla stanja sistema uključena k-th korak je varijabla t.

Bellmanova funkcija F k (t) definisana kao maksimalna moguća dobit od rada opreme za godine sa k-th by n-th if do početka k godine, starost opreme je bila t godine. Primjenjujući ovu ili onu kontrolu, sistem prenosimo u neko novo stanje, naime, ako je na početku k godine čuvamo opremu, pa do početka sljedeće (k+1) godine, njegova starost će se povećati za 1 (stanje sistema će postati jednako t+1), za godinu dana donosi profit r(t), i maksimalnu moguću dobit za preostale godine (s (k+1)-th by n th) biće F k+1 (t+1). Ako na početku k godine odlučujemo za zamjenu opreme, zatim prodajemo starinsku opremu t godine za cijenu S(t), kupujemo novu opremu po cijeni P i koristiti ga za k-te godine, što donosi dobit za ovu godinu r(0). Do početka naredne godine starost opreme će biti 1 godina, a za sve godine od (k+1)-th by n-ti maksimalni mogući profit će biti F k+1 (1) .

Od ove dvije opcije upravljanja biramo onu koja donosi najveći profit. Bellmanova jednačina na svakom koraku ima oblik:

Bellmanova funkcija za prvi korak ( k=n) je lako izračunati - ovo je maksimalni mogući profit samo za posljednji n godina:

Izračunavanje vrijednosti funkcije F n (t) prema formuli (2), onda možemo izračunati F n-1 (t), onda F n-2 (t) i tako sve do F 1 (t 0 ) . Funkcija F 1 (t 0 ) predstavlja maksimalnu moguću dobit za sve godine (od 1 n th). Ovaj maksimum se postiže pod nekom kontrolom, primjenom koje tokom prve godine utvrđujemo starost opreme do početka druge godine (u zavisnosti od toga koja je kontrola optimalna za prvu godinu, to će biti 1 ili t 0 +1). Za datu starost opreme, prema rezultatima dobijenim u fazi uslovna optimizacija, gledamo koja kontrola ostvaruje maksimalnu dobit za godine od 2. do n th i tako dalje. Na pozornici bezuslovna optimizacija godine se nađu na čijem početku treba zamijeniti opremu.

Jedan od važnih ekonomskih problema je definicija optimalna strategija zamena starih mašina, aipcraTOB i mašina novim. Starenje opreme znači njeno fizičko i moralno habanje, usled čega se povećavaju troškovi popravke i održavanja, povećavaju se troškovi proizvodnje za proizvodnju proizvoda i

produktivnost i tržišnu vrijednost. Dođe vrijeme kada je isplativije prodati staru opremu, zamijeniti je novom, nego raditi s njom po visokoj cijeni; osim toga, može se zamijeniti novom opremom istog tipa ili novom, naprednijom. Optimalna strategija zamjene opreme je određivanje njenog optimalnog vremena. U ovom slučaju, kriterijum optimalnosti može biti profit od rada opreme, koji treba optimizovati, ili ukupni operativni troškovi tokom razmatranog vremenskog perioda, koje treba minimizirati.

Hajde da uvedemo notaciju:

r(t)- godišnji troškovi održavanja opreme starosti t lezi;

g(t)- rezidualna vrijednost starosti opreme t lezi;

R 0 - nabavna cijena opreme.

Uzmite u obzir period N godine, u okviru kojih je potrebno utvrditi optimalan ciklus zamjene opreme.

Označiti sa L*(/) - optimalni troškovi dobijeni iz

starost opreme t godine za preostale N godine ciklusa upotrebe opreme, uz pretpostavku optimalne strategije.

Starost opreme se mjeri u smjeru toka procesa. Dakle, / = 0 odgovara slučaju korištenja nove opreme. U svakoj fazi procesa /V faze, mora se donijeti odluka o očuvanju, zamjeni ili popravci opreme. Odabrana opcija treba da osigura minimiziranje ukupnih operativnih troškova tokom razmatranog vremenskog perioda.

Pretpostavlja se da je prelazak sa rada na opremu stari t prešao na rad na novu opremu se vrši momentalno, odnosno zamena stare opreme i prelazak na rad na novoj opremi uklapaju se u jedan period.

Primjer 4.2

Oprema radi pet godina, a zatim se prodaje. Početkom svake godine može se donijeti odluka da se oprema zadrži ili zamijeni novom. Cijena nove opreme P 0= 4000 rubalja. Poslije t godine rada (1 g(t) = R 0 2~‘ rub. (tečna vrijednost). Troškovi održavanja tokom godine zavise od starosti opreme t i jednaki r(t) = 600(/ + 1).

Odrediti optimalnu strategiju rada opreme tako da ukupni troškovi, uzimajući u obzir početnu kupovinu i finalnu prodaju, budu minimalni.

Odluka. Način podjele kontrole na korake je prirodan - ali godinama, P= 5. Parametar stanja je starost mašine lu= t,,v 0 = 0 - mašina je nova na početku prve godine rada. Kontrola u svakom koraku ovisi o dvije varijable Ako i ako.

Jednačine stanja zavise od kontrole:

Pokazatelj efikasnosti A" koraka:

(u Ako troškovi samo za rad mašine starosti t, at Ako mašina je prodata (-4000 2~"), kupljena nova (4000) i radila tokom prve godine (600), ukupni troškovi su (-4000 2" + 4000 + 600)).

Neka su l '(?) uslovno optimalni troškovi za rad mašine, počevši od A" koraka do kraja, pod uslovom da do početka A" koraka mašina ima starost / ležanje. Napišimo Wellmanove jednadžbe za funkcije A"(r), zamjenjujući problem maksimizacije problemom minimizacije:

Vrijednost 4000 2 0+11 je cijena stare mašine t godine (prema stanju mašina se prodaje nakon pet godina rada):

Iz definicije funkcija A*(/) slijedi da je A min = A*(0).

Predstavljamo geometrijsko rješenje ovog problema. Odvojite broj koraka na apscisi da, i duž y-ose - starost mašine /. Dot (za - 1, /) na ravni odgovara početku A - -te godine rada mašine starosti / godina. Kretanje po grafikonu u zavisnosti od prihvaćene kontrole na / o-ti korak prikazano na sl. 4.3.

Rice. 4.3

Stanje početka rada mašine odgovara tački, v‘ (0, 0), kraja - tačkama.5 (5, /). Svaka putanja koja prenosi tačku DA-1, /) iz v.5, sastoji se od segmenata - koraka koji odgovaraju godinama rada. Potrebno je odabrati putanju u kojoj će troškovi rada mašine biti minimalni.

Iznad svakog segmenta koji povezuje tačke (A' - 1, /) i (A, / + 1), odgovarajuća kontrola Ako košta (600(/ + 1)), a preko segmenta koji povezuje tačke (za- 1, /) i ( to, /), - troškovi koji odgovaraju upravljanju Ako(4600 - 4000 2"). Na ovaj način se postavljaju svi segmenti koji povezuju tačke na 1-rafiksu koje odgovaraju prelazima iz bilo kojeg stanja ld_| u stanje s k(vidi sliku 4.3).

Nadalje, uvjetna optimizacija se izvodi na označenoj datoteci. U državama (5, /) auto se prodaje, uslovno optimalan prihod od prodaje je 4000 2~‘, ali pošto je ciljna funkcija povezana sa troškovima, krugovi tačaka (5, /) iznos prihoda stavljaju sa predznakom minus. Zatim, u narednim koracima, biramo minimalni troškovi između dva moguća prelaza su upisana u krug date tačke, a odgovarajuće kontrole u ovom koraku su označene tačkastom strelicom. Istovremeno, Velmanove jednačine se rešavaju grafički u svakom koraku (slika 4.4).

Nakon uslovne optimizacije, dobićemo u tački (0, 0) minimalni trošak rada mašine u periodu od pet godina uz naknadnu prodaju: A min = 11 900. Zatim se konstruiše optimalna putanja, krećući se od tačke Dakle(0, 0) duž isprekidanih strelica u.?. Dobijamo skup tačaka: ((0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 1), (4, 2), (5, 3)), koji odgovara optimalnom kontrolu U "(u c , U‘, U U c , U c). Optimalan način rada

Operacija je da se mašina zameni novom početkom treće godine.

Dakle, označeni graf (mreža) omogućava vizuelno tumačenje proračunske šeme i rešavanje problema metodom dinamičkog programiranja.

Modeli dinamičkog programiranja i računski postupci su veoma fleksibilni u pogledu mogućnosti uključivanja razne modifikacije zadataka. Na primjer, sličan problem bi se mogao uzeti u obzir veliki broj opcije upravljanja, "popravka", "remont" itd. Svi ovi faktori mogu se uzeti u obzir pomoću računske šeme dinamičkog programiranja.

Ova usluga je za online rješavanje problema optimalne strategije nadogradnje opreme. Obično se u početnim podacima postavljaju sljedeći parametri:

• r(t) - trošak proizvoda proizvedenih tokom svake godine planskog perioda uz pomoć ove opreme;
• u(t) - godišnji troškovi vezani za rad opreme;
• s(t) - rezidualna vrijednost opreme;
• p - trošak nove opreme, uključujući troškove vezane za instalaciju, podešavanje, puštanje u rad opreme i ne mijenja se u ovom planskom periodu.

Ako cijena opreme nije precizirana, riješit će se problem troškova i zamjenskih funkcija (problem planiranja kapitalnih investicija).

Planiranje kapitalnih investicija.

Primjer #1. Odrediti optimalnu strategiju rada opreme za period od 6 godina, ako su u tabeli dati godišnji prihod r(t) i rezidualna vrijednost S(t) u zavisnosti od starosti, trošak nove opreme je P = 13, a starost opreme na početku operativnog perioda bila je 1 godina.

t	0	1	2	3	4	5	6
r(t)	8	7	7	6	6	5	5
s(t)	12	10	8	8	7	6	4

Odluka.
I stage. Uslovna optimizacija(k = 6.5.4.3.2.1).
Varijabilna kontrola uključena k-ti korak je logička varijabla koja može imati jednu od dvije vrijednosti: zadržati (C) ili zamijeniti (C) opremu na početku k-te godine.
1. korak: k = 6. Za 1. korak moguća stanja sistema su t = 1,2,3,4,5,6, a funkcionalne jednačine su:
F 6 (t) = max(r(t), (C); S(t) - P + r(0), (3))
F 6 (1) = max (7; 10 - 13 + 8) = 7 (C)
F 6 (2) = max (7; 8 - 13 + 8) = 7 (C)
F 6 (3) = max (6; 8 - 13 + 8) = 6 (C)
F 6 (4) = max (6; 7 - 13 + 8) = 6 (C)
F 6 (5) = max (5; 6 - 13 + 8) \u003d 5 (C)
F 6 (6) = max (5; 4 - 13 + 8) = 5 (C)
2. korak: k = 5. Za 2. korak moguća stanja sistema su t = 1,2,3,4,5, a funkcionalne jednačine su:
F 5 (t) = max(r(t) + F 6 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 6 (1))
F 5 (1) = max (7 + 7; 10 - 13 + 8 + 7) = 14 (C)
F 5 (2) = max (7 + 6; 8 - 13 + 8 + 7) = 13 (C)
F 5 (3) = max(6 + 6 ; 8 - 13 + 8 + 7) = 12 (C)
F 5 (4) = max (6 + 5; 7 - 13 + 8 + 7) = 11 (C)
F 5 (5) = max(5 + 5 ; 6 - 13 + 8 + 7) = 10 (C)
F 5 (6) = max (5 +; 4 - 13 + 8 + 7) = 6 (Z)
3. korak: k = 4. Za 3. korak moguća stanja sistema su t = 1,2,3,4, a funkcionalne jednačine su:
F 4 (t) = max(r(t) + F 5 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 5 (1))
F 4 (1) = max (7 + 13; 10 - 13 + 8 + 14) = 20 (C)
F 4 (2) = max (7 + 12; 8 - 13 + 8 + 14) = 19 (C)
F 4 (3) = max (6 + 11; 8 - 13 + 8 + 14) = 17 (C / W)
F 4 (4) \u003d max (6 + 10; 7 - 13 + 8 + 14) = 16 (C / W)
F 4 (5) = max (5 + 6; 6 - 13 + 8 + 14) \u003d 15 (Z)
F 4 (6) = max (5 +; 4 - 13 + 8 + 14) = 13 (Z)
4. korak: k = 3. Za 4. korak moguća stanja sistema su t = 1,2,3, a funkcionalne jednačine su:
F 3 (t) = max(r(t) + F 4 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 4 (1))
F 3 (1) = max (7 + 19; 10 - 13 + 8 + 20) = 26 (C)
F 3 (2) = max (7 + 17; 8 - 13 + 8 + 20) = 24 (C)
F 3 (3) = max (6 + 16; 8 - 13 + 8 + 20) = 23 (Z)
F 3 (4) = max (6 + 15; 7 - 13 + 8 + 20) = 22 (Z)
F 3 (5) = max (5 + 13; 6 - 13 + 8 + 20) = 21 (Z)
F 3 (6) = max (5 +; 4 - 13 + 8 + 20) = 19 (Z)
5. korak: k = 2. Za 5. korak moguća stanja sistema su t = 1.2, a funkcionalne jednačine su:
F 2 (t) = max(r(t) + F 3 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 3 (1))
F 2 (1) \u003d max (7 + 24; 10 - 13 + 8 + 26) = 31 (C / W)
F 2 (2) = max (7 + 23; 8 - 13 + 8 + 26) = 30 (C)
F 2 (3) = max (6 + 22; 8 - 13 + 8 + 26) = 29 (Z)
F 2 (4) = max (6 + 21; 7 - 13 + 8 + 26) = 28 (Z)
F 2 (5) = max (5 + 19; 6 - 13 + 8 + 26) = 27 (Z)
F 2 (6) = max (5 +; 4 - 13 + 8 + 26) = 25 (Z)
6. korak: k = 1. Za 6. korak moguća stanja sistema su t = 1, a funkcionalne jednadžbe su:
F 1 (t) = max(r(t) + F 2 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 2 (1))
F 1 (1) = max (7 + 30; 10 - 13 + 8 + 31) = 37 (C)
F 1 (2) = max (7 + 29; 8 - 13 + 8 + 31) = 36 (C)
F 1 (3) \u003d max (6 + 28; 8 - 13 + 8 + 31) = 34 (C / W)
F 1 (4) \u003d max (6 + 27; 7 - 13 + 8 + 31) = 33 (C / W)
F 1 (5) = max (5 + 25; 6 - 13 + 8 + 31) \u003d 32 (Z)
F 1 (6) = max (5 +; 4 - 13 + 8 + 31) = 30 (Z)
Rezultati proračuna prema Bellmanovim jednačinama F k (t) prikazani su u tabeli, u kojoj je k godina rada, a t starost opreme.
Tabela - Matrica maksimalnog profita

k / t	1	2	3	4	5	6
1	37	36	34	33	32	30
2	31	30	29	28	27	25
3	26	24	23	22	21	19
4	20	19	17	16	15	13
5	14	13	12	11	10	6
6	7	7	6	6	5	5

U tabeli je istaknuta vrijednost funkcije koja odgovara stanju (Z) - zamjena opreme.
Prilikom rješavanja ovog problema, u nekim tabelama prilikom evaluacije izbora prava kontrola primili smo iste vrijednosti F za obje opcije upravljanja. U tom slučaju, u skladu sa algoritmom za rješavanje ovakvih problema, potrebno je odabrati kontrolu očuvanja opreme.
II faza. Bezuslovna optimizacija(k = 6.5.4.3.2.1).
Prema stanju zadatka, starost opreme je t 1 =1 godina. Planirani period N=6 godina.
Do početka 1. godine rada, starost opreme će se povećati za jedan i iznosit će: t 1 = t 0 + 1 = 0 + 1 = 1. Dobit će biti F 1 (1) \ u003d 37.
Optimalna kontrola za k = 1, x 1 (1) = (C), tj. maksimalni prihod od 1. do 6. godine ostvaruje se ako je oprema očuvana, tj. nije zamijenjen.
Do početka 2. godine rada, starost opreme će se povećati za jedan i iznosit će: t 2 = t 1 + 1 = 1 + 1 = 2. Dobit će biti F 2 (2) \ u003d 30.
Optimalna kontrola za k = 2, x 2 (2) = (C), tj. maksimalni prihod od 2. do 6. godine postiže se ako se zadrži oprema, tj. nije zamijenjen.
Do početka 3. godine rada, starost opreme će se povećati za jedan i iznosit će: t 3 = t 2 + 1 = 2 + 1 = 3. Dobit će biti F 3 (3) \ u003d 23.
Bezuslovno optimalno upravljanje za k = 3, x 3 (3)=(3), tj. kako bi se maksimizirao profit u preostalim godinama, potrebno je ove godine zamijeniti opremu.
Do početka 4. godine rada, starost opreme će se povećati za jedan i iznosit će: t 4 = t 3 + 1 = 0 + 1 = 1. Dobit će biti F 4 (1) \ u003d 20.
Optimalna kontrola za k = 4, x 4 (1) = (C), tj. maksimalni prihod od 1. do 6. godine ostvaruje se ako je oprema očuvana, tj. nije zamijenjen.
Do početka 5. godine rada, starost opreme će se povećati za jedan i iznosit će: t 5 = t 4 + 1 = 1 + 1 = 2. Dobit će biti F 5 (2) \ u003d 13.
Optimalna kontrola za k = 5, x 5 (2) = (C), tj. maksimalni prihod od 2. do 6. godine postiže se ako se zadrži oprema, tj. nije zamijenjen.
Do početka 6. godine rada, starost opreme će se povećati za jedan i iznosit će: t 6 = t 5 + 1 = 2 + 1 = 3. Dobit će biti F 6 (3) \ u003d 6.
Optimalna kontrola za k = 6, x 6 (3) = (C), tj. maksimalni prihod za 3. do 6. godinu ostvaruje se ako je oprema očuvana, tj. nije zamijenjen.
F 1 (1) → (C) → F 2 (2) → (C) → F 3 (3) → (Z)→ F 4 (1) → (C) → F 5 (2) → (C) → F 6 (3) → (C) →
Dakle, za 6 godina rada opreme, zamjena se mora izvršiti na početku 3. godine rada.

Primjer #2. Problem planiranja kapitalnih investicija. Interval planiranja T=5 godina. Funkcija troškova popravka i dalji rad K(t)=t+2t 2 (str.); zamjenska funkcija P(t)=10+0,05t 2 (str.). Odrediti optimalnu strategiju zamjene i popravke za novu opremu (t=0) i opremu starosti t=1, t=2, t=3.
Odrediti optimalne planirane troškove za godine petogodišnjeg plana, ako je količina opreme prema starosne grupe sljedeće: n(t=0)=10, n(t=1)=12, n(t=2)=8, n(t=3)=5