Paralelepiped je jednak proizvodu dužine. Formule za pronalaženje zapremine paralelepipeda

POGLAVLJE TREĆE

POLIEDRALI

II VOLUM PRIZME I PIRAMIDE

82. Ključne pretpostavke obima. Veličina dijela prostora koji zauzima geometrijsko tijelo naziva se volumen ovog tijela.

Postavili smo zadatak - pronaći izraz za ovu vrijednost u obliku nekog broja koji mjeri ovu vrijednost. Pri tome ćemo se voditi sljedećim polazištima:

1) Jednaka tijela imaju jednake zapremine.

2) Volumen tijela(na primjer, svaki paralelepiped prikazan na slici 87), sastavljena od delova(P i Q), jednak je zbiru zapremina ovih delova.

Dva tijela koja imaju isti volumen nazivaju se jednaka.

83. Jedinica zapremine. Za jedinicu zapremine, kada ih mere, uzimaju zapreminu takve kocke, u kojoj je svaka ivica jednaka linearnoj jedinici. Dakle, uobičajeni su kubni metri (m 3), kubni centimetri (cm 3) itd.

Zapremina kutije

84. Teorema.Zapremina pravokutnog paralelepipeda jednaka je proizvodu njegove tri dimenzije.

U ovako kratkom izrazu ovu teoremu treba shvatiti na sljedeći način: broj koji izražava zapreminu pravokutnog paralelepipeda u kubičnoj jedinici jednak je proizvodu brojeva koji izražavaju njegove tri dimenzije u odgovarajućoj linearnoj jedinici, tj. u jedinici koja je ivica kocke, čiji se volumen uzima kao kubna jedinica. Sta ako X je broj koji izražava zapreminu kvadra u kubnim centimetrima, i a, b i sa-brojeve koji izražavaju njegove tri dimenzije u linearnim centimetrima, tada teorema kaže da x=abc.

U dokazu posebno razmatramo sljedeća tri slučaja:

1) Mjerenja su izražena cijeli brojevi.

Neka su, na primjer, mjerenja (slika 88): AB = a, BC = b i BD= c,
gdje a, b i sa- neki cijeli brojevi (na primjer, kao što je prikazano na našem crtežu: a = 4, b= 2 i sa= 5). Tada osnova paralelepipeda sadrži ab takvi kvadrati, od kojih svaki predstavlja odgovarajuću kvadratnu jedinicu. Na svaki od ovih kvadrata, očigledno, može se postaviti jedna kubna jedinica. Zatim dobijete sloj (prikazano na crtežu) koji se sastoji od ab kubne jedinice. Pošto je visina ovog sloja jednaka jednoj linearnoj jedinici, a visina čitavog okvira sadrži sa takve jedinice, onda se može staviti unutar paralelepipeda sa takvih slojeva. Dakle, zapremina ovog paralelepipeda je abc kubne jedinice.

2) Mjerenja su izražena razlomci brojeva. Neka dimenzije kutije budu:

m / n , str / q , r / s

. (Neki od ovih razlomaka mogu biti jednaki cijelom broju.) Svodeći razlomke na isti imenilac, imamo:

mqs / nqs , pns / nqs , rnq / nqs

Uzmimo 1 / nqs dio linearne jedinice za novu (pomoćnu) jedinicu dužine. Zatim, u ovoj novoj mjernoj jedinici ovog paralelepipeda, oni će biti izraženi kao cijeli brojevi, odnosno: mqs, pns i rnq, pa je prema onome što je dokazano (u slučaju 1), zapremina paralelepipeda jednaka umnošku ( mqs) (pns) (rnq) ako se ovaj volumen mjeri novom kubnom jedinicom koja odgovara novoj linearnoj jedinici. Takve kubične jedinice u jednoj kubičnoj jedinici koja odgovara bivšoj linearnoj jedinici sadrži ( nqs) 3 ; tako da je nova kubična jedinica 1 /( nqs) 3 od prethodnog. Dakle, zapremina paralelepipeda, izražena u istim jedinicama, jednaka je:

3) Mjerenja su izražena iracionalni brojevi. Neka ovaj paralelepiped (slika 89), koji radi kratkoće označavamo jednim slovom Q, ima mjere:

AB = α; AC = β; AD = γ,

gdje su svi brojevi α, β i γ ili samo neki od njih iracionalni.

Svaki od brojeva α, β i γ može se predstaviti kao beskonačna decimala. Uzmimo približne vrijednosti ovih razlomaka sa P decimala, prvo sa manjkom, a zatim sa viškom. Vrijednosti s nedostatkom će biti označene sa α n , β n , γ n, vrijednosti sa viškom α" n , β" n , γ" n. Nacrtajmo na rubu AB, počevši od tačke A, dva segmenta AB 1 = α n i AB 2 \u003d α " n.
Na ivici AC iz iste tačke A crtamo segmente AC 1 = β n i AC 2 = β" n i na ivici AD iz istog segmenta tačke AD 1 = γ n i AD 2 = γ" n.

Pritom ćemo imati:

AB 1< АВ < АВ 2 ; АС 1 < АС < АС 2 ; AD 1 < AD < AD 2 .

Konstruirajmo sada dva pomoćna paralelepipeda; jedan (nazovimo ga Q 1) sa merama AB 1 , AC 1 i AD 1 i drugi (nazovimo ga Q 2 ) sa merenjima AB 2 , AC 2 i AD 2 . Kutija Q 1 će stati u kutiju Q, a kutija Q 2 će sadržavati kutiju Q.

Prema onome što je dokazano (u slučaju 2) imaćemo:

volumen Q 1 \u003d α n β n γ n (1)

volumen Q 2 \u003d α " n β" n γ" n (2)

Nazovimo volumen Q 1< объёма Q 2 .

Počnimo da povećavamo broj P. To znači da sve točnije uzimamo približne vrijednosti brojeva α, β, γ.

Pogledajmo kako se u ovom slučaju mijenjaju zapremine paralelepipeda Q 1 i Q 2.

Uz neograničeno povećanje P volumen Q 1 očigledno raste i, na osnovu jednakosti (1), sa beskonačnim povećanjem n ima za granicu granicu proizvoda (α n β n γ n). Volumen Q 2 očigledno opada i, na osnovu jednakosti (2), ima granicu proizvoda (α " n β" n γ" n). Ali iz algebre je poznato da oba proizvoda
α n β n γ n i α" n β" n γ" n sa neograničenim uvećanjem P imaju zajedničku granicu, koja je proizvod iracionalnih brojeva αβγ.

Ovu granicu uzimamo kao meru zapremine paralelepipeda Q: zapremina Q = αβγ.

Može se dokazati da ovako definisana zapremina zadovoljava uslove utvrđene za zapreminu (§ 82). Zaista, sa ovom definicijom zapremine, jednaki paralelepipedi očigledno imaju jednake zapremine. Dakle, prvi uslov (§ 82) je zadovoljen. Podijelimo sada ovaj paralelepiped Q na dva ravninom koja je paralelna njegovoj osnovi: Q 1 i Q 2 (slika 90).

Tada ćemo imati:

volumen Q \u003d AB AC AD,
volumen Q 1 \u003d AB AA 1 AD,
volumen Q 2 \u003d A 1 B 1 A 1 C A 1 D 1.

Dodajući član po član posljednje dvije jednakosti i primjećujući da A 1 B 1 = AB i A 1 D 1 = AD, dobivamo:

volumen Q 1 + volumen Q 2 = AB AA 1 AD + AB A 1 C AD = AB AD (AA 1 + A 1 C) = AB AD AC, odavde dobijamo:

zapremina Q 1 + zapremina Q 2 = zapremina Q.

Shodno tome, drugi uslov iz § 82 je takođe zadovoljen ako se paralelepiped presavije iz dva dela dobijena sečenjem ravnim koja je paralelna sa jednom od lica.

85. Posljedica. Neka se mjere pravokutnog paralelepipeda, koje služe kao stranice njegove baze, izraze brojevima a i b, a treća dimenzija (visina) je broj sa. Zatim, označavajući njegov volumen u odgovarajućim kubičnim jedinicama slovom V, možemo napisati:

V = abs.

Od posla ab izražava površinu baze, onda možemo reći da Volumen pravokutne prizme jednak je proizvodu površine baze i visine .

Komentar. Omjer dvije kubne jedinice različitih imena jednak je trećoj potenciji omjera onih linearnih jedinica koje služe kao rubovi za te kubne jedinice. Dakle, omjer kubnog metra i kubnog decimetra je 10 3, tj. 1000. Stoga, na primjer, ako imamo kocku sa dužinom ivice a linearne jedinice i još jednu kocku sa ivicom dužine 3 a linearnih jedinica, tada će odnos njihovih zapremina biti jednak 3 3, tj. 27, što se jasno vidi iz crteža 91.

86. Lema. Kosa prizma jednaka je takvoj pravoj prizmi čija je osnova jednaka okomitom presjeku nagnute prizme, a visina je jednaka njenoj bočnoj ivici.

Neka je data kosa prizma ABCDEA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 (slika 92).

Nastavimo sve njegove bočne ivice i bočne strane u istom smjeru.

Uzmite proizvoljnu tačku na nastavku jedne od ivica a i kroz njega nacrtajte okomiti presjek abcde. Zatim, odlaganje aa 1 \u003d AA 1, prođimo a 1 okomiti presjek a 1 b 1 c 1 d 1 e jedan . Pošto su ravni oba preseka paralelne, onda bb 1 = ss 1 = dd 1 = ona 1 = aa 1 = AA 1 (§17). Kao rezultat, poliedar a 1 d, za koji su sekcije koje smo nacrtali uzeti kao baze, je direktna prizma, koja se spominje u teoremi.

Dokažimo da je data kosa prizma jednaka ovoj pravoj liniji. Da bismo to učinili, prvo se uvjerimo da su poliedri a D i a 1 D 1 su jednaki. njihove osnove abcde i a 1 b 1 c 1 d 1 e 1 jednake su kao osnovice prizme a 1 d; s druge strane, dodajući oba dijela jednakosti A 1 A = a 1 a duž istog segmenta A 1 a, dobijamo: a A = a 1 A 1 ; Volim ovo b B = b 1 u 1, sa C = sa 1 C 1, itd. Zamislimo sada da je poliedar a D je ugrađen u poliedar a 1 D 1 tako da im se baze poklapaju; tada će se bočne ivice, koje su okomite na baze i shodno tome jednake, također poklopiti; pa poliedar a D je kompatibilan sa poliedrom a 1 D 1 ; pa su ova tela jednaka. Sada imajte na umu da ako je na ravnu prizmu a 1 d dodati poliedar a D, i kosoj prizmi A 1 D dodajte poliedar a 1 D 1 jednako a D, onda dobijamo isti poliedar a 1 D. Slijedi da su dvije prizme A 1 D i a 1 d su jednaki.

87. Teorema. Volumen paralelepipeda jednak je proizvodu površine baze i visine.

Ranije smo dokazali ovu teoremu za pravougli paralelepiped, sada ćemo to dokazati za pravougli paralelepiped, a zatim i za kosi.

jedan). Neka je (slika 93) AC 1 pravi paralelepiped, tj. onaj čija je osnova ABCD neka vrsta paralelograma, a sve bočne strane su pravougaonici.

Uzmimo u njemu za bazu bočnu stranu AA 1 B 1 B; onda će paralelepiped biti
n a k l o n n y. Smatrajući ga posebnim slučajem kosih prizme, možemo na osnovu leme iz prethodnog stava tvrditi da je ovaj paralelepiped po veličini jednak takvom desnom paralelepipedu čija je osnova okomit presjek MNPQ, a visina BC. Četvorougao MNPQ je pravougaonik jer su njegovi uglovi linearni uglovi pravih diedarskih uglova; dakle, pravi paralelepiped kojem je osnova pravougaonik MNPQ mora biti pravougaonog oblika i, prema tome, njegov volumen je jednak proizvodu njegove tri dimenzije, koje se mogu uzeti kao segmenti MN, MQ i BC. dakle,

volumen AC 1 \u003d MN MQ BC \u003d MN (MQ BC).

Ali proizvod MQ BC izražava površinu paralelograma ABCD, dakle

volumen ACX \u003d (područje ABCD) MN = (područje ABCD) BB 1.

2) Neka je (slika 94) AC 1 nagnuti paralelepiped.

Po veličini je jednaka takvoj pravoj liniji, u kojoj kao osnova služi okomit presjek MNPQ (odnosno okomit na ivice AD, BC, . . .), a visina je ivica BC. Ali, prema onome što je dokazano, zapremina pravog paralelepipeda jednaka je proizvodu površine osnove i visine; znači,

volumen AC 1 \u003d (područje MNPQ) BC.

Ako je RS visina presjeka MNPQ, onda je površina MNPQ = MQ RS, dakle

volumen AC 1 = MQ RS BC = (BC MQ) RS.

Proizvod BC MQ izražava površinu paralelograma ABCD; dakle, volumen AC 1 \u003d (područje ABCOD) RS.

Sada ostaje dokazati da je segment RS visina paralelepipeda. Zaista, presjek MNPQ, koji je okomit na ivice BC, B 1 C 1 , .. . , mora biti okomita na lica ABCD, BB 1 C 1 C, .... koja prolaze kroz ove ivice (§ 43). Dakle, ako postavimo okomitu na ravan ABCD iz tačke S, onda ona mora u potpunosti ležati u ravni MNPQ (§ 44) i, prema tome, mora se spojiti sa pravom RS, koja leži u ovoj ravni i okomita je na MQ. Dakle, segment SR je visina paralelepipeda. Dakle, volumen i nagnuti paralelepiped jednak je proizvodu površine baze i visine.

Posljedica. Ako su V, B i H brojevi koji u odgovarajućim jedinicama izražavaju zapreminu, površinu osnove i visinu paralelepipeda, onda možemo pisati.

Slike na slici 175, a i b sastoje se od jednakog broja identičnih kocki. O takvim brojkama može se reći da su njihove tomovi su jednaki. Pravougaoni paralelepipedi prikazani na slici 175, c i d, sastoje se od 18 odnosno 9 identičnih kocki. Stoga možemo reći da je volumen prvog od njih dvostruko veći od volumena drugog.

Sa takvom vrijednošću kao što je zapremina, često se susrećete u svakodnevnom životu: zapremina rezervoara za gorivo, zapremina bazena, zapremina učionice, indikatori potrošnje gasa ili vode na brojilima itd.

Iskustvo vam govori da jednaki kontejneri imaju jednake zapremine. Na primjer, identične bačve imaju jednaku zapreminu.

Ako je posuda podijeljena na nekoliko dijelova, tada je volumen cijelog spremnika jednak zbroju volumena njegovih dijelova. Na primjer, zapremina hladnjaka s dvije komore jednaka je zbroju volumena njegovih komora.

Ovi primjeri ilustruju sljedeće svojstva zapremine oblika.

1) Jednake figure imaju jednake zapremine.

2) Zapremina figure jednaka je zbiru zapremina figura od kojih se sastoji.

Kao iu slučaju drugih veličina (dužina, površina), morate unijeti jedinicu zapremine.

Za jedinicu mjerenja zapremine biram kocku čija je ivica jednaka jediničnom segmentu. Takva kocka se zove single.

kubni milimetar. Pišu 1 mm 3.

Zapremina kocke sa ivicom od 1 cm naziva se kubni centimetar. Oni pišu 1 cm 3.

Zapremina kocke sa ivicom od 1 mm naziva se kubni decimetar. Pišu 1 dm 3.

Kada se mjere zapremine tečnosti i gasova, naziva se 1 dm 3 litara. Napišite: 1 l. Dakle, 1 l = 1 dm 3.

Ako se zapremina crvene kocke (vidi sliku 175, e) uzme kao jedinica, tada su zapremine figura na slici 175, a, b, c i d, respektivno, 5, 5, 18 i 9 kubnih jedinice.

Ako su dužina, širina i visina pravougaonog paralelepipeda 5 cm, 6 cm, 4 cm, onda se ovaj paralelepiped može podijeliti na jedinične kocke 5 * 6 * 4 (sl. 176). Dakle, njegov volumen je 5 * 6 * 4 = 120 cm 3.

Zapremina pravokutnog paralelepipeda jednaka je proizvodu njegove tri dimenzije.

V=abc

gdje je V zapremina, a, b i c su mjere kvadra izražene u istim jedinicama.

Budući da su svi rubovi kocke jednaki, njen volumen se izračunava po formuli:

V = a 3

gdje je a dužina ivice kocke. Zato se treći stepen broja zove kocka broja.

Proizvod dužine a i širine b pravokutnog paralelepipeda jednak je površini S njegove osnove: S=ab(Sl. 177). Označimo visinu pravougaonog paralelepipeda slovom h. Tada je volumen V pravougaonog paralelepipeda V=abh.

V = abh = (ab)h = Sh.

Dakle, dobili smo još jednu formulu za izračunavanje volumena pravokutnog paralelepipeda:

V = Sh

Zapremina kvadra jednaka je proizvodu površine baze i visine.

Primjer. Kolika treba da bude visina rezervoara koji ima oblik pravougaonog paralelepipeda, tako da mu je zapremina 324 dm 3, a površina dna 54 dm 2?

Odluka. Iz formule V = Sh slijedi da je h = V: S. Tada se željena visina h spremnika može izračunati na sljedeći način:

h = 324 : 54 = 6 (dm).

Odgovor: 6 dm.

TEKST OBJAŠNJENJE ČASA:

Još od petog razreda znamo formulu za pronalaženje zapremine pravougaonog paralelepipeda. Danas ćemo se prisjetiti ove formule i dokazati teoremu "Obujam pravokutnog paralelepipeda"

Dokažimo teoremu: Zapremina pravokutnog paralelepipeda jednaka je proizvodu njegove tri dimenzije.

Dato: paralelepiped

a, b, c su njegove mjere.

V je zapremina paralelepipeda.

Dokazati: V = abc.

dokaz:

1. Neka su a, b, c konačni decimalni razlomci, gdje broj decimalnih mjesta nije veći od n (n > 1).

Zatim brojevi a. 10n, b. 10n, c. 10n su cijeli brojevi.

Podijelimo svaku ivicu paralelepipeda na jednake segmente dužine i povučemo ravnine okomite na rubove kroz podijeljene točke.

Paralelepiped će biti podijeljen na abc.103n jednake kocke sa ivicom. Nađimo da će zapremina svake male kocke biti jednaka jedinici podeljenoj sa deset na n-ti stepen, kub. Podizanjem brojnika i nazivnika u kocku dobijamo (jedinica u kocki je jedan, a 10 na n-ti stepen u kocki je 10 na stepen 3n) količnik jedinice i 10 na stepen od 3n.

Jer zapremina svake takve kocke je jednaka, a broj ovih kocki je abc puta, tada se zapremina kvadra nalazi množenjem broja kocki sa zapreminom male kocke. .

Smanjimo za 10 na stepen 3n, dobićemo da je volumen pravokutnog paralelepipeda jednak abc ili proizvodu njegove tri dimenzije.

Dakle, V=abc.

2. Dokažimo da ako je barem jedna od dimenzija a, b, c beskonačan decimalni razlomak, tada je volumen paralelepipeda također jednak proizvodu njegove tri dimenzije.

Neka su an, bn, cn konačni decimalni razlomci dobijeni iz brojeva a, b, pri čemu se u svakom od njih odbacuju sve cifre iza decimalnog zareza, počevši od (n + 1). Tada je a veće ili jednako a sa indeksom i manje ili jednako a sa indeksom n poteza

an< a < an",

gdje je n-ti udarac jednak zbroju n-tog i jedinice podijeljen sa deset na n-ti stepen =

za b i c, napiši slične nejednačine i zapiši ih jednu ispod druge

an< a < an"

bn< b < bn"

cn< c < cn",

Množenjem ove tri nejednakosti dobijamo: proizvod abc je veći ili jednak umnošku n-og sa b n-im i c n-tim i manjim ili jednak n-tom potezu sa b n-tim potezom i c n-tim potezom:

anbncn abc< an"bn"cn". (1)

Kao što je dokazano u stavu 1., lijeva strana je zapremina paralelepipeda sa stranicama anbncn, odnosno Vn, a desna je zapremina paralelepipeda sa stranicama "bn" cn", odnosno Vn".

Jer kutija P, odnosno kutija dimenzija a, b, c, sadrži kutiju Pn, odnosno kutiju sa stranicama an, bn, cn, a sama se nalazi u kutiji Pn", tj. kutija sa stranicama an", bn", cn" tada je volumen V paralelepipeda P zatvoren između Vn = anbncn i Vn "= an"bn"cn",

one. anbncn< V < an"bn"cn". (2)

Sa neograničenim povećanjem n, broj količnika jedinice i 10 na stepen od 3n postat će proizvoljno mali, pa će se brojevi anbncn i an"bn"cn" proizvoljno malo razlikovati jedan od drugog. Dakle, broj V se proizvoljno malo razlikuje od broja abc, pa su jednaki:

V=abc. Teorema je dokazana.

Zaključak 1. Zapremina pravokutnog paralelepipeda jednaka je proizvodu površine osnove i visine.

Osnova kvadra je pravougaonik. Neka je dužina pravougaonika a, a širina b, označimo visinu kao h=c. Zatim tražimo površinu pravokutnika koristeći formulu. Zamjenjujemo u formulu za pronalaženje volumena V = abc umjesto proizvoda koji upisujemo. Dobijamo formulu

Rezultat 2. Zapremina prave prizme čija je osnova pravokutni trokut jednaka je proizvodu površine osnove i visine.

Za pravougaonu prizmu, ugao A u osnovi je pravi. Napravimo pravougaonu prizmu od pravougaonog paralelepipeda (vidi crtež). Pravokutni kvadar se sastoji od dvije pravokutne prizme koje su jednake jer imaju jednake osnove i visine. Prema tome, površina pravokutnika jednaka je dvjema površinama pravokutnih trokuta ABC. Dakle, zapremina pravokutne prizme jednaka je polovini zapremine pravokutnog paralelepipeda (kada se pomnoži) ili umnošku osnove pravougaonika trougao po visini.

Zadatak 1. Nađite zapreminu poliedra prikazanog na slici (svi diedarski uglovi su pravi).

Tražimo volumen pravokutnog paralelepipeda po formuli:

Ova figura se sastoji od dva pravougaona paralelepipeda.

Neka je zapremina punog paralelepipeda dimenzija 4, 3, 3. Tada je ovo zapremina malog „isječenog“ paralelepipeda dimenzija 3, 1, 1.

Da biste pronašli volumen poliedra, morate pronaći razliku između volumena V1 i V2

Pronalazimo volumen V1 kao proizvod njegovih mjerenja, označavamo ih kao a1, b1, c1, dobivamo njegov volumen jednak

Za mali „izrezani“ paralelepiped, volumen V2 je jednak proizvodu njegovih mjerenja, označavamo ih kao a2, b2, c2, tada dobijamo

Sada nalazimo zapreminu poliedra V kao razliku između V1 i V2, dobijamo V=

Odgovor: V poliedra je 33

Jednostavno rečeno, to je povrće kuhano u vodi po posebnoj recepturi. Razmotrit ću dvije početne komponente (salata od povrća i voda) i gotov rezultat - boršč. Geometrijski, ovo se može predstaviti kao pravougaonik u kojem jedna strana označava zelenu salatu, a druga vodu. Zbir ove dvije strane označava boršč. Dijagonala i površina takvog pravokutnika "boršč" su čisto matematički koncepti i nikada se ne koriste u receptima za boršč.

Kako se zelena salata i voda pretvaraju u boršč u matematičkom smislu? Kako se zbir dva segmenta može pretvoriti u trigonometriju? Da bismo ovo razumjeli, potrebne su nam funkcije linearnog ugla.

Nećete naći ništa o funkcijama linearnog ugla u udžbenicima matematike. Ali bez njih ne može biti matematike. Zakoni matematike, kao i zakoni prirode, funkcionišu bez obzira da li znamo da postoje ili ne.

Linearne ugaone funkcije su zakoni sabiranja. Pogledajte kako se algebra pretvara u geometriju, a geometrija u trigonometriju.

Je li moguće bez linearnih ugaonih funkcija? Možete, jer matematičari se i dalje snalaze bez njih. Trik matematičara je u tome što nam uvijek govore samo o onim problemima koje sami mogu riješiti, a nikada nam ne govore o onim problemima koje ne mogu riješiti. Vidi. Ako znamo rezultat sabiranja i jednog člana, koristimo oduzimanje da pronađemo drugi član. Sve. Druge probleme ne poznajemo i nismo u stanju da ih rešimo. Šta učiniti ako znamo samo rezultat sabiranja, a ne znamo oba pojma? U ovom slučaju, rezultat sabiranja se mora razložiti na dva člana korištenjem linearnih kutnih funkcija. Nadalje, sami biramo šta može biti jedan pojam, a linearne ugaone funkcije pokazuju kakav bi trebao biti drugi član da bi rezultat sabiranja bio upravo ono što nam treba. Može postojati beskonačan broj takvih parova pojmova. U svakodnevnom životu se jako dobro snalazimo bez razlaganja zbira, dovoljno nam je oduzimanje. Ali u naučnim studijama zakona prirode, proširenje sume u termine može biti veoma korisno.

Još jedan zakon sabiranja o kome matematičari ne vole da govore (još jedan njihov trik) zahteva da termini imaju istu jedinicu mere. Za zelenu salatu, vodu i boršč, to mogu biti jedinice težine, zapremine, cijene ili jedinice mjere.

Na slici su prikazana dva nivoa razlike za matematiku. Prvi nivo su razlike u polju brojeva koje su naznačene a, b, c. To rade matematičari. Drugi nivo su razlike u području mjernih jedinica koje su prikazane u uglastim zagradama i označene slovom U. To rade fizičari. Možemo razumjeti treći nivo - razlike u obimu opisanih objekata. Različiti objekti mogu imati isti broj istih jedinica mjere. Koliko je to važno, vidimo na primjeru boršč trigonometrije. Ako dodamo indekse u istu notaciju za mjerne jedinice različitih objekata, možemo tačno reći koja matematička veličina opisuje određeni objekt i kako se mijenja tokom vremena ili u vezi s našim djelovanjem. pismo W Vodu ću označiti slovom S Salatu ću označiti slovom B- boršč. Evo kako bi izgledale funkcije linearnog ugla za boršč.

Ako uzmemo dio vode i dio salate, zajedno će se pretvoriti u jednu porciju boršča. Ovdje predlažem da se malo odmorite od boršča i prisjetite se svog dalekog djetinjstva. Sjećate se kako su nas učili da spajamo zečiće i patke? Trebalo je pronaći koliko će životinja ispasti. Šta smo onda učili da radimo? Učili su nas da odvajamo jedinice od brojeva i sabiramo brojeve. Da, bilo koji broj se može dodati bilo kojem drugom broju. Ovo je direktan put ka autizmu savremene matematike - ne razumijemo šta, nije jasno zašto, a vrlo slabo razumijemo kako se to odnosi na stvarnost, jer od tri nivoa razlike matematičari operišu samo na jednom. Bit će ispravnije naučiti kako prijeći s jedne mjerne jedinice na drugu.

I zečići, i patke, i male životinje mogu se izbrojati u komadima. Jedna zajednička mjerna jedinica za različite objekte nam omogućava da ih saberemo. Ovo je dječja verzija problema. Pogledajmo sličan problem za odrasle. Šta dobijete kada dodate zečiće i novac? Ovdje postoje dva moguća rješenja.

Prva opcija. Određujemo tržišnu vrijednost zečića i dodajemo je raspoloživoj gotovini. Dobili smo ukupnu vrijednost našeg bogatstva u novcu.

Druga opcija. Broj zečića možete dodati broju novčanica koje imamo. Dobit ćemo iznos pokretne imovine u komadima.

Kao što vidite, isti zakon sabiranja vam omogućava da dobijete različite rezultate. Sve zavisi od toga šta tačno želimo da znamo.

Ali vratimo se našem boršu. Sada možemo vidjeti što će se dogoditi za različite vrijednosti ugla funkcija linearnog ugla.

Ugao je nula. Imamo salatu, ali nemamo vodu. Ne možemo da kuvamo boršč. Količina boršča je također nula. To uopće ne znači da je nula boršča jednaka nuli vode. Zero borsch može biti i na nula salate (pravi ugao).

Za mene lično, ovo je glavni matematički dokaz činjenice da . Nula ne mijenja broj kada se doda. To je zato što je samo zbrajanje nemoguće ako postoji samo jedan član, a drugi član nedostaje. Možete se odnositi prema ovome kako hoćete, ali zapamtite - sve matematičke operacije s nulom izmislili su sami matematičari, pa odbacite svoju logiku i glupo trpajte definicije koje su izmislili matematičari: "podjela na nulu je nemoguće", "bilo koji broj pomnožen sa nulom jednako nuli" , "iza tačke nula" i ostale gluposti. Dovoljno je jednom zapamtiti da nula nije broj i nikada nećete imati pitanje da li je nula prirodan broj ili nije, jer takvo pitanje generalno gubi svaki smisao: kako se može smatrati brojem ono što nije broj . To je kao da pitate kojoj boji da pripišete nevidljivu boju. Dodavanje nule broju je kao slikanje bojom koja ne postoji. Mahali su suvim kistom i govorili svima da smo "farbali". Ali malo sam skrenuo pažnju.

Ugao je veći od nule, ali manji od četrdeset pet stepeni. Imamo puno zelene salate, ali malo vode. Kao rezultat, dobijamo gusti boršč.

Ugao je četrdeset pet stepeni. Imamo jednake količine vode i zelene salate. Ovo je savršeni boršč (neka mi kuvari oproste, to je samo matematika).

Ugao je veći od četrdeset pet stepeni, ali manji od devedeset stepeni. Imamo puno vode i malo zelene salate. Uzmi tečni boršč.

Pravi ugao. Imamo vodu. Ostale su samo uspomene na zelenu salatu, dok nastavljamo da merimo ugao od linije koja je nekada označavala salatu. Ne možemo da kuvamo boršč. Količina boršča je nula. U tom slučaju, sačekajte i pijte vodu dok je dostupna)))

Evo. Ovako nešto. Ovdje mogu ispričati druge priče koje će ovdje biti više nego primjerene.

Dva prijatelja su imala svoje udjele u zajedničkom poslu. Nakon ubistva jednog od njih, sve je otišlo na drugog.

Pojava matematike na našoj planeti.

Sve ove priče su ispričane jezikom matematike koristeći linearne ugaone funkcije. Neki drugi put ću vam pokazati pravo mjesto ovih funkcija u strukturi matematike. U međuvremenu, vratimo se na trigonometriju boršča i razmotrimo projekcije.

Subota, 26.10.2019

Gledao sam zanimljiv video o tome Grandijev red Jedan minus jedan plus jedan minus jedan - Numberphile. Matematičari lažu. Nisu izvršili test jednakosti u svom rasuđivanju.

Ovo rezonuje sa mojim rasuđivanjem o .

Pogledajmo pobliže znakove da nas matematičari varaju. Na samom početku rezonovanja, matematičari kažu da zbir niza ZAVISI od toga da li je broj elemenata u njemu paran ili ne. Ovo je OBJEKTIVNO UTVRĐENA ČINJENICA. Šta se dalje događa?

Zatim, matematičari oduzimaju niz od jedinice. čemu ovo vodi? To dovodi do promjene broja elemenata u nizu - paran broj se mijenja u neparan, a neparan u paran broj. Na kraju krajeva, nizu smo dodali jedan element jednak jednom. Unatoč svoj vanjskoj sličnosti, niz prije transformacije nije jednak nizu nakon transformacije. Čak i ako govorimo o beskonačnom nizu, moramo zapamtiti da beskonačan niz s neparnim brojem elemenata nije jednak beskonačnom nizu s parnim brojem elemenata.

Stavljajući znak jednakosti između dva niza različitog po broju elemenata, matematičari tvrde da zbir niza NE ZAVISI od broja elemenata u nizu, što je u suprotnosti sa OBJEKTIVNO UTVRĐENOM ČINJENICOM. Dalje razmišljanje o zbiru beskonačnog niza je pogrešno, jer se zasniva na lažnoj jednakosti.

Ako vidite da matematičari stavljaju zagrade u toku dokazivanja, preuređuju elemente matematičkog izraza, dodaju ili uklanjaju nešto, budite vrlo oprezni, najvjerovatnije vas pokušavaju prevariti. Poput čaranja karata, matematičari vam skreću pažnju raznim manipulacijama izraza kako bi vam na kraju dali lažni rezultat. Ako ne možete ponoviti kartaški trik a da ne znate tajnu varanja, onda je u matematici sve mnogo jednostavnije: čak ni ne sumnjate u varanje, ali ponavljanje svih manipulacija s matematičkim izrazom omogućava vam da uvjerite druge u ispravnost rezultata, baš kao kad su vas uvjerili.

Pitanje iz publike: A beskonačnost (kao broj elemenata u nizu S), da li je parna ili neparna? Kako možete promijeniti paritet nečega što nema paritet?

Beskonačnost za matematičare je kao carstvo nebesko za sveštenike - tamo niko nikada nije bio, ali svi tačno znaju kako sve tamo funkcioniše))) Slažem se, nakon smrti biće vam apsolutno svejedno da li ste živeli paran ili neparan broj dana , ali ... Dodajući samo jedan dan na početak vašeg života, dobićemo potpuno drugu osobu: njegovo prezime, ime i patronim je potpuno isti, samo je datum rođenja potpuno drugačiji - rođen je jedan dan prije tebe.

A sada na stvar))) Pretpostavimo da konačni niz koji ima paritet izgubi ovaj paritet kada ide u beskonačnost. Tada svaki konačni segment beskonačnog niza također mora izgubiti parnost. Mi to ne primećujemo. Činjenica da ne možemo sa sigurnošću reći da li je broj elemenata u beskonačnom nizu paran ili neparan uopšte ne znači da je parnost nestala. Paritet, ako postoji, ne može netragom nestati u beskonačnost, kao u rukavu oštrije karte. Postoji vrlo dobra analogija za ovaj slučaj.

Jeste li ikada pitali kukavicu koja sjedi u satu u kojem smjeru se okreće kazaljka na satu? Za nju, strelica se okreće u suprotnom smjeru od onoga što nazivamo "kazaljkom na satu". Možda zvuči paradoksalno, ali smjer rotacije ovisi isključivo o tome s koje strane promatramo rotaciju. I tako, imamo jedan točak koji se okreće. Ne možemo reći u kom pravcu se rotacija dešava, jer je možemo posmatrati i sa jedne i sa druge strane ravni rotacije. Možemo samo posvjedočiti da postoji rotacija. Potpuna analogija s paritetom beskonačnog niza S.

Sada dodajmo drugi rotirajući točak, čija je ravan rotacije paralelna ravnini rotacije prvog rotacionog točka. Još uvijek ne možemo točno odrediti u kojem smjeru se ovi kotači okreću, ali možemo sa apsolutnom sigurnošću reći da li se oba točka okreću u istom smjeru ili u suprotnim smjerovima. Poređenje dva beskonačna niza S i 1-S, pokazao sam uz pomoć matematike da ovi nizovi imaju različit paritet i stavljanje znaka jednakosti između njih je greška. Osobno vjerujem u matematiku, ne vjerujem matematičarima))) Usput, da bismo u potpunosti razumjeli geometriju transformacija beskonačnih nizova, potrebno je uvesti koncept "simultanost". Ovo će se morati nacrtati.

Srijeda, 07.08.2019

Završavajući razgovor o , Moramo razmotriti beskonačan skup. Dao u tome da koncept "beskonačnosti" djeluje na matematičare, kao boa constrictor na zeca. Drhtavi užas beskonačnosti lišava matematičare zdravog razuma. Evo primjera:

Izvorni izvor se nalazi. Alfa označava realan broj. Znak jednakosti u gornjim izrazima pokazuje da ako dodate broj ili beskonačnost beskonačnosti, ništa se neće promijeniti, rezultat će biti ista beskonačnost. Ako za primjer uzmemo beskonačan skup prirodnih brojeva, onda se razmatrani primjeri mogu predstaviti na sljedeći način:

Kako bi vizuelno dokazali svoj slučaj, matematičari su smislili mnogo različitih metoda. Ja lično na sve ove metode gledam kao na ples šamana s tamburama. U suštini, svi se svode na to da ili neke sobe nisu zauzete i da se u njih nastanjuju novi gosti, ili da se neki posetioci izbace u hodnik da se napravi mesta za goste (vrlo ljudski). Svoje viđenje takvih odluka iznio sam u obliku fantastične priče o Plavuši. Na čemu se zasniva moje rezonovanje? Premještanje beskonačnog broja posjetitelja traje beskonačno vrijeme. Nakon što napustimo prvu gostinjsku sobu, jedan od posetilaca će uvek hodati hodnikom od svoje sobe do sledeće do kraja vremena. Naravno, vremenski faktor se može glupo zanemariti, ali ovo će već biti iz kategorije "zakon nije pisan za budale". Sve zavisi od toga šta radimo: prilagođavamo stvarnost matematičkim teorijama ili obrnuto.

Šta je "beskonačan hotel"? Infinity gostionica je gostionica koja uvijek ima bilo koji broj slobodnih mjesta, bez obzira na to koliko je soba zauzeto. Ako su sve prostorije u beskrajnom hodniku "za posetioce" zauzete, postoji još jedan beskonačni hodnik sa sobama za "goste". Postojaće beskonačan broj takvih koridora. Istovremeno, "beskonačni hotel" ima beskonačan broj spratova u beskonačnom broju zgrada na beskonačnom broju planeta u beskonačnom broju univerzuma stvorenih od beskonačnog broja bogova. Matematičari, s druge strane, nisu u stanju da se odmaknu od banalnih svakodnevnih problema: Bog-Allah-Buda je uvijek samo jedan, hotel je jedan, hodnik je samo jedan. Tako matematičari pokušavaju da žongliraju sa serijskim brojevima hotelskih soba, ubeđujući nas da je moguće "gurnuti nepogurnute".

Pokazat ću vam logiku svog razmišljanja na primjeru beskonačnog skupa prirodnih brojeva. Prvo morate odgovoriti na vrlo jednostavno pitanje: koliko skupova prirodnih brojeva postoji - jedan ili više? Ne postoji tačan odgovor na ovo pitanje, pošto smo mi sami izmislili brojeve, u prirodi nema brojeva. Da, priroda zna savršeno računati, ali za to koristi druge matematičke alate koji nam nisu poznati. Kako priroda misli, reći ću vam drugi put. Pošto smo izmislili brojeve, sami ćemo odlučiti koliko skupova prirodnih brojeva postoji. Razmotrite obje opcije, kako i priliči pravom naučniku.

Opcija jedan. "Neka nam se da" jedan set prirodnih brojeva, koji mirno leži na polici. Uzimamo ovaj set sa police. To je to, nema drugih prirodnih brojeva na polici i nema ih gdje uzeti. Ne možemo ga dodati ovom skupu, jer ga već imamo. Šta ako zaista želiš? Nema problema. Možemo uzeti jedinicu iz seta koji smo već uzeli i vratiti je na policu. Nakon toga možemo uzeti jedinicu s police i dodati je onome što nam je ostalo. Kao rezultat, opet dobijamo beskonačan skup prirodnih brojeva. Sve naše manipulacije možete napisati ovako:

Napisao sam operacije u algebarskoj notaciji i zapisu teorije skupova, detaljno navodeći elemente skupa. Indeks označava da imamo jedan jedini skup prirodnih brojeva. Ispada da će skup prirodnih brojeva ostati nepromijenjen samo ako se od njega oduzme jedan i doda isti.

Opcija dva. Na polici imamo mnogo različitih beskonačnih skupova prirodnih brojeva. Naglašavam - RAZLIČITIH, uprkos tome što se praktično ne razlikuju. Uzimamo jedan od ovih setova. Zatim uzimamo jedan iz drugog skupa prirodnih brojeva i dodajemo ga skupu koji smo već uzeli. Možemo čak dodati dva skupa prirodnih brojeva. Evo šta dobijamo:

Podskripti "jedan" i "dva" označavaju da su ovi elementi pripadali različitim skupovima. Da, ako beskonačnom skupu dodate jedan, rezultat će također biti beskonačan skup, ali neće biti isti kao originalni skup. Ako se jedan beskonačan skup doda drugom beskonačnom skupu, rezultat je novi beskonačan skup koji se sastoji od elemenata prva dva skupa.

Skup prirodnih brojeva koristi se za brojanje na isti način kao i ravnalo za mjerenja. Sada zamislite da ste lenjiru dodali jedan centimetar. Ovo će već biti druga linija, ne jednaka originalu.

Možete prihvatiti ili ne prihvatiti moje obrazloženje - ovo je vaša stvar. Ali ako ikada naiđete na matematičke probleme, razmislite jeste li na putu lažnog rasuđivanja, kojim su kročile generacije matematičara. Uostalom, časovi matematike, prije svega, u nama formiraju stabilan stereotip mišljenja, a tek onda nam dodaju mentalne sposobnosti (ili obrnuto, uskraćuju nam slobodno mišljenje).

pozg.ru

Nedjelja, 04.08.2019

Pisao sam postscript za članak o i vidio sam ovaj divan tekst na Wikipediji:

Čitamo: "...bogata teorijska osnova matematike Babilona nije imala holistički karakter i bila je svedena na skup različitih tehnika, lišenih zajedničkog sistema i baze dokaza."

Vau! Koliko smo pametni i koliko dobro vidimo nedostatke drugih. Da li nam je slabo gledati modernu matematiku u istom kontekstu? Malo parafrazirajući gornji tekst, lično sam dobio sledeće:

Bogata teorijska osnova moderne matematike nema holistički karakter i svedena je na skup različitih sekcija, lišenih zajedničkog sistema i baze dokaza.

Neću ići daleko da bih potvrdio svoje riječi - ima jezik i konvencije koji se razlikuju od jezika i konvencija mnogih drugih grana matematike. Isti nazivi u različitim granama matematike mogu imati različita značenja. Želim da posvetim čitav ciklus publikacija najočitijim greškama moderne matematike. Vidimo se uskoro.

Subota 03.08.2019

Kako podijeliti skup na podskupove? Da biste to učinili, morate unijeti novu jedinicu mjere, koja je prisutna u nekim elementima odabranog skupa. Razmotrimo primjer.

Neka nas bude mnogo ALI koji se sastoji od četiri osobe. Ovaj skup je formiran na osnovu "ljudi" Označimo elemente ovog skupa kroz slovo a, indeks sa brojem će označavati redni broj svake osobe u ovom skupu. Hajde da uvedemo novu mjernu jedinicu "seksualna karakteristika" i označimo je slovom b. Pošto su seksualne karakteristike svojstvene svim ljudima, svaki element skupa umnožavamo ALI o rodu b. Obratite pažnju da je naš skup "ljudi" sada postao skup "ljudi sa rodom". Nakon toga, polne karakteristike možemo podijeliti na muške bm i ženski bw rodne karakteristike. Sada možemo primijeniti matematički filter: biramo jednu od ovih spolnih karakteristika, nije važno koja je muška ili ženska. Ako je prisutan u osobi, onda ga množimo sa jedan, ako nema takvog znaka, množimo ga sa nulom. A onda primjenjujemo uobičajenu školsku matematiku. Vidi šta se desilo.

Nakon množenja, redukcije i preuređivanja, dobili smo dva podskupa: muški podskup bm i podskup žena bw. Približno na isti način razmišljaju matematičari kada primjenjuju teoriju skupova u praksi. Ali oni nas ne izlažu detaljima, već nam daju gotov rezultat – „mnogo ljudi se sastoji od podgrupe muškaraca i podskupa žena“. Naravno, možda imate pitanje, koliko je pravilno primijenjena matematika u gornjim transformacijama? Usuđujem se da vas uvjerim da su transformacije u stvari urađene ispravno, dovoljno je znati matematičko opravdanje aritmetike, Bulove algebre i drugih dijelova matematike. Šta je to? Neki drugi put ću vam pričati o tome.

Što se tiče superskupova, moguće je kombinirati dva skupa u jedan superskup odabirom mjerne jedinice koja je prisutna u elementima ova dva skupa.

Kao što vidite, mjerne jedinice i uobičajena matematika čine teoriju skupova prošlošću. Znak da nije sve u redu sa teorijom skupova je to što su matematičari smislili svoj jezik i notaciju za teoriju skupova. Matematičari su radili ono što su nekada radili šamani. Samo šamani znaju kako "ispravno" primijeniti svoje "znanje". Ovom "znanju" nas uče.

U zaključku, želim da vam pokažem kako matematičari manipulišu
Recimo Ahilej trči deset puta brže od kornjače i hiljadu koraka je iza nje. Za vrijeme dok Ahilej pretrči ovu udaljenost, kornjača puzi stotinu koraka u istom smjeru. Kada Ahil pretrči stotinu koraka, kornjača puzi još deset koraka, i tako dalje. Proces će se nastaviti u nedogled, Ahilej nikada neće sustići kornjaču.

Ovo rezonovanje je postalo logičan šok za sve naredne generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Gilbert... Svi su oni, na ovaj ili onaj način, smatrali Zenonove aporije. Šok je bio toliko jak da je " ... rasprave se nastavljaju i sada, naučna zajednica još nije uspjela doći do zajedničkog mišljenja o suštini paradoksa ... matematička analiza, teorija skupova, novi fizički i filozofski pristupi uključeni su u proučavanje problematike ; nijedan od njih nije postao univerzalno prihvaćeno rješenje problema..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Svi razumiju da su prevareni, ali niko ne razumije u čemu je obmana.

Sa stanovišta matematike, Zenon je u svojim aporijama jasno pokazao prelazak sa vrednosti na. Ovaj prijelaz podrazumijeva primjenu umjesto konstanti. Koliko sam shvatio, matematički aparat za primjenu varijabilnih mjernih jedinica ili još nije razvijen, ili nije primijenjen na Zenonove aporije. Primjena naše uobičajene logike vodi nas u zamku. Mi, po inerciji mišljenja, primjenjujemo stalne jedinice vremena na recipročno. Sa fizičke tačke gledišta, ovo izgleda kao usporavanje vremena dok se potpuno ne zaustavi u trenutku kada Ahil sustigne kornjaču. Ako vrijeme stane, Ahil više ne može prestići kornjaču.

Ako okrenemo logiku na koju smo navikli, sve dolazi na svoje mjesto. Ahil trči konstantnom brzinom. Svaki naredni segment njegovog puta je deset puta kraći od prethodnog. Shodno tome, vrijeme utrošeno na njegovo savladavanje je deset puta manje od prethodnog. Ako u ovoj situaciji primijenimo koncept "beskonačnosti", tada bi bilo ispravno reći "Ahilej će beskrajno brzo prestići kornjaču."

Kako izbjeći ovu logičnu zamku? Ostanite u konstantnim jedinicama vremena i ne prelazite na recipročne vrijednosti. Na Zenonovom jeziku to izgleda ovako:

Za vrijeme koje je Ahileju potrebno da pretrči hiljadu koraka, kornjača puzi stotinu koraka u istom smjeru. Tokom sledećeg vremenskog intervala, jednakog prvom, Ahilej će pretrčati još hiljadu koraka, a kornjača će puzati sto koraka. Sada je Ahil osamsto koraka ispred kornjače.

Ovaj pristup na adekvatan način opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali ovo nije potpuno rješenje problema. Ajnštajnova izjava o nepremostivosti brzine svetlosti veoma je slična Zenonovoj aporiji "Ahilej i kornjača". Taj problem tek treba da proučimo, razmislimo i riješimo. A rješenje se mora tražiti ne u beskonačno velikim brojevima, već u mjernim jedinicama.

Još jedna zanimljiva Zenonova aporija govori o letećoj strijeli:

Leteća strela je nepomična, pošto u svakom trenutku miruje, a pošto miruje u svakom trenutku, uvek miruje.

U ovoj aporiji logički paradoks je prevaziđen vrlo jednostavno – dovoljno je razjasniti da u svakom trenutku vremena leteća strijela miruje u različitim tačkama prostora, što je, u stvari, kretanje. Ovdje treba napomenuti još jednu stvar. Iz jedne fotografije automobila na cesti nemoguće je utvrditi ni činjenicu njegovog kretanja, ni udaljenost do njega. Za utvrđivanje činjenice kretanja automobila potrebne su dvije fotografije snimljene iz iste tačke u različitim vremenskim trenucima, ali se ne mogu koristiti za određivanje udaljenosti. Da biste odredili udaljenost do automobila, potrebne su vam dvije fotografije snimljene iz različitih tačaka u prostoru u isto vrijeme, ali iz njih ne možete utvrditi činjenicu kretanja (naravno, još su vam potrebni dodatni podaci za proračune, trigonometrija će vam pomoći) . Ono što želim posebno da istaknem je da su dvije tačke u vremenu i dvije tačke u prostoru dvije različite stvari koje ne treba brkati jer pružaju različite mogućnosti za istraživanje.
Pokazat ću proces na primjeru. Odaberemo "crvenu čvrstu boju u bubuljici" - ovo je naša "cjelina". Istovremeno, vidimo da su ove stvari sa lukom, a postoje i bez luka. Nakon toga odaberemo dio "cjeline" i formiramo set "sa mašnom". Ovako se šamani hrane vezujući svoju teoriju skupova za stvarnost.

Hajde sada da napravimo mali trik. Uzmimo "čvrsto u bubuljicu sa mašnom" i ujedinimo ove "cjeline" po boji, odabirom crvenih elemenata. Imamo dosta "crvenih". Sada škakljivo pitanje: da li su primljeni setovi "sa mašnom" i "crvenim" isti set ili dva različita seta? Samo šamani znaju odgovor. Tačnije, oni sami ništa ne znaju, ali kako kažu, neka bude.

Ovaj jednostavan primjer pokazuje da je teorija skupova potpuno beskorisna kada je stvarnost u pitanju. u čemu je tajna? Formirali smo set "crvenih čvrstih bubuljica sa mašnicom". Formiranje se odvijalo prema četiri različite mjerne jedinice: boja (crvena), čvrstoća (puna), hrapavost (u kvržici), ukrasi (sa mašnom). Samo skup mjernih jedinica omogućava adekvatno opisivanje stvarnih objekata jezikom matematike. Evo kako to izgleda.

Slovo "a" sa različitim indeksima označava različite mjerne jedinice. U zagradama su istaknute mjerne jedinice prema kojima se u preliminarnoj fazi dodjeljuje "cjelina". Iz zagrada se vadi mjerna jedinica prema kojoj se formira skup. Posljednji red prikazuje konačni rezultat - element skupa. Kao što vidite, ako koristimo jedinice za formiranje skupa, onda rezultat ne ovisi o redoslijedu naših akcija. A ovo je matematika, a ne plesovi šamana s tamburama. Šamani mogu “intuitivno” doći do istog rezultata, argumentirajući to “očiglednošću”, jer jedinice mjere nisu uključene u njihov “naučni” arsenal.

Uz pomoć mjernih jedinica vrlo je lako razbiti jedan ili kombinirati nekoliko setova u jedan superset. Pogledajmo pobliže algebru ovog procesa.

Svako geometrijsko tijelo može se okarakterizirati površinom (S) i zapreminom (V). Površina i zapremina nisu ista stvar. Objekt može imati relativno mali V i veliki S, na primjer, ovako funkcionira ljudski mozak. Mnogo je lakše izračunati ove pokazatelje za jednostavne geometrijske oblike.

Paralelepiped: definicija, tipovi i svojstva

Paralelepiped je četvorougaona prizma sa paralelogramom u osnovi. Zašto bi vam mogla biti potrebna formula za pronalaženje volumena figure? Knjige, kutije za pakovanje i mnoge druge stvari iz svakodnevnog života imaju sličan oblik. Prostorije u stambenim i poslovnim zgradama, po pravilu, su pravougaoni paralelepipedi. Za ugradnju ventilacije, klimatizacije i određivanje broja grijaćih elemenata u prostoriji potrebno je izračunati volumen prostorije.

Figura ima 6 lica - paralelograma i 12 ivica, dva proizvoljno odabrana lica nazivaju se baze. Paralelepiped može biti nekoliko tipova. Razlike su uzrokovane uglovima između susjednih rubova. Formule za pronalaženje V-ova različitih poligona se malo razlikuju.

Ako su 6 lica geometrijske figure pravokutnici, onda se ona naziva i pravokutnom. Kocka je poseban slučaj paralelepipeda u kojem su svih 6 lica jednaki kvadrati. U ovom slučaju, da biste pronašli V, morate znati dužinu samo jedne strane i podići je na treći stepen.

Da biste riješili probleme, trebat će vam znanje ne samo o gotovim formulama, već i o svojstvima figure. Lista osnovnih svojstava pravougaone prizme je mala i vrlo lako razumljiva:

1. Suprotne strane figure su jednake i paralelne. To znači da su rebra koja se nalaze nasuprot jednaka po dužini i kutu nagiba.
2. Sve bočne strane pravog paralelepipeda su pravokutnici.
3. Četiri glavne dijagonale geometrijske figure seku se u jednoj tački i dijele je na pola.
4. Kvadrat dijagonale paralelepipeda jednak je zbiru kvadrata dimenzija figure (slijedi iz Pitagorine teoreme).

Pitagorina teorema kaže da je zbir površina kvadrata izgrađenih na katetama pravokutnog trokuta jednak površini trokuta izgrađenog na hipotenuzi istog trokuta.

Dokaz posljednjeg svojstva može se vidjeti na slici ispod. Tok rješavanja problema je jednostavan i ne zahtijeva detaljna objašnjenja.

Formula za volumen pravokutnog paralelepipeda

Formula za pronalaženje svih vrsta geometrijskih oblika je ista: V=S*h, gdje je V željeni volumen, S je površina osnove paralelepipeda, h je visina spuštena sa suprotnog vrha i okomita do baze. U pravougaoniku, h se poklapa s jednom od stranica figure, tako da da biste pronašli volumen pravokutne prizme, trebate pomnožiti tri mjerenja.

Zapremina se obično izražava u cm3. Poznavajući sve tri vrijednosti a, b i c, pronalaženje volumena figure nije nimalo teško. Najčešći tip problema u USE je traženje volumena ili dijagonale paralelepipeda. Nemoguće je riješiti mnoge tipične USE zadatke bez formule za volumen pravokutnika. Primjer zadatka i dizajn njegovog rješenja prikazan je na donjoj slici.

Napomena 1. Površina pravokutne prizme može se naći množenjem sa 2 zbroja površina triju strana figure: osnove (ab) i dvije susjedne bočne strane (bc + ac).

Napomena 2. Površina bočnih strana može se lako pronaći množenjem perimetra baze visinom paralelepipeda.

Na osnovu prvog svojstva paralelepipeda, AB = A1B1, a lice B1D1 = BD. Prema posljedicama Pitagorine teoreme, zbir svih uglova u pravokutnom trokutu jednak je 180°, a krak nasuprot kuta od 30° jednak je hipotenuzi. Primjenjujući ovo znanje za trokut, lako možemo pronaći dužinu stranica AB i AD. Zatim množimo dobijene vrijednosti ​​i izračunavamo volumen paralelepipeda.

Formula za pronalaženje volumena nagnute kutije

Da biste pronašli volumen nagnutog paralelepipeda, potrebno je pomnožiti površinu osnove figure visinom spuštenom na ovu osnovu iz suprotnog ugla.

Dakle, željeni V se može predstaviti kao h - broj listova sa površinom S baze, tako da se volumen špila sastoji od Vs svih karata.

Primjeri rješavanja problema

Zadaci pojedinačnog ispita moraju biti obavljeni u određenom roku. Tipični zadaci, po pravilu, ne sadrže veliki broj izračuna i složenih razlomaka. Često se učeniku nudi kako pronaći volumen nepravilne geometrijske figure. U takvim slučajevima treba zapamtiti jednostavno pravilo da je ukupna zapremina jednaka zbroju V-ova sastavnih dijelova.

Kao što možete vidjeti iz primjera na gornjoj slici, nema ništa komplicirano u rješavanju takvih problema. Zadaci iz složenijih dijelova zahtijevaju poznavanje Pitagorine teoreme i njenih posljedica, kao i formule za dužinu dijagonale figure. Za uspješno rješavanje testnih zadataka dovoljno je unaprijed se upoznati s uzorcima tipičnih zadataka.