Kako pronaći brzinu promjene funkcije. Derivat funkcije

Sada znamo da je trenutna brzina promjene N(Z) funkcije na Z = +2 -0,1079968336. To znači gore/dole tokom perioda, tako da kada je Z = +2, kriva N(Z) ide gore za -0,1079968336. Ova situacija je prikazana na slici 3-13.

Mjera "apsolutne" osjetljivosti može se nazvati brzinom promjene funkcije. Mjera osjetljivosti funkcije u datoj tački ("trenutačna brzina") naziva se izvod.

Možemo izmjeriti stepen apsolutne osjetljivosti varijable y na promjene varijable x ako definiramo omjer Ay/Ax. Nedostatak takve definicije osjetljivosti je u tome što ona ne ovisi samo o "početnoj" tački XQ, u odnosu na koju se razmatra promjena argumenta, već i o samoj vrijednosti intervala Dx na kojem se određuje brzina. . Da bi se otklonio ovaj nedostatak, uvodi se koncept derivacije (brzina promjene funkcije u tački). Prilikom određivanja brzine promjene funkcije u nekoj tački, tačke XQ i xj se dovode zajedno, težeći intervalu Dx na nulu. Brzina promjene funkcije f (x) u tački XQ i naziva se derivacija funkcije f (x) u tački x. Geometrijsko značenje brzine promjene funkcije u tački XQ je da je određen uglom nagiba tangente na graf funkcije u tački XQ. Izvod je tangenta nagiba tangente na graf funkcije.

Ako se derivacija y smatra stopom promjene funkcije /, tada je vrijednost y /y njena relativna stopa promjene. Prema tome, logaritamski izvod (In y)

Derivat u pravcu - karakteriše brzinu promene funkcije z - f (x, y) u tački MO (ZhO, UO) u pravcu

Stopa promjene funkcije relativna 124,188

Do sada smo razmatrali prvi izvod funkcije, koji vam omogućava da pronađete stopu promjene funkcije. Da bi se utvrdilo da li je stopa promjene konstantna, treba uzeti drugi izvod funkcije. Ovo je označeno kao

Ovdje i ispod, prost označava diferencijaciju tako da je h stopa promjene funkcije h u odnosu na povećanje viška ponude).

Mjera "apsolutne" osjetljivosti - stopa promjene funkcije (prosječna (omjer promjena) ili marginalna (derivacija))

Povećanje vrijednosti, argumenta, funkcije. Brzina promjene funkcije

Brzina promjene funkcije na intervalu (prosječna stopa).

Nedostatak ovakve definicije brzine je što ta brzina ne zavisi samo od tačke x0, u odnosu na koju se razmatra promena argumenta, već i od veličine promene samog argumenta, tj. na vrijednost intervala Dx, na kojem se određuje brzina. Da bi se otklonio ovaj nedostatak, uvodi se koncept brzine promjene funkcije u nekoj tački (trenutna brzina).

Brzina promjene funkcije u točki (trenutačna brzina).

Da bi se odredila brzina promjene funkcije u tački J Q, tačke x i x0 se dovode zajedno, vodeći interval Ax na nulu. Promjena u kontinuiranoj funkciji će također težiti nuli. U ovom slučaju, omjer promjene funkcije koja teži nuli i promjene argumenta koji teži nuli daje brzinu promjene funkcije u tački x0 (trenutačna brzina), tačnije, na beskonačno malom intervalu relativnog do tačke xd.

Upravo se ova brzina promjene funkcije Dx) u tački x0 naziva derivacijom funkcije Dx) u tački xa.

Naravno, da bi se okarakterizirala brzina promjene vrijednosti y, mogao bi se koristiti jednostavniji indikator, recimo, derivat y u odnosu na L. Elastičnost zamjene o je poželjna zbog činjenice da ima veliku prednost - ona je konstantna za većinu proizvodnih funkcija koje se koriste u praksi, tj. ne samo da se ne mijenja pri kretanju duž neke izokvante, već i ne ovisi o izboru izokvante.

Blagovremenost kontrole znači da efektivna kontrola mora biti blagovremena. Njegova pravovremenost je u samjerljivosti vremenskog intervala mjerenja i procjene kontrolisanih indikatora, procesa konkretnih aktivnosti organizacije u cjelini. Fizička vrijednost takvog intervala (učestalost mjerenja) određena je vremenskim okvirom mjerenog procesa (plan), uzimajući u obzir brzinu promjene kontroliranih indikatora i troškove implementacije kontrolnih operacija. Najvažniji zadatak kontrolne funkcije ostaje otklanjanje odstupanja prije nego što dovedu organizaciju u kritičnu situaciju.

Za homogeni sistem pri TV = 0, M = 0 5 takođe nestaje, tako da je desna strana izraza (6.20) jednaka stopi promjene funkcije ukupnog blagostanja povezane s heterogenošću.

Mehaničko značenje izvedenice. Za funkciju y = f(x) koja se mijenja s vremenom x, derivacija y = f(xo] je stopa promjene y u vremenu XQ.

Relativna stopa (brzina) promjene funkcije y = f(x) određena je logaritamskim izvodom

Varijable x označavaju veličinu razlike između ponude i potražnje za odgovarajućom vrstom sredstava za proizvodnju x = s - p. Funkcija x(f) je kontinuirano diferencibilna u vremenu. Varijable x" znače stopu promjene razlike između ponude i potražnje. Putanja x (t) označava ovisnost stope promjene ponude i potražnje od veličine razlike između ponude i potražnje, koja zauzvrat zavisi od Prostor stanja (fazni prostor) u našem slučaju je dvodimenzionalan, odnosno ima oblik fazne ravni.

Takva svojstva veličine a objašnjavaju činjenicu da se stopa promjene granične stope zamjene y karakterizira na njenoj osnovi, a ne uz pomoć bilo kojeg drugog indikatora, na primjer, derivata y u odnosu na x>. Štaviše, za značajan broj funkcija, elastičnost supstitucije je konstantna ne samo duž izoklina, već i duž izokvanti. Dakle, za proizvodnu funkciju (2.20), koristeći činjenicu da je prema izokli-

Postoje mnogi trikovi koji se mogu izvući uz kratkoročne promjene. Ovaj model koristi jedan period

1.1 Neki problemi fizike 3

2. Derivat

2.1 Brzina promjene funkcije 6

2.2 Derivacijska funkcija 7

2.3 Derivat funkcije stepena 8

2.4 Geometrijsko značenje izvoda 10

2.5 Diferencijacija funkcija

2.5.1 Razlikovanje rezultata aritmetičkih operacija 12

2.5.2 Diferencijacija kompleksnih i inverznih funkcija 13

2.6 Derivati ​​parametarski definisanih funkcija 15

3. Diferencijal

3.1 Diferencijal i njegovo geometrijsko značenje 18

3.2 Diferencijalna svojstva 21

4. Zaključak

4.1 Dodatak 1. 26

4.2 Dodatak 2. 29

5. Spisak korišćene literature 32

1. Uvod

1.1 Neki problemi fizike. Razmotrite jednostavne fizičke pojave: pravolinijsko kretanje i linearnu raspodjelu mase. Za njihovo proučavanje uvode se brzina kretanja, odnosno gustoća.

Hajde da analiziramo takav fenomen kao što je brzina kretanja i srodni pojmovi.

Neka se tijelo kreće pravolinijski i znamo udaljenost , prolazi pored tela za svako dato vreme , tj. znamo udaljenost kao funkciju vremena:

Jednačina
pozvao jednadžba kretanja i linija koju definiše u osovinskom sistemu
- raspored kretanja.

Razmotrite kretanje tijela tokom vremenskog intervala
od nekog trenutka do trenutka
. Vremenom je telo prešlo put, a vremenom i put
. Dakle, u jedinicama vremena je prešao razdaljinu

.

Ako je kretanje ujednačeno, onda postoji linearna funkcija:

U ovom slučaju
, i odnos
pokazuje koliko je jedinica putanje po jedinici vremena; istovremeno ostaje konstantan, bez obzira na to koji trenutak u vremenu se uzima, a ne u kom prirastu vremena je uzeto . To je trajni stav pozvao ujednačena brzina.

Ali ako je kretanje neravnomjerno, onda omjer ovisi

od , i od . Zove se prosječna brzina kretanja u vremenskom intervalu od do i označeno sa :

Tokom ovog vremenskog intervala, sa istom pređenom udaljenosti, kretanje se može dogoditi na najrazličitije načine; grafički, to je ilustrovano činjenicom da između dvije tačke na ravni (poeni
na sl. 1) možete nacrtati različite linije
- grafovi kretanja u datom vremenskom intervalu, a sva ta različita kretanja odgovaraju istoj prosječnoj brzini.

Posebno između tačaka ide kroz pravu liniju
, što je graf uniforme u intervalu
pokret. Dakle, prosečna brzina pokazuje koliko brzo se morate kretati ujednačeno da biste prošli u istom vremenskom intervalu na istoj udaljenosti
.

Ostavljam isto , hajde da smanjimo. Prosječna brzina izračunata za promijenjeni interval
, koji leži unutar datog intervala, može, naravno, biti drugačiji nego u; tokom celog intervala . Iz ovoga proizilazi da se prosječna brzina ne može smatrati zadovoljavajućom karakteristikom kretanja: ona (prosječna brzina) zavisi od intervala za koji se računa. Na osnovu činjenice da je prosječna brzina u intervalu treba smatrati što bolje karakterizira pokret, to manje , Neka ide na nulu. Ako u isto vrijeme postoji ograničenje prosječne brzine, onda se ona uzima kao brzina kretanja u ovom trenutku .

Definicija. brzina pravolinijsko kretanje u datom trenutku naziva se granica prosječne brzine koja odgovara intervalu, kada teži nuli:

Primjer. Napišimo zakon slobodnog pada:

.

Za prosječnu stopu pada u vremenskom intervalu imamo

i za brzinu u ovom trenutku

.

Ovo pokazuje da je brzina slobodnog pada proporcionalna vremenu kretanja (pada).

2. Derivat

Brzina promjene funkcije. Derivativna funkcija. Derivat funkcije stepena.

2.1 Brzina promjene funkcije. Svaki od četiri posebna koncepta: brzina kretanja, gustina, toplotni kapacitet,

brzina hemijske reakcije, uprkos značajnoj razlici u njihovom fizičkom značenju, je, sa matematičke tačke gledišta, kao što je lako videti, ista karakteristika odgovarajuće funkcije. Sve su to posebne vrste tzv. stope promjene funkcije, definisane, baš kao i navedeni posebni pojmovi, uz pomoć pojma granice.

Analizirajmo stoga općenito pitanje brzine promjene funkcije
, apstrahirajući od fizičkog značenja varijabli
.

Neka prvo
- linearna funkcija:

.

Ako je nezavisna varijabla dobija povećanje
, zatim funkciju ovdje dobija prirast
. Stav
ostaje konstantan, nezavisno od toga koja se funkcija razmatra, niti koja se uzima .

Ovaj odnos se zove stopa promjene linearna funkcija. Ali ako je funkcija nije linearna, onda relacija

takođe zavisi od , i od . Ovaj omjer samo "u prosjeku" karakterizira funkciju kada se nezavisna varijabla mijenja iz zadane u
; jednaka je brzini takve linearne funkcije, koja je data ima isti prirast
.

Definicija.Stav pozvaoprosječna brzina promjene funkcije u intervalu
.

Jasno je da što je manji razmatrani interval, prosječna brzina bolje karakterizira promjenu funkcije, pa prisiljavamo teže nuli. Ako u isto vrijeme postoji ograničenje prosječne brzine, tada se kao mjera uzima brzina promjene funkcije za datu , i naziva se brzina promjene funkcije.

Definicija. Stopa promjene funkcije indati poen naziva se granica prosječne brzine promjene funkcije u intervalu kada ide na nulu:

2.2 Derivacijska funkcija. Brzina promjene funkcije

određuje se sljedećim redoslijedom radnji:

1) po prirastu , dodijeljen ovoj vrijednosti , pronaći odgovarajući prirast funkcije

;

2) je sastavljen odnos;

3) pronađite granicu ovog omjera (ako postoji)

sa proizvoljnom tendencijom ka nuli.

Kao što je već napomenuto, ako ova funkcija nije linearno

zatim odnos takođe zavisi od , i od . Granica ovog omjera ovisi samo o odabranoj vrijednosti. i stoga je funkcija od . Ako je funkcija linearno, tada razmatrana granica ne zavisi od , tj. bit će konstantna vrijednost.

Ova granica se zove derivat funkcije ili jednostavno derivat funkcije i označen je ovako:
.Pročitajte: "ef stroke from » ili "ef prim from".

Definicija. derivat ove funkcije naziva se granica omjera prirasta funkcije i prirasta nezavisne varijable s proizvoljnom težnjom, ovaj prirast na nulu:

.

Vrijednost derivacije funkcije u bilo kojoj točki obično označavaju
.

Koristeći uvedenu definiciju derivacije, možemo reći da:

1) Brzina pravolinijskog kretanja je derivacija od

funkcije on (derivacija putanje u odnosu na vrijeme).

2.3 Derivat funkcije stepena.

Nađimo derivate nekih jednostavnih funkcija.

Neka
. Imamo

,

tj. derivat
je konstantna vrijednost jednaka 1. Ovo je očigledno, jer - linearna funkcija i brzina promjene je konstantna.

Ako a
, onda

Neka
, onda

Lako je uočiti obrazac u izrazima za izvode funkcije stepena
at
. Dokažimo da je, općenito, derivacija za bilo koji pozitivan cijeli broj eksponenta je jednako
.

.

Izraz u brojiocu je transformiran Newtonovom binomnom formulom :

Na desnoj strani posljednje jednakosti je zbroj članova, od kojih prvi ne ovisi o , a ostali teže nuli zajedno s . Zbog toga

.

Dakle, funkcija stepena s pozitivnim cijelim brojem ima derivaciju jednaku:

.

At
gore izvedene formule slijede iz pronađene opće formule.

Ovaj rezultat vrijedi za bilo koji indikator, na primjer:

.

Razmotrimo sada odvojeno derivaciju konstante

.

Pošto se ova funkcija ne mijenja promjenom nezavisne varijable, onda
. shodno tome,

,

t. e. derivacija konstante je nula.

2.4 Geometrijsko značenje izvoda.

Derivat funkcije ima vrlo jednostavno i jasno geometrijsko značenje, koje je usko povezano s konceptom tangente na pravu.

Definicija. Tangenta
do linije
na njenom mestu
(Sl. 2). naziva se granična pozicija prave koja prolazi kroz tačku, i još jedna tačka
linije kada ova tačka teži da se spoji sa datom tačkom.

.Tutorial

Postoji prosek brzinapromjenefunkcije u pravcu prave linije. 1 se naziva derivat funkcije u smjeru i je naznačeno. Dakle - (1) - brzinapromjenefunkcije u tački...

Ideja je sledeća: uzmite neku vrednost (čitaj "delta x") , koje ćemo nazvati povećanje argumenta, i počnimo "isprobavati" na različitim točkama našeg puta:

1) Pogledajmo krajnju lijevu tačku: zaobilazeći rastojanje, penjemo se uz padinu do visine (zelena linija). Vrijednost se poziva povećanje funkcije, a u ovom slučaju ovaj prirast je pozitivan (razlika vrijednosti duž ose je veća od nule). Napravimo omjer , koji će biti mjera strmine našeg puta. Očigledno, to je vrlo specifičan broj, a budući da su oba priraštaja pozitivna, onda .

Pažnja! Oznaka suJEDANsimbol, to jest, ne možete "otkinuti" "delta" od "x" i razmotriti ova slova odvojeno. Naravno, komentar se odnosi i na simbol inkrementa funkcije.

Istražimo prirodu rezultujućeg razlomka sa više smisla. Pretpostavimo da smo u početku na visini od 20 metara (u lijevoj crnoj tački). Savladavši razdaljinu od metara (lijeva crvena linija), bit ćemo na visini od 60 metara. Tada će inkrement funkcije biti metara (zelena linija) i: . Na ovaj način, na svakom metru ovu dionicu puta visina se povećavaprosjek za 4 metra…da li ste zaboravili svoju opremu za penjanje? =) Drugim riječima, konstruirani omjer karakterizira PROSJEČNU STOPU PROMJENE (u ovom slučaju rast) funkcije.

Bilješka : Numeričke vrijednosti predmetnog primjera odgovaraju proporcijama crteža samo približno.

2) Sada idemo na istu udaljenost od krajnje desne crne tačke. Ovdje je uspon blaži, pa je prirast (crvena linija) relativno mali, a omjer u odnosu na prethodni slučaj će biti prilično skroman. Relativno govoreći, metara i stopa rasta funkcije je . Odnosno, ovdje postoji svaki metar puta prosjek pola metra gore.

3) Mala avantura na planini. Pogledajmo gornju crnu tačku koja se nalazi na y-osi. Pretpostavimo da je ovo oznaka od 50 metara. Opet savladavamo udaljenost, zbog čega se nalazimo niže - na nivou od 30 metara. Od kada je pokret napravljen odozgo prema dolje(u "suprotnom" smjeru od ose), zatim konačni prirast funkcije (visine) će biti negativan: metara (smeđa linija na crtežu). I u ovom slučaju govorimo o stopa propadanja karakteristike: , odnosno za svaki metar staze ove dionice visina se smanjuje prosjek za 2 metra. Vodite računa o odjeći na petoj tački.

Sada postavimo pitanje: koja je najbolja vrijednost "mjernog standarda" za korištenje? Jasno je da je 10 metara jako grubo. Na njih lako može stati desetak kvrga. Zašto ima neravnina, ispod može biti duboka klisura, a nakon nekoliko metara - njena druga strana sa daljim strmim usponom. Dakle, sa desetmetarskom nećemo dobiti razumljivu karakteristiku ovakvih dionica puta kroz omjer.

Iz gornje rasprave slijedi sljedeći zaključak: što je manja vrijednost, to ćemo preciznije opisati reljef puta. Štaviše, istinite su sljedeće činjenice:

– Za bilo koje tačke podizanja možete odabrati vrijednost (iako vrlo malu) koja se uklapa u granice jednog ili drugog porasta. A to znači da će odgovarajući prirast visine biti zajamčeno pozitivan, a nejednakost će ispravno ukazati na rast funkcije u svakoj tački ovih intervala.

- Isto tako, za bilo koji točka nagiba, postoji vrijednost koja će u potpunosti stati na ovu padinu. Prema tome, odgovarajući porast visine je nedvosmisleno negativan, a nejednakost će ispravno pokazati smanjenje funkcije u svakoj tački datog intervala.

– Posebno je zanimljiv slučaj kada je stopa promjene funkcije nula: . Prvo, nulti porast visine () je znak ravnomjerne putanje. I drugo, postoje i druge neobične situacije čije primjere vidite na slici. Zamislite da nas je sudbina odvela na sam vrh brda sa orlovima koji lebde ili na dno jaruge sa graktanjem žaba. Ako napravite mali korak u bilo kojem smjeru, tada će promjena visine biti zanemariva, i možemo reći da je stopa promjene funkcije zapravo nula. Isti obrazac se opaža na tačkama.

Tako smo se približili neverovatnoj prilici da savršeno precizno okarakterišemo brzinu promene funkcije. Na kraju krajeva, matematička analiza nam omogućava da usmjerimo povećanje argumenta na nulu: to jest, da ga infinitezimal.

Kao rezultat toga, postavlja se još jedno logično pitanje: da li je moguće pronaći cestu i njen raspored druga funkcija, koji bi nam rekao o svim ravnima, uzbrdicama, nizbrdicama, vrhovima, nizinama, kao i stopi porasta/spadanja na svakoj tački puta?

Šta je derivat? Definicija derivata.
Geometrijsko značenje derivacije i diferencijala

Pročitajte pažljivo i ne prebrzo - materijal je jednostavan i dostupan svima! U redu je ako na nekim mjestima nešto nije jasno, uvijek se možete vratiti na članak kasnije. Reći ću više, korisno je proučiti teoriju nekoliko puta kako bi se kvalitativno razumjeli sve tačke (savjet je posebno relevantan za „tehničke“ studente, kojima viša matematika igra značajnu ulogu u obrazovnom procesu).

Po uzoru na priče o kontinuitet funkcije, "promocija" teme počinje proučavanjem fenomena u jednoj tački, a tek onda se proteže na numeričke intervale.

Mnogi će biti iznenađeni neočekivanom lokacijom ovog članka u mom autorskom kursu o derivaciji funkcije jedne varijable i njenim primjenama. Uostalom, kao što je bilo iz škole: standardni udžbenik, prije svega, daje definiciju derivata, njegovo geometrijsko, mehaničko značenje. Zatim studenti pronalaze derivate funkcija po definiciji i, zapravo, tek tada se tehnika diferencijacije usavršava korištenjem derivativne tabele.

Ali sa moje tačke gledišta, sledeći pristup je pragmatičniji: pre svega, preporučljivo je DOBRO SHVATITI ograničenje funkcije, a posebno, infinitezimima. Činjenica je da

definicija derivata je zasnovana na konceptu granice , što se slabo razmatra u školskom kursu. Zbog toga značajan dio mladih potrošača znanja iz granita slabo prodire u samu suštinu derivata. Stoga, ako niste dobro upućeni u diferencijalni račun, ili se mudar mozak uspješno riješio ovog prtljaga tokom godina, počnite s ograničenja funkcije . Istovremeno savladajte / zapamtite njihovu odluku.

Isti praktični smisao sugerira da je prvo profitabilno

naučiti pronaći izvode, uključujući izvode složenih funkcija . Teorija je teorija, ali, kako kažu, uvijek želite razlikovati. S tim u vezi, bolje je razraditi navedene osnovne lekcije, a možda i postati majstor diferencijacije a da nisu ni shvatili suštinu svojih postupaka.

Preporučujem da počnete sa materijalima na ovoj stranici nakon čitanja članka. Najjednostavniji problemi sa derivatom, gdje se posebno razmatra problem tangente na graf funkcije. Ali to može biti odloženo. Činjenica je da mnoge primjene izvedenice ne zahtijevaju njeno razumijevanje, i nije iznenađujuće da se teorijska lekcija pojavila prilično kasno - kada sam trebao objasniti pronalaženje intervala porasta/spadanja i ekstrema funkcije. Štaviše, on je bio u toj temi dosta dugo" Funkcije i grafovi“, sve dok nisam odlučio da ga stavim ranije.

Stoga, dragi čajnici, nemojte žuriti da upijete esenciju derivata, poput gladnih životinja, jer će zasićenje biti neukusno i nepotpuno.

Koncept povećanja, smanjenja, maksimuma, minimuma funkcije

Mnogi tutorijali dovode do koncepta derivata uz pomoć nekih praktičnih problema, a došao sam i do zanimljivog primjera. Zamislite da moramo putovati u grad do kojeg se može doći na različite načine. Zakrivljene krivudave staze odmah odbacujemo, a razmotrit ćemo samo ravne linije. Međutim, pravci pravca su takođe različiti: do grada možete doći ravnom autoputom. Ili na brdovitom autoputu - gore-dole, gore-dole. Drugi put ide samo uzbrdo, a drugi stalno nizbrdo. Ljubitelji uzbuđenja će izabrati rutu kroz klisuru sa strmom liticom i strmim usponom.

Ali bez obzira na vaše preferencije, poželjno je znati područje ili barem imati topografsku kartu. Šta ako takvih informacija nema? Na kraju krajeva, možete odabrati, na primjer, ravnu stazu, ali kao rezultat toga naletjeti na skijašku stazu sa smiješnim Fincima. Nije činjenica da je navigator i čak

satelitski snimak će dati pouzdane podatke. Stoga bi bilo lijepo formalizirati reljef staze pomoću matematike.

Razmotrite neki put (pogled sa strane):

Za svaki slučaj, podsjećam na jednu elementarnu činjenicu: putovanje se odvija s lijeva na desno. Radi jednostavnosti, pretpostavljamo da je funkcija kontinuirana na odsjeku koji se razmatra.

Koje su karakteristike ovog grafikona?

U intervalima funkcija raste, odnosno svaka njena naredna vrijednost je veća od prethodne. Grubo govoreći, grafikon ide odozdo prema gore (penjemo se na brdo). A na intervalu se funkcija smanjuje - svaka sljedeća vrijednost je manja od prethodne, a naš graf ide odozgo prema dolje (spuštamo se niz padinu).

Obratimo pažnju i na posebne tačke. U trenutku kada smo

dostižemo maksimum, odnosno postoji takav dio puta na kojem će vrijednost biti najveća (najviša). U istoj tački se postiže minimum i postoji takva okolina u kojoj je vrijednost najmanja (najniža).

U lekciji će se razmatrati rigoroznija terminologija i definicije. o ekstremima funkcije, ali za sada proučimo još jednu važnu osobinu: na intervalima funkcija se povećava, ali raste različitim brzinama. I prva stvar koja vam upada u oči je da graf intervala raste mnogo kul nego na intervalu. Da li je moguće izmjeriti strminu puta pomoću matematičkih alata?

Brzina promjene funkcije

Ideja je sledeća: uzmite neku vrednost

(čitaj "delta x") , koje ćemo nazvatipovećanje argumenta, i počnimo "isprobavati" na različitim točkama našeg puta:

1) Pogledajmo krajnju lijevu tačku: zaobilazeći rastojanje, penjemo se uz padinu do visine (zelena linija). Količina se zove povećanje funkcije, a u ovom slučaju ovaj prirast je pozitivan (razlika vrijednosti duž ose je veća od

nula). Napravimo omjer , koji će biti mjera strmine našeg puta. Očigledno, ovo je vrlo specifičan broj, a pošto su oba inkrementa pozitivna, onda.

Pažnja! Oznaka je JEDAN simbol, odnosno ne možete "otkinuti" "deltu" od "x" i razmotriti ova slova odvojeno. Naravno, komentar se odnosi i na simbol inkrementa funkcije.

Istražimo prirodu rezultujućeg razlomka sa više smisla. Neka

u početku smo na visini od 20 metara (u lijevoj crnoj tački). Savladavši razdaljinu od metara (lijeva crvena linija), bit ćemo na visini od 60 metara. Tada će inkrement funkcije biti

metara (zelena linija) i:. Dakle

Dakle, na svakom metru ove dionice puta visina se povećava prosječno 4 metra ... jesi li zaboravio svoju opremu za penjanje? =) Drugim riječima, konstruirani omjer karakterizira PROSJEČNU STOPU PROMJENE (u ovom slučaju rast) funkcije.

Napomena: numeričke vrijednosti predmetnog primjera odgovaraju proporcijama crteža samo približno.

2) Sada idemo na istu udaljenost od krajnje desne crne tačke. Ovdje je uspon blaži, pa prirast

(magenta linija) je relativno mala, a omjer

u poređenju sa prethodnim slučajem biće veoma skroman. Relativno govoreći, metara i stopa rasta funkcije

je . Odnosno, ovdje je na svaki metar staze u prosjeku pola metra uspona.

3) Mala avantura na planini. Pogledajmo gornju crnu tačku koja se nalazi na y-osi. Pretpostavimo da je ovo oznaka od 50 metara. Opet savladavamo udaljenost, zbog čega se nalazimo niže - na nivou od 30 metara. Budući da se kretanje odvijalo od vrha do dna (u "suprotnom" smjeru od ose), konačna prirast funkcije (visine) će biti negativan:metara (smeđa linija na crtežu). A u ovom slučaju govorimo o brzini

silazna funkcija: , odnosno za svaki metar staze

Na ovom području visina se smanjuje u prosjeku za 2 metra. Vodite računa o odjeći na petoj tački.

Sada postavimo pitanje: koja je najbolja vrijednost "mjernog standarda" za korištenje? Jasno je da je 10 metara jako grubo. Na njih lako može stati desetak kvrga. Zašto ima neravnina, ispod može biti duboka klisura, a nakon nekoliko metara - njena druga strana sa daljim strmim usponom. Tako sa desetometarskom nećemo dobiti razumljivu karakterizaciju ovakvih dionica puta kroz

odnosi .

Iz gornje rasprave slijedi sljedeći zaključak: što je manja vrijednost, to ćemo preciznije opisati reljef puta. Štaviše, pošteno

Izvod funkcije jedna je od najtežih tema u školskom programu. Neće svaki diplomac odgovoriti na pitanje šta je derivat.

Ovaj članak jednostavno i jasno objašnjava što je derivat i zašto je potreban.. Nećemo sada težiti matematičkoj strogosti prezentacije. Najvažnije je razumjeti značenje.

Prisjetimo se definicije:

Izvod je brzina promjene funkcije.

Na slici su prikazani grafikoni tri funkcije. Šta mislite koji najbrže raste?

Odgovor je očigledan - treći. Ima najveću stopu promjene, odnosno najveći derivat.

Evo još jednog primjera.

Kostya, Grisha i Matvey dobili su posao u isto vrijeme. Pogledajmo kako su im se prihodi promijenili tokom godine:

Možete odmah vidjeti sve na grafikonu, zar ne? Kostjina primanja su se više nego udvostručila za šest meseci. I Grišini prihodi su također porasli, ali samo malo. A Matthewov prihod se smanjio na nulu. Početni uslovi su isti, ali brzina promjene funkcije, tj. derivat, - drugačije. Što se tiče Matveya, derivat njegovog prihoda je općenito negativan.

Intuitivno možemo lako procijeniti brzinu promjene funkcije. Ali kako da to uradimo?

Ono što zaista gledamo je koliko strmo graf funkcije ide gore (ili dolje). Drugim riječima, koliko se brzo y mijenja sa x. Očigledno, ista funkcija u različitim tačkama može imati različitu vrijednost derivacije – to jest, može se mijenjati brže ili sporije.

Derivat funkcije se označava sa .

Hajde da pokažemo kako pronaći koristeći graf.

Crta se graf neke funkcije. Uzmite tačku na njoj sa apscisom. Nacrtajte tangentu na graf funkcije u ovoj tački. Želimo procijeniti koliko strmo grafik funkcije ide gore. Zgodna vrijednost za ovo je tangenta nagiba tangente.

Izvod funkcije u tački jednak je tangenti nagiba tangente povučene na graf funkcije u toj tački.

Imajte na umu - kao ugao nagiba tangente uzimamo ugao između tangente i pozitivnog smera ose.

Ponekad učenici pitaju koja je tangenta na graf funkcije. Ovo je prava linija koja ima jedinu zajedničku tačku sa grafikom u ovom odeljku, štaviše, kao što je prikazano na našoj slici. Izgleda kao tangenta na kružnicu.

Hajde da nađemo. Sjećamo se da je tangenta oštrog ugla u pravokutnom trokutu jednaka omjeru suprotne katete i susjedne. Iz trougla:

Izvod smo pronašli koristeći graf, a da nismo ni znali formulu funkcije. Ovakvi zadaci se često nalaze na ispitu iz matematike pod brojem.

Postoji još jedna važna korelacija. Podsjetimo da je ravna linija data jednadžbom

Količina u ovoj jednačini se zove nagib prave linije. Jednaka je tangenti ugla nagiba prave linije prema osi.

.

Shvatili smo to

Prisjetimo se ove formule. Izražava geometrijsko značenje izvedenice.

Derivat funkcije u tački jednak je nagibu tangente povučene na graf funkcije u toj tački.

Drugim riječima, derivacija je jednaka tangenti nagiba tangente.

Već smo rekli da ista funkcija može imati različite izvode u različitim tačkama. Pogledajmo kako je derivacija povezana s ponašanjem funkcije.

Nacrtajmo graf neke funkcije. Neka se ova funkcija povećava u nekim područjima, a smanjuje u drugim, i to različitim brzinama. I neka ova funkcija ima maksimum i minimum bodova.

U jednom trenutku, funkcija se povećava. Tangenta na graf, nacrtana u tački, formira oštar ugao; sa pozitivnim smjerom ose. Dakle, izvod je pozitivan u tački.

U ovom trenutku, naša funkcija se smanjuje. Tangenta u ovoj tački formira tupi ugao; sa pozitivnim smjerom ose. Pošto je tangenta tupog ugla negativna, derivacija u tački je negativna.

Evo šta se dešava:

Ako je funkcija rastuća, njen izvod je pozitivan.

Ako se smanjuje, njegov izvod je negativan.

A šta će se dogoditi na maksimalnim i minimalnim tačkama? Vidimo da je u (maksimalna tačka) i (tačka minimuma) tangenta horizontalna. Dakle, tangenta nagiba tangente u ovim tačkama je nula, a derivacija je takođe nula.

Tačka je maksimalna tačka. U ovom trenutku povećanje funkcije zamjenjuje se smanjenjem. Posljedično, predznak derivacije se mijenja u tački sa "plus" na "minus".

U tački - minimalnoj tački - derivacija je također jednaka nuli, ali joj se predznak mijenja sa "minus" na "plus".

Zaključak: uz pomoć izvoda možete saznati sve što nas zanima o ponašanju funkcije.

Ako je izvod pozitivan, onda se funkcija povećava.

Ako je izvod negativan, onda je funkcija opadajuća.

U tački maksimuma, derivacija je nula i mijenja predznak iz plusa u minus.

U minimalnoj tački, derivacija je također nula i mijenja predznak iz minusa u plus.

Ove nalaze zapisujemo u obliku tabele:

Hajde da napravimo dva mala pojašnjenja. Jedan od njih će vam trebati prilikom rješavanja problema. Drugi - na prvoj godini, sa ozbiljnijim proučavanjem funkcija i derivata.

Moguć je slučaj kada je derivacija funkcije u nekoj tački jednaka nuli, ali funkcija nema ni maksimum ni minimum u ovoj tački. Ova tzv :

U tački, tangenta na graf je horizontalna, a derivacija je nula. Međutim, prije točke funkcija se povećala - a nakon točke nastavlja rasti. Predznak derivacije se ne mijenja – ostao je pozitivan kakav je bio.

Takođe se dešava da u tački maksimuma ili minimuma izvod ne postoji. Na grafikonu to odgovara oštrom prekidu, kada je nemoguće nacrtati tangentu u datoj tački.

Ali kako pronaći izvod ako funkcija nije data grafom, već formulom? U ovom slučaju se primjenjuje