Dom » Sistem grijanja » Primjeri matematičkog modeliranja. Šta je matematički model

Primjeri matematičkog modeliranja. Šta je matematički model

Računari su čvrsto ušli u naše živote i praktično ne postoji takva oblast ljudske aktivnosti u kojoj se računari ne bi koristili. Računari se danas široko koriste u procesu stvaranja i istraživanja novih mašina, novih tehnoloških procesa i traženja njihovih optimalnih opcija; pri rješavanju ekonomskih problema, pri rješavanju problema planiranja i upravljanja proizvodnjom na različitim nivoima. Stvaranje velikih objekata u raketnoj industriji, avionogradnji, brodogradnji, kao i projektovanje brana, mostova itd., uglavnom je nemoguće bez upotrebe računara.

Za korištenje računara u rješavanju primijenjenih problema, prije svega, primijenjeni problem mora biti "preveden" na formalni matematički jezik, tj. za stvarni objekat, proces ili sistem, mora se izgraditi njegov matematički model.

Riječ "model" dolazi od latinske riječi modus (kopija, slika, obris). Modeliranje je zamjena nekog objekta A drugim objektom B. Zamijenjeni objekt A naziva se original ili objekt modeliranja, a zamjena B naziva se model. Drugim riječima, model je objekt-zamjena originalnog objekta, pružajući proučavanje nekih svojstava originala.

Svrha modeliranja je da se dobiju, obrađuju, prezentiraju i koriste informacije o objektima koji su u interakciji jedni s drugima i vanjskim okruženjem; a model ovdje djeluje kao sredstvo za poznavanje svojstava i obrazaca ponašanja objekta.

Matematičko modeliranje je način proučavanja stvarnog objekta, procesa ili sistema zamjenom istih matematičkim modelom koji je pogodniji za eksperimentalno istraživanje korištenjem kompjutera.

Matematičko modeliranje je proces konstruisanja i proučavanja matematičkih modela realnih procesa i pojava. Sve prirodne i društvene nauke koje koriste matematički aparat se, zapravo, bave matematičkim modeliranjem: zamenjuju stvarni objekat njegovim modelom, a zatim ga proučavaju. Kao iu slučaju bilo koje simulacije, matematički model ne opisuje u potpunosti fenomen koji se proučava, a pitanja o primjenjivosti rezultata dobivenih na ovaj način su vrlo značajna. Matematički model je pojednostavljeni opis stvarnosti koristeći matematičke koncepte.

Matematički model izražava bitne karakteristike objekta ili procesa jezikom jednačina i drugih matematičkih sredstava. Strogo govoreći, sama matematika svoje postojanje duguje onome što pokušava da odrazi, tj. da modeliraju, na svom specifičnom jeziku, obrasce okolnog svijeta.

At matematičko modeliranje proučavanje objekta vrši se pomoću modela formulisanog na jeziku matematike korišćenjem određenih matematičkih metoda.

Put matematičkog modeliranja u naše vrijeme mnogo je sveobuhvatniji od prirodnog modeliranja. Ogroman podsticaj razvoju matematičkog modeliranja dala je pojava kompjutera, iako je sama metoda rođena istovremeno s matematikom prije više hiljada godina.

Matematičko modeliranje kao takvo ne zahtijeva uvijek kompjutersku podršku. Svaki specijalista koji se profesionalno bavi matematičkim modeliranjem čini sve što je moguće za analitičko proučavanje modela. Analitička rješenja (tj. predstavljena formulama koje izražavaju rezultate studije kroz početne podatke) obično su pogodnija i informativnija od numeričkih. Mogućnosti analitičkih metoda za rješavanje složenih matematičkih problema su, međutim, vrlo ograničene i po pravilu su mnogo složenije od numeričkih.

Matematički model je približna reprezentacija stvarnih objekata, procesa ili sistema, izražena matematičkim terminima i zadržavajući bitne karakteristike originala. Matematički modeli u kvantitativnom obliku, uz pomoć logičkih i matematičkih konstrukcija, opisuju glavna svojstva objekta, procesa ili sistema, njegove parametre, unutrašnje i vanjske veze

Svi modeli se mogu podijeliti u dvije klase:

pravi,
idealan.

Zauzvrat, pravi modeli se mogu podijeliti na:

prirodno,
fizički,
matematički.

Idealni modeli se mogu podijeliti na:

vizuelno,
ikona,
matematički.

Realni modeli pune skale su stvarni objekti, procesi i sistemi na kojima se izvode naučni, tehnički i industrijski eksperimenti.

Pravi fizički modeli su makete, modeli koji reproduciraju fizička svojstva originala (kinematički, dinamički, hidraulički, termički, električni, svjetlosni modeli).

Pravi matematički su analogni, strukturni, geometrijski, grafički, digitalni i kibernetički modeli.

Idealni vizuelni modeli su dijagrami, karte, crteži, grafovi, grafovi, analozi, strukturni i geometrijski modeli.

Idealni modeli znakova su simboli, abeceda, programski jezici, uređena notacija, topološka notacija, mrežna reprezentacija.

Idealni matematički modeli su analitički, funkcionalni, simulacijski, kombinovani modeli.

U gornjoj klasifikaciji, neki modeli imaju dvostruku interpretaciju (na primjer, analogni). Svi modeli, osim onih u punoj skali, mogu se kombinovati u jednu klasu mentalnih modela, jer oni su proizvod čovjekovog apstraktnog mišljenja.

Elementi teorije igara

U općenitom slučaju, rješavanje igre je prilično težak zadatak, a složenost problema i količina proračuna potrebnih za rješavanje naglo raste s povećanjem . Međutim, ove poteškoće nisu fundamentalne prirode i povezane su samo sa veoma velikim obimom proračuna, što se u određenom broju slučajeva može pokazati kao praktično neizvodljivo. Osnovna strana metode pronalaženja rješenja ostaje za bilo koga jedan i isti.

Ilustrirajmo to na primjeru igre. Hajde da mu damo geometrijsku interpretaciju - već prostornu. Naše tri strategije, prikazaćemo sa tri tačke na ravni ; prvi leži na početku (slika 1). drugi i treći - na osovinama Oh i OU na udaljenosti 1 od početka.

Osi I-I, II-II i III-III povučene su kroz tačke, okomite na ravan . Na osi I-I, isplate za strategiju su ucrtane na osovinama II-II i III-III - isplati za strategije. Svaka neprijateljska strategija će biti predstavljen ravninom koja seče na osovinama I-I, II-II i III-III, segmentima jednakim dobitcima

sa odgovarajućom strategijom i strategijom . Nakon što smo tako konstruisali sve strategije neprijatelja, dobićemo familiju aviona nad trouglom (slika 2).

Za ovu porodicu je također moguće konstruirati donju granicu isplate, kao što smo uradili u slučaju, i pronaći tačku N na ovoj granici sa maksimalnom visinom na ravni . Ova visina će biti cijena igre.

Učestalosti strategija u optimalnoj strategiji će biti određene koordinatama (x, y) tačke N, i to:

Međutim, ovakva geometrijska konstrukcija, čak ni za slučaj, nije laka za implementaciju i zahtijeva veliko ulaganje vremena i mašte. U opštem slučaju igre, međutim, ona se prenosi u -dimenzionalni prostor i gubi svaku jasnoću, iako upotreba geometrijske terminologije u nekim slučajevima može biti korisna. Prilikom rješavanja igrica u praksi, pogodnije je koristiti ne geometrijske analogije, već računske analitičke metode, pogotovo jer su ove metode jedine prikladne za rješavanje problema na računalima.

Sve ove metode se u suštini svode na rješavanje problema uzastopnim pokušajima, ali redoslijed pokušaja vam omogućava da izgradite algoritam koji vodi do rješenja na najekonomičniji način.

Ovdje se ukratko zadržavamo na jednoj računskoj metodi za rješavanje igara - na metodu takozvanog "linearnog programiranja".

Da bismo to učinili, prvo ćemo dati opći prikaz problema pronalaženja rješenja za igru. Neka igra bude data t strategije igrača ALI i n strategije igrača AT i data je matrica isplate

Potrebno je pronaći rješenje za igru, odnosno dvije optimalne mješovite strategije za igrače A i B

gdje (neki od brojeva i mogu biti jednaki nuli).

Naša optimalna strategija S*A treba da nam obezbedi isplatu ne manju od , za bilo koje ponašanje neprijatelja, i isplatu jednaku , za njegovo optimalno ponašanje (strategija S*B).Slično strategija S*B mora pružiti neprijatelju gubitak ne veći od , za bilo koje naše ponašanje i jednak za naše optimalno ponašanje (strategija S*A).

Vrijednost igre u ovom slučaju nam je nepoznata; pretpostavićemo da je jednak nekom pozitivnom broju. Pretpostavljajući ovo, mi ne kršimo uopštenost rezonovanja; da bi bilo > 0, očigledno je dovoljno da svi elementi matrice budu nenegativni. To se uvijek može postići dodavanjem dovoljno velike pozitivne vrijednosti L elementima; u tom slučaju će se cijena igre povećati za L, a rješenje se neće promijeniti.

Hajde da izaberemo našu optimalnu strategiju S* A . Tada će naša prosječna isplata za protivničku strategiju biti jednaka:

Naša optimalna strategija S*A ima svojstvo da, za bilo koje ponašanje protivnika, daje dobitak ne manji od ; dakle, bilo koji od brojeva ne može biti manji od . Dobijamo niz uslova:

(1)

Podijelite nejednakosti (1) pozitivnom vrijednošću i označite:

Tada se uslov (1) može zapisati kao

(2)

gdje su nenegativni brojevi. As količine zadovoljavaju uslov

Želimo da naša zagarantovana pobeda bude što veća; Očigledno, u ovom slučaju desna strana jednakosti (3) zauzima minimalnu vrijednost.

Dakle, problem pronalaženja rješenja igre svodi se na sljedeći matematički problem: definiraju nenegativne veličine zadovoljavaju uslove (2), tako da njihov zbir

bio minimalan.

Obično se pri rješavanju problema vezanih za pronalaženje ekstremnih vrijednosti (maksimuma i minimuma) funkcija diferencira i derivacije se izjednačavaju sa nulom. Ali takva tehnika je u ovom slučaju beskorisna, jer funkcija F, koja potreba minimizirati, linearan je, a njegovi derivati u odnosu na sve argumente jednaki su jedinici, tj. ne nestaju nigdje. Posljedično, maksimum funkcije se postiže negdje na granici područja promjene argumenata, što je određeno zahtjevom nenegativnosti argumenata i uslova (2). Metoda pronalaženja ekstremnih vrijednosti diferenciranjem također je neprikladna u onim slučajevima kada je određen maksimum donje (ili minimum gornje) granice isplate za rješenje igre, kao što smo to učinili. na primjer, jesu kod rješavanja igrica.Zaista, donju granicu čine dijelovi pravih linija, a maksimum se postiže ne u tački gdje je derivacija jednaka nuli (nema takve tačke), već na granici intervala ili na mjestu presjeka pravih dionica.

Za rješavanje ovakvih problema, koji su prilično česti u praksi, razvijen je poseban aparat u matematici. linearno programiranje.

Problem linearnog programiranja se postavlja na sljedeći način.

Dat sistem linearnih jednačina:

(4)

Potrebno je pronaći nenegativne vrijednosti veličina koje zadovoljavaju uslove (4) i istovremeno minimiziraju datu homogenu linearnu funkciju veličina (linearni oblik):

Lako je vidjeti da je problem teorije igara koji je postavljen iznad poseban slučaj problema linearnog programiranja za

Na prvi pogled može izgledati da uslovi (2) nisu ekvivalentni uslovima (4), jer umesto znakova jednakosti sadrže znake nejednakosti. Međutim, lako se riješiti znakova nejednakosti uvođenjem novih fiktivnih nenegativnih varijabli i uslova pisanja (2) u obliku:

(5)

Obrazac F, koji mora biti minimiziran, jednak je

Aparat za linearno programiranje omogućava, uz relativno mali broj uzastopnih uzoraka, odabir vrijednosti , zadovoljavanje zahtjeva. Radi veće jasnoće, ovdje ćemo demonstrirati korištenje ovog aparata direktno na materijalu rješavanja konkretnih igara.

Matematički model - ovo je sistem matematičkih odnosa - formula, jednačina, nejednačina, itd., koji odražavaju bitna svojstva predmeta ili pojave.

Svaki fenomen prirode je beskonačan u svojoj složenosti.. Ilustrujmo to uz pomoć primjera preuzetog iz knjige V.N. Trostnikov "Čovek i informacija" (Izdavačka kuća "Nauka", 1970).

Laik formuliše matematički problem na sledeći način: "Koliko dugo će kamen pasti sa visine od 200 metara?" Matematičar će početi da kreira svoju verziju problema otprilike ovako: "Pretpostavićemo da kamen pada u prazninu i da je ubrzanje gravitacije 9,8 metara u sekundi u sekundi. Onda..."

- Pusti me- može reći "mušterija", - Ne sviđa mi se ovo pojednostavljenje. Želim da znam tačno koliko dugo će kamen padati u realnim uslovima, a ne u nepostojećoj praznini.

- dobro, slaže se matematičar. - Pretpostavimo da kamen ima sferni oblik i prečnik... Koliki je njegov približni prečnik?

- Oko pet centimetara. Ali on uopće nije sferičan, već duguljast.

- Onda ćemo to pretpostavitiima oblik elipsoida sa osovinama četiri, tri i tri centimetra i da onpada tako da velika poluos ostaje okomita cijelo vrijeme . Pritisak vazduha uzimamo jednakim760 mmHg , odavde nalazimo gustinu vazduha...

Ako se onaj koji je postavio problem "ljudskim" jezikom neće dalje mešati u tok misli jednog matematičara, onda će ovaj posle nekog vremena dati numerički odgovor. Ali "potrošač" može prigovoriti kao i ranije: kamen zapravo uopšte nije elipsoidan, pritisak vazduha na tom mestu i u tom trenutku nije bio jednak 760 mm žive itd. Šta će mu matematičar odgovoriti?

On će odgovoriti na to tačno rešenje stvarnog problema je uglavnom nemoguće. Ne samo to kameni oblik, što utiče na otpor vazduha, ne može se opisati nijednom matematičkom jednačinom; njegova rotacija u letu je takođe izvan kontrole matematike zbog svoje složenosti. dalje, vazduh nije ujednacen, budući da kao rezultat djelovanja slučajnih faktora u njemu nastaju fluktuacije fluktuacija gustoće. Idući još dublje, to se mora uzeti u obzir prema zakonu univerzalne gravitacije, svako tijelo djeluje na svako drugo tijelo. Iz toga slijedi da čak i klatno zidnog sata mijenja putanju kamena svojim kretanjem.

Ukratko, ako ozbiljno želimo precizno istražiti ponašanje bilo kojeg objekta, onda prvo moramo znati lokaciju i brzinu svih drugih objekata u svemiru. I ovo, naravno. nemoguće.

Najefikasniji matematički model može se implementirati na računaru u obliku algoritamskog modela - takozvanog "računarskog eksperimenta" (vidi [1], paragraf 26).

Naravno, rezultati kompjuterskog eksperimenta možda neće odgovarati stvarnosti ako neki važni aspekti stvarnosti nisu uzeti u obzir u modelu.

Dakle, kreirajući matematički model za rješavanje problema, potrebno je:

Prilikom konstruisanja matematičkih modela, daleko je od uvijek moguće pronaći formule koje eksplicitno izražavaju željene veličine putem podataka. U takvim slučajevima se koriste matematičke metode za davanje odgovora različitog stepena tačnosti. Ne postoji samo matematičko modeliranje bilo koje pojave, već i vizuelno-prirodno modeliranje, koje se obezbeđuje prikazivanjem ovih pojava pomoću kompjuterske grafike, tj. istraživaču se prikazuje svojevrsni "kompjuterski crtani film" snimljen u realnom vremenu. Vidljivost je ovdje veoma visoka.

Ostali unosi

06.10.2016. 8.3. Koji su glavni koraci u procesu razvoja softvera? 8.4. Kako kontrolisati tekst programa prije izlaza na kompjuter?

8.3. Koji su glavni koraci u procesu razvoja softvera? Proces razvoja programa može se izraziti sljedećom formulom: Prisustvo grešaka u novorazvijenom programu je sasvim normalno...

06.10.2016. 8.5. Čemu služi otklanjanje grešaka i testiranje? 8.6. Šta je otklanjanje grešaka? 8.7. Šta je testiranje i testiranje? 8.8. Koji bi trebali biti podaci testa? 8.9. Koji su koraci u procesu testiranja?

8.5. Čemu služi otklanjanje grešaka i testiranje? Otklanjanje grešaka u programu je proces pronalaženja i eliminisanja grešaka u programu na osnovu rezultata njegovog pokretanja na računaru. Testiranje…

06.10.2016. 8.10. Šta su tipične programske greške? 8.11. Da li odsustvo sintaktičkih grešaka ukazuje na ispravnost programa? 8.12. Koje greške prevodilac ne otkriva? 8.13. Šta je programska podrška?

8.10. Šta su tipične programske greške? Greške se mogu napraviti u svim fazama rješavanja problema - od njegove formulacije do izvršenja. Date su razne greške i odgovarajući primjeri ...

Da biste napravili matematički model, potrebno vam je:

pažljivo analizirati stvarni predmet ili proces;
istaći njegove najznačajnije karakteristike i svojstva;
definisati varijable, tj. parametri čije vrijednosti utječu na glavne karakteristike i svojstva objekta;
opisuju zavisnost osnovnih svojstava objekta, procesa ili sistema od vrijednosti varijabli koristeći logičke i matematičke odnose (jednačine, jednakosti, nejednakosti, logičke i matematičke konstrukcije);
istaći unutrašnje veze objekta, procesa ili sistema koristeći ograničenja, jednačine, jednakosti, nejednakosti, logičke i matematičke konstrukcije;
odrediti vanjske odnose i opisati ih korištenjem ograničenja, jednačina, jednakosti, nejednakosti, logičkih i matematičkih konstrukcija.

Matematičko modeliranje, osim proučavanja objekta, procesa ili sistema i sastavljanja njihovog matematičkog opisa, uključuje i:

konstrukcija algoritma koji modelira ponašanje objekta, procesa ili sistema;
provjera adekvatnosti modela i objekta, procesa ili sistema na osnovu računskog i prirodnog eksperimenta;
prilagođavanje modela;
koristeći model.

Matematički opis procesa i sistema koji se proučavaju zavisi od:

prirodu realnog procesa ili sistema i sastavlja se na osnovu zakona fizike, hemije, mehanike, termodinamike, hidrodinamike, elektrotehnike, teorije plastičnosti, teorije elastičnosti itd.
potrebnu pouzdanost i tačnost proučavanja i proučavanja realnih procesa i sistema.

Izgradnja matematičkog modela obično počinje izgradnjom i analizom najjednostavnijeg, najgrubljeg matematičkog modela predmeta, procesa ili sistema koji se razmatra. U budućnosti, ako je potrebno, model se dorađuje, njegova korespondencija sa objektom postaje potpunija.

Uzmimo jednostavan primjer. Morate odrediti površinu stola. Obično se za to mjere njegova dužina i širina, a zatim se dobiveni brojevi množe. Takav elementarni postupak zapravo znači sljedeće: stvarni objekt (ploha stola) zamjenjuje se apstraktnim matematičkim modelom – pravokutnikom. Dimenzije dobivene kao rezultat mjerenja dužine i širine površine stola pripisuju se pravokutniku, a površina takvog pravokutnika se približno uzima kao željena površina stola. Međutim, model pravougaonika stola je najjednostavniji, najgrublji model. Uz ozbiljniji pristup problemu, prije korištenja modela pravokutnika za određivanje površine tablice, ovaj model treba provjeriti. Provjere se mogu izvršiti na sljedeći način: izmjerite dužine suprotnih strana stola, kao i dužine njegovih dijagonala i uporedite ih međusobno. Ako su, uz traženi stepen tačnosti, dužine suprotnih strana i dužine dijagonala u paru jednake, tada se površina stola zaista može smatrati pravougaonikom. U suprotnom, model pravokutnika će se morati odbaciti i zamijeniti općim modelom četverougla. Uz veći zahtjev za preciznošću, možda će biti potrebno dodatno precizirati model, na primjer, da se uzme u obzir zaokruživanje uglova stola.

Uz pomoć ovog jednostavnog primjera pokazano je da matematički model nije jednoznačno određen istraživanim objektom, procesom ili sistem.

ILI (bit će potvrđeno sutra)

Načini rješavanja mat. modeli:

1, Izgradnja m. na osnovu zakona prirode (analitička metoda)

2. Formalni način uz pomoć statističkih. Obrada i rezultati mjerenja (statistički pristup)

3. Konstrukcija brojila na osnovu modela elemenata (složeni sistemi)

1, Analitički - koristiti uz dovoljno proučavanja. Poznata opšta pravilnost. modeli.

2. eksperiment. U nedostatku informacija

3. Imitacija m. - istražuje svojstva predmeta sst. Generalno.

Primjer izgradnje matematičkog modela.

Matematički model je matematički prikaz stvarnosti.

Matematičko modeliranje je proces konstruisanja i proučavanja matematičkih modela.

Sve prirodne i društvene nauke koje koriste matematički aparat, zapravo se bave matematičkim modeliranjem: zamjenjuju objekt njegovim matematičkim modelom, a zatim ga proučavaju. Povezivanje matematičkog modela sa stvarnošću vrši se uz pomoć lanca hipoteza, idealizacija i simplifikacija. Uz pomoć matematičkih metoda, po pravilu se opisuje idealan objekat, izgrađen u fazi smislenog modeliranja.

Zašto su potrebni modeli?

Vrlo često, prilikom proučavanja objekta, nastaju poteškoće. Sam original ponekad nije dostupan, ili njegova upotreba nije preporučljiva, ili je uključivanje originala skupo. Svi ovi problemi se mogu riješiti uz pomoć simulacije. Model u određenom smislu može zamijeniti predmet koji se proučava.

Najjednostavniji primjeri modela

§ Fotografija se može nazvati modelom osobe. Da biste prepoznali osobu, dovoljno je vidjeti njegovu fotografiju.

§ Arhitekta je kreirao tlocrt novog stambenog prostora. Pokretom ruke može premjestiti višespratnicu iz jednog dijela u drugi. U stvarnosti, to ne bi bilo moguće.

Tipovi modela

Modeli se mogu podijeliti na materijal" i idealan. gornji primjeri su materijalni modeli. Idealni modeli često imaju ikonski oblik. U ovom slučaju, stvarni pojmovi se zamjenjuju nekim znakovima, koji se lako mogu fiksirati na papiru, u memoriji računala itd.

Matematičko modeliranje

Matematičko modeliranje spada u klasu modeliranja znakova. U isto vrijeme, modeli se mogu kreirati iz bilo kojeg matematičkog objekta: brojeva, funkcija, jednadžbi itd.

Izgradnja matematičkog modela

§ Postoji nekoliko faza konstruisanja matematičkog modela:

1. Razumijevanje zadatka, isticanje najvažnijih kvaliteta, svojstava, vrijednosti i parametara za nas.

2. Uvođenje notacije.

3. Izrada sistema ograničenja koja moraju zadovoljiti unesene vrijednosti.

4. Formulacija i evidentiranje uslova koje mora zadovoljiti željeno optimalno rješenje.

Proces modeliranja se ne završava sastavljanjem modela, već njime samo počinje. Nakon što su sastavili model, biraju metodu za pronalaženje odgovora, rješavaju problem. nakon što se nađe odgovor, uporedite ga sa stvarnošću. I moguće je da odgovor ne zadovoljava, u tom slučaju se model modificira ili čak bira potpuno drugačiji model.

Primjer matematičkog modela

Zadatak

Proizvodno udruženje, koje obuhvata dve fabrike nameštaja, treba da unapredi svoj mašinski park. Štaviše, prva fabrika nameštaja treba da zameni tri mašine, a druga sedam. Narudžbe se mogu izvršiti u dvije fabrike alatnih mašina. Prva fabrika može proizvesti najviše 6 mašina, a druga fabrika će prihvatiti narudžbu ako ih ima najmanje tri. Potrebno je odrediti način narudžbe.

vektor ulaznih varijabli, X= t,

Y - vektor izlaznih varijabli, Y= t,

Z - vektor spoljnih uticaja, Z= t,

t - vremenska koordinata.

Zgrada matematički model sastoji se u utvrđivanju veza između određenih procesa i pojava, stvaranju matematičkog aparata koji omogućava da se kvantitativno i kvalitativno izrazi odnos između određenih procesa i pojava, između fizičkih veličina od interesa za specijaliste i faktora koji utiču na konačni rezultat.

Obično ih ima toliko da nije moguće uvesti cijeli njihov komplet u model. Prilikom izgradnje matematički model prije studije postavlja se zadatak da se identifikuju i isključe iz razmatranja faktori koji ne utiču bitno na konačni rezultat ( matematički model obično uključuje mnogo manji broj faktora nego u stvarnosti). Na osnovu eksperimentalnih podataka postavljaju se hipoteze o odnosu između veličina koje izražavaju konačni rezultat i faktora uvedenih u matematički model. Takav odnos se često izražava sistemima diferencijala parcijalne diferencijalne jednadžbe(na primjer, u problemima mehanike čvrstog tijela, tekućine i plina, teoriji filtracije, provodljivosti topline, teoriji elektrostatičkih i elektrodinamičkih polja).

Krajnji cilj ove faze je formulacija matematičkog problema, čije rješenje, s potrebnom tačnošću, izražava rezultate koji su od interesa za specijaliste.

Forma i principi prezentacije matematički model zavisi od mnogo faktora.

Po principima gradnje matematički modeli podijeljen u:

analitički;
imitacija.

U analitičkim modelima, procesi funkcionisanja stvarnih objekata, procesa ili sistema zapisani su u formi eksplicitnog funkcionalne zavisnosti.

Analitički model je podijeljen na tipove ovisno o matematičkom problemu:

jednadžbe (algebarske, transcendentalne, diferencijalne, integralne),
problemi aproksimacije (interpolacija, ekstrapolacija, numerička integracija i diferencijaciju),
problemi optimizacije,
stohastički problemi.

Međutim, kako objekt modeliranja postaje složeniji, izgradnja analitičkog modela postaje nerješiv problem. Tada je istraživač primoran da koristi simulacijsko modeliranje.

AT simulacijsko modeliranje funkcionisanje objekata, procesa ili sistema opisano je skupom algoritama. Algoritmi oponašaju stvarne elementarne fenomene koji čine proces ili sistem dok ih održavaju logička struktura i sekvenciranje tokom vremena. Simulacija omogućava vam da dobijete informacije o izvornim podacima procesna stanja ili sistema u određenim trenucima vremena, međutim, predviđanje ponašanja objekata, procesa ili sistema je ovdje teško. Može se reći da simulacijski modeli- ovo su kompjuterski kompjuterski eksperimenti sa matematički modeli, imitirajući ponašanje stvarnih objekata, procesa ili sistema.

U zavisnosti od prirode proučavanih realnih procesa i sistema matematički modeli može biti:

deterministički,
stohastički.

U determinističkim modelima pretpostavlja se da nema slučajnih uticaja, da su elementi modela (varijable, matematički odnosi) prilično precizno utvrđeni i da se ponašanje sistema može tačno odrediti. Prilikom konstruisanja determinističkih modela najčešće se koriste algebarske jednadžbe, integralne jednadžbe, matrična algebra.

Stohastički model uzima u obzir slučajnu prirodu procesa u objektima i sistemima koji se proučavaju, što se opisuje metodama teorije vjerovatnoće i matematičke statistike.

Prema vrsti ulaznih informacija, modeli se dijele na:

kontinuirano,
diskretno.

Ako su informacije i parametri kontinuirani, a matematički odnosi stabilni, onda je model kontinuiran. I obrnuto, ako su informacije i parametri diskretni, a veze nestabilne, onda matematički model- diskretno.

Prema ponašanju modela u vremenu, dijele se na:

statično,
dinamičan.

Statički modeli opisuju ponašanje objekta, procesa ili sistema u bilo kojem trenutku. Dinamički modeli odražavaju ponašanje objekta, procesa ili sistema tokom vremena.

Prema stepenu korespondencije između

BILJEŠKE S PREDAVANJA

Po stopi

"Matematičko modeliranje mašina i transportnih sistema"

Predmet se bavi pitanjima koja se odnose na matematičko modeliranje, sa oblikom i principom predstavljanja matematičkih modela. Razmatraju se numeričke metode za rješavanje jednodimenzionalnih nelinearnih sistema. Obrađena su pitanja kompjuterskog modeliranja i računskog eksperimenta. Razmatraju se metode obrade podataka dobijenih kao rezultat naučnih ili industrijskih eksperimenata; istraživanje različitih procesa, identifikacija obrazaca u ponašanju objekata, procesa i sistema. Razmatraju se metode interpolacije i aproksimacije eksperimentalnih podataka. Razmatraju se pitanja vezana za kompjutersku simulaciju i rješavanje nelinearnih dinamičkih sistema. Posebno se razmatraju metode numeričke integracije i rješavanja običnih diferencijalnih jednadžbi prvog, drugog i višeg reda.

Predavanje: Matematičko modeliranje. Oblik i principi predstavljanja matematičkih modela

Predavanje se bavi opštim pitanjima matematičkog modeliranja. Data je klasifikacija matematičkih modela.

Modeliranje ima široku primenu u različitim oblastima ljudske delatnosti, posebno u oblastima dizajna i menadžmenta, gde su procesi donošenja efektivnih odluka na osnovu dobijenih informacija posebni.

Model se uvijek gradi sa određenim ciljem na umu, koji utiče na to koja svojstva objektivne pojave su značajna, a koja nisu. Model je, takoreći, projekcija objektivne stvarnosti sa određene tačke gledišta. Ponekad, ovisno o ciljevima, možete dobiti brojne projekcije objektivne stvarnosti koje dolaze u sukob. To je tipično, po pravilu, za složene sisteme, u kojima svaka projekcija izdvaja ono što je bitno za određenu svrhu iz skupa nebitnih.

Teorija modeliranja je grana nauke koja proučava načine proučavanja svojstava originalnih objekata na osnovu njihove zamjene drugim modelskim objektima. Teorija sličnosti je u osnovi teorije modeliranja. Prilikom modeliranja ne dolazi do apsolutne sličnosti, već se samo nastoji osigurati da model dovoljno dobro odražava proučavanu stranu funkcionisanja objekta. Apsolutna sličnost se može dogoditi samo kada se jedan objekt zamijeni drugim potpuno istim.

Svi modeli se mogu podijeliti u dvije klase:

1. pravi,

2. savršeno.

Zauzvrat, pravi modeli se mogu podijeliti na:

1. prirodni,

2. fizički,

3. matematički.

Idealni modeli se mogu podijeliti na:

1. vizuelni,

2. kultni,

3. matematički.

Realni modeli pune skale su stvarni objekti, procesi i sistemi na kojima se izvode naučni, tehnički i industrijski eksperimenti.

Pravi fizički modeli su makete, modeli koji reproduciraju fizička svojstva originala (kinematički, dinamički, hidraulički, termički, električni, svjetlosni modeli).

Pravi matematički su analogni, strukturni, geometrijski, grafički, digitalni i kibernetički modeli.

Idealni vizuelni modeli su dijagrami, karte, crteži, grafovi, grafovi, analozi, strukturni i geometrijski modeli.

Idealni modeli znakova su simboli, abeceda, programski jezici, uređena notacija, topološka notacija, mrežna reprezentacija.

Idealni matematički modeli su analitički, funkcionalni, simulacijski, kombinovani modeli.

Zaustavimo se na jednoj od najuniverzalnijih vrsta modeliranja - matematičkom, koja povezuje simulirani fizički proces sa sistemom matematičkih odnosa, čije rješenje vam omogućava da dobijete odgovor na pitanje o ponašanju objekta bez stvaranja fizički model, koji se često pokaže skupim i neefikasnim.

Matematičko modeliranje je način proučavanja stvarnog objekta, procesa ili sistema zamjenom istih matematičkim modelom koji je pogodniji za eksperimentalno istraživanje korištenjem kompjutera.

U opštem slučaju, matematički model realnog objekta, procesa ili sistema predstavlja se kao sistem funkcionala

F i (X,Y,Z,t)=0,

gdje je X vektor ulaznih varijabli, X= t ,

Y - vektor izlaznih varijabli, Y= t ,

Z - vektor vanjskih utjecaja, Z= t ,

t - vremenska koordinata.

Izgradnja matematičkog modela sastoji se u utvrđivanju veza između određenih procesa i pojava, stvaranju matematičkog aparata koji omogućava da se kvantitativno i kvalitativno izrazi odnos između određenih procesa i pojava, između fizičkih veličina od interesa za specijaliste i faktora koji utiču na konačni rezultat.

Obično ih ima toliko da nije moguće uvesti cijeli njihov komplet u model. Prilikom konstruisanja matematičkog modela, prije istraživanja, postavlja se zadatak da se identifikuju i iz razmatranja izuzmu faktori koji ne utiču bitno na konačni rezultat (matematički model obično uključuje mnogo manji broj faktora nego što je to u stvarnosti). Na osnovu eksperimentalnih podataka postavljaju se hipoteze o odnosu između veličina koje izražavaju konačni rezultat i faktora koji se unose u matematički model. Takva veza se često izražava sistemima diferencijalnih jednačina u parcijalnim derivatima (na primjer, u problemima mehanike čvrstog tijela, tekućine i plina, teoriji filtracije, provodljivosti topline, teoriji elektrostatičkih i elektrodinamičkih polja).

Krajnji cilj ove faze je formulacija matematičkog problema, čije rješenje, s potrebnom tačnošću, izražava rezultate koji su od interesa za specijaliste.

Oblik i principi predstavljanja matematičkog modela zavise od mnogih faktora.

Prema principima konstrukcije, matematički modeli se dijele na:

1. analitički;

2. imitacija.

U analitičkim modelima, procesi funkcionisanja stvarnih objekata, procesa ili sistema zapisani su u obliku eksplicitnih funkcionalnih zavisnosti.

Analitički model je podijeljen na tipove ovisno o matematičkom problemu:

1. jednadžbe (algebarske, transcendentalne, diferencijalne, integralne),

2. aproksimacijski problemi (interpolacija, ekstrapolacija, numerička integracija i diferencijacija),

3. problemi optimizacije,

4. stohastički problemi.

Međutim, kako objekt modeliranja postaje složeniji, izgradnja analitičkog modela postaje nerješiv problem. Tada je istraživač primoran koristiti simulacijsko modeliranje.

U simulacionom modeliranju, funkcionisanje objekata, procesa ili sistema opisuje se skupom algoritama. Algoritmi oponašaju stvarne elementarne pojave koje čine proces ili sistem zadržavajući svoju logičku strukturu i slijed u vremenu. Simulaciono modeliranje omogućava dobijanje informacija o stanjima procesa ili sistema u određenim vremenskim momentima iz početnih podataka, međutim, predviđanje ponašanja objekata, procesa ili sistema je ovde teško. Možemo reći da su simulacijski modeli kompjuterski zasnovani računarski eksperimenti sa matematičkim modelima koji simuliraju ponašanje stvarnih objekata, procesa ili sistema.

U zavisnosti od prirode proučavanih realnih procesa i sistema, matematički modeli mogu biti:

1. deterministički,

2. stohastički.

Stohastički model uzima u obzir slučajnu prirodu procesa u objektima i sistemima koji se proučavaju, što se opisuje metodama teorije vjerovatnoće i matematičke statistike.

Prema vrsti ulaznih informacija, modeli se dijele na:

1. kontinuirano,

2. diskretno.

Ako su informacije i parametri kontinuirani, a matematički odnosi stabilni, tada je model kontinuiran. I obrnuto, ako su informacije i parametri diskretni, a veze nestabilne, onda je i matematički model diskretan.

Prema ponašanju modela u vremenu, dijele se na:

1. statički,

2. dinamičan.

Statički modeli opisuju ponašanje objekta, procesa ili sistema u bilo kojem trenutku. Dinamički modeli odražavaju ponašanje objekta, procesa ili sistema tokom vremena.

Prema stepenu korespondencije između matematičkog modela i stvarnog objekta, procesa ili sistema, matematički modeli se dijele na:

1. izomorfan (isti oblik),

2. homomorfni (različiti oblikom).

Model se naziva izomorfnim ako postoji potpuna korespondencija element po element između njega i stvarnog objekta, procesa ili sistema. Homomorfno - ako postoji korespondencija samo između najznačajnijih komponenti objekta i modela.

U budućnosti, za kratku definiciju tipa matematičkog modela u gornjoj klasifikaciji, koristićemo sljedeću notaciju:

prvo slovo:

D - deterministički,

C - stohastički.

Drugo pismo:

H - kontinuirano,

D - diskretno.

Treće pismo:

A - analitičko,

I - imitacija.

1. Ne postoji (tačnije, ne uzima se u obzir) uticaj slučajnih procesa, tj. deterministički model (D).

2. Informacije i parametri su kontinuirani, tj. model - kontinuirani (H),

3. Funkcioniranje modela koljenastog mehanizma opisano je u obliku nelinearnih transcendentalnih jednačina, tj. model - analitički (A)

2. Predavanje: Osobine građenja matematičkih modela

Predavanje opisuje proces izgradnje matematičkog modela. Dat je verbalni algoritam procesa.

Matematički modeli u kvantitativnom obliku, uz pomoć logičkih i matematičkih konstrukcija, opisuju glavna svojstva objekta, procesa ili sistema, njegove parametre, unutrašnje i eksterne veze.

Da biste napravili matematički model, potrebno vam je:

1. pažljivo analizirati stvarni predmet ili proces;

2. istaći njegove najznačajnije karakteristike i svojstva;

3. definisati varijable, tj. parametri čije vrijednosti utječu na glavne karakteristike i svojstva objekta;

4. opisati zavisnost osnovnih svojstava objekta, procesa ili sistema od vrijednosti varijabli koristeći logičke i matematičke odnose (jednačine, jednakosti, nejednačine, logičke i matematičke konstrukcije);

5. istaći unutrašnje veze objekta, procesa ili sistema koristeći ograničenja, jednačine, jednakosti, nejednakosti, logičke i matematičke konstrukcije;

6. odrediti vanjske odnose i opisati ih korištenjem ograničenja, jednačina, jednakosti, nejednakosti, logičkih i matematičkih konstrukcija.

Matematičko modeliranje, osim proučavanja objekta, procesa ili sistema i sastavljanja njihovog matematičkog opisa, uključuje i:

1. konstrukcija algoritma koji modelira ponašanje objekta, procesa ili sistema;

2. provjeru adekvatnosti modela i objekta, procesa ili sistema na osnovu računskog i prirodnog eksperimenta;

3. prilagođavanje modela;

4. korištenje modela.

Matematički opis procesa i sistema koji se proučavaju zavisi od:

1. priroda realnog procesa ili sistema i sastavlja se na osnovu zakona fizike, hemije, mehanike, termodinamike, hidrodinamike, elektrotehnike, teorije plastičnosti, teorije elastičnosti itd.

2. potrebna pouzdanost i tačnost proučavanja i proučavanja realnih procesa i sistema.

U fazi izbora matematičkog modela utvrđuju se: linearnost i nelinearnost objekta, procesa ili sistema, dinamičnost ili statičnost, stacionarnost ili nestacionarnost, kao i stepen determinisanosti objekta ili procesa pod studija. U matematičkom modeliranju, namjerno se apstrahuje od specifične fizičke prirode objekata, procesa ili sistema i uglavnom se fokusira na proučavanje kvantitativnih zavisnosti između veličina koje opisuju ove procese.

Matematički model nikada nije potpuno identičan predmetnom objektu, procesu ili sistemu. Na osnovu pojednostavljenja, idealizacije, to je približan opis objekta. Stoga su rezultati dobijeni analizom modela približni. Njihova tačnost je određena stepenom adekvatnosti (korespondencije) modela i objekta.

Međutim, model pravougaonika stola je najjednostavniji, najgrublji model. Uz ozbiljniji pristup problemu, prije korištenja modela pravokutnika za određivanje površine tablice, ovaj model treba provjeriti. Provjere se mogu izvršiti na sljedeći način: izmjerite dužine suprotnih strana stola, kao i dužine njegovih dijagonala i uporedite ih međusobno. Ako su, uz traženi stepen tačnosti, dužine suprotnih strana i dužine dijagonala u paru jednake, tada se površina stola zaista može smatrati pravougaonikom. U suprotnom, model pravokutnika će se morati odbaciti i zamijeniti općim modelom četverougla. Uz veći zahtjev za preciznošću, možda će biti potrebno dodatno precizirati model, na primjer, da se uzme u obzir zaokruživanje uglova stola.

Koristeći ovaj jednostavan primjer, pokazalo se da matematički model nije jednoznačno određen objektom, procesom ili sistemom koji se proučava. Za istu tabelu možemo prihvatiti ili model pravougaonika, ili složeniji model opšteg četvorougla, ili četvorougao sa zaobljenim uglovima. Izbor jednog ili drugog modela određen je zahtjevom tačnosti. Sa sve većom preciznošću, model se mora komplikovati, uzimajući u obzir nove i nove karakteristike objekta, procesa ili sistema koji se proučava.

Razmotrimo još jedan primjer: proučavanje kretanja koljenastog mehanizma (slika 2.1).

Rice. 2.1.

Za kinematičku analizu ovog mehanizma, prije svega, potrebno je izgraditi njegov kinematički model. Za ovo:

1. Mehanizam zamjenjujemo njegovom kinematičkom šemom, gdje su sve karike zamijenjene krutim karikama;

2. Koristeći ovu šemu, izvodimo jednačinu kretanja mehanizma;

3. Diferencirajući potonje, dobijamo jednačine brzina i ubrzanja, koje su diferencijalne jednadžbe 1. i 2. reda.

Napišimo ove jednačine:

gdje je C 0 krajnja desna pozicija klizača C:

r je poluprečnik radilice AB;

l je dužina klipnjače BC;

- ugao rotacije poluge;

Rezultirajuće transcendentalne jednadžbe predstavljaju matematički model gibanja ravnog aksijalnog koljenastog mehanizma baziran na sljedećim pojednostavljujućim pretpostavkama:

1. Nisu nas zanimali konstruktivni oblici i raspored masa uključenih u mehanizam tijela, te smo sva tijela mehanizma zamijenili segmentima linija. Zapravo, sve karike mehanizma imaju masu i prilično složen oblik. Na primjer, klipnjača je složena montažna veza, čiji će oblik i dimenzije, naravno, utjecati na kretanje mehanizma;

2. prilikom konstruisanja matematičkog modela kretanja mehanizma koji se razmatra, takođe nismo uzeli u obzir elastičnost tela uključenih u mehanizam, tj. sve karike su smatrane kao apstraktna, apsolutno kruta tijela. U stvarnosti, sva tijela uključena u mehanizam su elastična tijela. Kada se mehanizam kreće, oni će se nekako deformirati, u njima se mogu čak pojaviti i elastične vibracije. Sve će to, naravno, uticati i na kretanje mehanizma;

3. nismo uzeli u obzir grešku izrade karika, praznine u kinematičkim parovima A, B, C itd.

Stoga je važno još jednom naglasiti da što su zahtjevi za preciznošću rezultata rješavanja problema veći, to je veća potreba da se pri konstruiranju matematičkog modela uzmu u obzir karakteristike objekta, procesa ili sistema koji se proučava. Međutim, važno je ovdje stati na vrijeme, jer se složeni matematički model može pretvoriti u težak zadatak.

Model se najjednostavnije gradi kada su dobro poznati zakoni koji određuju ponašanje i svojstva objekta, procesa ili sistema, a postoji mnogo praktičnog iskustva u njihovoj primjeni.

Komplikovanija situacija nastaje kada je naše znanje o objektu, procesu ili sistemu koji se proučava nije dovoljno. U ovom slučaju, prilikom konstruisanja matematičkog modela, potrebno je napraviti dodatne pretpostavke koje su u prirodi hipoteza, takav model se naziva hipotetičkim. Zaključci izvedeni iz proučavanja takvog hipotetičkog modela su uslovni. Da bi se potvrdili zaključci, potrebno je uporediti rezultate proučavanja modela na kompjuteru sa rezultatima eksperimenta punog opsega. Dakle, pitanje primjenjivosti određenog matematičkog modela na proučavanje predmeta, procesa ili sistema koji se razmatra nije matematičko pitanje i ne može se riješiti matematičkim metodama.

Glavni kriterij istine je eksperiment, praksa u najširem smislu riječi.

Izgradnja matematičkog modela u primijenjenim problemima jedna je od najsloženijih i najodgovornijih faza rada. Iskustvo pokazuje da u mnogim slučajevima odabir pravog modela znači više od pola rješavanja problema. Teškoća ove faze je što zahtijeva kombinaciju matematičkog i specijalnog znanja. Zbog toga je veoma važno da matematičari pri rešavanju primenjenih problema imaju posebna znanja o objektu, a njihovi partneri specijalisti određenu matematičku kulturu, istraživačko iskustvo u svojoj oblasti, poznavanje računara i programiranja.

Predavanje 3. Računarsko modeliranje i računski eksperiment. Rješavanje matematičkih modela

Računarsko modeliranje kao nova metoda naučnog istraživanja zasniva se na:

1. izgradnja matematičkih modela za opisivanje procesa koji se proučavaju;

2. korištenje najnovijih računara velike brzine (milioni operacija u sekundi) i sposobnih za vođenje dijaloga sa osobom.

Suština kompjuterske simulacije je sljedeća: na osnovu matematičkog modela izvodi se niz računskih eksperimenata uz pomoć kompjutera, tj. proučavaju se svojstva objekata ili procesa, pronalaze njihovi optimalni parametri i načini rada, usavršava se model. Na primjer, ako imate jednadžbu koja opisuje tok određenog procesa, možete promijeniti njegove koeficijente, početne i granične uslove i istražiti kako će se objekt ponašati u ovom slučaju. Štaviše, moguće je predvidjeti ponašanje objekta u različitim uvjetima.

Računarski eksperiment omogućava zamjenu skupog eksperimenta punog opsega kompjuterskim proračunima. Omogućava u kratkom vremenu i bez značajnih materijalnih troškova da se izvrši proučavanje velikog broja opcija za projektovani objekat ili proces za različite načine njegovog rada, što značajno smanjuje vreme potrebno za razvoj složenih sistema i njihovo uvođenje. u proizvodnju.

Kompjutersko modeliranje i računarski eksperiment kao nova metoda naučnog istraživanja čini neophodnim unapređenje matematičkog aparata koji se koristi u konstrukciji matematičkih modela, omogućava, korišćenjem matematičkih metoda, usavršavanje i usložnjavanje matematičkih modela. Najperspektivnije za izvođenje računskog eksperimenta je njegova upotreba za rješavanje velikih znanstvenih, tehničkih i društveno-ekonomskih problema našeg vremena (projektovanje reaktora za nuklearne elektrane, projektovanje brana i hidroelektrana, magnetohidrodinamičkih pretvarača energije, te u oblasti ekonomije). - izrada balansiranog plana za industriju, regiju, za državu, itd.).

U nekim procesima u kojima je eksperiment punog opsega opasan po život i zdravlje ljudi, kompjuterski eksperiment je jedini moguć (termonuklearna fuzija, istraživanje svemira, projektovanje i istraživanje hemijskih i drugih industrija).

Da bi se provjerila adekvatnost matematičkog modela i stvarnog objekta, procesa ili sistema, rezultati istraživanja na računaru se upoređuju sa rezultatima eksperimenta na eksperimentalnom uzorku punog opsega. Rezultati verifikacije se koriste za korekciju matematičkog modela, odnosno rešava se pitanje primenljivosti konstruisanog matematičkog modela na projektovanje ili proučavanje datih objekata, procesa ili sistema.

U zaključku, još jednom naglašavamo da kompjuterska simulacija i računski eksperiment omogućavaju da se proučavanje "nematematičkog" objekta svede na rješenje matematičkog problema. To otvara mogućnost korištenja dobro razvijenog matematičkog aparata u kombinaciji sa moćnom kompjuterskom tehnologijom za njegovo proučavanje. Ovo je osnova za korištenje matematike i kompjutera za poznavanje zakona stvarnog svijeta i njihovu primjenu u praksi.

U zadacima projektovanja ili proučavanja ponašanja stvarnih objekata, procesa ili sistema, matematički modeli su po pravilu nelinearni, jer moraju odražavati stvarne fizičke nelinearne procese koji se dešavaju u njima. Istovremeno, parametri (varijable) ovih procesa su međusobno povezani fizičkim nelinearnim zakonima. Stoga se u problemima projektovanja ili proučavanja ponašanja realnih objekata, procesa ili sistema najčešće koriste matematički modeli tipa DND.

Prema klasifikaciji datoj u predavanju 1:

D - model je deterministički, nema (tačnije, ne uzima se u obzir) uticaja slučajnih procesa.

H - model je kontinuiran, informacije i parametri su kontinuirani.

A - analitički model, funkcionisanje modela je opisano u obliku jednačina (linearni, nelinearni, sistemi jednačina, diferencijalne i integralne jednačine).

Dakle, izgradili smo matematički model razmatranog objekta, procesa ili sistema, tj. prikazao primijenjeni problem kao matematički. Nakon toga počinje druga faza rješavanja primijenjenog problema - traženje ili razvoj metode za rješavanje formulisanog matematičkog problema. Metoda bi trebala biti prikladna za implementaciju na računaru, osigurati potreban kvalitet rješenja.

Sve metode za rješavanje matematičkih problema mogu se podijeliti u 2 grupe:

1. tačne metode rješavanja problema;

2. numeričke metode za rješavanje problema.

U egzaktnim metodama za rješavanje matematičkih problema, odgovor se može dobiti u obliku formula.

Na primjer, izračunavanje korijena kvadratne jednadžbe:

ili, na primjer, izračunavanje derivacijskih funkcija:

ili izračunavanje određenog integrala:

Međutim, zamjenom brojeva u formulu kao konačnih decimalnih razlomaka, i dalje dobivamo približne vrijednosti rezultata.

Za većinu problema koji se susreću u praksi, tačne metode rješenja su ili nepoznate ili daju vrlo glomazne formule. Međutim, oni nisu uvijek neophodni. Primijenjeni problem se može smatrati praktično riješenim ako ga možemo riješiti sa potrebnim stepenom tačnosti.

Za rješavanje takvih problema razvijene su numeričke metode u kojima se rješavanje složenih matematičkih problema svodi na sekvencijalno izvršavanje velikog broja jednostavnih aritmetičkih operacija. Direktan razvoj numeričkih metoda pripada računskoj matematici.

Primjer numeričke metode je metoda pravokutnika za približnu integraciju, koja ne zahtijeva izračunavanje antiderivata za integrand. Umjesto integrala, izračunava se konačni kvadraturni zbir:

x 1 =a - donja granica integracije;

x n+1 =b – gornja granica integracije;

n je broj segmenata na koje je podijeljen interval integracije (a,b);

je dužina elementarnog segmenta;

f(x i) je vrijednost integranda na krajevima elementarnih segmenata integracije.

Što je veći broj segmenata n na koje je podijeljen interval integracije, približno rješenje je bliže pravom, tj. što je rezultat tačniji.

Dakle, u primijenjenim zadacima, kako kada se koriste metode egzaktnog rješenja, tako i kada se koriste metode numeričkog rješenja, rezultati proračuna su približni. Važno je samo osigurati da se greške uklapaju u potrebnu tačnost.

Numeričke metode za rješavanje matematičkih problema bile su poznate već dugo, čak i prije pojave računara, ali su se rijetko koristile i to samo u relativno jednostavnim slučajevima zbog izuzetne složenosti proračuna. Široka upotreba numeričkih metoda postala je moguća zahvaljujući kompjuterima.

Podijeli: