Područje duž hipotenuze i kraka. Kako pronaći površinu pravokutnog trokuta na neobičan način

Formula površine potrebno je odrediti površinu figure, koja je realnovrijedna funkcija definirana na određenoj klasi figura euklidske ravni i koja zadovoljava 4 uvjeta:

1. Pozitivnost - Površina ne može biti manja od nule;
2. Normalizacija - kvadrat sa bočnom jedinicom ima površinu 1;
3. Kongruencija - kongruentne figure imaju jednaku površinu;
4. Aditivnost - površina spoja 2 figure bez zajedničkih unutrašnjih tačaka jednaka je zbroju površina ovih figura.

Trougao je ravna geometrijska figura sa jednim uglom jednakim 90°. Štoviše, u geometriji je često potrebno izračunati površinu takve figure. Mi ćemo vam dalje reći kako to učiniti.

Najjednostavnija formula za određivanje površine pravokutnog trokuta

Početni podaci, gdje su: a i b stranice trougla koje se protežu iz pravog ugla.

To jest, površina je jednaka polovini proizvoda dviju stranica koje se protežu iz pravog ugla. Naravno, postoji Heronova formula koja se koristi za izračunavanje površine pravilnog trokuta, ali da biste odredili vrijednost, morate znati dužinu triju stranica. U skladu s tim, morat ćete izračunati hipotenuzu, a ovo je dodatno vrijeme.

Nađite površinu pravokutnog trokuta koristeći Heronovu formulu

Ovo je dobro poznata i originalna formula, ali za to ćete morati izračunati hipotenuzu na dvije noge koristeći Pitagorinu teoremu.

U ovoj formuli: a, b, c su stranice trougla, a p je poluperimetar.

Nađite površinu pravokutnog trokuta koristeći hipotenuzu i ugao

Ako nijedna od nogu nije poznata u vašem problemu, tada nećete moći koristiti najjednostavniji metod. Da biste odredili vrijednost, morate izračunati dužinu nogu. To se može učiniti jednostavno korištenjem hipotenuze i kosinusa susjednog ugla.

b=c×cos(α)

Kada saznate dužinu jednog od krakova, pomoću Pitagorine teoreme možete izračunati drugu stranu koja izlazi iz pravog ugla.

b 2 =c 2 -a 2

U ovoj formuli, c i a su hipotenuza i krak, respektivno. Sada možete izračunati površinu koristeći prvu formulu. Na isti način možete izračunati jednu od nogu, s obzirom na drugu i ugao. U ovom slučaju, jedna od traženih stranica bit će jednaka umnošku noge i tangente kuta. Postoje i drugi načini za izračunavanje površine, ali poznavajući osnovne teoreme i pravila, lako možete pronaći željenu vrijednost.

Ako nemate nijednu stranicu trokuta, već samo medijanu i jedan od uglova, tada možete izračunati dužinu stranica. Da biste to učinili, koristite svojstva medijane da podijelite pravokutni trokut na dva. Prema tome, može djelovati kao hipotenuza ako izlazi iz oštrog ugla. Upotrijebite Pitagorinu teoremu i odredite dužinu stranica trokuta koje dolaze iz pravog ugla.

Kao što vidite, poznavajući osnovne formule i Pitagorinu teoremu, možete izračunati površinu pravokutnog trokuta, koji ima samo jedan od uglova i dužinu jedne od stranica.

Pravougli trokut se u stvarnosti nalazi na gotovo svakom uglu. Poznavanje svojstava date figure, kao i sposobnost izračunavanja njene površine, nesumnjivo će vam biti od koristi ne samo za rješavanje geometrijskih problema, već iu životnim situacijama.

Geometrija trougla

U elementarnoj geometriji, pravougli trokut je figura koja se sastoji od tri povezana segmenta koji tvore tri ugla (dva oštra i jedan pravi). Pravokutni trokut je originalna figura koju karakterizira niz važnih svojstava koja čine osnovu trigonometrije. Za razliku od pravilnog trokuta, stranice pravokutne figure imaju svoja imena:

• Hipotenuza je najduža stranica trougla, naspram pravog ugla.
• Noge su segmenti koji formiraju pravi ugao. U zavisnosti od ugla koji se razmatra, krak može biti uz njega (tvoreći ovaj ugao sa hipotenuzom) ili nasuprot (ležeći nasuprot ugla). Ne postoje noge za nepravouglove trougla.

To je omjer kateta i hipotenuze koji čini osnovu trigonometrije: sinusi, tangente i sekanti definirani su kao omjer stranica pravokutnog trokuta.

Pravougli trougao u stvarnosti

Ova cifra je postala široko rasprostranjena u stvarnosti. Trokuti se koriste u dizajnu i tehnologiji, tako da izračunavanje površine figure moraju obaviti inženjeri, arhitekti i dizajneri. Osnove tetraedara ili prizme - trodimenzionalne figure koje je lako sresti u svakodnevnom životu - imaju oblik trokuta. Osim toga, kvadrat je najjednostavniji prikaz "ravnog" pravokutnog trokuta u stvarnosti. Kvadrat je alat za obradu metala, crtanje, konstrukciju i stolariju koji koriste i školarci i inženjeri za konstruiranje uglova.

Površina trougla

Površina geometrijske figure je kvantitativna procjena koliki je dio ravnine omeđen stranicama trokuta. Površina običnog trokuta može se pronaći na pet načina, koristeći Heronovu formulu ili koristeći takve varijable kao što su baza, stranica, kut i polumjer upisane ili opisane kružnice. Najjednostavnija formula za površinu se izražava kao:

gdje je a stranica trougla, h njegova visina.

Formula za izračunavanje površine pravokutnog trokuta je još jednostavnija:

gdje su a i b noge.

Radeći s našim online kalkulatorom, možete izračunati površinu trokuta koristeći tri para parametara:

• dvije noge;
• noga i susedni ugao;
• nogu i suprotnog ugla.

U problemima ili svakodnevnim situacijama dobićete različite kombinacije varijabli, pa vam ovaj oblik kalkulatora omogućava da izračunate površinu trokuta na nekoliko načina. Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjeri iz stvarnog života

Keramička pločica

Recimo da želite zidove kuhinje obložiti keramičkim pločicama koje imaju oblik pravokutnog trokuta. Da biste odredili potrošnju pločica, morate saznati površinu jednog elementa obloge i ukupnu površinu površine koja se obrađuje. Recimo da trebate obraditi 7 kvadratnih metara. Dužina nogu jednog elementa je 19 cm, tada će površina pločice biti jednaka:

To znači da je površina jednog elementa 24,5 kvadratnih centimetara ili 0,01805 kvadratnih metara. Poznavajući ove parametre, možete izračunati da će vam za završetak 7 kvadratnih metara zida trebati 7/0,01805 = 387 elemenata obloženih pločica.

Školski zadatak

Recimo da u školskom zadatku iz geometrije trebate pronaći površinu pravokutnog trokuta, znajući samo da je stranica jedne noge 5 cm, a suprotni ugao 30 stepeni. Naš online kalkulator dolazi sa ilustracijom koja prikazuje stranice i uglove pravokutnog trokuta. Ako je stranica a = 5 cm, onda je njen suprotni ugao ugao alfa, jednak 30 stepeni. Unesite ove podatke u obrazac kalkulatora i dobijte rezultat:

Dakle, kalkulator ne samo da izračunava površinu datog trokuta, već i određuje dužinu susjednog kraka i hipotenuze, kao i vrijednost drugog ugla.

Zaključak

Pravi trouglovi se nalaze u našim životima bukvalno na svakom uglu. Određivanje područja takvih figura bit će vam korisno ne samo pri rješavanju školskih zadataka iz geometrije, već iu svakodnevnim i profesionalnim aktivnostima.

Površina pravokutnog trokuta može se pronaći na nekoliko načina. Pravi ugao na bilo kojoj slici dodaje joj svojstva i to se može koristiti za pravilno i brzo rješavanje problema.

Pravokutni trokut

Prvo, razgovarajmo o samom pravokutnom trokutu, njegovim karakteristikama i svojstvima. Pravokutni trokut je trokut koji sadrži ugao.

Pravougli trougao ne može biti tupougli, jer će tada zbir uglova trougla biti veći od 180 stepeni, a to je nemoguće.

U pravokutnom trokutu dvije od tri visine poklapaju se sa stranicama - nogama. Iz istog razloga, tačka preseka visina pravouglog trougla poklapa se sa vrhom pod pravim uglom.

Rice. 1. Sve visine pravouglog trougla.

Ista tačka će biti centar opisane kružnice.

Površina trougla

Površina trokuta se obično nalazi koristeći standardnu ​​formulu, kao polovinu umnožaka baze i visine povučene ovoj osnovici.

$$S=(1\over2)*a*h$$

Površinu možete pronaći kao polovinu proizvoda stranica i sinusa ugla između njih:

$$S=(1\over2)*a*b*sin(g)$$

Postoje komplicirane formule za pronalaženje područja, ali se koriste izuzetno rijetko.

Površina pravouglog trougla

Površina pravokutnog trokuta se nalazi pomoću istih formula, ali se u nekim slučajevima ove formule mogu pojednostaviti.

Na primjer, možete iskoristiti činjenicu da se visine u pravokutnom trokutu poklapaju s nogama. Tada standardna formula postaje:

$S=(1\over2)*a*b$, gdje su a i b kraci pravouglog trougla.

Ovo je jedna od najjednostavnijih formula za površinu pravokutnog trokuta. Pokušajmo transformirati drugu formulu.

$$S=(1\over2)*a*b*sin(g)$$

Ako se sjetimo da je sinus ugla omjer suprotne strane i hipotenuze. U našem slučaju suprotni krak označavamo slovom f, jer je a susjedni krak, a oštar ugao se može zaključiti samo između kateta i hipotenuze. Dakle, b je hipotenuza.

$S=(1\over2)*a*b*sin(g)= (1\over2)*a*b*(f\over(b))=(1\over2)a*f$ - sve ispada ista ista formula.

Rice. 2. Izvođenje zaključka.

To znači da smo pravilno izveli prvi zaključak, a pravokutni trokut ima samo jednu posebnu formulu za pronalaženje površine. Ako ne radi, možete koristiti opće formule. Ovo su dva moguća načina za izračunavanje površine.

Na primjer, ako je hipotenuza poznata prema uvjetima problema, tada možete pokušati pronaći visinu koja pada na hipotenuzu i odrediti površinu koristeći opću formulu. Koristeći isti princip, možete pronaći površinu kroz sinus ako su hipotenuza i krak poznati.

Rice. 3. Visina povučena do hipotenuze.

Glavna stvar koju treba zapamtiti je da svaki problem uvijek ima 3 rješenja i svako riješite na najpovoljniji način.

Šta smo naučili?

Razgovarali smo o pravokutnim trokutima i izveli formulu za površinu pravokutnog trokuta koristeći noge. Razgovarali smo o općim formulama za površinu trokuta i rekli da će svaka od ovih formula raditi za rješavanje pravokutnog trokuta.

Testirajte na temu

Ocjena članka

Prosječna ocjena: 4.5. Ukupno primljenih ocjena: 115.