Zbrajanje prirodnih brojeva: pravila, primjeri i rješenja. Aksiomatska definicija sabiranja prirodnih brojeva

Sabiranje stupaca, ili kako kažu, zbrajanje stupaca je metoda koja se široko koristi za sabiranje viševrijednih prirodnih brojeva. Suština ove metode je da se sabiranje dva ili više višecifrenih brojeva svodi na nekoliko jednostavnih operacija sabiranja jednocifrenih brojeva.

U članku je detaljno opisano kako izvršiti sabiranje dva ili više viševrijednih prirodnih brojeva. Dato je pravilo za sabiranje brojeva u koloni i primjeri rješenja sa analizom svih najkarakterističnijih situacija koje nastaju pri sabiranju brojeva u koloni.

Dodavanje dva broja u kolonu: šta trebate znati?

Prije nego što pređemo direktno na operaciju dodavanja stupaca, pogledajmo neke važne točke. Za brzo savladavanje gradiva poželjno je:

1. Znati i biti upoznat sa tabelom sabiranja. Dakle, kada obavljate međuproračune, ne morate gubiti vrijeme i stalno se pozivati ​​na tablicu sabiranja.
2. Zapamtite svojstva sabiranja prirodnih brojeva. Posebno svojstva povezana sa dodavanjem nula. Podsjetimo ih ukratko. Ako je jedan od dva člana jednak nuli, onda je zbir jednak drugom članu. Zbir dvije nule je nula.
3. Znati pravila za poređenje prirodnih brojeva.
4. Znati koja je cifra prirodnog broja. Podsjetimo da je cifra pozicija i vrijednost cifre u zapisu brojeva. Cifra određuje vrijednost cifre u broju - jedinice, desetice, stotine, hiljade itd.

Hajde da opišemo algoritam za sabiranje brojeva u koloni koristeći poseban primjer. Dodajmo brojeve 724980032 i 30095. Najprije zapišite ove brojeve prema pravilima za pisanje zbrajanja u koloni.

Brojevi su napisani jedan ispod drugog, cifre svake cifre nalaze se, redom, jedna ispod druge. Stavimo znak plus sa lijeve strane, a ispod brojeva nacrtamo vodoravnu liniju.

Sada mentalno razbijamo rekord u kolone po kategorijama.

Sve što ostaje da se uradi je da se zbroje jednocifrene brojke u svakoj koloni.

Počinjemo od krajnje desne kolone (cifra jedinica). Sabiramo brojeve, a ispod reda upisujemo vrijednost jedinica. Ako se prilikom zbrajanja vrijednost desetica kao rezultat pokaže različitom od nule, zapamtite ovaj broj.

Zbrojite brojeve u drugom stupcu. Rezultatu dodajemo broj desetica kojeg smo zapamtili u prethodnom koraku.

Ponavljamo cijeli postupak sa svakom kolonom, do krajnje lijeve.

Ova prezentacija je pojednostavljeni dijagram algoritma za dodavanje prirodnih brojeva u kolonu. Sada kada smo se pozabavili suštinom metode, detaljno ćemo razmotriti svaki korak.

Prvo dodajte jedinice, odnosno brojeve u desnom stupcu. Ako smo dobili broj manji od 10, upisujemo ga u istu kolonu i prelazimo na sljedeću. Ako je rezultat zbrajanja veći ili jednak 10, tada ispod linije u prvom stupcu upisujemo vrijednost znamenke jedinice i zapamtimo vrijednost znamenke desetice. Na primjer, ispostavilo se da je broj 17. Zatim zapisujemo broj 7 - vrijednost jedinica, a vrijednost desetica - 1 - pamtimo. Obično kažu: "pišemo sedam, jedan u mislima."

U našem primjeru, pri sabiranju brojeva prve kolone, dobijamo broj 7.

7 < 10 , поэтому записываем это число в разряд единиц результата, а запоминать нам ничего не нужно.

Zatim dodajte brojeve u sljedećoj koloni, odnosno na mjestu desetica. Izvodimo iste radnje, samo što iznosu trebamo dodati broj koji smo imali na umu. Ako je zbir manji od 10, samo upišite broj ispod druge kolone. Ako je rezultat veći ili jednak 10, upisujemo vrijednost jedinica ovog broja u drugu kolonu i zapamtimo cifru s mjesta desetica.

U našem slučaju, dodajemo brojeve 3 i 9, što rezultira 3 + 9 = 12. U prethodnom koraku nismo ništa zapamtili, tako da ovom rezultatu ništa ne treba dodati.

12\u003e 10, pa u drugu kolonu upisujemo broj 2 sa mjesta jedinica, a broj 1 sa mjesta desetica imamo na umu. Radi praktičnosti, ovaj broj možete napisati drugom bojom iznad sljedeće kolone.

U trećoj koloni, zbir cifara je nula (0 + 0 = 0). Ovom zbiru dodajemo broj koji smo prethodno imali na umu i dobijamo 0 + 1 = 1. zapisujemo:

Prelazeći na sljedeću kolonu, dodajemo i 0 + 0 = 0 i kao rezultat upisujemo 0, pošto se u prethodnom koraku nismo ničega setili.

Sljedeći korak daje 8 + 3 = 11. U kolonu upisujemo broj 1 iz kategorije jedinica. Zadržavamo na umu broj 1 iz mjesta desetica i prelazimo na sljedeću kolonu.

Ova kolona sadrži samo jedan broj 9. Da nemamo broj 1 u memoriji, jednostavno bismo prepisali broj 9 ispod horizontalne trake. Međutim, s obzirom da u prethodnom koraku nismo zapamtili broj 1, moramo dodati 9 + 1 i zapisati rezultat.

Stoga, ispod vodoravne linije pišemo 0 i opet imajte na umu jedinicu.

Prelazimo na sljedeću kolonu, dodamo 4 i 1, a rezultat upišemo ispod reda.

Sljedeća kolona sadrži samo broj 2. Dakle, u prethodnom koraku, nismo ništa zapamtili, samo smo prepisali ovaj broj ispod crte.

Također djelujemo sa posljednjom kolonom koja sadrži broj 7.

Nema više kolona, ​​a također nema ništa u memoriji, tako da možemo reći da je operacija dodavanja stupaca završena. Broj napisan ispod linije rezultat je zbrajanja dva gornja broja.

Da biste razumjeli sve moguće nijanse, razmotrite još nekoliko primjera.

Primjer 1. Zbrajanje prirodnih brojeva u koloni

Dodajmo dva prirodna broja: 21 i 36.

Prvo, pišemo ove brojeve prema pravilu pisanja kada dodajemo u kolonu:

Počevši od desne kolone, nastavljamo sa sabiranjem brojeva.

Od 7< 10 , записываем 7 под чертой.

Zbrojite brojeve u drugom stupcu.

Od 5< 10 , а в памяти с предыдущего шага ничего нет, записываем результат

U memoriji više nema brojeva i u sljedećoj koloni je sabiranje završeno. 21 + 36 = 57

Primjer 2. Zbrajanje prirodnih brojeva u kolonu

Koliko je 47 + 38?

7 + 8 = 15, pa hajde da upišemo 5 u prvu kolonu ispod reda, i imajte na umu 1.

Sada dodajte vrijednosti sa mjesta desetica: 4 + 3 = 7. Ne zaboravite na jedinicu i dodajte je rezultatu:

7 + 1 = 8 . Dobijeni broj se upisuje ispod crte.

Ovo je rezultat dodavanja.

Primjer 3. Zbrajanje prirodnih brojeva u kolonu

Sada uzmimo dva trocifrena broja i saberimo ih.

3 + 9 = 12 ; 12 > 10

Ispod crte pišemo 2, imajte na umu 1.

8 + 5 = 13 ; 13 > 10

Dodamo 13 i memorisanu jedinicu, dobijemo:

13 + 1 = 14 ; 14 > 10

Ispod crte pišemo 4, imajte na umu 1.

Ne zaboravite da smo u prethodnom koraku zapamtili 1 .

Napišite 0 ispod crte, imajte na umu 1.

U posljednjoj koloni prenosimo jedinicu koju smo ranije zapamtili ispod crte i dobivamo konačni rezultat zbrajanja.

783 + 259 = 1042

Primjer 4. Zbrajanje prirodnih brojeva u kolonu

Pronađite zbir brojeva 56927 i 90.

Kao i uvek, prvo napišemo uslov:

7 + 0 = 7 ; 7 < 10

2 + 9 = 11 ; 11 > 10

Ispod crte pišemo 1, imajte na umu 1 i prelazimo na sljedeću kolonu.

Upisujemo 0 ispod crte, imajte na umu 1 i prelazimo na sljedeću kolonu.

Kolona sadrži jedan broj 6. Dodamo ga memorisanoj jedinici.

6 + 1 = 7 ; 7 < 10

Upisujemo 7 ispod reda i prelazimo na sljedeću kolonu.

Kolona sadrži jedan broj 5​​​​​. Premjestimo ga ispod crte i završimo operaciju sabiranja.

56927 + 90 = 57017

Navešćemo sledeći primer bez međurezultata i objašnjenja, kao primer pisanja dodavanja u kolonu u praksi.

Sabiranje prirodnih brojeva naziva se binarnom operacijom koja zadovoljava sljedeća dva aksioma:

C1: a + 1 = a /

C2: a + b / = (a + b) /

Primjer. Na osnovu definicije nalazimo zbir 2 + 2:

2 + 2 = 2 + 1 / = (2 + 1) / = (2 /) / = 3 / = 4.

Teorema 1(o postojanju i jedinstvenosti sabiranja). Svaki par prirodnih brojeva a i b odgovara jedinstveno određenoj sumi a + b koja zadovoljava definiciju sabiranja (aksiomi C1 i C2).

Dokaz. Jedinstvenost. Pretpostavimo da pored operacije +, koja zadovoljava uslove S1 i S2, postoji još jedna operacija , koja zadovoljava uslove S1 / i S2 / :

S1 / : a  1 = a /

S2 / : a  b / = (a  b) /

Tada je za sve prirodne brojeve tačna jednakost: a + b = a  b.

Dokaz će se provesti metodom matematičke indukcije na varijablu b. Za b = 1, na osnovu S1 i S1 / dobijamo:

a + 1 = a / = a  1

Dakle, za b = 1, ovo svojstvo vrijedi.

Induktivna pretpostavka: a + k = a  k

Dokažimo ovu tvrdnju za b = k / :

Na osnovu S2 a + k / = (a + k) /

Iz induktivne pretpostavke zasnovane na aksiomu A 2 iz definicije prirodnih brojeva a + k = a  k => (a + k) / = (a  k) / , odakle po uslovima C2 i C2 / imamo:

a + k / = (a +k) / = (a  k) / = a  k / ,

što je bilo potrebno.

Postojanje. Uvedena induktivna definicija nam omogućava da pronađemo zbir za bilo koji drugi član (element b). Hajde da saznamo da li je moguće pronaći zbir za bilo koji prvi član (element a). Da bismo to učinili, sami uvodimo operaciju koja zadovoljava uvjete (*) i (**)

(**) a / + b = (a + b) / .

Dokažimo da je operacija koju smo uveli sabiranje, odnosno da zadovoljava uslove C1 i C2. Dokaz će se provesti indukcijom na a.

Počinjemo s dokazom C1. Baza indukcije: Za a = 1

1 + 1 = 1 / (na osnovu uslova (*)).

Hipoteza indukcije: k + 1 = k /

Korak indukcije: Za a = k / potrebno je dokazati da je k / + 1 = (k /) / .

Na osnovu uslova (**) k / + 1 = (k+1) / = (k /) / (prema hipotezi indukcije). Dakle, uslov C1 je zadovoljen za sve prirodne a.

C2: Za a = 1 po uvjetu (*) 1 + b / = (b /) / = (1 + b) / .

Pretpostavka indukcije (i.p.): k + b / = (k + b) / .

Za a = k / potrebno je dokazati da je k / + b / = (k / + b) / .

Ovdje je iznad svake jednakosti naznačeno opravdanje – svojstvo na osnovu kojeg se ta jednakost ispunjava. Dakle, uslov C2 je takođe zadovoljen za sve prirodne a. Teorema je u potpunosti dokazana.

Teorema 2. Za bilo koje prirodne brojeve a, b, c, asocijativni zakon sabiranja(a.c.s.): (a + b) + c = a + (b + c)

Dokaz(indukcijom na c): Za c = 1 imamo:

Hipoteza indukcije: (a+b)+k = a+(b+k).

Prema principu indukcije, sada to trebamo dokazati

(a+b)+k / = a+(b+k /). Dokažimo to.

Dakle, za k / izjava je tačna, dakle, prema teoremi indukcije, asocijativni zakon je tačan za bilo koje prirodne brojeve.

Teorema 3. Za bilo koje prirodne brojeve, komutativni zakon sabiranja (c.s.s.) vrijedi a + b = b + a

Dokaz teoreme uvodimo lemom.

Lema 1. a + 1 = 1 + a (L1)

Dokažimo to indukcijom na a. Baza indukcije: 1 + 1 = 1 + 1 (fer)

Hipoteza indukcije: k + 1 = 1 + k.

Korak indukcije: Dokažimo da je k / + 1 = 1 + k / .

Lema je dokazana.

Sada dokazujemo samu teoremu indukcijom na b. Za b = 1, tvrdnja teoreme je tačna prema lemi 1.

Hipoteza indukcije: a + k = k + a.

Indukcijski korak:

Teorema 4. Zbir dva broja nije jednak nijednom od članova:

Dokaz indukcijom na b: Za b = 1, tvrdnja teoreme je tačna prema aksiomu 1 iz definicije prirodnih brojeva (a /  1).

Induktivna pretpostavka: a + k  k.

Iz induktivne pretpostavke i teoreme 1 iz odjeljka 1.2 slijedi da je (a + k) /  k / . Primjenom C2 dobijamo:

a + k / = (a + k) /  k / .

Teorema 5. a = b => a + c = b + c.

Dokaz(indukcijom na c):

a \u003d b => (prema A 2) a / \u003d b / => (prema C1) a + 1 \u003d b +1.

Hipoteza indukcije: a = b => a + k = b+k.

Dokažimo da a = b povlači a + k / = b + k / .

Dakle, za k / izjava je tačna, dakle, prema teoremi indukcije, teorema je tačna za sve prirodne brojeve.

Posljedica 1. a + c  b + c => a  b (dokaz je kontradiktorno i prepušten je čitaocu).

Teorema 6. a + c = b + c => a = b.

Dokaz(indukcijom na c):

a + 1 \u003d b + 1 => a / \u003d b / => a \u003d b (prema C1 i A 3).

Hipoteza indukcije: a + k = b + k => a = b.

Dokažimo da a + k / = b + k / povlači a = b.

Dakle, tvrdnja je tačna i za k / , što dokazuje našu teoremu.

Posljedica 2. a  b => a + c  b + c (dokaz kontradikcijom).

Rješenje jednadžbe a + x \u003d b (a, b su prirodni brojevi, x je varijabla) je takav prirodan broj c, kada ga zamijenimo umjesto x u jednadžbu, dobijamo ispravnu numeričku jednakost a + c \u003d b

Teorema 7. Ako jednačina a + x = b ima rješenje, onda je ovo rješenje jedinstveno.

Dokaz: Pretpostavimo da postoje dva rješenja sa 1 i sa 2. Tada a + c 1 = b i a + c 2 = b, odakle a + c 1 = a + c 2, a prema teoremi 6 i komutativnom zakonu, to znači da je c 1 = c 2 (tj. , rješenje je jedinstveno).

Zadaci za samostalno rješavanje

br. 1.2. Sabiranje na osnovu definicije sabiranja prirodnih brojeva 5 + 3. Izvršite istu operaciju u modelima prirodnih brojeva predstavljenim u nastavku

a) (3, 4, 5 ...); n/=n+1

b) (n  –2, n  Z); n/=n+1

c) neparni prirodni brojevi, n / = n +2

d) cijeli brojevi,

br. 1.3. Dokažite jednakosti za bilo koje prirodno n:

a) 1 + 2 + ... + n =
;

b) 1 2 + 2 2 + ... + n 2 =
;

c) 1 3 + 2 3 + ... + n 3 =
;

d) 1 + 3 + 5 + ... + (2n + 1) = (n + 1) 2 ;

e) 1 2 + 3 2 + … + (2n – 1) 2 =
;

e) 12 + 23 + … + (n – 1)n =
;

i)
;

h)
.

Definicija. Sabiranje prirodnih brojeva je algebarska operacija koja ima sljedeća svojstva: "1) (a O N)a + 1 = a", 2) "(a, b O N)a + b" =(a + b) ". Broj a + b naziva se zbir brojeva a i b, a sami brojevi a i b su članovi. Kao što znate, zbir bilo koja dva prirodna broja je takođe prirodan broj, a za bilo koje prirodne brojeve a i b, suma + b je jedinstvena. Drugim riječima, zbir prirodnih brojeva postoji i jedinstven je. Karakteristika definicije je da se unaprijed ne zna da li postoji algebarska operacija koja ima naznačena svojstva, i ako postoji, da li je jedinstven? Prema tome, u aksiomatskoj konstrukciji teorije prirodnih brojeva, dokazuje se sljedeća tvrdnja: Sabiranje prirodnih brojeva postoji i jedinstveno je. Ova teorema se sastoji od dvije tvrdnje (dvije teoreme): zbrajanje prirodnih brojeva prirodni brojevi postoje zbrajanje prirodnih brojeva je jedinstveno. Zakoni sabiranja se koriste za pojednostavljenje proračuna Za prirodne brojeve postoje dva zakona dodatak: pomični i asocijativni. Pravilo: Promjenom mjesta termina zbir se ne mijenja (zakon sabiranja pomjeranja). Na primjer: 37 + 42 \u003d 42 + 37 \u003d 79. Općenito: a + b = b + a. Pravilo. Da biste zbiru dva člana dodali treći član, prvom članu možete dodati zbir drugog i trećeg člana (asocijacijski zakon sabiranja). Na primjer: (37 + 42) + 13 = 37 + (42 + 13). Uopšteno govoreći: (a + b) + c = a + (b + c). Često se u primjerima za proračune koriste oba zakona sabiranja odjednom, na primjer: 1.300 + 400 + 700 + 600 = (1.300 + 700) + (400 + 600) = 2.000 + 1.000 = 3.000.

Aksiomatska definicija množenja prirodnih brojeva. Teorema o njenom postojanju i jedinstvenosti sa dokazom. Tablica množenja.

Množenje prirodnih brojeva je algebarska operacija definisana na više N prirodnih brojeva, pri čemu se svakom paru (a,b) dodeljuje broj a *b, koji zadovoljava svojstva (aksiome): 1. (∀a ê N)a∙1 = a ; 2. (∀ a,b ê N) a∙b" = a∙b + a. Broj a∙b se naziva umnožak brojeva a i b, a brojevi a i b su množitelji. Teorema 1. množenje prirodnih brojeva postoji, i ono je jedinstveno Koristeći definiciju operacije množenja, sastavit ćemo tablicu množenja jednovrijednih prirodnih brojeva: a) 1×1=1; 2×1=2; 3×1=3 4×1=4, itd. (na osnovu St. 1); b) 1×2=1×1'=1×1+1= 1+1=2; 2×2=2×1'= 2 ×1+1= 2+1=3; 3×2 = 3 × 1' = 3 × 1 + 1 = 3 + 1 = 4, itd. (na osnovu svojstva 2). c = a∙c + b∙c.Dokaz. Neka su prirodni brojevi a i b izabrani proizvoljno, a c ima različite prirodne vrijednosti. Označimo sa M skup svih onih i samo onih prirodnih brojeva c za koje je tačna jednakost (a + b) c = a∙c + b∙c Pokažimo da za c=1 imamo (a + b)∙1 = a∙1 + b∙1 Zaista, (a + b)∙1 =a+b=a∙ 1 + b ∙ 1. Neka vrijedi distributivni zakon za proizvoljno odabran broj c, tj. jednakost (a + b) ∙ c = a ∙ c + b ∙ c. Na osnovu pretpostavke dokazujemo jednakost: ( a + b) ∙s" = a∙c" + b∙c" za broj c". Razmotrimo lijevu stranu jednakosti i pokažimo da je ona jednaka desnoj: (a + b)∙c "= (a + b)∙c + (a + b)=(a∙c+b∙c)+ (a+b) = (a∙c+a)+(b∙c+b)= a∙c'+b∙c' Ova jednadžba (a + b)∙c = a∙c + b∙c je tačna za bilo koji prirodni broj c, a pošto su brojevi a i b izabrani proizvoljno, ova jednakost vrijedi i za bilo koje a i b. Lijevi distributivni zakon množenja dokazuje se analogno: b + a∙c Teorema 3. (∀a, b,s ê N)(a∙b) ∙s= a∙(b ∙s) je asocijativna Teorema 4. (∀a,bê N) a ∙b = b∙a.- komunikativna Operacija množenja zadovoljava dva zakona: ab = ba (komutativni zakon množenja), a(bc) = (ab)c (asocijativni zakon množenja). Postoji i zakon koji se odnosi na sabiranje i množenje: a (b + c) = ab + ac (distributivni zakon). Tabela množenja je tabela u kojoj su redovi i kolone na čelu sa faktorima, a ćelije tabele sadrže njihov proizvod. Tabela se koristi za učenje množenja.

Hajde da vidimo kako ga koristiti za dodavanje desetica na desetice, stotine na stotine itd.

Dodajmo 8 desetica i 9 desetica. Iz tabele sabiranja nalazimo da je 8+9=10+7. Dakle, ako zbrojimo 8 desetica i 9 desetica, dobijamo zbir 10 desetica i 7 desetica, odnosno zbir 100 i 70. Dakle 80+90=100+70. Zbir 100+70 je zbir bitnih članova broja 170. Zgodno je sve ove argumente napisati u obliku sekvencijalnog lanca jednakosti: 80+90=100+70=170 . Takvi zapisi znače da su vrijednosti svih izraza koji su razdvojeni znakovima jednakosti jednake.

Da biste konsolidirali materijal, razmotrite rješenje drugog primjera. Dodajmo 4000+7000. Tablica sabiranja nam daje jednačinu 4+7=10+1. Dakle, zbrajanje 4.000 i 7.000 je kao dodavanje 10.000 i 1.000. Dakle, 4000+7000=10000+1000 . Posljednji zbir je proširenje cifara prirodnog broja 11.000. Imamo 4 000+7 000=10 000+1 000=11 000 .

Sabiranje proizvoljnih prirodnih brojeva.

Prije nego što pređete na sabiranje proizvoljnih prirodnih brojeva, preporučujemo vam da temeljno proučite materijal članka zbir cifarskih članova, tako da možete bez oklijevanja razložiti bilo koji prirodni broj na znamenke, a također, bez oklijevanja, možete odmah zapišite dekomponovani prirodni broj koristeći poznato proširenje. Ovo će direktno odrediti koliko će vam biti lako sabirati proizvoljne prirodne brojeve.

Hajde da opišemo slijed radnji:

• termine zamjenjujemo njihovim proširenjima po kategorijama;
• preuređujemo pojmove tako da jedinice budu pored jedinica, desetice - na desetice, stotine - na stotine i tako dalje;
• vršimo sabiranje jedinica sa jedinicama, zatim - desetice sa deseticama, zatim - stotine sa stotinama, itd .;
• sve prethodne radnje vode nas do zbroja, koji je dekompozicija na znamenke prirodnog broja;
• Konačno, zapisujemo željeni broj njegovom dekompozicijom.

Analizirajmo sabiranje dva prirodna broja koristeći primjere.

Primjer.

Dodaj 36+2.

Rješenje.

Proširivanje broja 36 u znamenke ima oblik 30 + 6, a broja 2 - oblik 2. Tada je 36+2=30+6+2.

U ovom primjeru, ne moramo preuređivati ​​pojmove, jer su oni već u redoslijedu koji nam je potreban.

Sada dodajte jedinice: 6+2=8 . Dakle, 30+6+2=30+8 .

Došli smo do zbira 30+8, što je jednako 38.

Dakle, rješenje se može napisati na sljedeći način: 36+2=30+6+2=30+8=38 .

odgovor:

36+2=38 .

Primjer.

Dodajte brojeve 57 i 17.

Rješenje.

Jer 57=50+7 , i 17=10+7 , zatim 57+17=50+7+10+7 .

Nakon preuređivanja uslova, zbir će poprimiti sljedeći oblik: 50+10+7+7 .

Sada dodajemo jedinice (ako se ne sjećate napamet, pogledajte tablicu sabiranja): 7+7=10+4.

Dakle 50+10+7+7=50+10+10+4 .

Prelazimo na sabiranje desetica, odnosno na pronalaženje zbira tri člana 50, 10 i 10. Prvo zbrojimo 50 i 10, nakon čega dobijenom rezultatu dodamo preostali broj 10. Idemo: 50+10=60, pošto je 5+1=6, zatim 50+10+10=60+10=70, pošto je 6+1=7.

Imamo 50+10+10+4=70+4. Posljednji zbir je proširenje cifara broja 74.

Dakle 57+17=50+7+10+7=50+10+7+7= 50+10+10+4=70+4=74 .

odgovor:

57+17=74 .

Primjer.

Izračunaj zbir brojeva 3007 i 200.

Rješenje.

Proširivanje broja 3007 u znamenke ima oblik 3000+7, a broj 200 ima oblik 200. Onda 3 007+200=3 000+7+200=3 000+200+7 . Dobili smo dekompoziciju broja 3 207 na znamenke. Dakle 3007+200=3207 .

odgovor:

3 007+200=3 207 .

Primjer.

Dodajte brojeve 28301 i 73745.

Rješenje.

Razložimo ove brojeve na cifre: 28,301=20,000+8,000+300+1 i 73,745=70,000+3,000+700+40+5.

Onda
28 301+73 745= 20 000+8 000+300+1+70 000+ 3 000+700+40+5= 20 000+70 000+8 000+ 3 000+300+700+40+1+5 .
(Prilikom prijenosa jednakosti u sljedeći red, znak “=” se ponovo upisuje).

Sabiranje jedinica: 1+5=6 . Nakon toga imamo 20.000+70.000+8.000+ 3.000+300+700+40+1+5= 20.000+70.000+8.000+ 3.000+300+700+40+6 .

Desetine ne treba dodavati.

Zbrajanje stotina: 300+700=1,000 jer je 3+7=10 . U ovoj fazi imamo 20.000+70.000+8.000+ 3.000+300+700+40+6= 20.000+70.000+8.000+ 3.000+1000+40+6 .

Stavljanje na hiljade. Pošto je 8+3=10+1, onda je 8000+3000+1000= 10000+1000+1000= 10000+2000. U ovoj fazi dobijamo
20 000+70 000+8 000+ 3 000+1 000+40+6= 20 000+70 000+10 000+2 000+40+6 .

Dodajući desetine hiljada: 20.000+70.000+10.000= 90.000+10.000=100.000 . Onda 20 000+70 000+10 000+2 000+40+6= 100 000+2 000+40+6 .

Zbir 100.000+2.000+40+6 jednak je broju 102.046.

odgovor:

28 301+73 745=102 046 .

U zaključku ovog odlomka napominjemo da je zgodno izvršiti sabiranje viševrijednih prirodnih brojeva u stupcu, stoga preporučujemo da proučite materijal članka zbrajanja prirodnih brojeva u stupcu.

Sabiranje prirodnih brojeva na koordinatnoj zraci.

Svrha ovog pododjeljka je da predstavi geometrijsku interpretaciju operacije sabiranja prirodnih brojeva. To će nam pomoći da postignemo ovaj cilj. Pretpostavit ćemo da je koordinatna zraka smještena vodoravno i desno.

Na koordinatnoj zraci, sabiranje dva prirodna broja a i b je niz sljedećih radnji. Prvo nađemo tačku sa koordinatom a. Od ove tačke, uzastopno jedan za drugim, odlažemo b jedinične segmente tako da postoji udaljenost od početka. Ovo će nas odvesti do tačke na koordinatnoj zraci, čija je koordinata prirodan broj jednak zbiru a + b. Drugim riječima, krećemo se od tačke sa koordinatom a udesno na udaljenosti b, dok dolazimo do tačke čija je koordinata jednaka zbiru brojeva a i b.

Radi jasnoće, uzmimo primjer. Hajde da pokažemo šta je sabiranje prirodnih brojeva 2 i 4 na koordinatnoj zraci (vidi sliku ispod). Od tačke sa koordinatom 2 odvajamo 4 jedinična segmenta. Nakon toga dolazimo do tačke čija je koordinata broj 6. Dakle 2+4=6 .

Provjera rezultata sabiranja prirodnih brojeva oduzimanjem.

Provjera rezultata sabiranja prirodnih brojeva pomoću oduzimanja zasniva se na prilično očiglednoj vezi između sabiranja i oduzimanja. Lako je pratiti ovu vezu pozivajući se na sljedeći primjer.

Pretpostavimo da imamo 7 jabuka i 2 kruške. Zbrojimo ove plodove, onda zbir 7 + 2 = 9, na osnovu značenja sabiranja prirodnih brojeva, određuje ukupan broj plodova. Jasno je da ako se 7 jabuka odvoji od plodova koji su zajedno (ukupno ih je 9), onda će na drugoj strani ostati 2 kruške. Opisana radnja, po značenju oduzimanja prirodnih brojeva, odgovara jednakosti 9−7=2. Slično, ako se odvoje 2 kruške od plodova zajedno, onda će na drugoj strani ostati 7 jabuka. Ova akcija odgovara jednakosti 9−2=7 .

Gornji primjer nas dovodi do pravila čija je formulacija sljedeća: ako se jedan od članova oduzme od zbira dva prirodna broja, onda će rezultat biti drugi član. Ovo pravilo je napisano slovima na sljedeći način: ako a+b=c oduzimanje prirodnih brojeva.

Provjerimo rezultat zbrajanja. Da biste to uradili, oduzmite član 106 od rezultirajućeg zbira 163 i vidite da li ćemo dobiti broj jednak drugom članu 57. Imamo 163−106=57 . Dakle, provjera je bila uspješna i može se tvrditi da je dodavanje ispravno obavljeno.

odgovor:

106+57=163 .

Bibliografija.

• Matematika. Bilo koji udžbenici za 1, 2, 3, 4 razred obrazovnih institucija.
• Matematika. Bilo koji udžbenici za 5 razreda obrazovnih institucija.