Rastaviti dati složeni broj na proste faktore. Faktoring - Online kalkulator
(osim 0 i 1) imaju najmanje dva djelitelja: 1 i sebe. Zovu se brojevi koji nemaju druge djelitelje jednostavno brojevi. Zovu se brojevi koji imaju druge djelitelje sastavni(ili kompleks) brojevi. Postoji beskonačan broj prostih brojeva. Ovo su prosti brojevi koji ne prelaze 200:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,
47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,
103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,
157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.
Množenje- jedna od četiri osnovne aritmetičke operacije, binarna matematička operacija u kojoj se jedan argument dodaje onoliko puta koliko pokazuje drugi. U aritmetici, množenje se shvata kao kratki zapis sabiranja određenog broja identičnih članova.
na primjer, unos 5 * 3 znači "dodati tri petice", odnosno 5 + 5 + 5. Rezultat množenja se zove rad, a pomnoženi brojevi su množitelji ili faktori. Prvi faktor se ponekad naziva " množenik».
Bilo koji složeni broj može se razložiti na proste faktore. Bilo kojom metodom se dobija ista dekompozicija, ako ne uzmemo u obzir redosled pisanja faktora.
Faktorizacija broja (faktorizacija).
Faktorizacija (faktorizacija)- nabrajanje djelitelja - algoritam za faktorizaciju ili testiranje jednostavnosti broja potpunim nabrajanjem svih mogućih potencijalnih djelitelja.
To jest, jednostavno rečeno, faktorizacija je naziv procesa faktoriranja brojeva u faktore, izražen naučnim jezikom.
Redoslijed radnji prilikom dekompozicije na primarne faktore:
1. Provjerite je li predloženi broj prost.
2. Ako ne, onda biramo, vodeći se znakovima dijeljenja, djelitelj od prostih brojeva počevši od najmanjeg (2, 3, 5 ...).
3. Ponavljajte ovu radnju sve dok količnik ne bude prost broj.
Bilo koji složeni broj može se izraziti kao proizvod njegovih prostih djelitelja:
28 = 2 2 7
Zovu se pravi dijelovi dobijenih jednakosti početna faktorizacija brojevi 15 i 28.
Faktorirati dati složeni broj u proste faktore znači predstaviti ovaj broj kao proizvod njegovih prostih djelitelja.
Dekompozicija datog broja na proste faktore izvodi se na sljedeći način:
- Prvo iz tabele prostih brojeva treba izabrati najmanji prost broj kojim je ovaj složeni broj djeljiv bez ostatka i izvršiti dijeljenje.
- Zatim morate ponovo odabrati najmanji prost broj kojim će se već dobijeni količnik podijeliti bez ostatka.
- Izvođenje druge radnje se ponavlja sve dok se ne dobije jedinica u količniku.
Kao primjer, hajde da faktoriziramo broj 940. Pronađite najmanji prost broj koji dijeli 940. Ovaj broj je 2:
Sada biramo najmanji prost broj sa kojim je deljivo 470. Ovaj broj je opet 2:
Najmanji prost broj s kojim je 235 djeljiv je 5:
Broj 47 je prost, tako da je najmanji prost broj s kojim je 47 djeljiv sam broj:
Tako dobijamo broj 940, razložen na proste faktore:
940 = 2 470 = 2 2 235 = 2 2 5 47
Ako je dekompozicija broja na proste faktore rezultirala sa nekoliko identičnih faktora, onda se radi kratkoće mogu zapisati kao stepen:
940 = 2 2 5 47
Najpogodnije je zapisati dekompoziciju na proste faktore na sljedeći način: prvo zapišemo dati složeni broj i povučemo okomitu liniju desno od njega:
Desno od linije pišemo najmanji prosti djelitelj kojim je dati složeni broj djeljiv:
Izvodimo dijeljenje i rezultujući količnik zapisujemo ispod dividende:
Sa količnikom radimo isto kao i sa datim složenim brojem, odnosno biramo najmanji prost broj kojim je djeljiv bez ostatka i vršimo dijeljenje. I tako ponavljamo dok se jedinica ne dobije u količniku:
Imajte na umu da je ponekad prilično teško izvesti dekompoziciju broja na proste faktore, jer tokom dekompozicije možemo naići na veliki broj za koji je teško odrediti u hodu da li je prost ili složen. A ako je složen, onda nije uvijek lako pronaći njegov najmanji prosti djelitelj.
Pokušajmo, na primjer, razložiti broj 5106 na proste faktore:
Nakon dostizanja količnika 851, teško je odmah odrediti njegov najmanji djelitelj. Okrećemo se tablici prostih brojeva. Ako u njemu postoji broj koji nas dovodi u poteškoću, onda je djeljiv samo sam sa sobom i sa jednim. Broj 851 se ne nalazi u tabeli prostih brojeva, što znači da je složen. Ostaje samo da ga podijelimo na proste brojeve metodom sekvencijalnog nabrajanja: 3, 7, 11, 13, ..., i tako dalje dok ne nađemo odgovarajući prosti djelitelj. Koristeći metodu nabrajanja, nalazimo da je 851 djeljivo brojem 23.
Faktoriranje velikog broja nije lak zadatak. Većina ljudi smatra da je teško razložiti četverocifrene ili petocifrene brojeve. Da biste pojednostavili proces, upišite broj iznad dva stupca.
- Razložimo broj 6552 na faktore.
Podijelite dati broj najmanjim prostim djeliteljem (osim 1) koji dijeli dati broj bez ostatka. Upišite ovaj djelitelj u lijevu kolonu, a rezultat dijeljenja u desnu kolonu. Kao što je gore navedeno, parne brojeve je lako razložiti na faktore jer će njihov najmanji prosti faktor uvijek biti 2 (neparni brojevi imaju različite najmanje proste faktore).
- U našem primjeru, 6552 je paran broj, tako da je 2 njegov najmanji prosti faktor. 6552 ÷ 2 = 3276. U lijevu kolonu upišite 2, a u desnu 3276.
Zatim podijelite broj u desnoj koloni s najmanjim prostim djeliteljem (osim 1) koji dijeli dati broj bez ostatka. Upišite ovaj djelitelj u lijevu kolonu, a rezultat dijeljenja u desnu kolonu (nastavite ovaj proces sve dok u desnom stupcu ne ostane 1).
- U našem primjeru: 3276 ÷ 2 = 1638. U lijevu kolonu upišite 2, a u desnu 1638. Dalje: 1638 ÷ 2 = 819. Upišite 2 u lijevu kolonu i 819 u desnu kolonu.
Imate neparan broj; za takve brojeve je teže pronaći najmanji prosti djelitelj. Ako dobijete neparan broj, pokušajte ga podijeliti s najmanjim neparnim prostim brojevima: 3, 5, 7, 11.
- U našem primjeru dobili ste neparan broj 819. Podijelite ga sa 3: 819 ÷ 3 = 273. U lijevu kolonu upišite 3, a u desnu 273.
- Kada tražite djelitelje, pokušajte sa svim prostim brojevima do kvadratnog korijena najvećeg djelitelja koji ste pronašli. Ako nijedan djelitelj ne dijeli broj ravnomjerno, onda ste najvjerovatnije dobili prost broj i možete prestati s računanjem.
Nastavite proces dijeljenja brojeva prostim faktorima sve dok u desnom stupcu ne ostane 1 (ako dobijete prost broj u desnom stupcu, podijelite ga sam sa sobom da dobijete 1).
- Nastavimo s našim primjerom:
- Podijelite sa 3: 273 ÷ 3 = 91. Nema ostatka. U lijevu kolonu upišite 3, a u desnu 91.
- Podijelite sa 3. 91 je deljivo sa 3 sa ostatkom, pa podelite sa 5. 91 je deljivo sa 5 sa ostatkom, pa podelite sa 7: 91 ÷ 7 = 13. Ostatka nema. U lijevu kolonu upišite 7, a u desnu 13.
- Podijelite sa 7. 13 je djeljivo sa 7 sa ostatkom, dakle podijelite sa 11. 13 je s ostatkom djeljivo sa 11, pa podijelite sa 13: 13 ÷ 13 = 1. Ostatka nema. U lijevu kolonu upišite 13, a u desnu 1. Vaši proračuni su završeni.
Lijeva kolona prikazuje proste faktore originalnog broja. Drugim riječima, kada pomnožite sve brojeve iz lijevog stupca, dobit ćete broj koji je napisan iznad kolona. Ako se isti faktor pojavljuje više puta na listi faktora, koristite eksponente da ga označite. U našem primjeru, 2 se pojavljuje 4 puta na listi množitelja; zapišite ove faktore kao 2 4 , a ne kao 2*2*2*2.
- U našem primjeru, 6552 = 2 3 × 3 2 × 7 × 13. Razložili ste broj 6552 u proste faktore (redoslijed faktora u ovoj notaciji nije bitan).
Bilo koji složeni broj može se razložiti na proste faktore. Postoji nekoliko načina razgradnje. Bilo koja metoda daje isti rezultat.
Kako razložiti broj na proste faktore na najpogodniji način? Razmotrimo kako to učiniti bolje, koristeći konkretne primjere.
Primjeri. 1) Rastaviti broj 1400 na proste faktore.
1400 je djeljivo sa 2. 2 je prost broj, nema potrebe da ga činite na faktore. Dobijamo 700. Podijelimo sa 2. Dobijamo 350. Također podijelimo 350 sa 2. Dobiveni broj 175 može se podijeliti sa 5. Rezultat je z5 - ponovo dijelimo sa 5. Ukupno - 7. Može se samo podijeljeno sa 7. Dobili smo 1, podjela je završena.
Isti broj se može različito razložiti na proste faktore:
1400 je zgodno podijeljeno sa 10. 10 nije prost broj, tako da se mora rastaviti na proste faktore: 10=2∙5. Rezultat je 140. Ponovo ga dijelimo sa 10=2∙5. Dobijamo 14. Ako se 14 podijeli sa 14, onda i njega treba razložiti na proizvod prostih faktora: 14=2∙7.
Tako smo ponovo došli do iste dekompozicije kao u prvom slučaju, ali brže.
Zaključak: pri dekomponovanju broja nije potrebno dijeliti ga samo prostim djeliteljima. Dijelimo onim što je pogodnije, na primjer, sa 10. Samo trebamo zapamtiti da složene djelitelje razložimo na jednostavne činioce.
2) Rastaviti broj 1620 na proste faktore.
Broj 1620 je najpogodnije podijeliti sa 10. Pošto 10 nije prost broj, predstavljamo ga kao proizvod prostih faktora: 10=2∙5. Dobili smo 162. Zgodno ga je podijeliti sa 2. Rezultat je 81. Broj 81 se može podijeliti sa 3, ali 9 je zgodnije. Pošto 9 nije prost broj, dekomponujemo ga kao 9=3∙3. Dobili smo 9. Također ga podijelimo sa 9 i razložimo na proizvod prostih faktora.
Šta znači faktorizirati? Kako uraditi? Šta se može naučiti razlaganjem broja na proste faktore? Odgovori na ova pitanja ilustrirani su konkretnim primjerima.
definicije:
Prosti broj je broj koji ima tačno dva različita djelitelja.
Složeni broj je broj koji ima više od dva djelitelja.
Faktorizirati prirodni broj znači predstaviti ga kao proizvod prirodnih brojeva.
Faktorirati prirodni broj u proste činioce znači predstaviti ga kao proizvod prostih brojeva.
napomene:
- U proširenju prostog broja, jedan od faktora je jednak jednom, a drugi je jednak samom ovom broju.
- Nema smisla govoriti o razlaganju jedinstva na faktore.
- Složeni broj može se razložiti na faktore, od kojih je svaki različit od 1.
|
Razložimo broj 150 na faktore. Na primjer, 150 je 15 puta 10. 15 je složeni broj. Može se razložiti na osnovne faktore 5 i 3. 10 je složeni broj. Može se razložiti na osnovne faktore 5 i 2. Nakon što smo zapisali njihova proširenja u proste faktore umjesto na 15 i 10, dobili smo dekompoziciju broja 150. |
|
|
|
Broj 150 se može rastaviti na drugi način. Na primjer, 150 je proizvod brojeva 5 i 30. 5 je prost broj. 30 je složeni broj. Može se predstaviti kao proizvod 10 i 3. 10 je složeni broj. Može se razložiti na osnovne faktore 5 i 2. Dobili smo dekompoziciju broja 150 na proste faktore na drugačiji način. |
|
Imajte na umu da su prvo i drugo proširenje iste. Razlikuju se samo po redoslijedu množitelja. Uobičajeno je faktore pisati rastućim redoslijedom. |
|
|
Bilo koji složeni broj može se razložiti na proste faktore na jedinstven način do reda faktora. |
|
Prilikom dekompozicije velikih brojeva u proste faktore, koristi se unos stupca:
 |
Najmanji prost broj s kojim je 216 djeljiv je 2. Podijelite 216 sa 2. Dobijamo 108. |
|
Dobijeni broj 108 je djeljiv sa 2. Uradimo podjelu. Dobijamo 54 kao rezultat. |
|
|
Prema testu djeljivosti sa 2, broj 54 je djeljiv sa 2. Nakon dijeljenja, dobijamo 27. |
|
|
Broj 27 završava se neparnim brojem 7. To Nije djeljivo sa 2. Sljedeći prost broj je 3. Podijelite 27 sa 3. Dobijamo 9. Najmanji prosti Broj sa kojim je 9 deljivo je 3. Tri je sam po sebi prost broj, deljiv sam sa sobom i sa jednim. Hajde da sami podelimo 3. Kao rezultat, dobili smo 1. |
|
- Broj je djeljiv samo onim prostim brojevima koji su dio njegovog proširenja.
- Broj je djeljiv samo onim složenim brojevima čija je dekompozicija na proste faktore u potpunosti sadržana u njemu.
Razmotrimo primjere:
|
4900 je djeljivo prostim brojevima 2, 5 i 7 (oni su uključeni u proširenje broja 4900), ali nije djeljivo, na primjer, sa 13. |
|
|
11 550 75. To je tako jer je proširenje broja 75 u potpunosti sadržano u proširenju broja 11550. Rezultat dijeljenja će biti proizvod faktora 2, 7 i 11. 11550 nije djeljivo sa 4 jer postoji dodatna 2 u proširenju 4. |
Naći količnik dijeljenja broja a brojem b, ako se ovi brojevi razlože na proste faktore na sljedeći način: a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19
|
Dekompozicija broja b u potpunosti je sadržana u dekompoziciji broja a. |
|
|
Rezultat dijeljenja a sa b je proizvod tri broja preostala u proširenju a. Dakle, odgovor je: 30. |
Bibliografija
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika 6. razred. - Gimnazija. 2006.
- Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Iza stranica udžbenika matematike. - M.: Prosvjeta, 1989.
- Rurukin A.N., Čajkovski I.V. Zadaci za predmet matematike 5-6 razred. - M.: ZŠ MEPhI, 2011.
- Rurukin A.N., Sočilov S.V., Čajkovski K.G. Matematika 5-6. Priručnik za učenike 6. razreda dopisne škole MEPhI. - M.: ZŠ MEPhI, 2011.
- Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematika: Udžbenik-sagovornik za 5-6 razred srednje škole. - M.: Obrazovanje, Biblioteka nastavnika matematike, 1989.
- Internet portal Matematika-na.ru ().
- Internet portal Math-portal.ru ().
Zadaća
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemozina, 2012. br. 127, br. 129, br. 141.
- Ostali zadaci: br. 133, br. 144.