Transformacija slučajnih varijabli pomoću delta funkcije. Funkcije slučajnih varijabli

Transformacije slučajnih varijabli

Za svaku slučajnu varijablu X odrediti još tri veličine - centriran Y, normalizovano V i dato U. Centrirana slučajna varijabla Y je razlika između date slučajne varijable X i njegovo matematičko očekivanje M(X), one. Y = X - M(X). Matematičko očekivanje centrirane slučajne varijable Y jednaka je 0, a varijansa je varijanca date slučajne varijable: M(Y) = 0, D(Y) = D(X). funkcija distribucije FY(x) centrirana slučajna varijabla Y vezano za funkciju distribucije F(x) početna slučajna varijabla X omjer:

FY(x) = F(x + M(X)).

Za gustine ovih slučajnih varijabli, jednakost

f Y(x) = f(x + M(X)).

Normalizovana slučajna varijabla V je omjer ove slučajne varijable X na njegovu standardnu ​​devijaciju, tj. . Matematičko očekivanje i varijansa normalizirane slučajne varijable V izraženo kroz karakteristike X dakle:

,

gdje v je koeficijent varijacije originalne slučajne varijable X. Za funkciju distribucije F V(x) i gustina f V(x) normalizovana slučajna varijabla V imamo:

gdje F(x) je funkcija distribucije originalne slučajne varijable X, a f(x) je njegova gustina vjerovatnoće.

Redukovana slučajna varijabla U je centrirana i normalizirana slučajna varijabla:

.

Za smanjenu slučajnu varijablu

Normalizovane, centrirane i redukovane slučajne varijable se konstantno koriste kako u teorijskim istraživanjima tako i u algoritmima, softverskim proizvodima, regulatornoj i tehničkoj i instruktivno-metodološkoj dokumentaciji. Posebno zbog jednakosti omogućavaju pojednostavljenje potvrđivanja metoda, formulacija teorema i proračunskih formula.

Koriste se transformacije slučajnih varijabli i opštiji plan. Sta ako Y = sjekira + b, gdje a i b su onda neki brojevi

Primjer 7 Ako onda Y je redukovana slučajna varijabla, a formule (8) se pretvaraju u formule (7).

Sa svakom slučajnom varijablom X možete povezati mnogo slučajnih varijabli Y dato formulom Y = sjekira + b na raznim a> 0 i b. Ovaj skup se zove scale-shift porodica, generiran slučajnom varijablom X. Funkcije distribucije FY(x) čine porodicu distribucija sa pomakom skale koju generiše funkcija distribucije F(x). Umjesto Y = sjekira + bčesto korištena notacija

Broj sa naziva se parametar pomaka, a broj d- parametar skale. Formula (9) to pokazuje X- rezultat mjerenja određene količine - ulazi u At- rezultat mjerenja iste vrijednosti, ako se početak mjerenja pomjeri u tačku sa, a zatim koristite novu jedinicu mjere, in d puta veći od starog.

Za familiju pomaka skale (9), distribucija X se naziva standardnom. U probabilističko-statističkim metodama odlučivanja i drugim primijenjenim istraživanjima koriste se standardna normalna distribucija, standardna Weibull-Gnedenkova distribucija, standardna gama raspodjela itd. (vidi dolje).

Koriste se i druge transformacije slučajnih varijabli. Na primjer, za pozitivnu slučajnu varijablu X razmotriti Y= log X, gdje je lg X je decimalni logaritam broja X. Lanac jednakosti

F Y (x) = P( lg X< x) = P(X < 10x) = F( 10x)

odnose funkcije distribucije X i Y.

Zadatak uspostavljanja zakona raspodjele funkcije slučajnih varijabli prema datom zakonu raspodjele argumenata je glavni. Opća shema rezoniranja ovdje je sljedeća. Neka je zakon raspodjele. Tada očito imamo gdje je puna inverzna slika poluintervala, tj. skup onih vrijednosti vektora £ iz CG za koji. Ova posljednja vjerovatnoća se može lako pronaći, pošto je poznat zakon raspodjele slučajnih varijabli £. Slično, u principu, mogu se naći zakon raspodjele i vektorska funkcija slučajnih argumenata. Složenost implementacije kola zavisi samo od specifičnog tipa funkcije (p) i zakona distribucije argumenata Ovo poglavlje je posvećeno implementaciji kola u specifičnim situacijama koje su važne za aplikacije. § 1. Funkcije jedne varijable Neka je £ slučajna varijabla čiji je zakon distribucije zadan funkcijom distribucije F( (x), rj = Ako je F4(y) funkcija distribucije slučajne varijable rj, onda gornja razmatranja daju FUNKCIJE SLUČAJNIH Varijabli gdje y) označava punu inverznu sliku poluprave (-oo, y). Relacija (I) je očigledna posljedica (*) i za slučaj koji razmatramo ilustrovana je na slici 1. Monotonska transformacija slučajnog varijabla , čije je inverzno postojanje osigurano monotonošću i kontinuitetom. (pirinač. 2) Linearne transformacije ne mijenjaju prirodu distribucije, već samo utiču na njene parametre. Linearna transformacija slučajne varijable uniformne na [a, b] Neka Linearna transformacija normalne slučajne varijable Neka i općenito ako Neka je, na primjer, 0. Iz (4) zaključujemo da Stavljamo u posljednji integral. Ova zamjena daje važan identitet, koji je izvor mnogih zanimljivih primjena, može se dobiti iz relacije (3) s lemom. Ako je slučajna varijabla s kontinuiranom funkcijom distribucije F^(x), onda je slučajna varijabla r) = - uniformna na . Imamo - ne opada monotono i nalazi se unutar o Stoga, FUNKCIJE SLUČAJNIH PROMJENJIVIH Na intervalu, dobijamo da je dovoljno da možemo dobiti vrijednosti ujednačene na )