Dom » Privatna kuća » Formula za kvadrat. Brzo kvadriranje brojeva bez kalkulatora

Formula za kvadrat. Brzo kvadriranje brojeva bez kalkulatora

Ako se pomnoži broj samo po sebi, ispostaviće se konstrukcija u kvadrat. Čak i učenik prvog razreda zna da je "dva puta dva četiri". Trocifrene, četvorocifrene itd. bolje je množiti brojeve u stupcu ili na kalkulatoru, ali se bavite dvocifrenim brojevima bez elektronskog pomoćnika, množeći se u vašem umu.

Uputstvo

Proširite bilo koju dvovrijednu vrijednost broj na komponente, naglašavajući broj jedinica. U broju 96, broj jedinica je 6. Dakle, možemo napisati: 96 = 90 + 6.

Podignite do kvadrat prvi od brojeva: 90 * 90 = 8100.

Uradite isto sa drugom broj m: 6 * 6 = 36

Pomnožite brojeve zajedno i udvostručite rezultat: 90 * 6 * 2 = 540 * 2 = 1080.

Dodajte rezultate drugog, trećeg i četvrtog koraka: 8100 + 36 + 1080 = 9216. Ovo je rezultat podizanja na kvadrat broj 96. Nakon malo vežbe, moći ćete brzo da u mislima pravite korake, iznenađujući roditelje i drugove iz razreda. Dok vam ne bude udobno, zapišite rezultate svakog koraka kako se ne biste zbunili.

Za obuku povisite na kvadrat broj 74 i provjerite se na kalkulatoru. Redoslijed radnji: 74 = 70 + 4, 70 * 70 = 4900, 4 * 4 = 16, 70 * 4 * 2 = 560, 4900 + 16 + 560 = 5476.

Povisiti na drugi stepen broj 81. Vaše radnje: 81 = 80 + 1, 80 * 80 = 6400, 1 * 1 = 1, 80 * 1 * 2 = 160, 6400 + 1 + 160 = 6561.

Zapamtite poseban način montaže kvadrat dvocifrene brojeve koji se završavaju brojem 5. Odaberite broj desetica: u broju 75 ima ih 7.

Pomnožite broj desetica sa sljedećom cifrom u broj prvi red: 7 * 8 = 56.

Atribut na desnoj strani broj 25:5625 - rezultat podizanja do kvadrat broj 75.

Podignite na drugu potenciju za trening broj 95. Završava se brojem 5, tako da je rezultat niz radnji: 9 * 10 = 90, 9025.

Naučite da gradite kvadrat negativni brojevi: -95 in kvadrat je jednako 9025, kao u jedanaestom koraku. Slično -74 in kvadrat e je 5476, kao u šestom koraku. To je zato što kada pomnožite dva negativna broja, uvijek dobijete pozitivan broj. broj: -95 * -95 = 9025. Stoga, kada se podigne na kvadrat možete jednostavno zanemariti znak minus.

Koristan savjet

Kako trening ne bi bio dosadan, pozovite prijatelja u pomoć. Neka on napiše dvocifreni broj, a vi - rezultat kvadriranja ovog broja. Zatim promijenite mjesta.

Danas ćemo naučiti kako brzo kvadrirati velike izraze bez kalkulatora. Pod velikim mislim na brojeve između deset i sto. Veliki izrazi su izuzetno rijetki u stvarnim problemima, a već znate računati vrijednosti manje od deset, jer je ovo obična tablica množenja. Materijal današnje lekcije bit će koristan za prilično iskusne učenike, jer učenici početnici jednostavno neće cijeniti brzinu i efikasnost ove tehnike.

Za početak, hajde da shvatimo općenito o čemu govorimo. Na primjer, predlažem da napravimo konstrukciju proizvoljnog numeričkog izraza, kao što to obično radimo. Recimo 34. Dižemo ga množenjem sam po sebi sa stupcem:

\[((34)^(2))=\times \frac(34)(\frac(34)(+\frac(136)(\frac(102)(1156))))\]

1156 je kvadrat 34.

Problem ove metode može se opisati u dvije tačke:

1) zahteva pismenu registraciju;

2) vrlo je lako napraviti grešku u procesu izračunavanja.

Danas ćemo naučiti kako brzo množiti bez kalkulatora, usmeno i praktično bez grešaka.

Pa počnimo. Za rad nam je potrebna formula za kvadrat zbira i razlike. Hajde da ih zapišemo:

\[(((a+b))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))\]

\[(((a-b))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))\]

Šta nam ovo daje? Poenta je da se bilo koja vrijednost između 10 i 100 može predstaviti kao $a$, što je djeljivo sa 10, i $b$, što je ostatak dijeljenja sa 10.

Na primjer, 28 se može predstaviti na sljedeći način:

\[\početak(poravnati)& ((28)^(2)) \\& 20+8 \\& 30-2 \\\end(poravnati)\]

Slično, predstavljamo i preostale primjere:

\[\početak(poravnati)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\& 60-9 \\\end(poravnati)\]

\[\početak(poravnati)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\& 50-8 \\\end(poravnati)\]

\[\početak(poravnati)& ((77)^(2)) \\& 70+7 \\& 80-3 \\\end(poravnati)\]

\[\početak(poravnati)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\& 30-9 \\\end(poravnati)\]

\[\početak(poravnati)& ((26)^(2)) \\& 20+6 \\& 30-4 \\\end(poravnati)\]

\[\početak(poravnati)& ((39)^(2)) \\& 30+9 \\& 40-1 \\\end(poravnati)\]

\[\početak(poravnati)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\& 90-9 \\\end(poravnati)\]

Šta nam daje takvu ideju? Činjenica je da sa zbirom ili razlikom možemo primijeniti gornje proračune. Naravno, da bismo skratili proračune, za svaki od elemenata treba izabrati izraz sa najmanjim drugim članom. Na primjer, od $20+8$ i $30-2$ opcija, trebali biste odabrati $30-2$ opciju.

Slično, biramo opcije za druge primjere:

\[\početak(poravnati)& ((28)^(2)) \\& 30-2 \\\end(poravnati)\]

\[\početak(poravnati)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\\end(poravnati)\]

\[\početak(poravnati)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\\end(poravnati)\]

\[\početak(poravnati)& ((77)^(2)) \\& 80-3 \\\end(poravnati)\]

\[\početak(poravnati)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\\end(poravnati)\]

\[\početak(poravnati)& ((26)^(2)) \\& 30-4 \\\end(poravnati)\]

\[\početak(poravnati)& ((39)^(2)) \\& 40-1 \\\end(poravnati)\]

\[\početak(poravnati)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\\end(poravnati)\]

Zašto bi trebalo težiti smanjenju drugog člana u brzom množenju? Sve se radi o početnim proračunima kvadrata zbira i razlike. Činjenica je da je plus ili minus pojam $2ab$ najteže izračunati prilikom rješavanja stvarnih problema. A ako se faktor $a$, višekratnik 10, uvijek lako množi, onda sa faktorom $b$, koji je broj u rasponu od jedan do deset, mnogi učenici redovno imaju poteškoća.

\[{{28}^{2}}={{(30-2)}^{2}}=200-120+4=784\]

\[{{51}^{2}}={{(50+1)}^{2}}=2500+100+1=2601\]

\[{{42}^{2}}={{(40+2)}^{2}}=1600+160+4=1764\]

\[{{77}^{2}}={{(80-3)}^{2}}=6400-480+9=5929\]

\[{{21}^{2}}={{(20+1)}^{2}}=400+40+1=441\]

\[{{26}^{2}}={{(30-4)}^{2}}=900-240+16=676\]

\[{{39}^{2}}={{(40-1)}^{2}}=1600-80+1=1521\]

\[{{81}^{2}}={{(80+1)}^{2}}=6400+160+1=6561\]

Tako smo za tri minute uradili množenje osam primjera. Ovo je manje od 25 sekundi po izrazu. U stvarnosti, nakon malo vježbe, brojat ćete još brže. Neće vam trebati više od pet ili šest sekundi da izračunate bilo koji dvocifreni izraz.

Ali to nije sve. Za one koji ne misle da je prikazana tehnika dovoljno brza i nedovoljno kul, nudim još bržu metodu množenja, koja, međutim, ne radi za sve zadatke, već samo za one koji se razlikuju za jedan od višekratnika broja 10. U našoj lekciji postoje četiri takve vrijednosti: 51, 21, 81 i 39.

Činilo bi se mnogo brže, već ih brojimo doslovno u par redova. Ali, u stvari, moguće je ubrzati, a to se radi na sljedeći način. Zapisujemo vrijednost, višekratnu od deset, koja je najbliža željenoj. Na primjer, uzmimo 51. Stoga, za početak, podići ćemo pedeset:

\[{{50}^{2}}=2500\]

Vrijednosti koje su višestruke od deset je mnogo lakše kvadrirati. A sada jednostavno dodamo pedeset i 51 originalnom izrazu. Odgovor će biti isti:

\[{{51}^{2}}=2500+50+51=2601\]

I tako sa svim brojevima koji se razlikuju za jedan.

Ako je vrijednost koju tražimo veća od one koju mislimo, onda rezultatskom kvadratu dodajemo brojeve. Ako je željeni broj manji, kao u slučaju 39, tada se prilikom izvođenja radnje vrijednost mora oduzeti od kvadrata. Vježbajmo bez upotrebe kalkulatora:

\[{{21}^{2}}=400+20+21=441\]

\[{{39}^{2}}=1600-40-39=1521\]

\[{{81}^{2}}=6400+80+81=6561\]

Kao što vidite, u svim slučajevima odgovori su isti. Štaviše, ova tehnika je primjenjiva na sve susjedne vrijednosti. Na primjer:

\[\početak(poravnati)& ((26)^(2))=625+25+26=676 \\& 26=25+1 \\\end(poravnati)\]

Istovremeno, ne moramo se uopće sjećati izračuna kvadrata zbira i razlike i koristiti kalkulator. Brzina rada je za svaku pohvalu. Zato zapamtite, vježbajte i koristite u praksi.

Ključne točke

Koristeći ovu tehniku, možete lako pomnožiti bilo koje prirodne brojeve u rasponu od 10 do 100. Štaviše, svi proračuni se izvode usmeno, bez kalkulatora, pa čak i bez papira!

Prvo, zapamtite kvadrate vrijednosti koji su višestruki od 10:

\[\begin(align)& ((10)^(2))=100,((20)^(2))=400,((30)^(2))=900,..., \\ & ((80)^(2))=6400,((90)^(2))=8100. \\\end(poravnati)\]

\[\begin(align)& ((34)^(2))=(((30+4))^(2))=((30)^(2))+2\cdot 30\cdot 4+ ((4)^(2))= \\& =900+240+16=1156; \\\end(poravnati)\]

\[\begin(align)& ((27)^(2))=(((30-3))^(2))=((30)^(2))-2\cdot 30\cdot 3+ ((3)^(2))= \\& =900-180+9=729. \\\end(poravnati)\]

Kako još brže brojati

Ali to nije sve! Koristeći ove izraze, možete odmah izvršiti kvadriranje brojeva koji su “susedni” referentnim. Na primjer, znamo 152 (referentna vrijednost), ali moramo pronaći 142 (susjedni broj koji je za jedan manji od referentnog). napišimo:

\[\begin(align)& ((14)^(2))=((15)^(2))-14-15= \\& =225-29=196. \\\end(poravnati)\]

Napomena: bez misticizma! Kvadrati brojeva koji se razlikuju za 1 zaista se dobijaju množenjem referentnih brojeva samim sobom oduzimanjem ili dodavanjem dvije vrijednosti:

\[\begin(poravnati)& ((31)^(2))=((30)^(2))+30+31= \\& =900+61=961. \\\end(poravnati)\]

Zašto se ovo dešava? Zapišimo formulu za kvadrat zbira (i razlike). Neka je $n$ naša referentna vrijednost. Tada se računaju ovako:

\[\begin(align)& (((n-1))^(2))=(n-1)(n-1)= \\& =(n-1)\cdot n-(n-1 )= \\& ==((n)^(2))-n-(n-1) \\\end(poravnati)\]

- ovo je formula.

\[\begin(align)& (((n+1))^(2))=(n+1)(n+1)= \\& =(n+1)\cdot n+(n+1) = \\& =((n)^(2))+n+(n+1) \\\end(poravnati)\]

- slična formula za brojeve veće od 1.

Nadam se da će vam ova tehnika uštedjeti vrijeme na svim važnim testovima i ispitima iz matematike. I to je sve za mene. Vidimo se!

Jedna od najčešćih matematičkih operacija koje se koriste u inženjeringu i drugim proračunima je podizanje broja na drugi stepen, koji se također naziva kvadrat. Na primjer, ova metoda izračunava površinu objekta ili figure. Nažalost, u Excelu ne postoji poseban alat koji bi kvadrirao dati broj. Međutim, ova operacija se može izvesti pomoću istih alata koji se koriste za podizanje na bilo koju drugu snagu. Hajde da saznamo kako ih treba koristiti za izračunavanje kvadrata datog broja.

Kao što znate, kvadrat broja se izračunava množenjem sa samim sobom. Ovi principi su, naravno, u osnovi izračuna ovog pokazatelja u Excel-u. U ovom programu postoje dva načina kvadriranja broja: korištenjem znaka eksponencijacije za formule «^» i primjena funkcije DEGREE. Razmotrite algoritam za primenu ovih opcija u praksi kako biste procenili koja je bolja.

Metoda 1: konstrukcija pomoću formule

Prije svega, pogledajmo najjednostavniji i najčešće korišten način podizanja na drugi stepen u Excelu, koji uključuje korištenje formule sa simbolom «^» . U ovom slučaju, kao objekt koji će biti kvadriran, možete koristiti broj ili referencu na ćeliju u kojoj se nalazi ova numerička vrijednost.

Opći oblik formule za kvadrat je sljedeći:

U njemu umjesto toga "n" trebate zamijeniti određeni broj koji bi trebao biti na kvadrat.

Pogledajmo kako to funkcionira na konkretnim primjerima. Prvo, kvadrirajmo broj koji će biti sastavni dio formule.

Sada da vidimo kako kvadrirati vrijednost koja se nalazi u drugoj ćeliji.

Metoda 2: Koristite funkciju POWER

Također možete koristiti ugrađenu Excel funkciju za kvadriranje broja. DEGREE. Ovaj operator je uvršten u kategoriju matematičkih funkcija i njegov je zadatak da podiže određenu numeričku vrijednost na određeni stepen. Sintaksa funkcije je sljedeća:

POWER (broj, stepen)

Argument "Broj" može biti određeni broj ili referenca na element lista gdje se nalazi.

Argument "stepen" označava snagu do koje se broj treba podići. Pošto smo suočeni sa pitanjem kvadrature, u našem slučaju će ovaj argument biti jednak 2 .

Pogledajmo sada konkretan primjer kako se kvadriranje izvodi pomoću operatora DEGREE.

Također, da biste riješili problem, umjesto broja kao argumenta, možete koristiti referencu na ćeliju u kojoj se nalazi.

* kvadrata do stotine

Kako ne biste bezumno kvadrirali sve brojeve prema formuli, morate što je više moguće pojednostaviti svoj zadatak sa sljedećim pravilima.

Pravilo 1 (odsjeca 10 brojeva)

Za brojeve koji se završavaju na 0.
Ako se broj završava na 0, množenje nije teže od jednocifrenog broja. Sve što treba da uradite je da dodate par nula.
70 * 70 = 4900.
Tabela je označena crvenom bojom.

Pravilo 2 (odsjeca 10 brojeva)

Za brojeve koji se završavaju na 5.
Da biste kvadrirali dvocifreni broj koji završava na 5, pomnožite prvu cifru (x) sa (x+1) i rezultatu dodajte "25".
75 * 75 = 7 * 8 = 56 … 25 = 5625.
Tabela je označena zelenom bojom.

Pravilo 3 (odsjeca 8 brojeva)

Za brojeve od 40 do 50.
XX * XX = 1500 + 100 * druga cifra + (10 - druga cifra)^2
Dovoljno teško, zar ne? Uzmimo primjer:
43 * 43 = 1500 + 100 * 3 + (10 - 3)^2 = 1500 + 300 + 49 = 1849.
Tabela je označena svetlo narandžastom bojom.

Pravilo 4 (odsjeca 8 brojeva)

Za brojeve od 50 do 60.
XX * XX = 2500 + 100 * druga cifra + (druga cifra)^2
Takođe je prilično teško razumjeti. Uzmimo primjer:
53 * 53 = 2500 + 100 * 3 + 3^2 = 2500 + 300 + 9 = 2809.
Tabela je označena tamno narandžastom bojom.

Pravilo 5 (odsjeca 8 brojeva)

Za brojeve od 90 do 100.
XX * XX = 8000+ 200 * druga cifra + (10 - druga cifra)^2
Slično pravilu 3, ali sa različitim koeficijentima. Uzmimo primjer:
93 * 93 = 8000 + 200 * 3 + (10 - 3)^2 = 8000 + 600 + 49 = 8649.
Tabela je označena tamno tamno narandžastom bojom.

Pravilo #6 (odsjeca 32 broja)

Potrebno je zapamtiti kvadrate brojeva do 40. Zvuči suludo i teško, ali zapravo, do 20, većina ljudi zna kvadrate. 25, 30, 35 i 40 su pogodni za formule. Ostalo je samo 16 parova brojeva. Oni se već mogu zapamtiti pomoću mnemotehnike (o čemu ću također govoriti kasnije) ili na bilo koji drugi način. Kao tablica množenja :)
Tabela je označena plavom bojom.

Možete zapamtiti sva pravila, ili se možete sjetiti selektivno, u svakom slučaju svi brojevi od 1 do 100 ispunjavaju dvije formule. Pravila će pomoći da se, bez korištenja ovih formula, brzo izračuna više od 70% opcija. Evo dvije formule:

Formule (preostalo 24 broja)

Za brojeve od 25 do 50
XX * XX = 100(XX - 25) + (50 - XX)^2
Na primjer:
37 * 37 = 100(37 - 25) + (50 - 37)^2 = 1200 + 169 = 1369

Za brojeve od 50 do 100
XX * XX = 200(XX - 50) + (100 - XX)^2
Na primjer:
67 * 67 = 200(67 - 50) + (100 - 67)^2 = 3400 + 1089 = 4489

Naravno, ne zaboravite na uobičajenu formulu za proširenje kvadrata zbira (poseban slučaj Newtonovog binoma):
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. 56^2 = 50^2 + 2*50*6 + 6*2 = 2500 + 600 + 36 = 3136.

UPDATE
Proizvodi brojeva blizu 100, a posebno njihovi kvadrati, također se mogu izračunati prema principu "nedostataka do 100":

Riječima: od prvog broja oduzimamo "nedostatak" drugog na sto i pripisujemo dvocifreni proizvod "mana".

Za kvadrate, odnosno, još lakše.
92*92 = (92-8)*100+8*8 = 8464
(po sieloveru)

Kvadratura možda i nije najkorisnija stvar u domaćinstvu. Nećete se odmah sjetiti slučaja kada će vam možda trebati kvadrat broja. Ali sposobnost brzog rada s brojevima, primjene odgovarajućih pravila za svaki od brojeva, savršeno razvija pamćenje i "računarske sposobnosti" vašeg mozga.

Inače, mislim da svi čitaoci Habre znaju da je 64^2 = 4096 i 32^2 = 1024.
Mnogi kvadrati brojeva se pamte na asocijativnom nivou. Na primjer, lako sam zapamtio 88^2 = 7744 zbog istih brojeva. Svako će sigurno imati svoje karakteristike.

Dvije jedinstvene formule koje sam prvi put pronašao u knjizi "13 koraka do mentalizma", koja nema mnogo veze s matematikom. Činjenica je da su ranije (možda čak i sada) jedinstvene računarske sposobnosti bile jedan od brojeva u scenskoj magiji: mađioničar je biciklu ispričao kako je dobio supermoći i, kao dokaz za to, momentalno kvadrira brojeve do sto. Knjiga takođe pokazuje kako se kocka, kako oduzimaju koreni i kockasti koreni.

Ako je tema brzog brojanja interesantna, pisaću još.
Komentare o greškama i ispravkama pišite u PM, hvala unaprijed.

* kvadrata do stotine

Kako ne biste bezumno kvadrirali sve brojeve prema formuli, morate što je više moguće pojednostaviti svoj zadatak sa sljedećim pravilima.

Pravilo 1 (odsjeca 10 brojeva)

Pravilo 2 (odsjeca 10 brojeva)

Pravilo 3 (odsjeca 8 brojeva)

Pravilo 4 (odsjeca 8 brojeva)

Pravilo 5 (odsjeca 8 brojeva)

Pravilo #6 (odsjeca 32 broja)

Formule (24 cifre preostale)

Za brojeve od 25 do 50
XX * XX = 100(XX - 25) + (50 - XX)^2
Na primjer:
37 * 37 = 100(37 - 25) + (50 - 37)^2 = 1200 + 169 = 1369

Za brojeve od 50 do 100

XX * XX = 200(XX - 25) + (100 - XX)^2

Na primjer:
67 * 67 = 200(67 - 50) + (100 - 67)^2 = 3400 + 1089 = 4489

Naravno, ne zaboravite na uobičajenu formulu za proširenje kvadrata zbira (poseban slučaj Newtonovog binoma):
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
56^2 = 50^2 + 2*50*6 + 6*2 = 2500 + 600 + 36 = 3136.

Ako je tema brzog brojanja interesantna, pisaću još.
Komentare o greškama i ispravkama pišite u PM, hvala unaprijed.

Podijeli: