Zašto ne možete podijeliti sa nulom? Ilustrativan primjer. Da li je moguće podijeliti sa nulom? Matematičar odgovara
udžbenik:"Matematika" M.I.Moro
Ciljevi lekcije: stvoriti uslove za formiranje sposobnosti dijeljenja 0 brojem.
Ciljevi lekcije:
- otkriti značenje dijeljenja 0 brojem kroz odnos množenja i dijeljenja;
- razvijati samostalnost, pažnju, razmišljanje;
- formirati vještine rješavanja primjera za tablično množenje i dijeljenje.
Da bi se postigao cilj, lekcija je osmišljena uzimajući u obzir pristup aktivnosti.
Struktura lekcije je uključivala:
- Org. momenat, čija je svrha bila pozitivno postavljanje djece za aktivnosti učenja.
- Motivacija dozvoljeno ažuriranje znanja, formiranje ciljeva i zadataka časa. U tu svrhu, zadaci su bili pronalaženje dodatnog broja, razvrstavanje primjera u grupe, dodavanje brojeva koji nedostaju. Prilikom rješavanja ovih zadataka djeca su se susretala problem: postojao je primjer za čije rješenje nema dovoljno postojećeg znanja. Iz tog razloga, djeca postavljaju svoje ciljeve i postaviti ciljeve učenja za lekciju.
- Traženje i otkrivanje novih znanja pružio djeci priliku nude različite opcije rješenja zadataka. Na osnovu prethodno naučenog materijala, uspjeli su pronaći pravo rješenje i doći do njega zaključak u kojoj je formulisano novo pravilo.
- Tokom primarna fiksacija učenika komentarisao njihove akcije, radeći po pravilu, dodatno su odabrani njihovim primjerima ovom pravilu.
- Za automatizacija radnji i sposobnost korištenja pravila u nestandardnim zadaci, djeca su rješavala jednačine, izraze u nekoliko radnji.
- Samostalan rad i sprovedeno uzajamna verifikacija pokazalo da je većina djece naučila temu.
- Tokom refleksije djeca su zaključila da je cilj časa postignuta i ocjenjivala se uz pomoć kartica.
Nastava se temeljila na samostalnom djelovanju učenika u svakoj fazi, potpunom uranjanju u zadatak učenja. Tome su doprinijele tehnike kao što su rad u grupama, samoprovjera i međusobna provjera, stvaranje situacije uspjeha, diferencirani zadaci, samorefleksija.
Tokom nastave
| Svrha pozornice | Scenski sadržaj | Aktivnosti učenika | ||||||||||||
| 1. Org. momenat | ||||||||||||||
| Priprema učenika za rad, pozitivan odnos prema aktivnostima učenja. | Stimulacija za aktivnosti učenja. Provjerite svoju spremnost za lekciju, sedite uspravno, oslonite se na naslon stolice. Trljajte uši da povećate dotok krvi u mozak. Danas ćete imati puno zanimljivih poslova, za koje sam siguran da ćete ih vrlo dobro obaviti. |
Organizacija radnog mjesta, provjera pristajanja. | ||||||||||||
| 2. Motivacija. | ||||||||||||||
| Stimulacija kognitivnih aktivnost, aktiviranje misaonog procesa |
Aktuelizacija znanja dovoljna za sticanje novih znanja. Verbalno brojanje. Provjera znanja o tabličnom množenju: |
Rješavanje zadataka na osnovu poznavanja tabelarnog množenja. | ||||||||||||
| a) pronađite dodatni broj 2 4 6 7 10 12 14 6 18 24 29 36 42 Objasnite zašto je suvišan i kojim brojem ga treba zamijeniti. |
Pronalaženje dodatnog broja. | |||||||||||||
| B) upiši brojeve koji nedostaju: … 16 24 32 … 48 … |
Dodavanje broja koji nedostaje. | |||||||||||||
| Stvaranje problematične situacije Zadaci u parovima: C) Rasporedite primjere u 2 grupe: Zašto je tako distribuiran? (sa odgovorima 4 i 5). |
Podjela primjera u grupe. | |||||||||||||
| karte: 8 7-6+30:6= 28:(16:4) 6= 30-(20-10:2):5= 30-(20-10 2):5= |
Jaki učenici rade na individualnim karticama. | |||||||||||||
| Šta ste primetili? Postoji li ovdje dodatni primjer? Jeste li uspjeli riješiti sve primjere? Ko ima problema? Po čemu se ovaj primjer razlikuje od ostalih? Ako neko odluci, onda bravo. Ali zašto se svi ne bi mogli nositi s ovim primjerom? |
Pronalaženje poteškoća. Identifikacija nedostajućih znanja, uzroka poteškoća. |
|||||||||||||
| Iskaz obrazovnog zadatka. Evo primjera sa 0. A od 0 možete očekivati različite trikove. Ovo je neobičan broj. Sjećate se šta znate o 0? (a 0=0, 0 a=0, 0+a=a) Navedite primjere. Pogledajte kako je podmukao: kada se doda, ne mijenja broj, ali kada se pomnoži, pretvara ga u 0. Primjenjuju li se ova pravila na naš primjer? Kako će se ponašati kada jede? |
Uočavanje poznatih metoda djelovanja od 0 i korelacija s originalnim primjerom. | |||||||||||||
| Dakle, koji je naš cilj? Ispravno riješi ovaj primjer. Sto na tabli. Šta je za to potrebno? Naučite pravilo za dijeljenje 0 brojem. |
iznošenje hipoteze, | |||||||||||||
| Kako pronaći pravo rješenje? Šta je operacija množenja? (sa podjelom) Navedite primjer 2 3 = 6 6: 2 = 3 Možemo li sada 0:5? To znači da morate pronaći broj koji će, kada se pomnoži sa 5, biti 0. x 5=0 Ovaj broj je 0. Dakle, 0:5=0. Navedite svoje primjere. |
tražiti rješenje na osnovu prethodno naučenog, | |||||||||||||
| Formulacija pravila. Koje pravilo se sada može formulisati? Kada 0 podijelite brojem, dobijete 0. 0: a = 0. |
Rješavanje tipičnih zadataka uz komentarisanje. Radite prema šemi (0: a = 0) |
|||||||||||||
| 5. Fizičke minute. | ||||||||||||||
| Prevencija narušavanja držanja, uklanjanje umora iz očiju, opći umor. | ||||||||||||||
| 6. Automatizacija znanja. | ||||||||||||||
| Otkrivanje granica primenljivosti novih znanja. | Koji drugi zadaci mogu zahtijevati poznavanje ovog pravila? (u rješavanju primjera, jednačina) |
Upotreba stečenog znanja u različitim zadacima. Grupni rad. |
||||||||||||
| Šta je nepoznato u ovim jednačinama? Zapamtite kako pronaći nepoznati množitelj. Riješite jednačine. Koje je rješenje u 1 jednadžbi? (0) U 2? (nema rješenja, ne možete podijeliti sa 0) |
Ponavljanje prethodno naučenih vještina. | |||||||||||||
| ** Napravite jednačinu sa rješenjem x=0 (x 5=0) | Za jake učenike, kreativan zadatak | |||||||||||||
| 7. Samostalan rad. | ||||||||||||||
| Razvoj samostalnosti, kognitivnih sposobnosti | Samostalan rad uz naknadnu međusobnu provjeru. №6 |
Aktivne mentalne radnje učenika vezane za traženje rješenja, na osnovu njihovog znanja. Samokontrola i međusobna kontrola. Jaki učenici testiraju i pomažu slabijima. |
||||||||||||
| 8. Rad na prethodno obrađenom materijalu. Razvoj vještina rješavanja problema. | ||||||||||||||
| Formiranje vještina rješavanja problema. | Šta mislite, koliko se često broj 0 koristi u zadacima? (Ne, ne često, jer 0 nije ništa, a zadaci bi trebali imati određenu količinu nečega.) Tada ćemo rješavati probleme gdje postoje drugi brojevi. Pročitaj zadatak. Šta će pomoći u rješavanju problema? (stol) Koje kolone u tabeli treba napisati? Popunite tabelu. Napravite plan za rješenje: šta trebate naučiti u 1, u 2 akcije? |
Rad na zadatku pomoću tabele. Planiranje rješavanja problema. Rešenje za samosnimanje. Model samokontrole. |
||||||||||||
| 9. Refleksija. Rezultati lekcije. | ||||||||||||||
| Organizacija samoprocjene aktivnosti. Povećanje motivacije djeteta. |
Na kojoj temi danas radite? Šta niste znali na početku lekcije? Koji cilj ste sebi postavili? Jeste li stigli? Koje si pravilo smislio? Ocijenite svoj rad postavljanjem odgovarajuće značke:
| Svest o svojim aktivnostima, introspekcija svog rada. Utvrđivanje usklađenosti rezultata aktivnosti i cilja. | ||||||||||||
| 10. Domaći. | ||||||||||||||
Kakva pitanja naša djeca ne postavljaju!.. Ali pitanje “Zašto ne možete podijeliti sa nulom?” ne pitaj. Zašto? Jer i u školi je učiteljica rekla da je to NEMOGUĆE. Ne možeš, pa ne možeš! Mnogo kasnije, već na institutima, saznali smo da je još uvijek moguće podijeliti, a rezultat će biti - beskonačnost. Ali, priznajte, naš um je tu činjenicu prihvatio kao neku pretpostavku, konvenciju, jer se sjećamo iz djetinjstva - to je nemoguće. I, zapravo, zašto svejedno?
Za početak, hajde da shvatimo odakle dolazi beskonačnost, prema čijem konceptu smo se u prvim godinama univerziteta odnosili sa određenim stepenom nepoverenja. Sve je iznenađujuće jednostavno: ako se bilo koji broj podijeli sa manjim i manjim, onda će se dobiti sve veća vrijednost. Što je djelitelj manji, to će kvocijent postati veći. Ovako se pojavljuje beskonačnost.
Ali fizičari i matematičari ne vole beskonačnost, jer Konvencionalno je prihvaćeno da se ne može dijeliti sa nulom. Ispada da je pretpostavka nemogućnost dijeljenja sa nulom.
Okrenimo se osnovama matematike. U aritmetici postoje četiri operacije - sabiranje, oduzimanje, množenje i dijeljenje. Ali oni nisu jednaki. Matematičari samo dvije od njih smatraju osnovnim radnjama: sabiranje i množenje, ostalo su obrnute radnje, posljedice glavnih.
Razmotrite koncept "oduzimanja". Da biste riješili primjer "5 - 3 \u003d ...", tri od pet stavki moraju biti uklonjene, preostali broj će biti odgovor na naš primjer. Ali, s obzirom da se sabiranje smatra glavnom radnjom, hajde da malo promijenimo naš primjer tako što ćemo ga napisati u obliku sabiranja: "x + 3 = 5". Odnosno, kojem broju treba dodati tri da bi se dobilo pet?
Isto je i sa podjelom. Izraz "8: 4 = ..." slijedi iz izraza "4 x = 8". Koliko puta četiri treba uzeti da bi se dobilo osam?
I evo ga, odgovora! Ako je 5:0 varijanta pisanja 0 x = 5, onda se ispostavlja da morate pronaći broj koji će, kada se pomnoži sa 0, dati 5. Koliko puta trebate uzeti nulu da biste dobili nešto više od ništa?! Ali množenje sa 0 uvijek rezultira 0, ova činjenica leži u samoj definiciji nule! Ne postoji broj koji, kada se pomnoži sa 0, daje nešto drugo osim nule. Ispostavilo se da problem nema rješenje, a izraz 5:0 nema smisla. Da bi se smanjio broj besmislenih zadataka, prihvaćeno je da se ne može dijeliti sa nulom.
Najpedantniji čitaoci će se sigurno zapitati: Ali šta je sa deljenjem nule sa nulom?
Hajde da to shvatimo. Ispada da jednačina 0 x = 0 ima rješenje? Ili beskonačan broj rješenja? "X" može biti jednako jedan, dva i milion. Dakle, sa x=0, ispada 0 0 = 0, zatim 0: 0=0? A ako je x=1, 0 1 =0, onda je 0: 0 = 1?! Ili 0: 0 = 1000000?!
Ispostavilo se da ne možemo pronaći rješenje za izraz "0:0", što znači da ni ovaj izraz nema rješenje. Dakle, ne možete podijeliti ni nulu sa nulom.
Do ovako zanimljivih zaključaka možete doći razmišljajući o činjenici poznatoj iz osnovne škole: ne možete dijeliti sa nulom.
Zainteresovani? Jeste li pročitali do kraja? Dakle, zbog ljudi poput vas se pojavila sljedeća životna anegdota.
Zašto ne možete podijeliti sa nulom? Možete množiti, a ispada i nula.
- Zašto ne? Moguće je, samo rezultat takve podjele je beskonačnost
Zašto ne nula?
- Pa, vidi: 2 * 0 - ovo je dva uzeti nula puta, biće nula. A 2/0 je „koliko puta nula stane u dvojku“, beskonačnost.
- Ako je 2/0=x, onda 2=x*0 znači 2=0. A ako je 2=0, onda je 2/0=0!
- Pa, da se ne bi bavili takvim glupostima, matematičari su usvojili neizgovoreni dogovor: ne možete dijeliti sa nulom!
Deljenje sa nulom u matematici, podjela na kojoj je djelitelj nula. Takva podjela se formalno može zapisati kao ⁄ 0, gdje je dividenda.
U običnoj aritmetici (sa realnim brojevima), ovaj izraz nema smisla, jer:
- kod ≠ 0, nema broja koji, kada se pomnoži sa 0, daje, dakle, nijedan broj se ne može uzeti kao količnik ⁄ 0;
- pri = 0, podjela nulom je također nedefinirana, jer bilo koji broj, kada se pomnoži sa 0, daje 0 i može se uzeti kao količnik 0 ⁄ 0.
Istorijski gledano, jedna od prvih referenci na matematičku nemogućnost dodjeljivanja vrijednosti ⁄ 0 nalazi se u kritici infinitezimalnog računa Georgea Berkeleya.
Logičke greške
Budući da pri množenju bilo kojeg broja sa nulom uvijek dobijemo nulu kao rezultat, dijeljenjem oba dijela izraza × 0 = × 0, što je tačno bez obzira na vrijednost i, sa 0, dobijamo izraz = , što je netačno u slučaju proizvoljno datih varijabli. Budući da se nula može dati implicitno, ali u obliku prilično složenog matematičkog izraza, na primjer, u obliku razlike između dvije vrijednosti koje su jedna na drugu svedene algebarskim transformacijama, takva podjela može biti prilično neočigledna greška. Neprimjetno uvođenje takve podjele u proces dokazivanja kako bi se pokazao identitet očito različitih veličina, čime bi se dokazala svaka apsurdna tvrdnja, jedna je od varijanti matematičkog sofizma.
U informatici
U programiranju, u zavisnosti od programskog jezika, tipa podataka i vrijednosti dividende, pokušaj dijeljenja sa nulom može dovesti do različitih posljedica. Posljedice dijeljenja nulom u cjelobrojnoj i realnoj aritmetici su fundamentalno različite:
- Pokušaj cijeli broj deljenje sa nulom je uvek kritična greška koja onemogućava nastavak izvršavanja programa. To dovodi ili do izbacivanja izuzetka (koji program može sam da obradi, čime se izbegava zaustavljanje u nuždi), ili do momentalnog zaustavljanja programa sa fatalnom porukom o grešci i, eventualno, sadržajem steka poziva. U nekim programskim jezicima, kao što je Go, podjela cijelog broja sa nultom konstantom smatra se sintaksičkom greškom i uzrokovaće prekid kompajliranja programa.
- AT pravi aritmetičke posljedice mogu biti različite na različitim jezicima:
- bacanje izuzetka ili zaustavljanje programa, kao kod dijeljenja cijelih brojeva;
- dobijanje posebne nenumeričke vrijednosti kao rezultat operacije. U tom slučaju se proračuni ne prekidaju, a njihov rezultat može naknadno sam program ili korisnik protumačiti kao značajnu vrijednost ili kao dokaz netačnih proračuna. Široko se koristi princip prema kojem, prilikom dijeljenja oblika ⁄ 0, gdje je ≠ 0 broj s plutajućim zarezom, rezultat je jednak pozitivnoj ili negativnoj (u zavisnosti od predznaka dividende) beskonačnosti - ili, i kada je = 0, rezultat je posebna vrijednost NaN (skraćeno od engleskog not a number - "nije broj"). Ovaj pristup je usvojen u standardu IEEE 754, koji je podržan od strane mnogih modernih programskih jezika.
Slučajno dijeljenje na nulu u kompjuterskom programu ponekad može uzrokovati skupe ili opasne kvarove u opremi koju kontrolira program. Na primjer, 21. septembra 1997., podjela na nulu u kompjuterizovanom sistemu upravljanja krstarice američke mornarice USS Yorktown (CG-48) isključila je svu elektronsku opremu u sistemu, uzrokujući prestanak rada brodske elektrane.
vidi takođe
Bilješke
Funkcija = 1 ⁄ . Kada teži nuli s desne strane, teži beskonačnosti; kada teži nuli s lijeve strane, teži minus beskonačnosti
Ako bilo koji broj podijelite sa nulom na konvencionalnom kalkulatoru, onda će vam dati slovo E ili riječ Error, odnosno "greška".
Kompjuterski kalkulator u sličnom slučaju piše (u Windows XP): "Deljenje sa nulom je zabranjeno."
Sve je u skladu sa pravilom poznatim iz škole da se ne može dijeliti sa nulom.
Hajde da vidimo zašto.
Deljenje je matematička operacija koja je inverzna od množenja. Dijeljenje se definira množenjem.
Podijelite broj a(dividenda, na primjer 8) brojem b(djelitelj, na primjer, broj 2) - znači pronaći takav broj x(količnik), kada se pomnoži sa djeliteljem b ispada deljivo a(4 2 = 8), tj. a podijeliti po b znači riješiti jednačinu x · b = a.
Jednačina a: b = x je ekvivalentna jednačini x · b = a.
Zamjenjujemo dijeljenje množenjem: umjesto 8: 2 = x pišemo x 2 = 8.
8: 2 = 4 je ekvivalentno 4 2 = 8
18: 3 = 6 je ekvivalentno 6 3 = 18
20: 2 = 10 je ekvivalentno 10 2 = 20
Rezultat dijeljenja uvijek se može provjeriti množenjem. Rezultat množenja djelitelja s količnikom mora biti dividenda.
Slično, pokušajmo podijeliti sa nulom.
Na primjer, 6: 0 = ... Moramo pronaći broj koji će, kada se pomnoži sa 0, dati 6. Ali znamo da kada se pomnoži sa nulom, uvijek se dobije nula. Ne postoji broj koji bi, kada se pomnoži sa nulom, dao nešto drugo osim nule.
Kada kažu da je nemoguće ili zabranjeno dijeliti nulom, to znači da ne postoji broj koji odgovara rezultatu takvog dijeljenja (moguće je dijeliti nulom, ali ne dijeliti :)).
Zašto u školi kažu da se ne može dijeliti sa nulom?
Stoga, u definicija operacijama dijeljenja a sa b, odmah se naglašava da je b ≠ 0.
Ako vam se sve gore napisano činilo previše komplikovano, onda je potpuno na vašim prstima: Podijeliti 8 sa 2 znači saznati koliko dvojki trebate uzeti da biste dobili 8 (odgovor: 4). Podijeliti 18 sa 3 znači saznati koliko trojki trebate uzeti da biste dobili 18 (odgovor: 6).
Dijeliti 6 sa nulom znači saznati koliko nula trebate uzeti da biste dobili 6. Bez obzira koliko nula uzmete, i dalje ćete dobiti nulu, ali nikada nećete dobiti 6, tj. dijeljenje sa nulom nije definirano.
Zanimljiv rezultat se dobiva ako pokušate podijeliti broj s nulom na android kalkulatoru. Na ekranu će se prikazati ∞ (beskonačnost) (ili - ∞ ako podijelite negativnim brojem). Ovaj rezultat je netačan, jer nema broja ∞. Očigledno, programeri su pobrkali potpuno različite operacije - dijeljenje brojeva i pronalaženje granice numeričkog niza n / x, gdje je x → 0. Prilikom dijeljenja nule sa nulom, biće napisano NaN (Not a Number - Not a number).
"Ne možete podijeliti sa nulom!" - Većina učenika zapamti ovo pravilo napamet, bez postavljanja pitanja. Sva djeca znaju šta je "ne" i šta će se dogoditi ako na to odgovorite: "Zašto?" Ali u stvari, vrlo je zanimljivo i važno znati zašto je to nemoguće.
Stvar je u tome da su četiri aritmetičke operacije – sabiranje, oduzimanje, množenje i dijeljenje – zapravo nejednake. Matematičari prepoznaju samo dva od njih kao punopravne - zbrajanje i množenje. Ove operacije i njihova svojstva uključeni su u samu definiciju pojma broja. Sve ostale radnje se na ovaj ili onaj način grade od ove dvije.
Razmotrite, na primjer, oduzimanje. Šta znači 5 - 3 ? Na ovo će učenik jednostavno odgovoriti: treba uzeti pet predmeta, oduzeti (ukloniti) tri i vidjeti koliko ih je ostalo. Ali matematičari na ovaj problem gledaju na potpuno drugačiji način. Nema oduzimanja, samo sabiranja. Dakle, unos 5 - 3 znači broj koji, kada se doda broju 3 će dati broj 5 . tj 5 - 3 je samo skraćenica za jednačinu: x + 3 = 5. U ovoj jednačini nema oduzimanja.
Deljenje sa nulom
Postoji samo zadatak - pronaći odgovarajući broj.
Isto je i sa množenjem i dijeljenjem. Snimanje 8: 4 može se shvatiti kao rezultat podjele osam predmeta na četiri jednake gomile. Ali to je zapravo samo skraćeni oblik jednačine 4 x = 8.
Tu postaje jasno zašto je nemoguće (ili bolje rečeno nemoguće) podijeliti sa nulom. Snimanje 5: 0 je skraćenica za 0 x = 5. Odnosno, ovaj zadatak je pronaći broj koji, kada se pomnoži sa 0 će dati 5 . Ali to znamo kada se pomnoži sa 0 uvek ispadne 0 . Ovo je inherentno svojstvo nule, striktno govoreći, dio njegove definicije.
Broj koji, kada se pomnoži sa 0 će dati nešto drugo osim nule, jednostavno ne postoji. Odnosno, naš problem nema rješenje. (Da, dešava se, nema svaki problem rješenje.) 5: 0 ne odgovara ni jednom određenom broju, i jednostavno ne znači ništa i stoga nema smisla. Besmislenost ovog unosa je ukratko izražena rekavši da se ne može dijeliti sa nulom.
Najpažljiviji čitatelji u ovom trenutku sigurno će se zapitati: da li je moguće podijeliti nulu sa nulom?
Zaista, pošto jednačina 0 x = 0 uspješno riješeno. Na primjer, možete uzeti x=0, a onda dobijamo 0 0 = 0. Ispostavilo se 0: 0=0 ? Ali nemojmo žuriti. Hajde da probamo da uzmemo x=1. Get 0 1 = 0. Ispravno? znači, 0: 0 = 1 ? Ali možete uzeti bilo koji broj i dobiti 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 itd.
Ali ako je bilo koji broj prikladan, onda nemamo razloga da se odlučimo za bilo koji od njih. Odnosno, ne možemo reći koji broj odgovara unosu 0: 0 . A ako je tako, onda smo primorani priznati da i ovaj zapis nema smisla. Ispada da se čak ni nula ne može podijeliti sa nulom. (U matematičkoj analizi postoje slučajevi kada se zbog dodatnih uslova zadatka može dati prednost jednoj od mogućih opcija za rješavanje jednačine 0 x = 0; u takvim slučajevima matematičari govore o "otkrivanju neodređenosti", ali u aritmetici se takvi slučajevi ne događaju.)
Ovo je karakteristika operacije divizije. Preciznije, operacija množenja i broj pridružen njoj imaju nulu.
Pa, najpedantniji, pročitavši do sada, može se zapitati: zašto je tako da ne možete podijeliti sa nulom, ali možete oduzeti nulu? U određenom smislu, ovdje počinje prava matematika. Na njega se može odgovoriti samo upoznavanjem sa formalnim matematičkim definicijama numeričkih skupova i operacijama nad njima. Nije tako teško, ali se iz nekog razloga ne uči u školi. Ali na predavanjima iz matematike na univerzitetu, ovo će vas prvo naučiti.
Funkcija dijeljenja nije definirana za raspon u kojem je djelitelj nula. Možete podijeliti, ali rezultat nije definiran
Ne možete delti za nulu. Matematika 2 razreda srednje škole.
Ako me sjećanje ne vara, onda nula može biti predstavljena kao beskonačno mala vrijednost, tako da će postojati beskonačnost. A škola "nula - ništa" je samo uprošćavanje, toliko ih ima u školskoj matematici. Ali bez njih nikako, sve u svoje vrijeme.
Prijavite se da napišete odgovor
Deljenje sa nulom
Privatno od podjela sa nulom nema drugog broja osim nule.
Obrazloženje je sljedeće: budući da u ovom slučaju nijedan broj ne može zadovoljiti definiciju količnika.
Napišimo npr.
koji god broj da uzmete za testiranje (recimo, 2, 3, 7), nije dobro jer:
\[ 2 0 = 0 \]
\[ 3 0 = 0 \]
\[ 7 0 = 0 \]
Šta se događa ako podijelite sa 0?
itd., ali morate ući u proizvod 2,3,7.
Možemo reći da problem dijeljenja broja različitog od nule sa nulom nema rješenja. Međutim, broj različit od nule može se podijeliti brojem proizvoljno blizu nuli, a što je djelitelj bliži nuli, to će biti veći količnik. Dakle, ako podijelimo 7 sa
\[ \frac(1)(10), \frac(1)(100), \frac(1)(1000), \frac(1)(10000) \]
onda dobijemo privatnih 70, 700, 7000, 70 000 itd., koji se neograničeno povećavaju.
Stoga se često kaže da je količnik dijeljenja 7 sa 0 "beskonačno velik", ili "jednak beskonačnosti", a oni pišu
\[7:0 = \infin\]
Značenje ovog izraza je da ako se djelitelj približi nuli, a dividenda ostane jednaka 7 (ili se približi 7), tada se količnik neograničeno povećava.
Svako od nas je iz škole naučio najmanje dva nepokolebljiva pravila: "zhi i shi - piši slovom I" i " ne mogu podijeliti sa nulom". I ako se prvo pravilo može objasniti posebnošću ruskog jezika, onda drugo postavlja sasvim logično pitanje: "Zašto?"
Zašto ne možete podijeliti sa nulom?
Nije sasvim jasno zašto se o tome ne priča u školi, ali u smislu aritmetike, odgovor je vrlo jednostavan.
Uzmimo broj 10 i podijelite ga sa 2 . To implicira da smo uzeli 10 bilo koje predmete i rasporedio ih prema 2 ravnopravne grupe, tj 10: 2 = 5 (uključeno 5 stavke u grupi). Isti primjer se također može napisati pomoću jednačine x * 2 = 10(i X ovdje će biti jednako 5 ).
Sada, na trenutak, zamislite da možete podijeliti sa nulom i pokušajte 10 podijeliti po 0 .
Dobit ćete sljedeće: 10:0=x, dakle x * 0 = 10. Ali naši proračuni ne mogu biti tačni, jer kada množimo bilo koji broj sa 0 uvek ispadne 0 . U matematici ne postoji takav broj koji se pomnoži sa 0 dao bi nešto drugo osim 0 . Dakle, jednačine 10:0=x i x * 0 = 10 nemam rešenje. S obzirom na to, kažu da se ne može dijeliti sa nulom.
Kada možete podijeliti sa nulom?
Postoji varijanta u kojoj dijeljenje sa nulom ipak ima nekog smisla. Ako podijelimo samu nulu, onda ćemo dobiti sljedeće 0: 0 = x, što znači x * 0 = 0.
Pretvarajmo se to x=0, onda jednadžba ne postavlja nikakva pitanja, sve savršeno konvergira 0: 0 = 0 , što znači 0 * 0 = 0 .
Ali šta ako X≠ 0 ? Pretvarajmo se to x = 9? Onda 9 * 0 = 0 i 0: 0 = 9 ? I ako x=45, onda 0: 0 = 45 .
Zaista možemo podijeliti 0 na 0 . Ali ova jednačina će imati beskonačan broj rješenja, budući da 0:0 = bilo šta.
Zašto 0:0 = NaN
Jeste li ikada pokušali podijeliti 0 na 0 na pametnom telefonu? Kako nula podijeljena sa nulom daje apsolutno bilo koji broj, programeri su morali tražiti izlaz iz ove situacije, jer kalkulator ne može zanemariti vaše zahtjeve. I našli su neku vrstu izlaza: kada podijelite nulu sa nulom, dobijete NaN (nije broj).
Zašto x:0=∞ a x: -0 = — ∞
Ako pokušate podijeliti bilo koji broj sa nulom na svom pametnom telefonu, odgovor će biti jednak beskonačnosti. Poenta je da u matematici 0 ponekad posmatrano ne kao "ništa", već kao "beskonačno mala količina". Stoga, ako se bilo koji broj podijeli s beskonačno malom vrijednošću, dobiće se beskonačno velika vrijednost (∞) .
Dakle, da li je moguće podijeliti sa nulom?
Odgovor je, kao što je često slučaj, dvosmislen. U školi je to najbolje da se posečeš po nosu ne mogu podijeliti sa nulom Time ćete uštedjeti nepotrebne komplikacije. Ali ako upišete Matematički fakultet na univerzitetu, još uvijek morate podijeliti sa nulom.
Kažu da možete podijeliti sa nulom ako odredite rezultat dijeljenja nulom. Samo treba proširiti algebru. Čudnom koincidencijom nije moguće pronaći barem neki, već razumljiviji i jednostavniji primjer takve ekstenzije. Da biste popravili Internet, potrebna vam je ili demonstracija jedne od metoda za takvo proširenje ili opis zašto to nije moguće.
Članak je napisan u nastavku trenda:
Odricanje od odgovornosti
Svrha ovog članka je objasniti na "ljudskom jeziku" kako funkcioniraju temeljne osnove matematike, strukturirati znanje i obnoviti propuštene uzročno-posljedične veze između dijelova matematike. Svi argumenti su filozofski, u pogledu sudova odstupaju od općeprihvaćenih (dakle, ne tvrdi da je matematički rigorozan). Članak je osmišljen za nivo čitatelja koji je "prešao kulu prije mnogo godina".Razumevanje principa aritmetike, elementarne, opšte i linearne algebre, matematičke i nestandardne analize, teorije skupova, opšte topologije, projektivne i afine geometrije je poželjno, ali nije obavezno.
Tokom eksperimenata nije pogođena niti jedna beskonačnost.
Prolog
Ići “preko granica” je prirodan proces potrage za novim znanjem. Ali ne donosi svako traženje novo znanje i samim tim korist.1. Uglavnom, sve nam je već podijeljeno!
1.1 Afino proširenje brojevne prave
Počnimo od toga odakle vjerovatno svi avanturisti počinju kada dijele sa nulom. Prisjetite se grafa funkcije
.
Lijevo i desno od nule, funkcija ide u različitim smjerovima "nepostojanja". Na samoj nuli generalno postoji „vrtlog“ i ništa se ne vidi.
Umjesto da se bezglavo bacamo u "bazen", da vidimo šta se ulijeva, a šta odatle. Da bismo to učinili, koristimo limit - glavni alat matematičke analize. Glavni "trik" je u tome što vam granica omogućava da odete do date tačke što je bliže moguće, ali ne i da je "zagazite". Takva "ograda" ispred "vrtloga".
Original
Dobro, "ograda" je postavljena. Nije više tako strašno. Imamo dva puta do "vrtloga". Idemo lijevo - strm spust, desno - strm uspon. Koliko god išli do „ograde“, ona se ne približava. Ne postoji način da se ukrsti donje i gornje „nepostojanje“. Javljaju se sumnje, možda se vrtimo u krug? Iako ne, brojevi se mijenjaju, dakle ne u krug. Još preturajmo po škrinji sa alatima matematičke analize. Pored ograničenja sa "ogradom", komplet dolazi sa pozitivnom i negativnom beskonačnosti. Vrijednosti su potpuno apstraktne (ne brojevi), dobro formalizirane i spremne za korištenje! Odgovara nam. Dopunimo naše "biće" (skup realnih brojeva) sa dvije beskonačnosti sa znakom.
matematički jezik:
Ovo je proširenje koje vam omogućava da uzmete granicu kada argument teži beskonačnosti i dobijete beskonačnost kao rezultat uzimanja granice.Postoje dvije grane matematike koje opisuju istu stvar koristeći različitu terminologiju.
Da rezimiramo:
u suvom ostatku. Stari pristupi više ne funkcionišu. Povećana je složenost sistema, u obliku gomile „ako“, „za sve ali“ itd. Imali smo samo dvije nesigurnosti 1/0 i 0/0 (nismo uzimali u obzir operacije snage), tako da ih je bilo pet. Otkrivanje jedne neizvjesnosti dovelo je do još više neizvjesnosti.
1.2 Točak
Nije se sve zaustavilo na uvođenju beskonačnosti bez predznaka. Da biste izašli iz neizvjesnosti, potreban vam je drugi vjetar.Dakle, imamo skup realnih brojeva i dvije nesigurnosti 1/0 i 0/0. Da bismo eliminisali prvu, izveli smo projektivno proširenje realne linije (to jest, uveli smo beskonačnost bez predznaka). Pokušajmo se pozabaviti drugom neizvjesnošću oblika 0/0. Uradimo isto. Dopunimo skup brojeva novim elementom koji predstavlja drugu nesigurnost.
Definicija dijeljenja je zasnovana na množenju. Ne odgovara nam. Odvojimo operacije jedne od drugih, ali zadržimo uobičajeno ponašanje za realne brojeve. Hajde da definiramo operaciju unarnog dijeljenja, označenu sa "/".
Hajde da definišemo operacije.
Ova struktura se zove "Točak". Termin je uzet zbog sličnosti sa topološkom slikom projektivnog proširenja realne prave i tačke 0/0.
Sve izgleda dobro, ali đavo je u detaljima:
Da bi se riješile sve karakteristike, osim proširenja skupa elemenata, dodaje se i bonus u obliku ne jednog, već dva identiteta koji opisuju distributivni zakon.
matematički jezik:Sa stanovišta opće algebre, operisali smo na terenu. A u polju, kao što znate, definirane su samo dvije operacije (sabiranje i množenje). Koncept podjele se izvodi kroz inverzne, a ako još dublje, onda pojedinačne elemente. Promjene koje su napravljene pretvaraju naš algebarski sistem u monoid i u sabiranju (sa nulom kao neutralnim elementom) i u množenju (sa jedinicom kao neutralnim elementom).U djelima otkrića, simboli ∞ i ⊥ se ne koriste uvijek. Umjesto toga, možete vidjeti unos u obliku /0 i 0/0.
Svijet više nije tako lijep, zar ne? Ipak, ne žurite. Provjerimo da li će se novi identiteti distributivnog zakona nositi s našim proširenim skupom.
Ovog puta rezultat je mnogo bolji.Da rezimiramo:
u suvom ostatku. Algebra radi odlično. Međutim, za osnovu je uzet koncept „nedefinisanog“, koji je počeo da se smatra nečim postojećim i da se njime operiše. Jednog dana će neko reći da je sve loše i ovo „nedefinisano“ treba da razbijete na još nekoliko „nedefinisanih“, ali manjih.Opšta algebra će reći: „Nema problema brate!“.
Ovako se postuliraju dodatne (j i k) imaginarne jedinice u kvaternionima. Dodaj oznake
