Dom » Grijani objekti » Kako riješiti geometrijsku progresiju: potrebne formule, primjeri s rješenjima. Do čega će dovesti američke sankcije protiv ruskih energetskih kompanija?

Kako riješiti geometrijsku progresiju: potrebne formule, primjeri s rješenjima. Do čega će dovesti američke sankcije protiv ruskih energetskih kompanija?

Geometrijska progresija je jedan od najzanimljivijih brojevnih nizova koji se razmatra u školskom kursu algebre. Ovaj članak je posvećen posebnom slučaju pomenute serije: i zbiru njenih pojmova.

O kakvom nizu brojeva govorimo?

Geometrijska progresija je jednodimenzionalni niz realnih brojeva koji su međusobno povezani sljedećim odnosom:

a 2 = a 1 *r, a 3 = a 2 *r, a 4 = a 3 *r, ...., a n = a n-1 *r

Uopštavajući gornje izraze, možemo napisati sljedeću jednakost:

a n = a 1 *r n-1

Kao što je jasno iz gornjih unosa, a n je element progresije sa brojem n. Parametar r, kojim treba pomnožiti n-1 elemenata da bi se dobio n-ti element, naziva se imenilac.

Koja su svojstva opisanog niza? Odgovor na pitanje zavisi od vrijednosti i predznaka r. Moguće su sljedeće opcije:

Imenilac r je pozitivan i veći od 1. U ovom slučaju, progresija će uvijek rasti u apsolutnoj vrijednosti, dok se apsolutna vrijednost njenih članova može također smanjiti ako je a 1 negativna.
Imenilac r je negativan i veći je od 1. U ovom slučaju, članovi progresije će se pojaviti sa naizmjeničnim predznakom (+ i -). Takve serije su od malog praktičnog interesa.
Modul nazivnika r je manji od 1. Ovaj niz se naziva opadajućim, bez obzira na predznak r. Upravo je ovo napredovanje od velikog praktičnog interesa i o njemu će biti riječi u ovom članku.

Formula za sumu

Prvo, dobijemo izraz koji će nam omogućiti da izračunamo zbir proizvoljnog broja elemenata date progresije. Počnimo s rješavanjem ovog problema direktno. Imamo:

S n = a 1 +a 2 +a 3 +..+a n

Zadata jednakost se može koristiti ako je potrebno izračunati rezultat za mali broj članova (3-4 člana), od kojih je svaki određen formulom za n-ti član (vidi prethodni pasus). Međutim, ako ima puno pojmova, onda je nezgodno računati na čelo i možete pogriješiti, pa koriste posebnu formulu.

Pomnožimo oba dijela gornje jednakosti sa r, dobijemo:

r*S n = r*a 1 +r*a 2 +r*a 3 +..+r*a n = a 2 +a 3 +a 4 +...+a n+1

Sada oduzimamo lijevi i desni dio ova dva izraza u parovima, imamo:

r*S n - S n = a 2 +a 3 +a 4 +...+a n+1 - (a 1 +a 2 +a 3 +..+a n) = a n+1 - a 1

Izražavajući zbir S n i koristeći formulu za pojam a n+1, dobijamo:

S n = (a n+1 - a 1) / (r-1) \u003d a 1 * (r n - 1) / (r-1)

Tako smo dobili opštu formulu za zbir prvih n članova razmatranog tipa brojevnog niza. Imajte na umu da formula vrijedi ako je r≠1. U potonjem slučaju, postoji jednostavan niz identičnih brojeva, čiji se zbroj izračunava kao proizvod jednog broja i njihovog broja.

Kako pronaći zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije?

Da bismo odgovorili na ovo pitanje, treba se prisjetiti da će se niz opadati kada |r|<1. Воспользуемся полученной в предыдущем пункте формулой для S n:

S n \u003d a 1 * (r n - 1) / (r-1)

Imajte na umu da svaki broj čiji je modul manji od 1 teži nuli kada se podigne na veliki stepen, to jest, r ∞ -> 0. Ovu činjenicu možete provjeriti na bilo kojem primjeru:

r = -1/2, zatim (-1/2)**10 ≈ 9,7*10 -4, (-1/2)**20 ≈ 9,5*10 -7 i tako dalje.

Nakon što smo utvrdili ovu činjenicu, obratimo pažnju na izraz za zbir: za n->∞ on će biti prepisan na sljedeći način:

S ∞ = a 1 *(r ∞ - 1)/(r-1) = a 1 /(1-r)

Dobijen je zanimljiv rezultat: zbir beskonačne progresije opadajuće geometrije teži konačnom broju, koji ne zavisi od broja članova. Određuje se samo prvim članom i nazivnikom. Imajte na umu da je predznak zbira jedinstveno određen predznakom a 1, pošto je imenilac uvijek pozitivan broj (1-r>0).

Zbir kvadrata beskonačno opadajuće geometrijske progresije

Naslov stavke definira problem koji treba riješiti. Da bismo to učinili, koristimo tehniku koja je potpuno slična onoj korištenoj za izvođenje opće formule za S n . Imamo prvi izraz:

M n = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + ... + a n 2

Pomnožite obje strane jednakosti sa r 2, napišite drugi izraz:

r 2 *M n = r 2 *a 1 2 + r 2 *a 2 2 + r 2 *a 3 2 + ... + r 2 *a n 2 = a 2 2 + a 3 2 + a 4 2 .. .+a n+1 2

Sada nalazimo razliku između ove dvije jednakosti:

r 2 *M n - M n = a 2 2 + a 3 2 + a 4 2 ... + a n+1 2 - (a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + ... + a n 2) = a n+1 2 - a 1 2

Izražavamo M n i koristimo formulu za n-ti element, dobijamo jednakost:

M n \u003d (a n+1 2 - a 1 2) / (r 2 -1) \u003d a 1 2 * (r 2n -1) / (r 2 -1)

U prethodnom pasusu je pokazano da je r ∞ -> 0, tada će konačna formula poprimiti oblik:

M ∞ = a 1 2 */(1-r 2)

Poređenje dva primljena iznosa

Uporedimo dvije formule: za beskonačan zbir i beskonačan zbir kvadrata na primjeru sljedećeg problema: zbir beskonačne geometrijske progresije je 2, poznato je da govorimo o opadajućem nizu kojem je imenilac 1 /3. Potrebno je pronaći beskonačan zbir kvadrata ovog niza brojeva.

Koristimo formulu za zbir. Izrazite 1:

S ∞ = a 1 /(1-r) => a 1 = S ∞ *(1-r)

Zamjenjujemo ovaj izraz u formulu za zbir kvadrata, imamo:

M ∞ = a 1 2 */(1-r 2) = S ∞ 2 *(1-r) 2 /(1-r 2) = S ∞ 2 *(1-r)/(1+r)

Dobili smo željenu formulu, sada možemo zamijeniti podatke poznate iz uvjeta:

M ∞ = S ∞ 2 *(1-r)/(1+r) = 2 2 *(1-1/3)/(1+1/3) = 2

Tako smo dobili istu vrijednost za beskonačan zbir kvadrata kao i za jednostavan zbir. Imajte na umu da ovaj rezultat vrijedi samo za ovaj problem. Općenito, M ∞ ≠ S ∞ .

Zadatak izračunavanja površine pravokutnika

Svaki učenik zna formulu S = a * b, koja određuje površinu pravokutnika u smislu njegovih stranica. Malo ljudi zna da se problem pronalaženja površine ove figure lako može riješiti pomoću sume beskonačne geometrijske progresije. Hajde da pokažemo kako se to radi.

Podijelimo mentalno pravougaonik na pola. Površina jedne polovine se uzima kao jedinica. Sada drugu polovinu ponovo podijelimo na pola. Dobijamo dvije polovine od kojih ćemo jednu podijeliti na pola. Nastavit ćemo ovu proceduru na neodređeno vrijeme (vidi sliku ispod).

Kao rezultat toga, površina pravokutnika u jedinicama koje smo odabrali bit će jednaka:

S ∞ = 1+1/2+1/4+1/8+...

Može se vidjeti da su ovi članovi elementi opadajuće serije, u kojoj je a 1 = 1 i r = 1/2. Koristeći formulu za beskonačan zbir, dobijamo:

S∞ = 1 /(1-1/2) = 2

U skali koju smo odabrali, polovina pravougaonika (jedna jedinica) odgovara površini a*b/2. To znači da je površina cijelog pravougaonika:

S ∞ = 2*a*b/2 = a*b

Dobijeni rezultat je očigledan, ali je ipak pokazao kako se opadajuća progresija može primijeniti za rješavanje problema u geometriji.

Sankcije Sjedinjenih Država ruskom energetskom sektoru mogu dovesti do kritičnih posljedica - do kolapsa evropskog energetskog sistema. Tako kaže Robert, čelnik britanske naftne i gasne kompanije BP.

“Mislim da se to neće dogoditi. Ako Rosnjeftu uvedete sankcije, poput onih koje su primijenjene Rusalu, onda ćete zapravo isključiti energetske sisteme Evrope, a to je već malo previše,”

- rekao je Dudley, govoreći na konferenciji Oil & Money 2018 u Londonu (citirano prema).

Ograničeno je obezbeđivanje dužničkog i akcijskog kapitala preduzećima iz Rusije, kao i nabavka opreme za istraživanje i proizvodnju nafte na šelfu na dubini većoj od 150 metara i za razvoj škriljca.

U avgustu 2017. Sjedinjene Države su pooštrile finansijske sankcije, uvele dodatne zabrane isporuke robe i tehnologija za proizvodnju, a takođe su zakonski propisale mogućnost uvođenja ograničenja na izvozne naftovode. Zbog sankcija su obustavljeni i gotovo svi zajednički projekti sa strancima za razvoj offshore i nafte iz škriljaca.

Stručnjaci su u više navrata napomenuli da u budućnosti ova ograničenja mogu dovesti do smanjenja nivoa proizvodnje u Ruskoj Federaciji ako zemlja ne posveti više pažnje geološkim istraživanjima i razvoju vlastitih tehnologija.

Očigledno, ako se u novembru usvoji najteži paket ograničenja, interakcija bi mogla biti komplikovana, ali je malo vjerovatno da će ići u kategoriju potpunog zaustavljanja,

Zharsky misli.

Da su očekivanja drugačija, onda bi od druge zainteresirane strane počele stizati iste uznemirujuće vijesti, ali o takvim prognozama naftaši ne mucaju, skreće pažnju stručnjak.

Uvođenje oštrih sankcija nije samo problem za Rusiju, već i glavobolja za naše strane partnere, među kojima su i najbliži američki saveznici, slaže se investicioni strateg premijera BCS-a.

Prema analitičaru, u slučaju jačanja sankcija, restriktivne mjere mogu biti selektivne prirode i malo je vjerovatno da će biti usmjerene na cijelu industriju.

Rusija zauzima više od 10% svjetskog tržišta nafte, a nagli odlazak tako velikog igrača značit će brz rast nafte citati: potencijalno ovo nije udar samo za evropske, već i za sve ostale potrošače nafte.

Tako je u septembru proizvodnja nafte u Rusiji iznosila 11,35 miliona barela dnevno (b/d). Prema CDU-u Kompleksa goriva i energije Ministarstva energetike, Rusija je u periodu januar-septembar 2018. godine isporučila 190,212 miliona tona nafte zemljama van ZND.

Što se tiče tržišta gasa, situacija za EU je još ozbiljnija: Rusija čini oko 34% svih isporuka gasa Evropi. Istovremeno, prošle godine je Gazprom isporučio oko 195 milijardi kubnih metara gasa u zemlje koje nisu članice ZND (EU plus Turska). Ove godine, prema prognozama stručnjaka i samog monopoliste, ova cifra će premašiti 200 milijardi kubnih metara.

Vrlo je teško brzo zamijeniti takve količine. Da ne spominjemo činjenicu da je ekonomski plin iz Ruske Federacije isplativiji za evropske zemlje od istog tečnog prirodnog plina (LNG).

Ranije sam izvještavao da se sankcije Rusiji ne mogu uvesti po teškom scenariju Irana ili Sjeverne Koreje, zemlja je previše duboko integrirana u svjetsku ekonomiju. U novembru će biti uveden embargo na isporuku nafte iz Irana, a tržište će izgubiti oko 1-2 miliona barela. Samo očekivanje toga dovelo je kotacije na nivo od 80-85 dolara za barel Brent.

Međutim, administracija ne razmatra rizike, otvarajući trgovinske ratove sa EU i Kinom. Američki ministar unutrašnjih poslova Ryan Zinke nedavno je rekao da bi SAD mogle uvesti pomorsku blokadu Rusije. Dakle, ne može se isključiti ni jedan, čak ni najnevjerovatniji scenario.

Među svim nizovima brojeva, geometrijska progresija, koja se razmatra u predmetu algebre 9. razreda, jedna je od najpoznatijih. Šta je to i kako riješiti geometrijsku progresiju - na ova pitanja odgovoreno je u ovom članku.

Niz brojeva koji poštuje matematički zakon

Naslov ovog paragrafa je opšta definicija geometrijske progresije. Zakon kojim se opisuje je prilično jednostavan: svaki sljedeći broj se razlikuje od prethodnog po faktoru koji se naziva "imenik". Možete ga označiti slovom r. Tada možemo napisati sljedeću jednakost:

Ovdje je an član progresije sa brojem n.

Ako je r veći od 1, tada će se progresija povećati u apsolutnoj vrijednosti (može se smanjiti ako njegov prvi član ima negativan predznak). Ako je r manje od jedan, onda će cijela progresija težiti nuli ili odozdo (a1<0), либо сверху (a1>0). U slučaju negativnog nazivnika (r<0) иметь место будет чередующаяся числовая последовательность (каждый положительный член будет окружен двумя отрицательными). Наконец, при равенстве r единице получится простой набор чисел, который, как правило, не называют прогрессией.

Primjer vrste napredovanja koji se razmatra je dat u nastavku:

2, 3, 4, 5, 6, 75, …

Ovdje je prvi član 2, a imenilac 1,5.

Važne formule

Kako riješiti geometrijsku progresiju u 9. razredu? Da biste to učinili, trebali biste znati ne samo njegovu definiciju i razumjeti o čemu se radi, već i zapamtiti dvije važne formule. Prvi od njih je prikazan u nastavku:

Izraz vam omogućava da lako pronađete proizvoljan element niza, ali za to morate znati dva broja: nazivnik i prvi element. Ovu formulu je lako dokazati, samo trebate zapamtiti definiciju geometrijske progresije: drugi element se dobija množenjem prvog sa nazivnikom na prvi stepen, treći element množenjem prvog sa nazivnikom na drugi stepen, i tako dalje. Korisnost ovog izraza je očigledna: nema potrebe za uzastopnim vraćanjem čitavog niza brojeva da bi se saznalo koju će vrijednost imati njegov n-ti element.

Sljedeća formula je također korisna u odgovoru na pitanje kako riješiti geometrijsku progresiju. Govorimo o zbiru njegovih elemenata, počevši od prvog i završavajući sa n-im. Odgovarajući izraz je dat u nastavku:

Sn = a1*(rn-1)/(r-1).

Vrijedi obratiti pažnju na njegovu posebnost: kao iu formuli za pronalaženje n-tog elementa, i ovdje je dovoljno znati ista dva broja (a1 i r). Ovaj rezultat nije iznenađujući, jer je svaki član progresije povezan sa označenim brojevima.

Vraćanje progresije

Prvi primjer, kako riješiti geometrijsku progresiju, ima sljedeći uvjet: poznato je da dva broja 10 i 20 čine vrstu progresije koja se razmatra. U ovom slučaju, brojevi su osmi i petnaesti element serije. Neophodno je obnoviti čitav niz, znajući da se mora smanjiti.

Ovaj pomalo zbunjujući uslov zadatka treba pažljivo analizirati: pošto govorimo o opadajućem nizu, broj 10 bi trebao biti na poziciji 15, a 20 u 8. Počevši s rješavanjem, napišite odgovarajuće jednakosti za svaki od brojeva:

a8 = a1*r7 i a15 = a1*r14.

Imate dvije jednakosti sa dvije nepoznate. Riješite ih tako što ćete iz prvog izraziti a1 i zamijeniti ga drugim. Nabavite:

a1 = a8*r-7 i a15 = a8*r-7 *r14=a8*r7 => r=7√(a15/a8).

Sada ostaje zamijeniti odgovarajuće vrijednosti iz uvjeta i izračunati sedmi korijen. Nabavite:

r=7√(a15/a8) = 7√(10/20) ≈ 0,9057.

Zamjenom rezultujućeg nazivnika u bilo koji od izraza za poznati n-ti element, dobije se a1:

a1 = a8*r-7 = 20*(0,9057)-7 ≈ 40,0073.

Na ovaj način ćete pronaći prvi član i nazivnik, što znači da ćete vratiti cjelokupnu progresiju. Prvih nekoliko članova:

40,0073, 36,2346, 32,8177, 29,7230, …

Treba napomenuti da je prilikom izvođenja proračuna korišteno zaokruživanje na 4 decimale.

Pronalaženje nepoznatog člana serije

Sada vrijedi razmotriti još jedan primjer: poznato je da je sedmi element serije 27, što je trinaesti član ako je imenilac r = -2. Kako riješiti geometrijsku progresiju koristeći ove podatke? Vrlo jednostavno, morate napisati formulu za 7. element:

Pošto je u ovoj jednakosti nepoznat samo broj a1, izrazite ga:

Upotrijebite posljednju jednačinu tako što ćete je zamijeniti u formulu za 13. član koji želite pronaći. Nabavite:

a13 = a1*r12 = a7*r-6*r12 = a7*r6.

Ostaje zamijeniti brojeve i napisati odgovor:

a13 = a7*r6 = 27*(-2)6 = 1728.

Rezultirajući broj pokazuje koliko brzo raste geometrijska progresija.

Zadatak za sumu

Posljednji zadatak, koji otkriva pitanje kako riješiti geometrijsku progresiju, vezan je za pronalaženje zbira nekoliko elemenata. Neka je a1 = 1,5, r = 2. Treba izračunati zbir članova ovog niza, počevši od 5. i završavajući sa 10.

Da biste dobili odgovor na postavljeno pitanje, trebate primijeniti formulu:

S510 = S10 - S4.

Odnosno, prvo morate pronaći zbir 10 elemenata, zatim zbir prva 4 i oduzeti ih između sebe. Slijedeći navedeni algoritam, ispostavit će se:

S10 = a1*(rn-1)/(r-1) = 1,5*(210-1)/(2-1) = 1534,5;

S4 = a1*(rn-1)/(r-1) = 1,5*(24-1)/(2-1) = 22,5;

S510 = 1534,5 - 22,5 = 1512.

Vrijedi napomenuti da je u konačnoj formuli oduzet zbir tačno 4 člana, pošto bi peti, prema uslovu zadatka, trebao učestvovati u zbiru.

9. oktobar 2018

Geometrijska progresija je jedan od najzanimljivijih brojevnih nizova koji se razmatra u školskom kursu algebre. Ovaj članak je posvećen posebnom slučaju pomenute serije: opadajućoj beskonačnoj geometrijskoj progresiji i zbroju njenih članova.

O kakvom nizu brojeva govorimo?

Geometrijska progresija je jednodimenzionalni niz realnih brojeva koji su međusobno povezani sljedećim odnosom:

a 2 = a 1 *r, a 3 = a 2 *r, a 4 = a 3 *r, ...., a n = a n-1 *r

Uopštavajući gornje izraze, možemo napisati sljedeću jednakost:

a n = a 1 *r n-1

Kao što je jasno iz gornjih unosa, a n je element progresije sa brojem n. Parametar r, kojim treba pomnožiti n-1 elemenata da bi se dobio n-ti element, naziva se imenilac.

Koja su svojstva opisanog niza? Odgovor na pitanje zavisi od vrijednosti i predznaka r. Moguće su sljedeće opcije:

Imenilac r je pozitivan i veći od 1. U ovom slučaju, progresija će uvijek rasti u apsolutnoj vrijednosti, dok se apsolutna vrijednost njenih članova može također smanjiti ako je a 1 negativna.
Imenilac r je negativan i veći je od 1. U ovom slučaju, članovi progresije će se pojaviti sa naizmjeničnim predznakom (+ i -). Takve serije su od malog praktičnog interesa.
Modul nazivnika r je manji od 1. Ovaj niz se naziva opadajućim, bez obzira na predznak r. Upravo je ovo napredovanje od velikog praktičnog interesa i o njemu će biti riječi u ovom članku.

Formula za sumu

Prvo, dobijemo izraz koji će nam omogućiti da izračunamo zbir proizvoljnog broja elemenata date progresije. Počnimo s rješavanjem ovog problema direktno. Imamo:

S n = a 1 +a 2 +a 3 +..+a n

Pomnožimo oba dijela gornje jednakosti sa r, dobijemo:

r*S n = r*a 1 +r*a 2 +r*a 3 +..+r*a n = a 2 +a 3 +a 4 +...+a n+1

Sada oduzimamo lijevi i desni dio ova dva izraza u parovima, imamo:

r*S n - S n = a 2 +a 3 +a 4 +...+a n+1 - (a 1 +a 2 +a 3 +..+a n) = a n+1 - a 1

Izražavajući zbir S n i koristeći formulu za pojam a n+1, dobijamo:

S n = (a n+1 - a 1) / (r-1) \u003d a 1 * (r n - 1) / (r-1)

Povezani video zapisi

Kako pronaći zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije?

S n \u003d a 1 * (r n - 1) / (r-1)

Imajte na umu da svaki broj čiji je modul manji od 1 teži nuli kada se podigne na veliki stepen, to jest, r ∞ -> 0. Ovu činjenicu možete provjeriti na bilo kojem primjeru:

r = -1/2, zatim (-1/2)**10 ≈ 9,7*10 -4, (-1/2)**20 ≈ 9,5*10 -7 i tako dalje.

Nakon što smo utvrdili ovu činjenicu, obratimo pažnju na izraz za zbir: za n->∞ on će biti prepisan na sljedeći način:

S ∞ = a 1 *(r ∞ - 1)/(r-1) = a 1 /(1-r)

Zbir kvadrata beskonačno opadajuće geometrijske progresije

Naslov stavke definira problem koji treba riješiti. Da bismo to učinili, koristimo tehniku koja je potpuno slična onoj korištenoj za izvođenje opće formule za S n . Imamo prvi izraz:

M n = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + ... + a n 2

Pomnožite obje strane jednakosti sa r 2, napišite drugi izraz:

r 2 *M n = r 2 *a 1 2 + r 2 *a 2 2 + r 2 *a 3 2 + ... + r 2 *a n 2 = a 2 2 + a 3 2 + a 4 2 .. .+a n+1 2

Sada nalazimo razliku između ove dvije jednakosti:

r 2 *M n - M n = a 2 2 + a 3 2 + a 4 2 ... + a n+1 2 - (a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + ... + a n 2) = a n+1 2 - a 1 2

Izražavamo M n i koristimo formulu za n-ti element, dobijamo jednakost:

M n \u003d (a n+1 2 - a 1 2) / (r 2 -1) \u003d a 1 2 * (r 2n -1) / (r 2 -1)

U prethodnom pasusu je pokazano da je r ∞ -> 0, tada će konačna formula poprimiti oblik:

M ∞ = a 1 2 */(1-r 2)

Poređenje dva primljena iznosa

Koristimo formulu za zbir. Izrazite 1:

S ∞ = a 1 /(1-r) => a 1 = S ∞ *(1-r)

Zamjenjujemo ovaj izraz u formulu za zbir kvadrata, imamo:

M ∞ = a 1 2 */(1-r 2) = S ∞ 2 *(1-r) 2 /(1-r 2) = S ∞ 2 *(1-r)/(1+r)

Dobili smo željenu formulu, sada možemo zamijeniti podatke poznate iz uvjeta:

M ∞ = S ∞ 2 *(1-r)/(1+r) = 2 2 *(1-1/3)/(1+1/3) = 2

Tako smo dobili istu vrijednost za beskonačan zbir kvadrata kao i za jednostavan zbir. Imajte na umu da ovaj rezultat vrijedi samo za ovaj problem. Općenito, M ∞ ≠ S ∞ .

Zadatak izračunavanja površine pravokutnika

Kao rezultat toga, površina pravokutnika u jedinicama koje smo odabrali bit će jednaka:

S ∞ = 1+1/2+1/4+1/8+...

Može se vidjeti da su ovi članovi elementi opadajuće serije, u kojoj je a 1 = 1 i r = 1/2. Koristeći formulu za beskonačan zbir, dobijamo:

S∞ = 1 /(1-1/2) = 2

U skali koju smo odabrali, polovina pravougaonika (jedna jedinica) odgovara površini a*b/2. To znači da je površina cijelog pravougaonika:

S ∞ = 2*a*b/2 = a*b

Dobijeni rezultat je očigledan, ali je ipak pokazao kako se opadajuća progresija može primijeniti za rješavanje problema u geometriji.

Niz brojeva koji poštuje matematički zakon

Ovdje je a n član progresije sa brojem n.

Ako je r veći od 1, tada će se progresija povećati u apsolutnoj vrijednosti (može se smanjiti ako njegov prvi član ima negativan predznak). Ako je r manje od jedan, onda će cijela progresija težiti nuli ili odozdo (a 1<0), либо сверху (a 1 >0). U slučaju negativnog nazivnika (r<0) иметь место будет чередующаяся числовая последовательность (каждый положительный член будет окружен двумя отрицательными). Наконец, при равенстве r единице получится простой набор чисел, который, как правило, не называют прогрессией.

Primjer vrste napredovanja koji se razmatra je dat u nastavku:

2, 3, 4, 5, 6, 75, ...

Ovdje je prvi član 2, a imenilac 1,5.

Važne formule

S n \u003d a 1 * (r n -1) / (r-1).

Vrijedi obratiti pažnju na njegovu posebnost: kao iu formuli za pronalaženje n-tog elementa, i ovdje je dovoljno znati ista dva broja (a 1 i r). Ovaj rezultat nije iznenađujući, jer je svaki član progresije povezan sa označenim brojevima.

Vraćanje progresije

a 8 = a 1 *r 7 i a 15 = a 1 *r 14 .

Imate dvije jednakosti sa dvije nepoznate. Riješite ih tako što ćete iz prvog izraziti 1 i zamijeniti ga drugim. Nabavite:

a 1 = a 8 *r -7 i a 15 = a 8 *r -7 *r 14 = a 8 *r 7 => r= 7 √ (a 15 / a 8).

Sada ostaje zamijeniti odgovarajuće vrijednosti iz uvjeta i izračunati sedmi korijen. Nabavite:

r \u003d 7 √ (a 15 / a 8) = 7 √ (10 / 20) ≈ 0,9057.

Zamjenom rezultujućeg nazivnika u bilo koji od izraza za poznati n-ti element, dobijamo 1:

a 1 \u003d a 8 * r -7 = 20 * (0,9057) -7 ≈ 40,0073.

Na ovaj način ćete pronaći prvi član i nazivnik, što znači da ćete vratiti cjelokupnu progresiju. Prvih nekoliko članova:

40,0073, 36,2346, 32,8177, 29,7230, ...

Treba napomenuti da je prilikom izvođenja proračuna korišteno zaokruživanje na 4 decimale.

Pronalaženje nepoznatog člana serije

Pošto je u ovoj jednakosti nepoznat samo broj a 1, izrazite ga:

Upotrijebite posljednju jednačinu tako što ćete je zamijeniti u formulu za 13. član koji želite pronaći. Nabavite:

a 13 = a 1 *r 12 = a 7 *r -6 *r 12 = a 7 *r 6 .

Ostaje zamijeniti brojeve i napisati odgovor:

a 13 \u003d a 7 * r 6 \u003d 27 * (-2) 6 = 1728.

Rezultirajući broj pokazuje koliko brzo raste geometrijska progresija.

Zadatak za sumu

Posljednji zadatak, koji otkriva pitanje kako riješiti geometrijsku progresiju, vezan je za pronalaženje zbira nekoliko elemenata. Neka je a 1 = 1,5, r = 2. Zbroj članova ove serije treba izračunati, počevši od 5. i završavajući s 10.

Da biste dobili odgovor na postavljeno pitanje, trebate primijeniti formulu:

Odnosno, prvo morate pronaći zbir 10 elemenata, zatim zbir prva 4 i oduzeti ih između sebe. Slijedeći navedeni algoritam, ispostavit će se:

S 10 \u003d a 1 * (r n -1) / (r-1) = 1,5 * (2 10 -1) / (2-1) = 1534,5;
S 4 \u003d a 1 * (r n -1) / (r-1) = 1,5 * (2 4 -1) / (2-1) = 22,5;
S 5 10 = 1534,5 - 22,5 \u003d 1512.

Vrijedi napomenuti da je u konačnoj formuli oduzet zbir tačno 4 člana, pošto bi peti, prema uslovu zadatka, trebao učestvovati u zbiru.

Podijeli: