Dom » Projektovanje i proračun » Kompleksne frakcijske jednadžbe. ODZ

Kompleksne frakcijske jednadžbe. ODZ

Nastavljamo razgovor o rješenje jednačina. U ovom članku ćemo se fokusirati na racionalne jednačine i principe za rješavanje racionalnih jednačina sa jednom promjenljivom. Prvo, hajde da shvatimo koje se jednačine nazivaju racionalnim, damo definiciju celobrojnih racionalnih i razlomačkih racionalnih jednačina i dajemo primere. Dalje ćemo dobiti algoritme za rješavanje racionalnih jednačina i, naravno, razmotriti rješenja tipičnih primjera sa svim potrebnim objašnjenjima.

Navigacija po stranici.

Na osnovu zvučnih definicija dajemo nekoliko primjera racionalnih jednačina. Na primjer, x=1 , 2 x−12 x 2 y z 3 =0 , , su sve racionalne jednadžbe.

Iz prikazanih primjera može se vidjeti da racionalne jednačine, kao i jednačine drugih vrsta, mogu biti ili sa jednom promjenljivom, ili sa dvije, tri itd. varijable. U narednim paragrafima ćemo govoriti o rješavanju racionalnih jednačina u jednoj varijabli. Rješavanje jednadžbi s dvije varijable a njihov veliki broj zaslužuje posebnu pažnju.

Pored dijeljenja racionalnih jednadžbi brojem nepoznatih varijabli, one se dijele i na cjelobrojne i razlomke. Dajemo odgovarajuće definicije.

Definicija.

Racionalna jednačina se zove cijeli, ako su i njegov lijevi i desni dio cjelobrojni racionalni izrazi.

Definicija.

Ako je barem jedan od dijelova racionalne jednadžbe frakcijski izraz, onda se takva jednačina naziva frakciono racionalno(ili frakciono racionalno).

Jasno je da cjelobrojne jednadžbe ne sadrže dijeljenje promjenljivom; naprotiv, razlomačke racionalne jednačine nužno sadrže dijeljenje promjenljivom (ili promjenljivom u nazivniku). Dakle 3 x+2=0 i (x+y) (3 x 2 −1)+x=−y+0,5 su cijele racionalne jednadžbe, oba njihova dijela su cjelobrojni izrazi. A i x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 su primjeri razlomaka racionalnih jednačina.

Završavajući ovaj paragraf, obratimo pažnju na činjenicu da su linearne jednačine i kvadratne jednačine poznate do ovog trenutka cijele racionalne jednačine.

Rješavanje cijelih jednačina

Jedan od glavnih pristupa rješavanju čitavih jednačina je njihovo svođenje na ekvivalent algebarske jednačine. To se uvijek može učiniti izvođenjem sljedećih ekvivalentnih transformacija jednačine:

prvo, izraz s desne strane originalne cjelobrojne jednadžbe se prenosi na lijevu stranu sa suprotnim predznakom kako bi se dobila nula na desnoj strani;
nakon toga, na lijevoj strani jednadžbe, rezultirajući standardni oblik.

Rezultat je algebarska jednačina koja je ekvivalentna originalnoj cijeloj jednačini. Dakle, u najjednostavnijim slučajevima, rješenje čitavih jednačina se svodi na rješenje linearnih ili kvadratnih jednačina, au opštem slučaju - na rješenje algebarske jednačine stepena n. Radi jasnoće, analizirajmo rješenje primjera.

Primjer.

Pronađite korijene cijele jednadžbe 3 (x+1) (x−3)=x (2 x−1)−3.

Rješenje.

Svedimo rješenje cijele ove jednadžbe na rješenje ekvivalentne algebarske jednačine. Da bismo to učinili, prvo prenosimo izraz s desne strane na lijevu, kao rezultat dolazimo do jednačine 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3=0. I, kao drugo, transformiramo izraz formiran na lijevoj strani u polinom standardnog oblika tako što ćemo izvršiti potrebno: 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Dakle, rješenje izvorne cjelobrojne jednačine se svodi na rješenje kvadratne jednačine x 2 −5·x−6=0 .

Izračunajte njegov diskriminant D=(−5) 2 −4 1 (−6)=25+24=49, pozitivan je, što znači da jednačina ima dva realna korijena, što nalazimo po formuli korijena kvadratne jednadžbe:

Da budemo potpuno sigurni, hajde da uradimo provjeravanje pronađenih korijena jednadžbe. Prvo, provjeravamo korijen 6, zamjenjujemo ga umjesto varijable x u originalnoj cjelobrojnoj jednadžbi: 3 (6+1) (6−3)=6 (2 6−1)−3, što je isto, 63=63 . Ovo je važeća numerička jednačina, tako da je x=6 zaista korijen jednačine. Sada provjeravamo korijen −1, imamo 3 (−1+1) (−1−3)=(−1) (2 (−1)−1)−3, odakle je 0=0 . Za x=−1, originalna jednačina se takođe pretvorila u pravu numeričku jednakost, pa je x=−1 takođe koren jednačine.

odgovor:

6 , −1 .

Ovdje također treba napomenuti da je pojam “snaga cijele jednačine” povezan sa reprezentacijom cijele jednačine u obliku algebarske jednačine. Dajemo odgovarajuću definiciju:

Definicija.

Stepen cijele jednačine nazovimo stepen algebarske jednadžbe ekvivalentnom njoj.

Prema ovoj definiciji, cijela jednačina iz prethodnog primjera ima drugi stepen.

Na ovome bi se moglo završiti sa rješavanjem čitavih racionalnih jednadžbi, ako ne za jednu ali .... Kao što je poznato, rješavanje algebarskih jednačina višeg stepena od drugog je povezano sa značajnim poteškoćama, a za jednačine stepena većeg od četvrtog uopšte ne postoje opšte formule za korijene. Stoga, da bi se riješile čitave jednačine trećeg, četvrtog i višeg stepena, često se mora pribjeći drugim metodama rješenja.

U takvim slučajevima, ponekad se pristupa rješavanju čitavih racionalnih jednačina na osnovu metoda faktorizacije. Istovremeno, slijedi sljedeći algoritam:

prvo traže da imaju nulu na desnoj strani jednačine, za to prenose izraz s desne strane cijele jednačine na lijevu;
zatim, rezultirajući izraz na lijevoj strani je predstavljen kao proizvod nekoliko faktora, što vam omogućava da pređete na skup nekoliko jednostavnijih jednačina.

Gornji algoritam za rješavanje cijele jednadžbe kroz faktorizaciju zahtijeva detaljno objašnjenje koristeći primjer.

Primjer.

Riješite cijelu jednačinu (x 2 −1) (x 2 −10 x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Rješenje.

Prvo, kao i obično, prenosimo izraz s desne strane na lijevu stranu jednačine, ne zaboravljajući promijeniti predznak, dobijamo (x 2 −1) (x 2 −10 x+13) − 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Ovdje je sasvim očito da nije preporučljivo transformirati lijevu stranu rezultirajuće jednadžbe u polinom standardnog oblika, jer će to dati algebarsku jednadžbu četvrtog stepena oblika x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, čije je rješenje teško.

S druge strane, očito je da se x 2 −10·x+13 može naći na lijevoj strani rezultirajuće jednačine, čime se predstavlja kao proizvod. Imamo (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Rezultirajuća jednačina je ekvivalentna originalnoj cijeloj jednačini, a ona se zauzvrat može zamijeniti skupom dvije kvadratne jednačine x 2 −10·x+13=0 i x 2 −2·x−1=0 . Pronalaženje njihovih korijena pomoću poznatih korijenskih formula kroz diskriminant nije teško, korijeni su jednaki. Oni su željeni korijeni originalne jednadžbe.

odgovor:

Koristan je i za rješavanje cijelih racionalnih jednačina. metoda za uvođenje nove varijable. U nekim slučajevima, omogućava prijelaz na jednačine čiji je stepen niži od stepena izvorne cjelobrojne jednačine.

Primjer.

Pronađite prave korijene racionalne jednadžbe (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Rješenje.

Svođenje cijele ove racionalne jednadžbe na algebarsku jednačinu, blago rečeno, nije baš dobra ideja, jer ćemo u ovom slučaju doći do potrebe rješavanja jednačine četvrtog stepena koja nema racionalne korijene. Stoga ćete morati tražiti drugo rješenje.

Ovdje je lako vidjeti da možete uvesti novu varijablu y i zamijeniti izraz x 2 +3 x njome. Takva zamjena nas dovodi do cijele jednačine (y+1) 2 +10=−2 (y−4) , koja nakon prenošenja izraza −2 (y−4) na lijevu stranu i naknadne transformacije formiranog izraza tamo, svodi na jednačinu y 2 +4 y+3=0 . Korijene ove jednačine y=−1 i y=−3 je lako pronaći, na primjer, mogu se naći na osnovu inverzne teoreme Vietine teoreme.

Pređimo sada na drugi dio metode uvođenja nove varijable, odnosno na obrnutu zamjenu. Nakon izvođenja obrnute zamjene, dobijamo dvije jednačine x 2 +3 x=−1 i x 2 +3 x=−3, koje se mogu prepisati kao x 2 +3 x+1=0 i x 2 +3 x+3 =0 . Prema formuli korijena kvadratne jednadžbe nalazimo korijene prve jednadžbe. A druga kvadratna jednadžba nema realne korijene, jer je njen diskriminanta negativna (D=3 2 −4 3=9−12=−3 ).

odgovor:

Općenito, kada imamo posla s cijelim jednačinama visokih stupnjeva, uvijek moramo biti spremni tražiti nestandardnu metodu ili umjetnu tehniku za njihovo rješavanje.

Rješenje frakciono racionalnih jednačina

Prvo, bit će korisno razumjeti kako se rješavaju frakciono racionalne jednadžbe oblika , gdje su p(x) i q(x) racionalni cjelobrojni izrazi. A zatim ćemo pokazati kako rješenje preostalih frakciono racionalnih jednadžbi svesti na rješenje jednačina navedenog oblika.

Jedan od pristupa rješavanju jednadžbe zasniva se na sljedećoj tvrdnji: brojčani razlomak u / v, gdje je v broj različit od nule (inače ćemo naići na , koji nije definiran), jednak je nuli ako i samo ako je njegov brojnik je nula, onda je, ako i samo ako je u=0 . Na osnovu ove izjave, rješenje jednačine se svodi na ispunjenje dva uslova p(x)=0 i q(x)≠0 .

Ovaj zaključak je u skladu sa sljedećim algoritam za rješavanje frakciono racionalne jednadžbe. Rješiti frakcionu racionalnu jednadžbu oblika

riješiti cijelu racionalnu jednačinu p(x)=0 ;
i provjeriti da li je uvjet q(x)≠0 zadovoljen za svaki pronađeni korijen, dok

ako je istinito, onda je ovaj korijen korijen originalne jednadžbe;
ako nije, onda je ovaj korijen stran, to jest, nije korijen originalne jednadžbe.

Analizirajmo primjer korištenja zvučnog algoritma pri rješavanju razlomke racionalne jednadžbe.

Primjer.

Pronađite korijene jednadžbe.

Rješenje.

Ovo je frakciono racionalna jednadžba oblika , gdje je p(x)=3 x−2 , q(x)=5 x 2 −2=0 .

Prema algoritmu za rješavanje frakciono racionalnih jednačina ove vrste, prvo trebamo riješiti jednačinu 3·x−2=0 . Ovo je linearna jednadžba čiji je korijen x=2/3.

Ostaje da se proveri ovaj koren, odnosno da li zadovoljava uslov 5·x 2 −2≠0 . Zamijenimo broj 2/3 umjesto x u izraz 5 x 2 −2, dobićemo . Uslov je ispunjen, pa je x=2/3 korijen originalne jednadžbe.

odgovor:

2/3 .

Rješenju frakcijske racionalne jednadžbe može se pristupiti sa malo drugačije pozicije. Ova jednačina je ekvivalentna cijeloj jednačini p(x)=0 na promjenljivoj x originalne jednačine. To jest, možete pratiti ovo algoritam za rješavanje frakciono racionalne jednadžbe :

riješiti jednačinu p(x)=0 ;
pronađite ODZ varijablu x ;
uzmite korijene koji pripadaju području dopuštenih vrijednosti - oni su željeni korijeni originalne frakcione racionalne jednadžbe.

Na primjer, riješimo frakcionu racionalnu jednačinu koristeći ovaj algoritam.

Primjer.

Riješite jednačinu.

Rješenje.

Prvo rješavamo kvadratnu jednačinu x 2 −2·x−11=0 . Njegovi korijeni se mogu izračunati korištenjem formule korijena za paran drugi koeficijent, imamo D 1 =(−1) 2 −1 (−11)=12, I .

Drugo, nalazimo ODZ varijable x za originalnu jednačinu. Sastoji se od svih brojeva za koje je x 2 +3 x≠0, što je isto x (x+3)≠0, odakle je x≠0, x≠−3.

Ostaje provjeriti da li su korijeni pronađeni u prvom koraku uključeni u ODZ. Očigledno da. Prema tome, originalna frakciono racionalna jednadžba ima dva korijena.

odgovor:

Imajte na umu da je ovaj pristup isplativiji od prvog ako se ODZ lako pronađe, a posebno je koristan ako su korijeni jednadžbe p(x)=0 iracionalni, na primjer, , ili racionalni, ali s prilično velikim brojnik i/ili nazivnik, na primjer, 127/1101 i -31/59 . To je zbog činjenice da će u takvim slučajevima provjera uvjeta q(x)≠0 zahtijevati značajne računske napore i lakše je isključiti vanjske korijene iz ODZ-a.

U drugim slučajevima, prilikom rješavanja jednadžbe, posebno kada su korijeni jednadžbe p(x)=0 cijeli brojevi, povoljnije je koristiti prvi od gore navedenih algoritama. Odnosno, preporučljivo je odmah pronaći korijene cijele jednadžbe p(x)=0, a zatim provjeriti da li je za njih ispunjen uvjet q(x)≠0, a ne pronaći ODZ, a zatim riješiti jednačinu p(x)=0 na ovom ODZ . To je zbog činjenice da je u takvim slučajevima obično lakše izvršiti provjeru nego pronaći ODZ.

Razmotrimo rješenje dva primjera kako bismo ilustrirali propisane nijanse.

Primjer.

Pronađite korijene jednadžbe.

Rješenje.

Prvo ćemo pronaći korijene cijele jednačine (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, sastavljen koristeći brojnik razlomka. Leva strana ove jednačine je proizvod, a desna nula, pa je prema metodi rešavanja jednačina kroz faktorizaciju ova jednačina ekvivalentna skupu od četiri jednačine 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . Tri od ovih jednadžbi su linearne, a jedna je kvadratna, možemo ih riješiti. Iz prve jednačine nalazimo x=1/2, iz druge - x=6, iz treće - x=7, x=−2, iz četvrte - x=−1.

Uz pronađene korijene, prilično ih je lako provjeriti da vidiš da li nazivnik razlomka na lijevoj strani izvorne jednadžbe ne nestaje, a nije tako lako odrediti ODZ, jer će to morati riješiti algebarska jednačina petog stepena. Stoga ćemo odbiti pronaći ODZ u korist provjere korijena. Da bismo to učinili, zamjenjujemo ih redom umjesto varijable x u izrazu x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, dobijene nakon zamjene, i uporedi ih sa nulom: (1/2) 5 −15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 −13 (1/2) 2 +26 (1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15 6 4 +57 6 3 −13 6 2 +26 6+112= 448≠0 ;
7 5 −15 7 4 +57 7 3 −13 7 2 +26 7+112=0;
(−2) 5 −15 (−2) 4 +57 (−2) 3 −13 (−2) 2 + 26 (−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15 (−1) 4 +57 (−1) 3 −13 (−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Dakle, 1/2, 6 i −2 su željeni korijeni originalne frakciono racionalne jednadžbe, a 7 i −1 su strani korijeni.

odgovor:

1/2 , 6 , −2 .

Primjer.

Pronađite korijene razlomke racionalne jednadžbe.

Rješenje.

Prvo ćemo pronaći korijene jednadžbe (5x2 −7x−1)(x−2)=0. Ova jednačina je ekvivalentna skupu od dvije jednačine: kvadrat 5·x 2 −7·x−1=0 i linearni x−2=0 . Prema formuli korijena kvadratne jednadžbe nalazimo dva korijena, a iz druge jednačine imamo x=2.

Provjera da nazivnik ne nestaje na pronađenim vrijednostima x je prilično neugodna. A odrediti raspon prihvatljivih vrijednosti varijable x u izvornoj jednadžbi je prilično jednostavno. Stoga ćemo djelovati preko ODZ-a.

U našem slučaju, ODZ varijable x originalne frakcione racionalne jednačine čine svi brojevi, osim onih za koje je zadovoljen uslov x 2 +5·x−14=0. Korijeni ove kvadratne jednadžbe su x=−7 i x=2, iz čega zaključujemo o ODZ-u: sastavljen je od svih x takvih da je .

Ostaje provjeriti da li pronađeni korijeni i x=2 pripadaju području dozvoljenih vrijednosti. Korijeni - pripadaju, dakle, oni su korijeni originalne jednadžbe, a x=2 ne pripada, dakle, to je strani korijen.

odgovor:

Također će biti korisno zadržati se odvojeno na slučajevima kada frakciona racionalna jednačina oblika sadrži broj u brojiocu, odnosno kada je p (x) predstavljen nekim brojem. Gde

ako je ovaj broj različit od nule, tada jednačina nema korijena, budući da je razlomak nula ako i samo ako je njegov brojilac nula;
ako je ovaj broj nula, tada je korijen jednadžbe bilo koji broj iz ODZ-a.

Primjer.

Rješenje.

Pošto postoji broj različit od nule u brojiocu razlomka na levoj strani jednačine, za nijedan x vrednost ovog razlomka ne može biti jednaka nuli. Dakle, ova jednadžba nema korijen.

odgovor:

nema korijena.

Primjer.

Riješite jednačinu.

Rješenje.

Brojač razlomka na lijevoj strani ove frakcione racionalne jednadžbe je nula, tako da je vrijednost ovog razlomka nula za bilo koji x za koji ima smisla. Drugim riječima, rješenje ove jednačine je bilo koja vrijednost x iz DPV ove varijable.

Ostaje odrediti ovaj raspon prihvatljivih vrijednosti. Uključuje sve takve vrijednosti x za koje je x 4 +5 x 3 ≠0. Rješenja jednadžbe x 4 +5 x 3 \u003d 0 su 0 i -5, budući da je ova jednadžba ekvivalentna jednadžbi x 3 (x + 5) = 0, a ona je, zauzvrat, ekvivalentna kombinaciji od dvije jednadžbe x 3 = 0 i x +5=0, odakle su ovi korijeni vidljivi. Prema tome, željeni raspon prihvatljivih vrijednosti je bilo koji x, osim x=0 i x=−5.

Dakle, frakciono racionalna jednadžba ima beskonačno mnogo rješenja, a to su bilo koji brojevi osim nula i minus pet.

odgovor:

Konačno, vrijeme je da razgovaramo o rješavanju proizvoljnih razlomaka racionalnih jednačina. Mogu se zapisati kao r(x)=s(x) , gdje su r(x) i s(x) racionalni izrazi, a najmanje jedan od njih je razlomak. Gledajući unaprijed, kažemo da se njihovo rješenje svodi na rješavanje jednadžbi oblika koji su nam već poznati.

Poznato je da prijenos člana iz jednog dijela jednačine u drugi sa suprotnim predznakom dovodi do ekvivalentne jednačine, pa je jednačina r(x)=s(x) ekvivalentna jednačini r(x)−s (x)=0 .

Također znamo da bilo koji može biti identično jednak ovom izrazu. Dakle, uvijek možemo transformirati racionalni izraz na lijevoj strani jednačine r(x)−s(x)=0 u identično jednak racionalni razlomak oblika .

Dakle, idemo od originalne racionalne jednadžbe r(x)=s(x) do jednačine , a njeno rješenje, kako smo gore saznali, svodi se na rješavanje jednačine p(x)=0.

Ali ovdje je potrebno uzeti u obzir činjenicu da se prilikom zamjene r(x)−s(x)=0 sa , a zatim sa p(x)=0, raspon dozvoljenih vrijednosti varijable x može proširiti .

Dakle, originalna jednadžba r(x)=s(x) i jednačina p(x)=0, do kojih smo došli, možda nisu ekvivalentne, a rješavanjem jednačine p(x)=0 možemo dobiti korijene to će biti strani korijeni originalne jednadžbe r(x)=s(x) . Moguće je identifikovati i ne uključiti strane korijene u odgovor, bilo provjeravanjem, bilo provjerom njihove pripadnosti ODZ-u originalne jednadžbe.

Ove informacije sumiramo u algoritam za rješavanje razlomke racionalne jednadžbe r(x)=s(x). Da bi se riješila frakciona racionalna jednačina r(x)=s(x) , mora se

Dobijte nulu na desnoj strani pomicanjem izraza s desne strane sa suprotnim predznakom.
Izvršite radnje s razlomcima i polinomima na lijevoj strani jednadžbe, pretvarajući je na taj način u racionalni razlomak oblika.
Riješite jednačinu p(x)=0 .
Identifikovati i isključiti strane korijene, što se radi zamjenom u originalnu jednadžbu ili provjerom njihove pripadnosti ODZ-u originalne jednačine.

Radi veće jasnoće, prikazat ćemo cijeli lanac rješavanja razlomaka racionalnih jednadžbi:
.

Prođimo kroz rješenja nekoliko primjera sa detaljnim objašnjenjem rješenja kako bismo razjasnili dati blok informacija.

Primjer.

Riješite razlomku racionalnu jednačinu.

Rješenje.

Postupit ćemo u skladu sa upravo dobijenim algoritmom rješenja. I prvo prenosimo članove s desne strane jednačine na lijevu stranu, kao rezultat prelazimo na jednadžbu.

U drugom koraku, trebamo pretvoriti frakcioni racionalni izraz na lijevoj strani rezultirajuće jednačine u oblik razlomka. Da bismo to učinili, izvodimo redukciju racionalnih razlomaka na zajednički nazivnik i pojednostavljujemo rezultirajući izraz: . Dakle, dolazimo do jednačine.

U sljedećem koraku trebamo riješiti jednačinu −2·x−1=0 . Naći x=−1/2 .

Ostaje provjeriti da li je pronađeni broj −1/2 vanjski korijen originalne jednačine. Da biste to učinili, možete provjeriti ili pronaći ODZ varijablu x originalne jednadžbe. Hajde da demonstriramo oba pristupa.

Počnimo sa čekom. Zamijenimo broj −1/2 umjesto varijable x u originalnu jednačinu, dobićemo , što je isto, −1=−1. Zamjena daje tačnu numeričku jednakost, dakle, x=−1/2 je korijen originalne jednačine.

Sada ćemo pokazati kako se posljednji korak algoritma izvodi kroz ODZ. Raspon dozvoljenih vrijednosti izvorne jednadžbe je skup svih brojeva osim −1 i 0 (kada je x=−1 i x=0, nazivnici razlomaka nestaju). Koren x=−1/2 pronađen u prethodnom koraku pripada ODZ-u, stoga je x=−1/2 koren originalne jednačine.

odgovor:

−1/2 .

Razmotrimo još jedan primjer.

Primjer.

Pronađite korijene jednadžbe.

Rješenje.

Moramo riješiti frakciono racionalnu jednačinu, idemo kroz sve korake algoritma.

Prvo, prenosimo pojam s desne strane na lijevu, dobijamo .

Drugo, transformiramo izraz formiran na lijevoj strani: . Kao rezultat, dolazimo do jednačine x=0.

Njegov korijen je očigledan - on je nula.

U četvrtom koraku ostaje da se otkrije nije li pronađeni korijen vanjski za originalnu frakciono racionalnu jednadžbu. Kada se zameni u originalnu jednačinu, dobije se izraz. Očigledno, to nema smisla, jer sadrži dijeljenje sa nulom. Otuda zaključujemo da je 0 vanjski korijen. Prema tome, originalna jednadžba nema korijen.

7 , što vodi do jednačine . Iz ovoga možemo zaključiti da izraz u nazivniku lijeve strane mora biti jednak sa desne strane, odnosno, . Sada oduzimamo od oba dijela trojke: . Po analogiji, odakle i dalje.

Provjera pokazuje da su oba pronađena korijena korijeni originalne razlomke racionalne jednadžbe.

odgovor:

Bibliografija.

algebra: udžbenik za 8 ćelija. opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M. : Education, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A. G. Algebra. 8. razred. U 14 sati Prvi dio. Udžbenik za studente obrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich. - 11. izdanje, izbrisano. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
algebra: 9. razred: udžbenik. za opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M. : Obrazovanje, 2009. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Do sada smo rješavali samo cjelobrojne jednačine u odnosu na nepoznatu, odnosno jednadžbe u kojima nazivnici (ako ih ima) nisu sadržavali nepoznatu.

Često morate rješavati jednadžbe koje sadrže nepoznatu u nazivnicima: takve jednačine se nazivaju razlomcima.

Da bismo riješili ovu jednačinu, pomnožimo obje njene strane sa polinomom koji sadrži nepoznatu. Hoće li nova jednačina biti ekvivalentna datoj? Da bismo odgovorili na pitanje, riješimo ovu jednačinu.

Pomnožimo obje strane sa , dobivamo:

Rješavajući ovu jednačinu prvog stepena, nalazimo:

Dakle, jednačina (2) ima jedan korijen

Zamjenom u jednačinu (1) dobijamo:

Dakle, također je korijen jednačine (1).

Jednačina (1) nema druge korijene. U našem primjeru, to se može vidjeti, na primjer, iz činjenice da je u jednadžbi (1)

Kako nepoznati djelitelj mora biti jednak dividendi 1 podijeljenoj s količnikom 2, tj.

Dakle, jednačine (1) i (2) imaju jedan korijen i stoga su ekvivalentne.

2. Sada rješavamo sljedeću jednačinu:

Najjednostavniji zajednički nazivnik: ; pomnoži sve članove jednačine sa njim:

Nakon smanjenja dobijamo:

Proširimo zagrade:

Dovodeći slične uslove, imamo:

Rješavajući ovu jednačinu nalazimo:

Zamjenom u jednačinu (1) dobijamo:

Na lijevoj strani dobili smo izraze koji nemaju smisla.

Dakle, korijen jednačine (1) nije. To implicira da jednačine (1) i nisu ekvivalentne.

U ovom slučaju kažemo da je jednadžba (1) dobila vanjski korijen.

Uporedimo rješenje jednačine (1) sa rješenjem jednačina koje smo ranije razmatrali (vidi § 51). U rješavanju ove jednačine morali smo izvršiti dvije takve operacije koje do sada nismo vidjeli: prvo, pomnožili smo obje strane jednačine izrazom koji sadrži nepoznato (zajednički imenilac), i, drugo, smanjili smo algebarske razlomke faktorima koji sadrže nepoznato.

Uspoređujući jednačinu (1) sa jednačinom (2), vidimo da nisu sve vrijednosti x koje važe za jednačinu (2) važeće za jednačinu (1).

Upravo brojevi 1 i 3 nisu dopuštene vrijednosti nepoznate za jednačinu (1), a kao rezultat transformacije postali su prihvatljivi za jednačinu (2). Pokazalo se da je jedan od ovih brojeva rješenje jednačine (2), ali, naravno, ne može biti rješenje jednačine (1). Jednačina (1) nema rješenja.

Ovaj primjer pokazuje da se množenjem oba dijela jednadžbe sa faktorom koji sadrži nepoznatu, i pri redukciji algebarskih razlomaka, može dobiti jednačina koja nije ekvivalentna datoj, odnosno: mogu se pojaviti strani korijeni.

Stoga izvlačimo sljedeći zaključak. Prilikom rješavanja jednadžbe koja sadrži nepoznatu u nazivniku, rezultirajući korijeni se moraju provjeriti zamjenom u originalnu jednačinu. Strani korijeni moraju se odbaciti.

Najmanji zajednički nazivnik se koristi za pojednostavljenje ove jednačine. Ova metoda se koristi kada ne možete napisati datu jednačinu s jednim racionalnim izrazom na svakoj strani jednačine (i koristite metodu unakrsnog množenja). Ova metoda se koristi kada vam je data racionalna jednadžba sa 3 ili više razlomaka (u slučaju dva razlomka bolje je unakrsno množenje).

Pronađite najmanji zajednički nazivnik razlomaka (ili najmanji zajednički višekratnik). NOZ je najmanji broj koji je jednako djeljiv sa svakim nazivnikom.

Ponekad je NOZ očigledan broj. Na primjer, ako je data jednadžba: x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6, onda je očigledno da će najmanji zajednički višekratnik brojeva 3, 2 i 6 biti 6.
Ako NOD nije očigledan, zapišite višekratnike najvećeg nazivnika i među njima pronađite onaj koji je također višekratnik ostalih imenilaca. Često možete pronaći NOD jednostavnim množenjem dva nazivnika zajedno. Na primjer, ako je data jednadžba x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, tada je NOZ = 8*9 = 72.
Ako jedan ili više nazivnika sadrže varijablu, tada je proces nešto složeniji (ali ne i nemoguć). U ovom slučaju, NOZ je izraz (koji sadrži varijablu) koji je djeljiv sa svakim nazivnikom. Na primjer, u jednačini 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), jer je ovaj izraz djeljiv sa svakim nazivnikom: 3x(x-1)/(x -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

Pomnožite i brojilac i imenilac svakog razlomka brojem jednakim rezultatu dijeljenja NOZ-a odgovarajućim nazivnikom svakog razlomka. Pošto množite i brojilac i imenilac istim brojem, efektivno množite razlomak sa 1 (na primjer, 2/2 = 1 ili 3/3 = 1).

Dakle, u našem primjeru, pomnožite x/3 sa 2/2 da biste dobili 2x/6, i pomnožite 1/2 sa 3/3 da biste dobili 3/6 (3x + 1/6 ne treba množiti jer je imenilac 6).
Postupite slično kada je varijabla u nazivniku. U našem drugom primjeru NOZ = 3x(x-1), tako da je 5/(x-1) puta (3x)/(3x) 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x puta 3(x-1)/3(x-1) da biste dobili 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) pomnožite sa (x-1)/(x-1) i dobijete 2(x-1)/3x(x-1).

Pronađite x. Sada kada ste sveli razlomke na zajednički nazivnik, možete se riješiti nazivnika. Da biste to učinili, pomnožite svaku stranu jednačine zajedničkim nazivnikom. Zatim riješite rezultirajuću jednačinu, odnosno pronađite "x". Da biste to učinili, izolirajte varijablu na jednoj strani jednačine.

U našem primjeru: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Možete dodati 2 razlomka sa istim nazivnikom, pa napišite jednačinu kao: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Pomnožite obje strane jednačine sa 6 i riješite se nazivnika: 2x+3 = 3x +1. Riješite i dobijete x = 2.
U našem drugom primjeru (sa varijablom u nazivniku), jednačina izgleda ovako (nakon redukcije na zajednički nazivnik): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Množenjem obje strane jednadžbe sa NOZ-om, riješite se nazivnika i dobijete: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), ili 15x = 3x - 3 + 2x -2, ili 15x = x - 5 Riješite i dobijete: x = -5/14.

"Rješenje frakcionih racionalnih jednadžbi"

Ciljevi lekcije:

Tutorial:

formiranje koncepta frakcionih racionalnih jednačina; razmotriti različite načine rješavanja frakcionih racionalnih jednačina; razmotriti algoritam za rješavanje frakcionih racionalnih jednačina, uključujući uslov da je razlomak jednak nuli; podučavati rješavanje frakcionih racionalnih jednačina prema algoritmu; provjeravanje stepena usvajanja teme izvođenjem testnog rada.

u razvoju:

razvijanje sposobnosti pravilnog rada sa stečenim znanjem, logičkog mišljenja; razvoj intelektualnih vještina i mentalnih operacija - analiza, sinteza, poređenje i generalizacija; razvoj inicijative, sposobnost donošenja odluka, a ne zaustavljanja na tome; razvoj kritičkog mišljenja; razvoj istraživačkih vještina.

njegovanje:

obrazovanje kognitivnog interesovanja za predmet; vaspitanje samostalnosti u rješavanju obrazovnih problema; vaspitanje volje i upornosti za postizanje konačnih rezultata.

Vrsta lekcije: lekcija - objašnjenje novog gradiva.

Tokom nastave

1. Organizacioni momenat.

Zdravo momci! Jednačine su napisane na tabli, pažljivo ih pogledajte. Možete li riješiti sve ove jednačine? Koji nisu i zašto?

Jednačine u kojima su lijeva i desna strana frakcioni racionalni izrazi nazivaju se razlomačnim racionalnim jednadžbama. Šta mislite da ćemo danas učiti na lekciji? Formulirajte temu lekcije. Dakle, otvaramo bilježnice i zapisujemo temu lekcije „Rješenje frakcionih racionalnih jednačina“.

2. Aktuelizacija znanja. Frontalna anketa, usmeni rad sa razredom.

A sada ćemo ponoviti glavni teorijski materijal koji nam je potreban za proučavanje nove teme. Odgovorite na sljedeća pitanja:

1. Šta je jednačina? ( Jednakost sa varijablom ili varijablama.)

2. Kako se zove jednačina #1? ( Linearno.) Metoda za rješavanje linearnih jednačina. ( Premjestite sve s nepoznatom na lijevu stranu jednačine, sve brojeve u desnu. Donesite slične uslove. Pronađite nepoznati množitelj).

3. Kako se zove jednačina #3? ( Square.) Metode rješavanja kvadratnih jednačina. ( Odabir punog kvadrata, po formulama, korištenjem Vietine teoreme i njenih posljedica.)

4. Šta je proporcija? ( Jednakost dva odnosa.) Glavno svojstvo proporcije. ( Ako je proporcija tačna, onda je proizvod njegovih ekstremnih članova jednak proizvodu srednjih članova.)

5. Koja svojstva se koriste pri rješavanju jednačina? ( 1. Ako u jednačini pojam prenesemo iz jednog dijela u drugi, mijenjajući njegov predznak, onda ćemo dobiti jednačinu ekvivalentnu datoj. 2. Ako se oba dijela jednačine pomnože ili podijele istim brojem različit od nule, onda će se dobiti jednačina koja je ekvivalentna datom.)

6. Kada je razlomak jednak nuli? ( Razlomak je nula kada je brojnik nula, a imenilac nije nula.)

3. Objašnjenje novog materijala.

Reši jednačinu br. 2 u sveskama i na tabli.

Odgovori: 10.

Koju razlomku racionalnu jednačinu možete pokušati riješiti koristeći osnovno svojstvo proporcije? (br. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

Reši jednačinu br. 4 u sveskama i na tabli.

Odgovori: 1,5.

Koju razlomačku racionalnu jednačinu možete pokušati riješiti množenjem obje strane jednačine sa nazivnikom? (br. 6).

D=1>0, x1=3, x2=4.

Odgovori: 3;4.

Sada pokušajte riješiti jednačinu #7 na jedan od načina.


(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0
x1=0 x2=5 D=49

Odgovori: 0;5;-2.			Odgovori: 5;-2.

Objasnite zašto se to dogodilo? Zašto su u jednom slučaju tri korijena, a u drugom dva? Koji su brojevi korijeni ove racionalne jednadžbe?

Studenti do sada nisu upoznali koncept stranog korijena, zaista im je jako teško razumjeti zašto se to dogodilo. Ako niko u razredu ne može dati jasno objašnjenje ove situacije, onda nastavnik postavlja sugestivna pitanja.

U jednadžbi br. 2 i 4 u nazivniku broja, br. 5-7 - izrazi sa promenljivom

Vrijednost varijable pri kojoj jednačina postaje prava jednakost

Provjeri

Kada rade test, neki učenici primjećuju da moraju podijeliti sa nulom. Oni zaključuju da brojevi 0 i 5 nisu korijeni ove jednadžbe. Postavlja se pitanje: postoji li način za rješavanje frakcionih racionalnih jednačina koji eliminiše ovu grešku? Da, ova metoda se temelji na uvjetu da je razlomak jednak nuli.

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Ako je x=5, onda je x(x-5)=0, pa je 5 vanjski korijen.

Ako je x=-2, onda je x(x-5)≠0.

Odgovori: -2.

Pokušajmo na ovaj način formulirati algoritam za rješavanje frakcionih racionalnih jednačina. Djeca sama formuliraju algoritam.

Algoritam za rješavanje frakcionih racionalnih jednačina:

1. Pomaknite sve na lijevu stranu.

2. Dovedite razlomke na zajednički imenilac.

3. Napravite sistem: razlomak je jednak nuli kada je brojilac jednak nuli, a imenilac nije jednak nuli.

4. Riješite jednačinu.

5. Provjerite nejednakost da isključite strane korijene.

6. Zapišite odgovor.

Diskusija: kako formalizirati rješenje ako se koristi osnovno svojstvo proporcije i množenje obje strane jednačine zajedničkim nazivnikom. (Dopuniti rješenje: isključiti iz njegovih korijena one koji pretvaraju zajednički imenilac na nulu).

4. Primarno razumijevanje novog gradiva.

Raditi u parovima. Učenici biraju kako će samostalno riješiti jednačinu, ovisno o vrsti jednačine. Zadaci iz udžbenika "Algebra 8", 2007: br. 000 (b, c, i); br. 000 (a, e, g). Nastavnik kontroliše izvođenje zadatka, odgovara na postavljena pitanja i pruža pomoć učenicima sa lošim rezultatom. Samotestiranje: Odgovori su ispisani na tabli.

b) 2 je strani korijen. Odgovor:3.

c) 2 je strani korijen. Odgovor: 1.5.

a) Odgovor: -12.5.

g) Odgovor: 1; 1.5.

5. Izjava o domaćem zadatku.

2. Naučiti algoritam za rješavanje frakcionih racionalnih jednačina.

3. Rešiti u sveskama br. 000 (a,d,e); br. 000 (g, h).

4. Pokušajte riješiti broj 000(a) (opciono).

6. Ispunjavanje kontrolnog zadatka na proučavanu temu.

Radovi se obavljaju na listovima.

primjer posla:

A) Koje od jednačina su razlomno racionalne?

B) Razlomak je nula kada je brojilac ______________________, a imenilac _______________________.

P) Da li je broj -3 korijen jednačine #6?

D) Riješi jednačinu br. 7.

Kriterijumi za evaluaciju zadataka:

„5“ se daje ako je učenik tačno uradio više od 90% zadatka. "4" - 75% -89% "3" - 50% -74% "2" dobija učenik koji je uradio manje od 50% zadatka. Ocena 2 se ne upisuje u dnevnik, 3 je izborna.

7. Refleksija.

Na letke sa samostalnim radom stavite:

1 - ako vam je lekcija bila zanimljiva i razumljiva; 2 - zanimljivo, ali nije jasno; 3 - nije zanimljivo, ali razumljivo; 4 - nije zanimljivo, nije jasno.

8. Sumiranje lekcije.

Tako smo se danas na lekciji upoznali sa razlomcima racionalnih jednadžbi, naučili kako ih rješavati na različite načine, provjerili svoje znanje uz pomoć nastavnog samostalnog rada. Rezultate samostalnog rada naučićete na sledećoj lekciji, kod kuće ćete imati priliku da učvrstite stečeno znanje.

Koja je metoda rješavanja razlomaka racionalnih jednačina, po vašem mišljenju, lakša, pristupačnija, racionalnija? Bez obzira na način rješavanja frakcionih racionalnih jednačina, šta ne treba zaboraviti? U čemu je "lukavost" razlomaka racionalnih jednačina?

Hvala svima, lekcija je gotova.

Jednadžbe koje sadrže varijablu u nazivniku mogu se riješiti na dva načina:

Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik

Koristeći osnovno svojstvo proporcije

Bez obzira na odabranu metodu, potrebno je, nakon pronalaženja korijena jednadžbe, od pronađenih vrijednosti odabrati prihvatljive vrijednosti, odnosno one koje ne pretvaraju nazivnik u $0$.

1 način. Dovođenje razlomaka na zajednički nazivnik.

Primjer 1

$\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)$

Rješenje:

1. Pomjerite razlomak s desne strane jednačine na lijevu

\[\frac(2x+3)(2x-1)-\frac(x-5)(x+3)=0\]

Da bismo to ispravno uradili, podsjećamo da se prilikom premještanja elemenata u drugi dio jednačine predznak ispred izraza mijenja u suprotan. Dakle, ako je na desnoj strani prije razlomka bio znak "+", onda će na lijevoj strani biti znak "-" ispred njega. Tada na lijevoj strani dobijamo razliku razlomaka.

2. Sada napominjemo da razlomci imaju različite imenioce, što znači da je za nadoknadu razlike potrebno razlomke dovesti na zajednički imenilac. Zajednički nazivnik će biti proizvod polinoma u nazivnicima originalnih razlomaka: $(2x-1)(x+3)$

Da bi se dobio identičan izraz, brojilac i nazivnik prvog razlomka moraju se pomnožiti s polinomom $(x+3)$, a drugog s polinomom $(2x-1)$.

\[\frac((2x+3)(x+3))((2x-1)(x+3))-\frac((x-5)(2x-1))((x+3)( 2x-1))=0\]

Izvršimo transformaciju u brojniku prvog razlomka - pomnožićemo polinome. Podsjetimo da je za to potrebno pomnožiti prvi član prvog polinoma, pomnožiti sa svakim članom drugog polinoma, zatim pomnožiti drugi član prvog polinoma sa svakim članom drugog polinoma i dodati rezultate

\[\left(2x+3\right)\left(x+3\right)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9\]

Slične termine predstavljamo u rezultirajućem izrazu

\[\left(2x+3\right)\left(x+3\right)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9=\] \[(=2x)^2+9x+9\]

Izvedite sličnu transformaciju u brojniku drugog razlomka - pomnožit ćemo polinome

$\left(x-5\right)\left(2x-1\right)=x\cdot 2x-x\cdot 1-5\cdot 2x+5\cdot 1=(2x)^2-x-10x+ 5 =(2x)^2-11x+5$

Tada će jednačina poprimiti oblik:

\[\frac((2x)^2+9x+9)((2x-1)(x+3))-\frac((2x)^2-11x+5)((x+3)(2x- 1))=0\]

Sada razlomci sa istim nazivnikom, tako da možete oduzimati. Podsjetimo da kada oduzimate razlomke s istim nazivnikom od brojnika prvog razlomka, potrebno je oduzeti brojnik drugog razlomka, ostavljajući nazivnik isti

\[\frac((2x)^2+9x+9-((2x)^2-11x+5))((2x-1)(x+3))=0\]

Transformirajmo izraz u brojiocu. Da bi se otvorile zagrade ispred kojih stoji znak "-", svi znakovi ispred pojmova u zagradama moraju biti obrnuti

\[(2x)^2+9x+9-\left((2x)^2-11x+5\desno)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5\]

Predstavljamo slične termine

$(2x)^2+9x+9-\left((2x)^2-11x+5\desno)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5=20x+4 $

Tada će razlomak poprimiti oblik

\[\frac((\rm 20x+4))((2x-1)(x+3))=0\]

3. Razlomak je jednak $0$ ako mu je brojilac 0. Prema tome, izjednačavamo brojilac razlomka sa $0$.

\[(\rm 20x+4=0)\]

Rešimo linearnu jednačinu:

4. Probajmo korijenje. To znači da je potrebno provjeriti da li se nazivnici originalnih razlomaka pretvaraju u $0$ kada se pronađu korijeni.

Postavili smo uslov da imenioci nisu jednaki $0$

x$\ne 0,5$ x$\ne -3$

To znači da su dozvoljene sve vrijednosti varijabli, osim $-3$ i $0.5$.

Korijen koji smo pronašli je važeća vrijednost, tako da se može sa sigurnošću smatrati korijenom jednačine. Ako pronađeni korijen nije valjana vrijednost, tada bi takav korijen bio vanzemaljski i, naravno, ne bi bio uključen u odgovor.

odgovor:$-0,2.$

Sada možemo napisati algoritam za rješavanje jednadžbe koja sadrži varijablu u nazivniku

Algoritam za rješavanje jednadžbe koja sadrži varijablu u nazivniku

Premjestite sve elemente s desne strane jednačine na lijevu stranu. Da bi se dobila identična jednačina, potrebno je sve predznake ispred izraza na desnoj strani promijeniti u suprotne

Ako na lijevoj strani dobijemo izraz s različitim nazivnicima, onda ih dovodimo do zajedničkog koristeći glavno svojstvo razlomka. Izvršite transformacije koristeći identične transformacije i dobijete konačni razlomak jednak $0$.

Izjednačite brojilac sa $0$ i pronađite korijene rezultirajuće jednačine.

Uzmimo uzorke korijena, tj. pronađite važeće vrijednosti varijabli koje ne pretvaraju nazivnik u $0$.