Stopa promjene derivata. Derivat funkcije

1.1 Neki problemi fizike 3

2. Derivat

2.1 Brzina promjene funkcije 6

2.2 Derivacijska funkcija 7

2.3 Derivat funkcije stepena 8

2.4 Geometrijsko značenje izvoda 10

2.5 Diferencijacija funkcija

2.5.1 Razlikovanje rezultata aritmetičkih operacija 12

2.5.2 Diferencijacija kompleksnih i inverznih funkcija 13

2.6 Derivati ​​parametarski definisanih funkcija 15

3. Diferencijal

3.1 Diferencijal i njegovo geometrijsko značenje 18

3.2 Diferencijalna svojstva 21

4. Zaključak

4.1 Dodatak 1. 26

4.2 Dodatak 2. 29

5. Spisak korišćene literature 32

1. Uvod

1.1 Neki problemi fizike. Razmotrite jednostavne fizičke pojave: pravolinijsko kretanje i linearnu raspodjelu mase. Za njihovo proučavanje uvode se brzina kretanja, odnosno gustina.

Hajde da analiziramo takav fenomen kao što je brzina kretanja i srodni pojmovi.

Neka se tijelo kreće pravolinijski i znamo udaljenost , prolazi pored tijela za svako dato vrijeme , tj. znamo udaljenost kao funkciju vremena:

Jednačina
pozvao jednadžba kretanja i linija koju definiše u osovinskom sistemu
- raspored kretanja.

Razmotrite kretanje tijela tokom vremenskog intervala
od nekog trenutka do trenutka
. Vremenom je telo prešlo put, a vremenom i put
. Dakle, u jedinicama vremena je prešao razdaljinu

Ako je kretanje ujednačeno, onda postoji linearna funkcija:

U ovom slučaju i odnos
pokazuje koliko je jedinica putanje po jedinici vremena; istovremeno, ostaje konstantan, bez obzira na to koji trenutak u vremenu se uzima, a ne na osnovu toga koji je inkrement vremena uzet . To je trajni stav pozvao ujednačena brzina.

Ali ako je kretanje neravnomjerno, onda omjer ovisi

od , i od . Zove se prosječna brzina kretanja u vremenskom intervalu od do i označeno sa :

Tokom ovog vremenskog intervala, sa istom pređenom udaljenosti, kretanje se može dogoditi na najrazličitije načine; grafički, to je ilustrovano činjenicom da između dvije tačke na ravni (poeni
na sl. 1) možete nacrtati različite linije
- grafovi kretanja u datom vremenskom intervalu, a sva ta različita kretanja odgovaraju istoj prosječnoj brzini.

Posebno između tačaka ide kroz pravu liniju
, koji je graf uniforme u intervalu
pokret. Dakle, prosečna brzina pokazuje koliko brzo se morate kretati ujednačeno da biste prošli u istom vremenskom intervalu na istoj udaljenosti
.

Ostavljam isto , hajde da smanjimo. Prosječna brzina izračunata za promijenjeni interval
, koji leži unutar datog intervala, može, naravno, biti drugačiji nego u; tokom celog intervala . Iz ovoga proizilazi da se prosječna brzina ne može smatrati zadovoljavajućom karakteristikom kretanja: ona (prosječna brzina) zavisi od intervala za koji se računa. Na osnovu činjenice da je prosječna brzina u intervalu treba smatrati što bolje karakterizira pokret, to manje , Neka ide na nulu. Ako u isto vrijeme postoji ograničenje prosječne brzine, onda se ona uzima kao brzina kretanja u ovom trenutku .

Definicija. brzina pravolinijsko kretanje u datom trenutku naziva se granica prosječne brzine koja odgovara intervalu , kada teži nuli:

Primjer. Napišimo zakon slobodnog pada:

.

Za prosječnu brzinu pada u vremenskom intervalu imamo

i za brzinu u ovom trenutku

.

Ovo pokazuje da je brzina slobodnog pada proporcionalna vremenu kretanja (pada).

2. Derivat

Brzina promjene funkcije. Derivativna funkcija. Derivat funkcije stepena.

2.1 Brzina promjene funkcije. Svaki od četiri posebna koncepta: brzina kretanja, gustina, toplotni kapacitet,

brzina hemijske reakcije, uprkos značajnoj razlici u njihovom fizičkom značenju, je, sa matematičke tačke gledišta, kao što je lako videti, ista karakteristika odgovarajuće funkcije. Sve su to posebne vrste tzv. stope promjene funkcije, definisane, baš kao i navedeni posebni pojmovi, uz pomoć pojma granice.

Analizirajmo stoga općenito pitanje brzine promjene funkcije
, apstrahirajući od fizičkog značenja varijabli
.

Neka prvo
- linearna funkcija:

.

Ako je nezavisna varijabla dobija povećanje
, zatim funkciju ovdje dobija prirast
. Stav
ostaje konstantan, nezavisno od toga koja se funkcija razmatra, niti koja se uzima .

Ovaj odnos se zove stopa promjene linearna funkcija. Ali ako je funkcija nije linearna, onda relacija

takođe zavisi od , i od . Ovaj omjer samo "u prosjeku" karakterizira funkciju kada se nezavisna varijabla mijenja iz zadane u
; jednaka je brzini takve linearne funkcije, koja je data ima isti prirast
.

Definicija.Stav pozvaoprosječna brzina promjene funkcije u intervalu
.

Jasno je da što je manji razmatrani interval, to bolje prosječna brzina karakterizira promjenu funkcije, pa prisiljavamo teže nuli. Ako u isto vrijeme postoji ograničenje prosječne brzine, tada se kao mjera uzima brzina promjene funkcije za datu , i naziva se brzina promjene funkcije.

Definicija. Stopa promjene funkcije indati poen naziva se granica prosječne brzine promjene funkcije u intervalu kada ide na nulu:

2.2 Derivacijska funkcija. Stopa promjene funkcije

određuje se sljedećim redoslijedom radnji:

1) po prirastu , dodijeljen ovoj vrijednosti , pronaći odgovarajući prirast funkcije

;

2) je sastavljen odnos;

3) pronaći granicu ovog omjera (ako postoji)

sa proizvoljnom tendencijom ka nuli.

Kao što je već napomenuto, ako ova funkcija nije linearno

zatim odnos takođe zavisi od , i od . Granica ovog omjera ovisi samo o odabranoj vrijednosti. i stoga je funkcija od . Ako je funkcija linearna, tada razmatrana granica ne zavisi od , tj. bit će konstantna vrijednost.

Ova granica se zove derivat funkcije ili jednostavno derivat funkcije i označen je ovako:
.Pročitajte: "ef stroke from » ili "ef prim from".

Definicija. derivat ove funkcije naziva se granica omjera prirasta funkcije i priraštaja nezavisne varijable s proizvoljnom težnjom, ovaj prirast na nulu:

.

Vrijednost derivacije funkcije u bilo kojoj točki obično označavaju
.

Koristeći uvedenu definiciju derivacije, možemo reći da:

1) Brzina pravolinijskog kretanja je izvod od

funkcije on (derivacija putanje u odnosu na vrijeme).

2.3 Derivat funkcije stepena.

Nađimo derivate nekih jednostavnih funkcija.

Neka bude
. Imamo

,

tj. derivat
je konstantna vrijednost jednaka 1. Ovo je očigledno, jer - linearna funkcija i brzina promjene je konstantna.

Ako a
, onda

Neka bude
, onda

Lako je uočiti obrazac u izrazima za izvode funkcije stepena
at
. Dokažimo da je, općenito, derivacija za bilo koji pozitivan cijeli broj eksponenta je jednako sa
.

.

Izraz u brojiocu je transformiran Newtonovom binomnom formulom :

Na desnoj strani posljednje jednakosti je zbroj članova, od kojih prvi ne ovisi o , a ostali teže nuli zajedno s . Dakle

.

Dakle, funkcija stepena s pozitivnim cijelim brojem ima derivaciju jednaku:

.

At
gore izvedene formule slijede iz pronađene opće formule.

Ovaj rezultat vrijedi za bilo koji indikator, na primjer:

.

Razmotrimo sada odvojeno derivaciju konstante

.

Pošto se ova funkcija ne mijenja promjenom nezavisne varijable, onda
. dakle,

,

t. e. derivacija konstante je nula.

2.4 Geometrijsko značenje izvoda.

Derivat funkcije ima vrlo jednostavno i jasno geometrijsko značenje, koje je usko povezano s konceptom tangente na pravu.

Definicija. Tangenta
do linije
na njenom mestu
(Sl. 2). naziva se granična pozicija prave koja prolazi kroz tačku, i još jedna tačka
linije kada ova tačka teži da se spoji sa datom tačkom.




.Tutorial

Postoji prosek brzinapromjenefunkcije u pravcu prave linije. 1 se naziva derivat funkcije u smjeru i je naznačeno. Dakle - (1) - brzinapromjenefunkcije u tački...

  • Granica i kontinuitet funkcije

    Studija

    Fizičko značenje izvedenice. Izvod karakteriše brzinapromjene jedna fizička veličina u odnosu na ... . Na kojoj vrijednosti su argumenti jednaki brzinapromjenefunkcije i Odluka. , i, i. Koristeći fizičko značenje izvedenice...

  • Koncept funkcije jedne varijable i metode za specificiranje funkcija

    Dokument

    Koncept karakterizacije diferencijalnog računa brzinapromjenefunkcije; P. je funkcija, definiran za svaki x ... kontinuirani izvod (diferencijalni račun koji karakterizira brzinapromjenefunkcije na ovom mjestu). Onda i...

  • § 5 Parcijalni izvod kompleksnih funkcija diferencijali kompleksnih funkcija 1 Parcijalni izvod kompleksne funkcije

    Dokument

    Postoji i konačan je) biće brzinapromjenefunkcije u tački u pravcu vektora. Njegov ... i označavaju ili. Pored magnitude brzinapromjenefunkcije, omogućava vam da odredite prirodu promjenefunkcije u tački u pravcu vektora...

    • Alternativno fizičko značenje pojma derivacije funkcije.

    Nikolay Brylev

    Članak za one koji sami razmišljaju. Za one koji ne mogu da shvate kako je moguće saznati uz pomoć nespoznatljivog i zbog toga se ne mogu složiti sa uvođenjem nespoznatljivih pojmova u alate spoznaje: „beskonačnost“, „dolazak do nule“, „beskonačno malo“, "okolina tačke" itd. .P.

    Svrha ovog članka nije odbacivanje ideje o uvođenju vrlo korisnog temeljnog koncepta u matematiku i fiziku. koncepti derivat funkcije(diferencijalno), i duboko ga razumiju fizičko čulo, zasnovano na opštim globalnim zavisnostima prirodnih nauka. Cilj je obdariti koncept derivirajuća funkcija(diferencijalna) kauzalna struktura i duboko značenje fizika interakcije. Ovo značenje danas je nemoguće pogoditi, jer je opšteprihvaćeni koncept prilagođen uslovno formalnom, nestrogom, matematičkom pristupu diferencijalnog računa.

    1.1 Klasični koncept derivacije funkcije.

    Za početak, okrenimo se univerzalno korištenom, općeprihvaćenom, postojećem gotovo tri stoljeća, koji je postao klasičan, matematički koncept (definicija) derivacije funkcije (diferencijal).

    Ovaj koncept je u svim brojnim udžbenicima objašnjen na isti način i otprilike tako.

    Neka je vrijednost u zavisi od x argumenta kao u = f(x). Ako je f(x ) je fiksiran u dvije točke vrijednosti argumenata: x2, x1, , tada dobijamo količine u 1 = f (x 1 ), i u 2 = f (x 2 ). Razlika između dvije vrijednosti argumenata x 2 , x 1 će se zvati inkrement argumenta i označiti kao Δ x = x 2 - x 1 (dakle x 2=x1+ Δ x) . Ako se argument promijenio u Δ x \u003d x 2 - x 1, , tada se funkcija promijenila (povećala) kao razlika između dvije vrijednosti funkcije u 1 = f (x 1), u 2 = f (x 2 ) povećanjem funkcije∆f. Obično se piše ovako:

    ∆f= u 1 - u 2 \u003d f (x 2) - f (x 1 ) . Ili s obzirom na to x 2 = x 1 + Δ x , možemo napisati da je promjena u funkciji jednaka∆f= f (x 1 + Δx)- f (x 1 ). I ova se promjena dogodila, naravno, na rasponu mogućih vrijednosti funkcije x2 i x1, .

    Vjeruje se da ako vrijednosti x 2 i x 1, beskonačno blizu po veličini jedna prema drugoj, zatim Δ x \u003d x 2 - x 1, - beskonačno mali.

    Definicija izvoda: Derivativna funkcija f (x) u tački x 0 naziva se granica omjera prirasta funkcije Δ f u ovoj tački na prirast argumenta Δx kada potonji teži nuli (beskonačno mali). Snimljeno ovako.

    Lim Δx →0 (∆f(x0)/ Δx)=lim Δx→0 ((f (x + Δx)-f (x 0))/ Δx)=f ` (x0)

    Pronalaženje derivacije se zove diferencijaciju . Uvedeno definicija diferencijabilne funkcije : Funkcija f , koji ima derivaciju u svakoj tački nekog intervala, naziva se diferencijabilnim na ovom intervalu.

    1.2 Općeprihvaćeno fizičko značenje derivacije funkcije

    I sada o opšteprihvaćenom fizičkom značenju izvedenice .

    o njenoj tzv fizički, ili radije pseudofizički a geometrijska značenja mogu se pročitati i u bilo kojem udžbeniku matematike (analiza materijala, diferencijalni račun). Ukratko sumiram njihov sadržaj na tu temu o njenoj fizičkoj prirodi:

    Fizičko značenje izvedenice x `(t ) iz kontinuirane funkcije x (t) u tački t 0 je trenutna brzina promjene vrijednosti funkcije, pod uslovom da je promjena u argumentu Δ t teži nuli.

    I da objasnim studentima ovo fizičko značenje nastavnici mogu, na primjer, tako.

    Zamislite da letite u avionu i imate sat na ruci. Kada letite, imate li brzinu jednaku brzini aviona?, - obraća se prisutnima nastavnik.

    Da, učenici odgovaraju.

    I koja je brzina vas i aviona u svakom trenutku na vašem satu?

    Brzina jednaka brzini aviona!, - uglas odgovaraju dobri i odlični učenici.

    Ne baš, kaže učiteljica. - Brzina, kao fizički pojam, je put aviona koji pređe u jedinici vremena (npr. po satu (km/h)), a kada pogledate na sat, prošao je samo trenutak. dakle, trenutna brzina (pređena udaljenost u trenutku) je derivacija funkcije koja opisuje putanju aviona u vremenu. Trenutna brzina - ovo je fizičko značenje izvedenice.

    1.3 Problemi strogosti metodologije za formiranje matematičkog koncepta derivacije funkcije.

    ALI publikaučenici, navikli na obrazovni sistem krotko,odmah i potpunonaučiti sumnjive istine, po pravilu, ne postavlja nastavniku više pitanja o tome pojam i fizičko značenje izvedenice. Ali radoznala, duboko i nezavisno misleća osoba ne može to asimilirati kao strogu naučnu istinu. Sigurno će postaviti niz pitanja, na koja očito neće čekati obrazložen odgovor od nastavnika bilo kojeg ranga. Pitanja su sljedeća.

    1. Da li su egzaktni (tačni, naučni, koji imaju objektivnu vrijednost, uzročnu suštinu) takvi koncepti (izrazi) "tačne" nauke - matematike kao što su: trenutak - beskonačno mala vrijednost, težnja ka nuli, težnja ka beskonačnosti, malenkost, beskonačnost, težnja? Kako može znati neki entitet u veličini promjene, operišući sa nespoznatljivim konceptima, bez magnitude? Više Veliki Aristotel (384-322 pne) u 4. poglavlju rasprave "FIZIKA", od pamtiveka, prenosi: "Ako je beskonačno, jer je beskonačno, nespoznatljivo, onda je beskonačno po količini ili veličini nespoznatljivo, koliko je veliko, a beskonačno po vrsti je nespoznatljivo, kakav je njegov kvalitet. Pošto su počeci beskonačni i po količini i po u naturi, onda je spoznati one nastale od njih [stvari] nemoguće: uostalom, tek tada vjerujemo da smo spoznali složenu stvar kada saznamo od čega i od koliko [početaka] se sastoji..." Aristotel , "Fizika", 4 gl.

    2. Kako može derivat ima fizičko značenje identično nekoj trenutnoj brzini, ako trenutna brzina nije fizički pojam, već vrlo uslovan, "netačan" koncept matematike, jer je ovo granica funkcije, a granica je uslovni matematički pojam?

    3. Zašto je matematički koncept tačke, koja ima samo jedno svojstvo - koordinatu (koja nema drugih svojstava: veličinu, površinu, interval) zamenjen u matematičkoj definiciji derivacije konceptom okoline tačke, koja zapravo ima interval, samo neodređene veličine. Jer u konceptu derivacije, pojmovi i veličine Δ x = x 2 - x 1, i x 0 .

    4. Ispravno da li uopšte fizičko značenje objasniti matematičkim pojmovima koji nemaju fizičko značenje?

    5. Zašto uzročnost (funkcija), u zavisnosti od uzroka (argument, svojstvo, parametar) mora imati konačni beton definiran u veličini limit promjene (posljedice) sa neograničeno malim, bez veličine promjene veličine uzroka?

    6. Postoje funkcije u matematici koje nemaju derivaciju (nediferencirajuće funkcije u ne-glatkim analizama). To znači da se u ovim funkcijama, kada se promijeni njen argument (njegov parametar, svojstvo), funkcija (matematički objekt) se ne mijenja. Ali ne postoje objekti u prirodi koji se ne bi promijenili kada se njihova vlastita svojstva promijene. Zašto onda matematika može priuštiti takve slobode kao što je korištenje matematičkog modela koji ne uzima u obzir fundamentalne uzročno-posljedične odnose svemira?

    Ja ću odgovoriti. U predloženom, klasičnom konceptu koji postoji u matematici - trenutna brzina, derivacija, fizička i naučna općenito, nema ispravnog značenja i ne može biti zbog nenaučne neispravnosti i nepoznavanja pojmova koji se za to koriste! Ne postoji u konceptu "beskonačnosti", iu konceptu "trenutnog", iu konceptu "težnje ka nuli ili beskonačnosti".

    Ali onaj istinski, očišćen od labavih koncepata moderne fizike i matematike (sklonost nuli, beskonačno mala vrijednost, beskonačnost, itd.)

    FIZIČKO ZNAČENJE KONCEPTA DERIVATNE FUNKCIJE POSTOJI!

    O tome će se sada razgovarati.

    1.4 Pravo fizičko značenje i kauzalna struktura izvedenice.

    Da bi se razumjela fizička suština, „otresti s ušiju debeli sloj stoljetnih rezanaca“, koji su još uvijek objesili Gottfried Leibniz (1646-1716) i njegovi sljedbenici, morat ćemo se, kao i obično, okrenuti metodologiji znanja i strogih osnovnih principa. Istina, treba napomenuti da se zbog preovlađujućeg relativizma, ovih principa u nauci danas više ne pridržava.

    Dozvolite mi da nakratko odstupim.

    Prema duboko i iskreno vjernicima Isaac Newton (1643-1727) i Gottfried Leibniz, promjena predmeta, promjena njihovih svojstava, nije se dogodilo bez sudjelovanja Svemogućeg. Proučavanje Svemogućeg izvora varijabilnosti od strane bilo kojeg prirodoslovca u to je vrijeme bilo opterećeno progonom od strane moćne crkve i nije se provodilo u svrhu samoodržanja. Ali već u 19. veku prirodnjaci su to shvatili UZROČNA SUŠTINA PROMENE SVOJSTVA BILO KOGA OBJEKTA - INTERAKCIJE. "Interakcija je uzročna veza postavljena u svom punom razvoju", primijetio Hegel (1770-1831) „Na najbliži način, interakcija se javlja kao međusobna kauzalnost pretpostavljenih, međusobno uslovljenih supstanci; svaka je, u odnosu na drugu, i aktivna i pasivna supstanca. . F. Engels (1820-1895) je precizirao: „Interakcija je prva stvar koja dolazi pred nas kada razmatramo kretanje (promjenu) materije u cjelini, sa stanovišta moderne prirodne znanosti... Dakle, prirodna znanost potvrđuje da je... ta interakcija pravi causa finalis (krajnji uzrok) stvari. Ne možemo ići dalje od znanja o ovoj interakciji upravo zato što iza nje nema šta više da se zna. Ipak, nakon što su se formalno pozabavili osnovnim uzrokom varijabilnosti, niko od svetlih glava 19. veka nije počeo da obnavlja zgradu prirodne nauke.Kao rezultat toga, zgrada je ostala ista - sa fundamentalnom "trulošću". Kao rezultat toga, uzročna struktura (interakcija) još uvijek nedostaje u velikoj većini osnovnih pojmova prirodnih znanosti (energija, sila, masa, naboj, temperatura, brzina, zamah, inercija, itd.), uključujući matematički koncept derivacije funkcije- kao matematički model koji opisuje " količina trenutne promjene" objekta od "beskonačno male" promjene u njegovom kauzalnom parametru. Teorija interakcija koja kombinuje čak četiri poznate fundamentalne interakcije (elektromagnetsku, gravitacionu, jaku, slabu) još nije stvorena. Sada je već mnogo više "pokošeno" i "dovratnici" puze posvuda. Praksa – kriterij istine, potpuno razbija sve teorijske modele izgrađene na takvoj građevini koji pretenduju da su univerzalni i globalni. Stoga će i dalje biti potrebno obnoviti zgradu prirodne nauke, jer se više nema gdje „plivati“, nauka se odavno razvija metodom „bockanja“ – glupo, skupo i neefikasno. Fizika budućnosti, fizika 21. veka i narednih vekova, mora postati fizika interakcija. A u fiziku je jednostavno potrebno uvesti novi fundamentalni koncept - "događaj-interakcija". Istovremeno se daje osnovni temelj za osnovne pojmove i odnose moderne fizike i matematike, a samo u ovom slučaju je osnovna formula"causa finalis" (konačni prvi uzrok) formula da se potkrijepe sve osnovne formule koje funkcionišu u praksi. Pojašnjeno je značenje svjetskih konstanti i još mnogo toga. I pokazaću vam, dragi čitaoče, sada.

    dakle, formulacija problema.

    Hajde da opišemo model. Neka je apstraktni predmet spoznaje, spoznatljiv po veličini i prirodi (označavamo ga -u) je relativna cjelina koja ima određenu prirodu (dimenziju) i veličinu. Predmet i njegova svojstva su kauzalni sistem. Vrijednost objekta ovisi o vrijednosti njegovih svojstava, parametara, a po dimenziji o njihovoj dimenziji. Uzročni parametar će, dakle, biti označen sa -x, a istražni parametar će biti označen sa - u. U matematici se takva uzročna veza formalno opisuje funkcijom (ovisnošću) o njenim svojstvima – parametrima u = f (x). Promjenjivi parametar (svojstvo objekta) podrazumijeva promjenu vrijednosti funkcije - relativnog cijelog broja. Štaviše, objektivno određena spoznata vrijednost cjeline (broja) je relativna vrijednost dobijena u odnosu na njen pojedinačni dio (na neki objektivni opšteprihvaćeni jedinstveni standard cjeline - u at, Jedan standard je formalna vrijednost, ali općenito prihvaćeno kao objektivna komparativna mjera.

    Onda u =k*u sprat . Ciljna vrijednost parametra (osobine) je odnos prema jediničnom dijelu (standardu) parametra (svojstva) -x= i* x ovo. Dimenzije cijelog broja i dimenzija parametra i standardi njihovih jedinica nisu identični. Odds k , isu numerički jednake u, x, respektivno, budući da su referentne vrijednosti u ix ovosu samci. Kao rezultat interakcija, parametar se mijenja i ova kauzalna promjena posljedično povlači promjenu funkcije (relativne cjeline, objekta, sistema).

    Obavezno definirati formalno opšta zavisnost veličine promene objekta od interakcija – razlozi ove promene. Ova izjava o problemu odražava pravi, kauzalni, kauzalni (prema F. Baconu) dosljedan pristup fizika interakcije.

    Odluka i posljedice.

    Interakcija je uobičajen evolucijski mehanizam - uzrok varijabilnosti. Šta je zapravo interakcija (kratkog dometa, dugog dometa)? Budući da još ne postoji opšta teorija interakcije i teorijski model interakcije objekata, nosilaca srazmernih svojstava u prirodnoj nauci, moraćemo da kreiramo(više o ovome na).Ali pošto razmišljajući čitalac želi da zna o pravoj fizičkoj suštini izvedenice odmah i sada, onda ćemo se snaći samo sa kratkim, ali strogim i neophodnim zaključcima iz ovog rada za razumevanje suštine izvedenice.

    „Svaka, čak i najsloženija interakcija objekata, može se predstaviti na takvoj skali vremena i prostora (prošireno u vremenu i prikazano u koordinatnom sistemu na takav način) da u svakom trenutku vremena, u datoj tački prostora , samo će dva objekta, dva nosioca srazmernih svojstava, interagovati, a u ovom trenutku će biti u interakciji samo sa svoja dva proporcionalna svojstva.

    « Svaka (linearna, nelinearna) promjena bilo kojeg svojstva (parametra) određene prirode bilo kojeg objekta može se dekomponirati (predstaviti) kao rezultat (posljedica) događaja-interakcija iste prirode, koji slijede u formalnom prostoru i vremenu, linearno ili nelinearno (jednoliko ili neravnomjerno). Istovremeno, u svakoj elementarnoj, pojedinačnoj interakciji događaja (interakcija kratkog dometa), svojstvo se linearno mijenja jer je to zbog jedinog razloga promjene - elementarne srazmjerne interakcije (i stoga postoji funkcija jedne varijable ). ... Prema tome, svaka promjena (linearna ili nelinearna), kao rezultat interakcija, može se predstaviti kao zbir elementarnih linearnih promjena koje slijede u formalnom prostoru i vremenu linearno ili nelinearno.”

    « Iz istog razloga, svaka interakcija se može razložiti na kvante promjene (nedjeljive linearne komade). Elementarni kvant bilo koje prirode (dimenzije) rezultat je elementarne interakcije događaja prema datoj prirodi (dimenziji). Veličina i dimenzija kvanta određuju se veličinom svojstva interakcije i prirodom ovog svojstva. Na primjer, kod idealnog, apsolutno elastičnog sudara loptica (bez uzimanja u obzir toplinskih i drugih energetskih gubitaka), lopte razmjenjuju svoje momente (srazmjerna svojstva). Promjena količine gibanja jedne lopte je dio linearne energije (dato joj ili joj je oduzeto) - postoji kvant koji ima dimenziju ugaonog momenta. Ako loptice s fiksnim vrijednostima zamaha međusobno djeluju, tada je stanje vrijednosti ugaonog momenta svake kuglice na bilo kojem promatranom intervalu interakcije „dozvoljena“ vrijednost (po analogiji sa stavovima kvantne mehanike).»

    U fizičkom i matematičkom formalizmu postalo je općeprihvaćeno da bilo koje svojstvo u bilo koje vrijeme i u bilo kojoj tački prostora (radi jednostavnosti, uzmimo linearnu, jednokoordinatnu) ima vrijednost koja se može izraziti pisanjem

    (1)

    gdje je dimenzija.

    Ovaj zapis, između ostalog, je suština i duboko fizičko značenje kompleksnog broja, različit od opšteprihvaćenog geometrijskog prikaza (prema Gausu), kao tačka na ravni..( Bilješka. autor)

    Zauzvrat, modul promjene , označen u (1) kao , može se izraziti, uzimajući u obzir događaje interakcije, kao

    (2)

    fizičko značenje ova osnovna za ogroman broj najpoznatijih odnosa prirodnih nauka, korijenska formula, je da su na intervalu vremena i na intervalu homogenog linearnog (jednokoordinatnog) prostora postojali - srazmjerni događaji - kratki domet interakcije iste prirode, koje prate u vremenu i prostoru u skladu sa svojim funkcijama - distribucijama događaja u prostoru - i vremenu. Svaki od događaja se mijenjao u neki . Možemo reći da u prisustvu homogenosti objekata interakcije na određenom intervalu prostora i vremena, govorimo o o nekima konstantna, linearna, prosječna vrijednost elementarne promjene - vrijednost derivata o veličini promjene , formalno opisana funkcija koja je karakteristična za medij interakcije i karakterizira okruženje i proces interakcije određene prirode (dimenzije). Uzimajući u obzir činjenicu da se mogu odvijati različite vrste funkcija distribucije događaja u prostoru i vremenu, tada postoje promjenjive prostorno-vremenske dimenzije y kao integral funkcija distribucijedogađaji u vremenu i prostor , odnosno [vrijeme - t] i[ koordinata - x ] može biti na stepen k(k - nije jednako nuli).

    Ako u dovoljno homogenom okruženju označimo vrijednost prosječnog vremenskog intervala između događaja - , i vrijednost srednjeg intervala udaljenosti između događaja - , tada možemo zapisati da je ukupan broj događaja u intervalu vremena i prostora je jednako sa

    (3)

    Ovo fundamentalni rekord(3) je u skladu s osnovnim prostorno-vremenskim identitetima prirodnih znanosti (Maxwellova elektrodinamika, hidrodinamika, teorija valova, Hookeov zakon, Planckova formula za energiju, itd.) i pravi je korijenski uzrok logičke ispravnosti fizičkih i matematičkih konstrukcija . Ovaj unos (3) je u skladu sa dobro poznatom u matematici "teoremom srednje vrijednosti". Prepišimo (2) uzimajući u obzir (3)

    (4) - za vremenske odnose;

    (5) - za prostorne odnose.

    Iz ovih jednačina (3-5) slijedi opšti zakon interakcije:

    vrijednost bilo koje promjene u objektu (svojstvu) proporcionalna je broju događaja-interakcija (bliskih interakcija) srazmjernih njemu koji je uzrokuju. Istovremeno, priroda promjene (vrsta zavisnosti u vremenu i prostoru) odgovara prirodi slijeda u vremenu i prostoru ovih događaja.

    Imamo opšti osnovni odnosi prirodnih nauka za slučaj linearnog prostora i vremena, očišćenog od koncepta beskonačnosti, težnje ka nuli, trenutne brzine, itd. Iz istog razloga se oznake beskonačno malih dt i dx ne koriste iz istog razloga. Umjesto njih, konačni Δti i Δxi . Iz ovih generalizacija (2-6) slijede:

    - opšte fizičko značenje derivacije (diferencijala) (4) i gradijenta (5), kao i „svjetskih“ konstanti, kao vrijednosti prosječne (prosječne) linearne promjene funkcije (objekta) sa jednim događajem -interakcija argumenta (osobine) određene dimenzije (prirode) sa proporcionalnim (iste prirode) svojstvima drugih objekata. Odnos veličine promjene i broja događaja-interakcija koje je pokreću zapravo je vrijednost derivacije funkcije, koja odražava uzročnu ovisnost objekta o njegovom svojstvu.

    ; (7) - derivacija funkcije

    ; (8) - gradijent funkcije

    - fizičko značenje integrala, kao zbir vrijednosti funkcije koje se mijenjaju tokom događaja po argumentu

    ; (9)

    - potkrepljenje (dokaz i razumljivo fizičko značenje) Lagrangeove teoreme za konačne priraštaje(formule konačnih prirasta), u mnogim aspektima fundamentalne za diferencijalni račun. Jer se sa linearnim funkcijama i vrijednostima njihovih integrala u izrazima (4)(5) i odvijaju. Onda

    (10)

    (10.1)

    Formula (10.1) je zapravo Lagrangeova formula za konačne priraštaje [ 5].

    Kada specificiramo objekat sa skupom njegovih svojstava (parametara), dobijamo slične zavisnosti za varijabilnost objekta kao funkciju varijabilnosti njegovih svojstava (parametara) i pojašnjavamo fizički značenje parcijalnog izvoda funkcije nekoliko varijabilnih parametara.

    (11)

    Taylor formula za funkciju jedne varijable, koja je također postala klasična,

    ima oblik

    (12)

    Predstavlja dekompoziciju funkcije (formalni kauzalni sistem) u niz u kojem je njena promjena jednaka

    se dekomponuje na komponente, po principu dekompozicije opšteg toka događaja iste prirode na podtokove koji imaju različite sledeće karakteristike. Svaki podtok karakterizira linearnost (nelinearnost) slijeda događaja u prostoru ili vremenu. Ovo je fizičko značenje Taylorove formule . Tako, na primjer, prvi član Taylorove formule identifikuje promjenu linearno slijedećih događaja u vremenu (prostoru).

    U . Sekunda at nelinearno praćenje pogledajte događaje itd.

    - fizičko značenje konstantne brzine promjene (kretanja)[m/s], što ima značenje jednokratnog linearnog pomaka (promjene, povećanja) vrijednosti (koordinate, putanje), sa linearnim slijedećim događajima.

    (13)

    Iz tog razloga, brzina nije uzročna ovisnost o formalno odabranom koordinatnom sistemu ili vremenskom intervalu. Brzina je neformalna ovisnost o funkciji sukcesije (distribuciji) u vremenu i prostoru događaja koja dovodi do promjene koordinata.

    (14)

    I svako složeno kretanje može se razložiti na komponente, pri čemu svaka komponenta zavisi od sljedećih linearnih ili nelinearnih događaja. Iz tog razloga, kinematika tačke (jednačina tačke) je proširena u skladu sa Lagrangeovom ili Taylor formulom.

    Kada se linearni slijed događaja promijeni u nelinearan, brzina postaje ubrzanje.

    - fizičko značenje ubrzanja- , kao vrijednost brojčano jednaka jednom pomaku , s nelinearnim nizom događaja-interakcija koje uzrokuju ovaj pomak . pri čemu, ili . Istovremeno, ukupni pomak u slučaju nelinearnog slijeda događaja (sa linearnom promjenom stope slijeda događaja) za jednaki (15) - formula poznata iz škole

    - fizičko značenje ubrzanja slobodnog pada objekta- , kao konstantna vrijednost, numerički jednaka omjeru linearne sile koja djeluje na objekt (zapravo, tzv. "trenutni" linearni pomak), u korelaciji sa nelinearnim brojem naknadnih događaja-interakcija sa okolinom u formalnom vremenu, uzrokujući ovu silu.

    Prema tome, vrijednost jednaka broju nelinearno praćenje događaji, ili odnos - primili ime tjelesne težine , a vrijednost - tjelesne težine , kao sile koje djeluju na tijelo (na oslonac) u mirovanju.Objasnimo gore navedeno, jer široko korišteni, fundamentalni fizički koncept mase u modernoj fizici uopšte nije struktuiran uzročno od bilo kakvih interakcija. A fizika poznaje činjenice o promjenama mase tijela tokom određenih reakcija (fizičkih interakcija) unutar njih. Na primjer, tokom radioaktivnog raspada ukupna masa materije se smanjuje.Kada tijelo miruje u odnosu na površinu Zemlje, ukupan broj događaja-interakcija čestica ovog tijela sa nehomogenom sredinom s gradijentom (inače zvanom gravitacijsko polje) se ne mijenja. A to znači da se sila koja djeluje na tijelo ne mijenja, a inercijska masa je proporcionalna broju događaja koji se događaju na objektima tijela i objektima okoline, jednaka omjeru sile i njenog stalnog ubrzanja .

    Kada se tijelo kreće u gravitacionom polju (pada), omjer promjenljive sile koja djeluje na njega i promjenjivog broja događaja također ostaje konstantan, a omjer - odgovara gravitacionoj masi. ovo implicira analitički identitet inercijalne i gravitacione mase. Kada se tijelo kreće nelinearno, ali horizontalno prema površini Zemlje (duž sferne ekvipotencijalne površine Zemljinog gravitacijskog polja), tada gravitacijsko polje nema gradijent u ovoj putanji. Ali svaka sila koja djeluje na tijelo proporcionalna je broju događaja koji i ubrzavaju i usporavaju tijelo. Odnosno, u slučaju horizontalnog kretanja jednostavno se mijenja razlog kretanja tijela. A nelinearno promjenjivi broj događaja daje ubrzanje tijelu i (2. Newtonov zakon). Kod linearnog slijeda događaja (i ubrzanja i usporavanja) brzina tijela je konstantna, a fizička veličina, s takvim slijedom događaja, u fizika se zove impuls.

    - Fizičko značenje ugaonog momenta, kao kretanje tela pod uticajem događaja koji linearno slede u vremenu.

    (16)

    - Fizičko značenje električnog naboja predmet uveden u polje, kao omjer sile koja djeluje na "nabijeni" objekt (Lorencova sila) u tački polja i vrijednosti naboja tačke polja. Jer sila je rezultat interakcije proporcionalnih svojstava objekta unesenog u polje i objekta polja. Interakcija se izražava u promjeni ovih proporcionalnih svojstava oba. Kao rezultat svake pojedinačne interakcije, objekti razmjenjuju module svojih promjena, mijenjajući jedni druge, što je vrijednost “trenutne” sile koja djeluje na njih, kao derivat sile koja djeluje na intervalu prostora. Ali u modernoj fizici, polje, posebna vrsta materije, nažalost, nema naboj (nema objekte nosioca naboja), ali ima drugačiju karakteristiku - napetost na intervalu (razlika potencijala (naboja) u određenoj praznini). dakle, naplatiti po svojoj veličini pokazuje koliko se puta sila koja djeluje na nabijeni predmet razlikuje od jačine polja u datoj tački (od "trenutne" sile). (17)

    Onda pozitivnog naboja objekta- posmatra se kao naelektrisanje koje u apsolutnoj vrednosti premašuje (veće) naelektrisanje tačke polja, a negativno - manje od naelektrisanja tačke polja. To implicira razliku u znacima sila odbijanja i privlačenja. Što određuje smjer djelovanja sile "odbijanje - privlačenje". Ispostavilo se da je naboj kvantitativno jednak broju događaja-interakcija koje ga mijenjaju u svakom događaju za veličinu jačine polja. Veličina naboja, u skladu sa konceptom broja (vrijednosti), je odnos sa referentnom, jedinicom, probnim nabojem -. Odavde . Kada se naboj kreće, kada događaji slijede linearno (polje je homogeno), integrali, a kada se homogeno polje kreće u odnosu na naboj. Otuda poznati odnosi fizike ;

    - Fizičko značenje jačine električnog polja, kao odnos sile koja deluje na naelektrisani objekat i broja tekućih događaja-interakcija naelektrisanog objekta sa naelektrisanim medijumom. Postoji stalna karakteristika električnog polja. To je također derivacija u odnosu na koordinatu Lorentzove sile.Jačina električnog polja- ovo je fizička veličina brojčano jednaka sili koja djeluje na jedinični naboj u jednoj interakciji događaja () nabijenog tijela i polja (nabijenog medija).

    (18)

    -Fizičko značenje potencijala, struje, napona i otpora (električna provodljivost).

    S obzirom na promjenu veličine naboja

    (19)

    (20)

    (21)

    Gdje se zove potencijal tačke polja i uzima se kao energetska karakteristika date tačke polja, a zapravo je to naboj tačke polja, koji se razlikuje za faktor testnog (referentnog) naboja. Ili: . Tokom interakcije naelektrisanja unesenog u polje i naelektrisanja tačke polja dolazi do razmene srazmernih svojstava - naelektrisanja. Razmjena je fenomen opisan kao "Lorentzova sila djeluje na naelektrisanje uvedeno u polje", jednaka apsolutnoj vrijednosti veličini promjene naboja, kao i veličini relativne promjene potencijala tačke polja. . Kada se naelektrisanje unese u Zemljino polje, poslednja promena se može zanemariti zbog relativne male promene u odnosu na ogromnu vrednost ukupnog naelektrisanja tačke u Zemljinom polju.

    Iz (20) je primjetno da je struja (I ) vremenski derivat veličine promjene naboja u vremenskom intervalu, mijenjajući naboj u veličini u jednoj interakciji događaja (interakcija kratkog dometa) sa nabojem naboja. srednji (poljski bodovi).

    * Do sada se u fizici smatralo da ako: provodnik ima poprečni presek površine S, naelektrisanje svake čestice je jednako q 0, a zapremina provodnika, ograničena poprečnim presecima 1 i 2 i dužinom (), sadrži čestice, gdje je n koncentracija čestica. To je ukupna naknada. Ako se čestice kreću u istom smjeru sa prosječnom brzinom v, tada će s vremenom sve čestice zatvorene u zapremini koja se razmatra proći kroz poprečni presjek 2. Prema tome, jačina struje je

    .

    Isto, možemo reći u slučaju naše metodološke generalizacije (3-6), samo umjesto broja čestica treba reći broj događaja, što je u značenju istinitije, jer ima mnogo više nabijenih čestica (događaja) u provodniku nego, na primjer, elektroni u metalu. Ovisnost će biti prepisana u formu , dakle, valjanost (3-6) i drugih generalizacija ovog rada je još jednom potvrđena.

    Dvije tačke homogenog polja, razmaknute u prostoru, koje imaju različite potencijale (naboje) imaju potencijalnu energiju jedna u odnosu na drugu, koja je brojčano jednaka radu promjene potencijala iz vrijednosti u . To je jednako njihovoj razlici.

    . (22)

    Inače, može se napisati Ohmov zakon pravilnim izjednačavanjem

    . (23)

    Gdje je u ovom slučaju otpor, koji pokazuje broj događaja potrebnih za promjenu veličine naboja, s tim da će se u svakom slučaju naboj mijenjati za konstantnu vrijednost takozvane "trenutne" struje, ovisno o svojstvima dirigent. Iz ovoga slijedi da je struja vremenski derivat veličine i pojma napona. Treba imati na umu da je u SI jedinicama električna provodljivost izražena u Siemensu s dimenzijom: Cm = 1 / Ohm = Amper / Volt = kg -1 m -2 s ³A². Otpor u fizici je recipročan proizvod električne provodljivosti (otpor jediničnog dijela materijala) i dužine provodnika. Šta se može napisati (u smislu generalizacije (3-6)) kao

    (24)

    - Fizičko značenje indukcije magnetnog polja. Empirijski je utvrđeno da omjer maksimalne vrijednosti modula sile koja djeluje na provodnik sa strujom (Amperova sila) prema jačini struje - I prema dužini vodiča - l, ne ovisi o jačini struje. u provodniku, niti na dužini provodnika. Uzeta je kao karakteristika magnetnog polja na mestu gde se nalazi provodnik - indukcija magnetnog polja, vrednost zavisi od strukture polja - , što odgovara

    (25)

    i od tada .

    Kada rotiramo okvir u magnetskom polju, prije svega povećavamo broj događaja-interakcija nabijenih objekata okvira i nabijenih objekata polja. Iz ovoga slijedi ovisnost EMF-a i struje u okviru o brzini rotacije okvira i jačini polja u blizini okvira. Zaustavljamo okvir - nema interakcije - nema struje. W vrtlog (promjena) polje - struja je otišla u okvir.

    - Fizičko značenje temperature. Danas u fizici koncept - mjera temperature nije sasvim trivijalan. Jedan kelvin je jednak 1/273,16 termodinamičke temperature trostruke tačke vode. Početak skale (0 K) poklapa se sa apsolutnom nulom. Pretvorba u stepene Celzijusa: ° C \u003d K -273,15 (temperatura trostruke tačke vode je 0,01 ° C).
    Godine 2005. definicija kelvina je precizirana. U obaveznom tehničkom aneksu teksta ITS-90, Savjetodavni komitet za termometriju utvrdio je zahtjeve za izotopski sastav vode pri primjeni temperature trostruke tačke vode.

    Kako god, fizičko značenje i suštinu pojma temperature mnogo lakše i jasnije. Temperatura je, u svojoj suštini, posledica događaja-interakcija koje se dešavaju unutar supstance koje imaju i „unutrašnje“ i „spoljašnje“ uzroke. Više događaja - više temperature, manje događaja - manje temperature. Otuda i fenomen promjene temperature u mnogim kemijskim reakcijama. P. L. Kapitsa je također govorio "... mjera temperature nije samo kretanje, već slučajnost tog kretanja. Slučajnost stanja tijela određuje njegovo temperaturno stanje, a ova ideja (koju je prvi razvio Boltzmann) da određeno temperaturno stanje tijela uopće nije određena energijom kretanja, već nasumičnošću tog kretanja, i je li taj novi koncept u opisu temperaturnih pojava, koji moramo koristiti..." (Izvještaj dobitnika Nobelove nagrade 1978. Petra Leonidoviča Kapice "Svojstva tečnog helijuma", pročitan na konferenciji "Problemi moderne nauke" na Moskovskom univerzitetu 21. decembra 1944.)
    Pod mjerom haosa treba razumjeti kvantitativnu karakteristiku broja događaj-interakcije po jedinici vremena u jedinici zapremine materije - svoje temperaturu. Nije slučajno što će Međunarodni komitet za utege i mjere 2011. godine promijeniti definiciju kelvina (mjere temperature) kako bi se riješio teško reproduciranih uvjeta "trostruke tačke vode". U novoj definiciji, kelvin će biti izražen u terminima sekunde i vrijednosti Boltzmannove konstante.Što tačno odgovara osnovnoj generalizaciji (3-6) ovog rada. U ovom slučaju, Boltzmannova konstanta izražava promjenu stanja određene količine materije tokom jednog događaja (vidi fizičko značenje derivacije), a veličina i dimenzija vremena karakterizira broj događaja u vremenskom intervalu . Ovo još jednom to dokazuje uzročna struktura temperature - događaji-interakcije. Kao rezultat tekućih događaja-interakcija, objekti u svakom događaju razmjenjuju kinetičku energiju (trenutke impulsa kao u sudaru loptica), a medij na kraju postiže termodinamičku ravnotežu (prvi zakon termodinamike).

    - Fizičko značenje energije i snage.

    U modernoj fizici energija E ima drugu dimenziju (prirodu). Koliko priroda, toliko energija. Na primjer:

    Sila pomnožena dužinom (E ≈ F l≈N*m);

    Pritisak puta zapremina (E ≈ P V≈N*m 3 /m 2 ≈N*m);

    Impuls pomnožen brzinom (E ≈ p v≈kg * m / s * m / s ≈ (N * s 2) / m * (m / s * m / s) ≈ N * m);

    Masa puta kvadrat brzine (E ≈ m v 2 ≈N*m);

    Struja pomnožena naponom (E ≈ I U ≈

    Iz ovih odnosa slijedi rafinirani koncept energije i povezanost sa jednim standardom (mjernom jedinicom) energije, događaja i promjena.

    energija, - postoji kvantitativna karakteristika promene bilo kog fizičkog parametra materije pod uticajem događaja-interakcija iste dimenzije, koja izaziva ovu promenu. Inače, možemo reći da je energija kvantitativna karakteristika koja se neko vrijeme (na određenoj udaljenosti) primjenjuje na svojstvo vanjske djelujuće sile. Veličina energije (broj) je omjer veličine promjene određene prirode prema formalnom, općeprihvaćenom standardu energije ove prirode. Dimenzija energije je dimenzija formalnog, opšteprihvaćenog standarda energije. Uzročno, veličina i dimenzija energije, njena promjena u vremenu i prostoru, formalno zavise od ukupne veličine promjene u odnosu na standard i dimenziju standarda, a neformalno zavise od prirode slijeda događaja.

    Ukupna vrijednost promjene - zavisi od broja događaja-interakcija koje mijenjaju vrijednost ukupne promjene u jednom događaju za - prosječnu jediničnu silu - vrijednost derivata.

    Standard energije određene prirode (dimenzije) mora odgovarati opštem konceptu standard (singularnost, zajedništvo, nepromjenjivost), imaju dimenziju funkcije sekvence događaja u prostor-vremenu i promijenjenu vrijednost.

    Ovi omjeri su, u stvari, uobičajeni za energiju svake promjene materije.

    O snazi. i vrijednost ili u stvari, postoji ista "trenutačna" sila koja mijenja energiju.

    . (26)

    Dakle, opći koncept inercije treba shvatiti kao veličinu elementarne relativne promjene energije pod djelovanjem jedne interakcije događaja (za razliku od sile, koja nije u korelaciji s veličinom intervala, već pretpostavljenim prisustvom intervala od invarijantnost akcije), koja ima stvarni vremenski interval (interval prostora) svoje nepromjenjivosti do sljedećeg događaja.

    Interval je razlika između dvije tačke u vremenu početka ovog i sljedećeg uporedivog događaja-interakcije, ili dvije tačke-koordinate događaja u prostoru.

    Inercija ima dimenziju energije, jer je energija integralni zbir vrednosti inercije u vremenu pod dejstvom događaja-interakcija. Količina promjene energije jednaka je zbiru inercije

    (27)

    Inače, možemo reći da je inercija koju apstraktnom svojstvu daje --ti interakcijski događaj energija promjene svojstva, koja je imala neko vrijeme nepromjenjivosti do sljedećeg interakcijskog događaja;

    - fizičko značenje vremena kao formalni način saznanja veličine trajanja promjene (invarijantnosti), kao način mjerenja veličine trajanja u poređenju sa formalnim standardom trajanja, kao mjera trajanja promjene (trajanje, trajanje

    I vrijeme je da prestanemo s brojnim spekulacijama o tumačenju ovog osnovnog koncepta prirodnih znanosti.

    - fizičko značenje koordinatnog prostora , kao vrijednosti (mjere) promjene (putevi, udaljenosti),

    (32)

    koji ima dimenziju formalnog, jedinstvenog standarda prostora (koordinate) i vrijednost koordinate, kao integral funkcije sukcesije događaja u prostoru , jednako ukupnom broju etalona koordinata na intervalu . Prilikom mjerenja koordinata, radi praktičnosti, linearno se mijenja integrand funkcija čiji je integral jednak broju formalno odabranih referentnih intervala jediničnih koordinata;

    - fizičko značenje svih osnovnih fizičkih svojstava (parametara) koji karakteriziraju svojstva medija pri elementarnoj srazmjernoj interakciji s njim (dielektrična i magnetska permeabilnost, Planckova konstanta, koeficijenti trenja i površinskog napona, specifična toplina, svjetske konstante itd.) .

    Tako se dobijaju nove zavisnosti koje imaju jedinstven izvorni oblik zapisa i jedno metodološki ujednačeno kauzalno značenje. A ovo kauzalno značenje dobija se uvođenjem globalnog fizičkog principa - "događaj-interakcija" u prirodnu nauku.

    Evo, dragi čitaoče, šta bi trebalo da bude u najopštijim crtama nova matematika obdarena fizičkim značenjem i sigurnošću i nova fizika interakcija 21. veka , očišćena od roja nebitnog, bez sigurnosti, veličine i dimenzije, a samim tim i zdravorazumskih koncepata. Takve npr. as klasična derivacija i trenutna brzina - ima malo zajedničkog sa fizički koncept brzine. kako koncept inercije - određena sposobnost tijela da održava brzinu... Kako inercijski referentni sistem (ISO) , koji nema nikakve veze koncept referentnog okvira(CO). Za ISO, za razliku od uobičajenog referentnog okvira (CO) nije objektivan sistem znanja o veličini kretanja (promjene). U odnosu na ISO, po njegovoj definiciji, tijela samo miruju ili se kreću pravolinijski ili jednoliko. I mnoge druge stvari koje su se vekovima glupo replicirale kao nepokolebljive istine. Ove pseudoistine, koje su postale bazične, više nisu sposobne fundamentalno, dosljedno i uzročno opisati općim ovisnostima brojni fenomeni svemira, koji postoje i mijenjaju se prema jedinstvenim zakonima prirode.

    1. Književnost.

    1. Hegel G.W.F. Enciklopedija filozofskih nauka: U 3 toma Vol.1: Nauka logike. M., 197 3

    2. Hegel G.W.F. , Soch., tom 5, M., 1937, str. 691.

    3. F. Engels. PSS. v. 20, str. 546.

    Šta je derivat?
    Definicija i značenje derivacije funkcije

    Mnogi će biti iznenađeni neočekivanom lokacijom ovog članka u mom autorskom kursu o derivaciji funkcije jedne varijable i njenim primjenama. Uostalom, kao što je bilo iz škole: standardni udžbenik, prije svega, daje definiciju derivata, njegovo geometrijsko, mehaničko značenje. Zatim studenti pronalaze derivate funkcija po definiciji i, zapravo, tek tada se tehnika diferencijacije usavršava korištenjem derivativne tabele.

    Ali sa moje tačke gledišta, sledeći pristup je pragmatičniji: pre svega, preporučljivo je DOBRO RAZUMEVATI ograničenje funkcije, a posebno infinitezimima. Činjenica je da definicija derivata je zasnovana na konceptu granice, što se slabo razmatra u školskom kursu. Zbog toga značajan dio mladih potrošača znanja iz granita slabo prodire u samu suštinu derivata. Stoga, ako niste dobro upućeni u diferencijalni račun, ili se mudar mozak uspješno riješio ovog prtljaga tokom godina, počnite s ograničenja funkcije. U isto vrijeme savladajte / zapamtite njihovu odluku.

    Isti praktični smisao sugerira da je prvo profitabilno naučite pronaći derivate, uključujući derivati ​​složenih funkcija. Teorija je teorija, ali, kako kažu, uvijek želite razlikovati. S tim u vezi, bolje je razraditi navedene osnovne lekcije, a možda i postati majstor diferencijacije a da nisu ni svjesni suštine svojih postupaka.

    Preporučujem da počnete sa materijalima na ovoj stranici nakon čitanja članka. Najjednostavniji problemi sa derivatom, gdje se posebno razmatra problem tangente na graf funkcije. Ali to može biti odloženo. Činjenica je da mnoge primjene derivata ne zahtijevaju njegovo razumijevanje i nije iznenađujuće da se teorijska lekcija pojavila prilično kasno - kada sam trebao objasniti pronalaženje intervala porasta/spadanja i ekstrema funkcije. Štaviše, on je bio u toj temi prilično dugo" Funkcije i grafovi“, sve dok nisam odlučio da ga stavim ranije.

    Stoga, dragi čajnici, nemojte žuriti da upijete esenciju derivata, poput gladnih životinja, jer će zasićenje biti neukusno i nepotpuno.

    Koncept povećanja, smanjenja, maksimuma, minimuma funkcije

    Mnogi tutorijali dovode do koncepta derivata uz pomoć nekih praktičnih problema, a došao sam i do zanimljivog primjera. Zamislite da moramo putovati u grad do kojeg se može doći na različite načine. Zakrivljene vijugave staze ćemo odmah odbaciti, a razmotrit ćemo samo ravne linije. Međutim, pravci pravca su takođe različiti: do grada možete doći ravnom autoputom. Ili na brdovitom autoputu - gore-dole, gore-dole. Drugi put ide samo uzbrdo, a drugi stalno nizbrdo. Ljubitelji uzbuđenja će izabrati rutu kroz klisuru sa strmom liticom i strmim usponom.

    Ali bez obzira na vaše preferencije, poželjno je znati područje ili barem imati topografsku kartu. Šta ako takvih informacija nema? Na kraju krajeva, možete odabrati, na primjer, ravnu stazu, ali kao rezultat toga naletjeti na skijašku stazu sa smiješnim Fincima. Nije činjenica da će navigator, pa čak i satelitska slika dati pouzdane podatke. Stoga bi bilo lijepo formalizirati reljef staze pomoću matematike.

    Razmislite o nekom putu (pogled sa strane):

    Za svaki slučaj, podsjećam vas na elementarnu činjenicu: putovanje se odvija s lijeva na desno. Radi jednostavnosti, pretpostavljamo da je funkcija kontinuirano na području koje se razmatra.

    Koje su karakteristike ovog grafikona?

    U intervalima funkcija povećava, odnosno svaka njegova sljedeća vrijednost više prethodni. Grubo rečeno, raspored ide dole gore(penjemo se na brdo). I na intervalu funkcija smanjuje se- svaka sljedeća vrijednost manji prethodni, i naš raspored ide odozgo prema dolje(spuštajući se niz padinu).

    Obratimo pažnju i na posebne tačke. Na tački do koje stižemo maksimum, tj postoje takav dio puta na kojem će vrijednost biti najveća (najviša). U istoj tački, minimum, i postoje takva njegova okolina, u kojoj je vrijednost najmanja (najniža).

    U lekciji će se razmatrati rigoroznija terminologija i definicije. o ekstremima funkcije, ali za sada proučimo još jednu važnu osobinu: na intervalima funkcija raste, ali raste različitim brzinama. I prva stvar koja vam upada u oči je da se grafikon uzdiže na intervalu mnogo kul nego na intervalu. Da li je moguće izmjeriti strminu puta pomoću matematičkih alata?

    Stopa promjene funkcije

    Ideja je sledeća: uzmite neku vrednost (čitaj "delta x"), koje ćemo nazvati povećanje argumenta, i počnimo "isprobavati" na različitim točkama našeg puta:

    1) Pogledajmo krajnju lijevu tačku: zaobilazeći rastojanje, penjemo se uz padinu do visine (zelena linija). Vrijednost se poziva povećanje funkcije, a u ovom slučaju ovaj prirast je pozitivan (razlika vrijednosti duž ose je veća od nule). Napravimo omjer , koji će biti mjera strmine našeg puta. Očigledno, to je vrlo specifičan broj, a budući da su oba prirasta pozitivna, onda .

    Pažnja! Oznaka su JEDAN simbol, to jest, ne možete "otkinuti" "deltu" od "x" i razmotriti ova slova odvojeno. Naravno, komentar se odnosi i na simbol inkrementa funkcije.

    Hajde da istražimo prirodu rezultujućeg razlomka sa više smisla. Pretpostavimo da smo u početku na visini od 20 metara (u lijevoj crnoj tački). Savladavši razdaljinu od metara (lijeva crvena linija), bit ćemo na visini od 60 metara. Tada će inkrement funkcije biti metara (zelena linija) i: . dakle, na svakom metru ovu dionicu puta visina se povećava prosjek za 4 metra…da li ste zaboravili svoju opremu za penjanje? =) Drugim riječima, konstruirani omjer karakterizira PROSJEČNU STOPU PROMJENE (u ovom slučaju rast) funkcije.

    Bilješka : Numeričke vrijednosti predmetnog primjera odgovaraju proporcijama crteža samo približno.

    2) Sada idemo na istu udaljenost od krajnje desne crne tačke. Ovdje je uspon blaži, tako da je prirast (crvena linija) relativno mali, a omjer u odnosu na prethodni slučaj će biti prilično skroman. Relativno govoreći, metara i stopa rasta funkcije je . Odnosno, ovdje postoji svaki metar puta prosjek pola metra gore.

    3) Mala avantura na planini. Pogledajmo gornju crnu tačku koja se nalazi na y-osi. Pretpostavimo da je ovo oznaka od 50 metara. Opet savladavamo distancu, zbog čega se nalazimo niže - na nivou od 30 metara. Od kada je pokret napravljen odozgo prema dolje(u "suprotnom" smjeru od ose), zatim konačni prirast funkcije (visine) će biti negativan: metara (smeđa linija na crtežu). I u ovom slučaju govorimo o stopa propadanja karakteristike: , odnosno za svaki metar staze ove dionice visina se smanjuje prosjek za 2 metra. Vodite računa o odjeći na petoj tački.

    Sada postavimo pitanje: koja je najbolja vrijednost "mjernog standarda" za korištenje? Jasno je da je 10 metara jako grubo. Na njih lako može stati desetak kvrga. Zašto ima neravnina, ispod može biti duboka klisura, a nakon nekoliko metara - njena druga strana sa daljim strmim usponom. Dakle, sa desetmetarskom nećemo dobiti razumljivu karakteristiku ovakvih dionica puta kroz omjer.

    Iz gornje rasprave slijedi sljedeći zaključak: što je manja vrijednost, to ćemo preciznije opisati reljef puta. Štaviše, istinite su sljedeće činjenice:

    – Za bilo koje tačke podizanja možete odabrati vrijednost (iako vrlo malu) koja se uklapa u granice jednog ili drugog porasta. A to znači da će odgovarajući prirast visine biti zajamčeno pozitivan, a nejednakost će ispravno ukazati na rast funkcije u svakoj tački ovih intervala.

    - Isto tako, za bilo koji točka nagiba, postoji vrijednost koja će u potpunosti stati na ovu padinu. Dakle, odgovarajući porast visine je nedvosmisleno negativan, a nejednakost će ispravno pokazati smanjenje funkcije u svakoj tački datog intervala.

    – Posebno je zanimljiv slučaj kada je stopa promjene funkcije nula: . Prvo, nulti porast visine () je znak ravnomjerne putanje. I drugo, postoje i druge neobične situacije čije primjere vidite na slici. Zamislite da nas je sudbina odvela na sam vrh brda sa orlovima koji lebde ili na dno jaruge sa graktanjem žaba. Ako napravite mali korak u bilo kojem smjeru, tada će promjena visine biti zanemariva, i možemo reći da je stopa promjene funkcije zapravo nula. Isti obrazac se opaža na tačkama.

    Tako smo se približili neverovatnoj prilici da savršeno precizno okarakterišemo brzinu promene funkcije. Na kraju krajeva, matematička analiza nam omogućava da usmjerimo povećanje argumenta na nulu: to jest, da ga beskonačno mali.

    Kao rezultat toga, postavlja se još jedno logično pitanje: da li je moguće pronaći cestu i njen raspored druga funkcija, koji bi nam rekao o svim ravnima, uzbrdicama, nizbrdicama, vrhovima, nizinama, kao i stopi porasta/spadanja na svakoj tački puta?

    Šta je derivat? Definicija derivata.
    Geometrijsko značenje derivacije i diferencijala

    Pročitajte pažljivo i ne prebrzo - materijal je jednostavan i dostupan svima! U redu je ako na nekim mjestima nešto nije jasno, uvijek se možete vratiti na članak kasnije. Reći ću više, korisno je proučiti teoriju nekoliko puta kako biste kvalitetno razumjeli sve tačke (savjet je posebno relevantan za „tehničke“ studente, kojima viša matematika igra značajnu ulogu u obrazovnom procesu).

    Naravno, u samoj definiciji derivacije u nekoj tački, zamenićemo je sa:

    Do čega smo došli? I došli smo do zaključka da za funkciju po zakonu je usklađen druga funkcija, koji se zove derivirajuća funkcija(ili jednostavno derivat).

    Izvod karakteriše stopa promjene funkcije . Kako? Misao ide kao crvena nit od samog početka članka. Razmotrite neku tačku domene funkcije . Neka je funkcija diferencibilna u datoj tački. onda:

    1) Ako , tada funkcija raste u točki . I očigledno postoji interval(čak i ako je vrlo mali) koji sadrži tačku u kojoj funkcija raste, a njen graf ide „odozdo prema vrhu“.

    2) Ako , tada funkcija opada u točki . I postoji interval koji sadrži tačku u kojoj funkcija opada (grafikon ide „od vrha do dna“).

    3) Ako , onda beskonačno blizu blizu tačke, funkcija održava svoju brzinu konstantnom. To se događa, kao što je navedeno, za funkcijsku konstantu i na kritičnim tačkama funkcije, posebno na minimalnoj i maksimalnoj tački.

    Neka semantika. Šta znači glagol "diferencirati" u širem smislu? Razlikovati znači izdvojiti osobinu. Diferencirajući funkciju, "odabiremo" brzinu njene promjene u obliku derivacije funkcije. A šta se, uzgred budi rečeno, podrazumijeva pod riječju "derivacija"? Funkcija dogodilo iz funkcije.

    Pojmovi vrlo uspješno tumače mehaničko značenje izvedenice :
    Razmotrimo zakon promjene koordinata tijela, koji ovisi o vremenu, i funkciju brzine kretanja datog tijela. Funkcija karakterizira brzinu promjene koordinata tijela, stoga je prvi izvod funkcije s obzirom na vrijeme: . Da koncept "kretanja tijela" ne postoji u prirodi, onda ga ne bi bilo derivat koncept "brzine".

    Ubrzanje tijela je brzina promjene brzine, dakle: . Da izvorni koncepti „kretanja tijela” i „brzine kretanja tijela” ne postoje u prirodi, onda ih ne bi bilo derivat koncept ubrzanja tijela.

    Derivat funkcije jedna je od najtežih tema u školskom programu. Neće svaki diplomac odgovoriti na pitanje šta je derivat.

    Ovaj članak jednostavno i jasno objašnjava što je derivat i zašto je potreban.. Nećemo sada težiti matematičkoj strogosti prezentacije. Najvažnije je razumjeti značenje.

    Prisjetimo se definicije:

    Izvod je brzina promjene funkcije.

    Na slici su prikazani grafikoni tri funkcije. Šta mislite koji najbrže raste?

    Odgovor je očigledan - treći. Ima najveću stopu promjene, odnosno najveći derivat.

    Evo još jednog primjera.

    Kostya, Grisha i Matvey su dobili posao u isto vrijeme. Pogledajmo kako su se njihova primanja promijenila tokom godine:

    Možete odmah vidjeti sve na grafikonu, zar ne? Kostjina primanja su se više nego udvostručila za šest meseci. I Grišini prihodi su također porasli, ali samo malo. A Matthewov prihod se smanjio na nulu. Početni uslovi su isti, ali brzina promjene funkcije, tj. derivat, - drugačije. Što se tiče Matveya, derivat njegovog prihoda je općenito negativan.

    Intuitivno možemo lako procijeniti brzinu promjene funkcije. Ali kako da to uradimo?

    Ono što zaista gledamo je koliko strmo graf funkcije ide gore (ili dolje). Drugim riječima, koliko se brzo y mijenja sa x. Očigledno, ista funkcija u različitim tačkama može imati različitu vrijednost derivacije – to jest, može se mijenjati brže ili sporije.

    Derivat funkcije se označava sa .

    Hajde da pokažemo kako pronaći koristeći graf.

    Crta se graf neke funkcije. Uzmite tačku na njoj sa apscisom. Nacrtajte tangentu na graf funkcije u ovoj tački. Želimo procijeniti koliko strmo grafik funkcije ide gore. Zgodna vrijednost za ovo je tangenta nagiba tangente.

    Derivat funkcije u tački jednak je tangenti nagiba tangente povučene na graf funkcije u toj tački.

    Imajte na umu - kao ugao nagiba tangente uzimamo ugao između tangente i pozitivnog smera ose.

    Ponekad učenici pitaju koja je tangenta na graf funkcije. Ovo je prava linija koja ima jedinu zajedničku tačku sa grafikom u ovom odeljku, štaviše, kao što je prikazano na našoj slici. Izgleda kao tangenta na kružnicu.

    Hajde da nađemo. Sjećamo se da je tangenta oštrog ugla u pravokutnom trokutu jednaka omjeru suprotne katete i susjedne. Iz trougla:

    Izvod smo pronašli koristeći graf, a da nismo ni znali formulu funkcije. Ovakvi zadaci se često nalaze na ispitu iz matematike pod brojem.

    Postoji još jedna važna korelacija. Podsjetimo da je ravna linija data jednadžbom

    Količina u ovoj jednačini se zove nagib prave linije. Jednaka je tangenti ugla nagiba prave linije prema osi.

    .

    Shvatili smo to

    Prisjetimo se ove formule. Izražava geometrijsko značenje izvedenice.

    Derivat funkcije u tački jednak je nagibu tangente povučene na graf funkcije u toj tački.

    Drugim riječima, derivacija je jednaka tangenti nagiba tangente.

    Već smo rekli da ista funkcija može imati različite izvode u različitim tačkama. Pogledajmo kako je derivacija povezana s ponašanjem funkcije.

    Nacrtajmo graf neke funkcije. Neka se ova funkcija povećava u nekim područjima, a smanjuje u drugim, i to različitim brzinama. I neka ova funkcija ima maksimum i minimum bodova.

    U jednom trenutku, funkcija se povećava. Tangenta na graf, nacrtana u tački, formira oštar ugao; sa pozitivnim smjerom ose. Dakle, izvod je pozitivan u tački.

    U ovom trenutku, naša funkcija se smanjuje. Tangenta u ovoj tački formira tupi ugao; sa pozitivnim smjerom ose. Pošto je tangenta tupog ugla negativna, derivacija u tački je negativna.

    Evo šta se dešava:

    Ako je funkcija rastuća, njen izvod je pozitivan.

    Ako se smanjuje, njegov izvod je negativan.

    A šta će se dogoditi na maksimalnim i minimalnim tačkama? Vidimo da je u (maksimalna tačka) i (tačka minimuma) tangenta horizontalna. Prema tome, tangenta nagiba tangente u ovim tačkama je nula, a derivacija je takođe nula.

    Tačka je maksimalna tačka. U ovom trenutku povećanje funkcije zamjenjuje se smanjenjem. Posljedično, predznak derivacije se mijenja u tački sa "plus" na "minus".

    U tački - minimalnoj tački - derivacija je također jednaka nuli, ali joj se predznak mijenja sa "minus" na "plus".

    Zaključak: uz pomoć izvoda možete saznati sve što nas zanima o ponašanju funkcije.

    Ako je izvod pozitivan, tada se funkcija povećava.

    Ako je izvod negativan, onda je funkcija opadajuća.

    U tački maksimuma derivacija je nula i mijenja predznak sa plusa na minus.

    U minimalnoj tački, derivacija je također nula i mijenja predznak sa minusa na plus.

    Ove nalaze zapisujemo u obliku tabele:

    povećava maksimalni poen smanjuje se minimalna tačka povećava
    + 0 - 0 +

    Hajde da napravimo dva mala pojašnjenja. Jedan od njih će vam trebati prilikom rješavanja problema. Drugi - na prvoj godini, sa ozbiljnijim proučavanjem funkcija i derivata.

    Moguć je slučaj kada je derivacija funkcije u nekoj tački jednaka nuli, ali funkcija nema ni maksimum ni minimum u ovoj tački. Ova tzv :

    U tački, tangenta na graf je horizontalna, a derivacija je nula. Međutim, prije točke funkcija se povećala - a nakon točke nastavlja rasti. Predznak derivacije se ne mijenja – ostao je pozitivan kakav je bio.

    Takođe se dešava da u tački maksimuma ili minimuma izvod ne postoji. Na grafikonu to odgovara oštrom prekidu, kada je nemoguće nacrtati tangentu u datoj tački.

    Ali kako pronaći izvod ako funkcija nije data grafom, već formulom? U ovom slučaju se primjenjuje

    Mnogi će biti iznenađeni neočekivanom lokacijom ovog članka u mom autorskom kursu o derivaciji funkcije jedne varijable i njenim primjenama. Uostalom, kao što je bilo iz škole: standardni udžbenik, prije svega, daje definiciju derivata, njegovo geometrijsko, mehaničko značenje. Zatim studenti pronalaze derivate funkcija po definiciji i, zapravo, tek tada se tehnika diferencijacije usavršava korištenjem derivativne tabele.

    Ali sa moje tačke gledišta, sledeći pristup je pragmatičniji: pre svega, preporučljivo je DOBRO SHVATITI ograničenje funkcije, a posebno, infinitezimima. Činjenica je da

    definicija derivata je zasnovana na konceptu granice , što se slabo razmatra u školskom kursu. Zbog toga značajan dio mladih potrošača znanja iz granita slabo prodire u samu suštinu derivata. Stoga, ako niste dobro upućeni u diferencijalni račun, ili se mudar mozak uspješno riješio ovog prtljaga tokom godina, počnite s ograničenja funkcije . U isto vrijeme savladajte / zapamtite njihovu odluku.

    Isti praktični smisao sugerira da je prvo profitabilno

    naučiti pronaći izvode, uključujući izvode složenih funkcija . Teorija je teorija, ali, kako kažu, uvijek želite razlikovati. S tim u vezi, bolje je razraditi navedene osnovne lekcije, a možda i postati majstor diferencijacije a da nisu ni svjesni suštine svojih postupaka.

    Preporučujem da počnete sa materijalima na ovoj stranici nakon čitanja članka. Najjednostavniji problemi sa derivatom, gdje se posebno razmatra problem tangente na graf funkcije. Ali to može biti odloženo. Činjenica je da mnoge primjene derivata ne zahtijevaju njegovo razumijevanje i nije iznenađujuće da se teorijska lekcija pojavila prilično kasno - kada sam trebao objasniti pronalaženje intervala porasta/spadanja i ekstrema funkcije. Štaviše, on je bio u toj temi prilično dugo" Funkcije i grafovi“, sve dok nisam odlučio da ga stavim ranije.

    Stoga, dragi čajnici, nemojte žuriti da upijete esenciju derivata, poput gladnih životinja, jer će zasićenje biti neukusno i nepotpuno.

    Koncept povećanja, smanjenja, maksimuma, minimuma funkcije

    Mnogi tutorijali dovode do koncepta derivata uz pomoć nekih praktičnih problema, a došao sam i do zanimljivog primjera. Zamislite da moramo putovati u grad do kojeg se može doći na različite načine. Zakrivljene vijugave staze ćemo odmah odbaciti, a razmotrit ćemo samo ravne linije. Međutim, pravci pravca su takođe različiti: do grada možete doći ravnom autoputom. Ili na brdovitom autoputu - gore-dole, gore-dole. Drugi put ide samo uzbrdo, a drugi stalno nizbrdo. Ljubitelji uzbuđenja će izabrati rutu kroz klisuru sa strmom liticom i strmim usponom.

    Ali bez obzira na vaše preferencije, poželjno je znati područje ili barem imati topografsku kartu. Šta ako takvih informacija nema? Na kraju krajeva, možete odabrati, na primjer, ravnu stazu, ali kao rezultat toga naletjeti na skijašku stazu sa smiješnim Fincima. Nije činjenica da je navigator i čak

    satelitski snimak će dati pouzdane podatke. Stoga bi bilo lijepo formalizirati reljef staze pomoću matematike.

    Razmislite o nekom putu (pogled sa strane):

    Za svaki slučaj, podsjećam vas na elementarnu činjenicu: putovanje se odvija s lijeva na desno. Radi jednostavnosti, pretpostavljamo da je funkcija kontinuirana na odsjeku koji se razmatra.

    Koje su karakteristike ovog grafikona?

    U intervalima funkcija se povećava, odnosno svaka njena naredna vrijednost je veća od prethodne. Grubo govoreći, grafikon ide odozdo prema gore (penjemo se na brdo). A na intervalu se funkcija smanjuje - svaka sljedeća vrijednost je manja od prethodne, a naš graf ide odozgo prema dolje (spuštamo se niz padinu).

    Obratimo pažnju i na posebne tačke. U trenutku kada smo

    dostižemo maksimum, odnosno postoji takav dio puta na kojem će vrijednost biti najveća (najviša). U istoj tački se postiže minimum i postoji takva okolina u kojoj je vrijednost najmanja (najniža).

    U lekciji će se razmatrati rigoroznija terminologija i definicije. o ekstremima funkcije, ali za sada proučimo još jednu važnu osobinu: na intervalima funkcija raste, ali raste različitim brzinama. I prva stvar koja vam upada u oči je da graf intervala raste mnogo kul nego na intervalu. Da li je moguće izmjeriti strminu puta pomoću matematičkih alata?

    Stopa promjene funkcije

    Ideja je sledeća: uzmite neku vrednost

    (čitaj "delta x") , koje ćemo nazvatipovećanje argumenta, i počnimo "isprobavati" na različitim točkama našeg puta:

    1) Pogledajmo krajnju lijevu tačku: zaobilazeći rastojanje, penjemo se uz padinu do visine (zelena linija). Količina se zove povećanje funkcije, a u ovom slučaju ovaj prirast je pozitivan (razlika vrijednosti duž ose je veća od

    nula). Napravimo omjer , koji će biti mjera strmine našeg puta. Očigledno, ovo je vrlo specifičan broj, a pošto su oba prirasta pozitivna, onda.

    Pažnja! Oznaka je JEDAN simbol, odnosno ne možete "otkinuti" "delta" od "x" i razmotriti ova slova odvojeno. Naravno, komentar se odnosi i na simbol inkrementa funkcije.

    Hajde da istražimo prirodu rezultujućeg razlomka sa više smisla. Neka bude

    u početku smo na visini od 20 metara (u lijevoj crnoj tački). Savladavši razdaljinu od metara (lijeva crvena linija), bit ćemo na visini od 60 metara. Tada će inkrement funkcije biti

    metara (zelena linija) i:. Dakle

    Dakle, na svakom metru ove dionice puta visina se povećava u prosjeku 4 metra ... jesi li zaboravio svoju opremu za penjanje? =) Drugim riječima, konstruirani omjer karakterizira PROSJEČNU STOPU PROMJENE (u ovom slučaju rast) funkcije.

    Napomena: numeričke vrijednosti predmetnog primjera odgovaraju proporcijama crteža samo približno.

    2) Sada idemo na istu udaljenost od krajnje desne crne tačke. Ovdje je uspon blaži, pa prirast

    (magenta linija) je relativno mala, a omjer

    u poređenju sa prethodnim slučajem biće veoma skroman. Relativno govoreći, metara i stopa rasta funkcije

    je . Odnosno, ovdje je na svaki metar staze u prosjeku pola metra uspona.

    3) Mala avantura na planini. Pogledajmo gornju crnu tačku koja se nalazi na y-osi. Pretpostavimo da je ovo oznaka od 50 metara. Opet savladavamo distancu, zbog čega se nalazimo niže - na nivou od 30 metara. Budući da se kretanje odvijalo odozgo prema dolje (u "suprotnom" smjeru od ose), konačna prirast funkcije (visine) će biti negativan:metara (smeđa linija na crtežu). A u ovom slučaju govorimo o brzini

    silazna funkcija: , odnosno za svaki metar staze

    Na ovom području visina se smanjuje u prosjeku za 2 metra. Vodite računa o odjeći na petoj tački.

    Sada postavimo pitanje: koja je najbolja vrijednost "mjernog standarda" za korištenje? Jasno je da je 10 metara jako grubo. Na njih lako može stati desetak kvrga. Zašto ima neravnina, ispod može biti duboka klisura, a nakon nekoliko metara - njena druga strana sa daljim strmim usponom. Dakle, sa deset metara nećemo dobiti razumljivu karakterizaciju takvih dionica puta

    odnosi .

    Iz gornje rasprave slijedi sljedeći zaključak: što je manja vrijednost, to ćemo preciznije opisati reljef puta. Štaviše, pošteno

    Podijeli: