Znak paralelnih pravih pod odgovarajućim uglovima je dokaz. Paralelne linije

Paralelnost dvije prave može se dokazati na osnovu teoreme prema kojoj će dvije okomice povučene u odnosu na jednu pravu biti paralelne. Postoje određeni znakovi paralelnih linija - postoje ih tri, a sve ćemo ih detaljnije razmotriti.

Prvi znak paralelizma

Prave su paralelne ako su u preseku njihove treće linije formirani unutrašnji uglovi koji leže poprečno jednaki.

Pretpostavimo da su na preseku pravih AB i CD sa pravom linijom EF formirani uglovi /1 i /2. One su jednake, jer prava linija EF ide pod istim nagibom u odnosu na druge dvije prave. Na preseku pravih stavljamo tačke Ki L - imamo segment sekante EF. Pronađemo njegovu sredinu i stavimo tačku O (sl. 189).

Na pravu AB ispustimo okomicu iz tačke O. Nazovimo je OM. Nastavljamo okomicu dok se ne siječe s pravom CD. Kao rezultat toga, originalna prava AB je strogo okomita na MN, što znači da je CD _ | _ MN, ali ova izjava zahtijeva dokaz. Kao rezultat crtanja okomice i linije presjeka, formirali smo dva trokuta. Jedna od njih je MOJA, druga je NOK. Razmotrimo ih detaljnije. znaci paralelnih pravih 7. razred

Ovi trouglovi su jednaki, jer je, u skladu sa uslovima teoreme, /1 = /2, a u skladu sa konstrukcijom trouglova, stranica OK = stranica OL. Ugao MOL =/NOK jer su to vertikalni uglovi. Iz ovoga slijedi da su stranica i dva susjedna ugla jednog od trouglova jednaki strani i dva susjedna ugla drugog trokuta. Dakle, trougao MOL = trougao NOK, a samim tim i ugao LMO = ugao KNO, ali znamo da je / LMO pravi, što znači da je i odgovarajući ugao KNO pravi. Odnosno, uspjeli smo dokazati da su i prava AB i prava CD okomite na pravu MN. To jest, AB i CD su međusobno paralelni. To je ono što smo trebali dokazati. Razmotrimo preostale znakove paralelnih pravih (klasa 7), koji se po načinu dokazivanja razlikuju od prvog znaka.

Drugi znak paralelizma

Prema drugom znaku paralelizma pravih, treba dokazati da će uglovi dobijeni u procesu preseka paralelnih pravih AB i CD pravom EF biti jednaki. Dakle, znaci paralelizma dviju pravih, i prve i druge, zasnivaju se na jednakosti uglova dobijenih kada ih pređe treća prava. Pretpostavljamo da je /3 = /2, a ugao 1 = /3, pošto je okomito na njega. Dakle, i /2 će biti jednako kutu 1, međutim, treba uzeti u obzir da su i ugao 1 i ugao 2 unutrašnji, unakrsno ležeći uglovi. Stoga nam preostaje da primijenimo naše znanje, naime, da će dva segmenta biti paralelna ako u njihovom sjeku sa trećom linijom formirani, unakrsno ležeći uglovi budu jednaki. Tako smo saznali da je AB || CD.

Uspjeli smo dokazati da je pod uslovom da su dvije okomice paralelne s jednom pravom, prema odgovarajućoj teoremi znak paralelnih pravih očigledan.

Treći znak paralelizma

Postoji i treći kriterijum za paralelizam, koji se dokazuje zbirom jednostranih unutrašnjih uglova. Ovakav dokaz predznaka paralelnosti pravih omogućava nam da zaključimo da će dvije prave biti paralelne ako na presjeku njihove treće linije zbir dobijenih jednostranih unutrašnjih uglova bude jednak 2d. Vidi sliku 192.

Video lekcija "Znaci paralelizma dvije prave" sadrži dokaz teorema koje opisuju znakove koji znače paralelne prave. Istovremeno, video opisuje 1) teoremu o paralelizmu pravih, u kojoj sekantom stvaraju jednake uglove, 2) znak koji označava paralelizam dve prave - pod jednakim formiranim odgovarajućim uglovima, 3) znak to znači paralelnost dvije prave u slučaju kada, kada seku, sekantni jednostrani uglovi iznose 180°. Zadatak ove video lekcije je da učenike upozna sa znakovima koji označavaju paralelizam dviju pravih, čije je poznavanje neophodno za rješavanje mnogih praktičnih zadataka, da vizualno prikaže dokaz ovih teorema, da formira vještine u dokazivanju geometrijskih iskaza.

Prednosti video lekcije se odnose na činjenicu da uz pomoć animacije, glasovne pratnje i mogućnosti isticanja boja, pruža visok stepen vidljivosti i može poslužiti kao zamjena za prezentaciju standardnog bloka novih edukativni materijal od strane nastavnika.

Video lekcija počinje prikazivanjem imena na ekranu. Prije opisivanja znakova paralelizma pravih, učenici se upoznaju sa pojmom sekante. Sekansa je definisana kao prava koja seče druge linije. Na ekranu su prikazane dvije prave a i b koje sijeku liniju c. Konstruisana linija c je označena plavom bojom, naglašavajući da je sekansa zadatih linija a i b. Da bi se razmotrili znakovi paralelizma pravih, potrebno je bolje upoznati područje presjeka linija. Sekansa u tačkama preseka sa pravim linijama formira 8 uglova ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5, ∠6, ∠7, ∠8, analizom omjera iz kojih je moguće izvesti predznake paralelizma ovih pravih. Primjećuje se da se uglovi ∠3 i ∠5, kao i ∠2 i ∠4 nazivaju unakrsno. Detaljno objašnjenje je dato uz pomoć animacije rasporeda poprečno ležećih uglova kao uglova koji leže između paralelnih linija, a susedni pravima, lociranih poprečno. Zatim je dat koncept jednostranih uglova koji uključuje parove ∠4 i ∠5, kao i ∠3 i ∠6. Naznačeni su i parovi odgovarajućih uglova, od kojih se na konstruisanoj slici nalaze 4 para - ∠1-∠5, ∠4-∠8, ∠2-∠6, ∠3-∠7.

U sljedećem dijelu video tutorijala razmatraju se tri znaka paralelizma bilo koje dvije linije. Prikazuje se prvi opis. Teorema kaže da ako su poprečni uglovi formirani sekantom jednaki, date prave će biti paralelne. Izjava je popraćena crtežom, koji prikazuje dvije prave a i b i sekantu AB. Primjećuje se da su ležeći uglovi ∠1 i ∠2 formirani poprečno jednaki jedan drugom. Ova izjava zahtijeva dokaz.

Najlakše dokazati konkretan slučaj je kada su dati uglovi formirani krstovima pravi uglovi. To znači da je sekansa okomita na prave, a prema već dokazanoj teoremi, u ovom slučaju se prave a i b neće seći, odnosno paralelne su. Dokaz za ovaj konkretan slučaj je opisan na primjeru slike izgrađene pored prve figure, naglašavajući važne detalje dokaza uz pomoć animacije.

Da bismo to dokazali u opštem slučaju, potrebno je povući dodatnu okomitu iz sredine segmenta AB na pravu a. Dalje, na pravoj liniji b ucrtan je segment VN 1, jednak segmentu AN. Iz tačke H 1 dobijene u ovom slučaju povlači se segment koji povezuje tačke O i H 1. Zatim se razmatraju dva trougla ΔONA i ΔOBN 1, čija se jednakost dokazuje prvim kriterijem jednakosti dva trokuta. Stranice OA i OB su konstrukcijski jednake, jer je tačka O označena kao sredina segmenta AB. Stranice HA i H 1 B su takođe konstrukcijski jednake, jer izdvajamo segment H 1 B, jednak HA. I uglovi ∠1=∠2 prema uslovu zadatka. Budući da su formirani trokuti međusobno jednaki, tada su i odgovarajući preostali parovi uglova i stranica također međusobno jednaki. Iz ovoga proizilazi da je segment OH 1 nastavak segmenta OH, koji čini jedan segment HH 1. Primjećuje se da, budući da je konstruirani segment OH okomit na pravu a, tada je segment HH 1 okomit na prave a i b. Ova činjenica znači, koristeći teoremu paralelizma za prave na koje je izgrađena jedna okomica, da su date prave a i b paralelne.

Sljedeća teorema koju treba dokazati je znak jednakosti paralelnih pravih jednakošću odgovarajućih uglova formiranih na presjeku sekante. Tvrdnja navedene teoreme se prikazuje na ekranu i može se ponuditi studentima na snimanje. Dokaz počinje konstrukcijom na ekranu dvije paralelne prave a i b, na koje se konstruiše sekansa c. Na slici je istaknuto plavom bojom. Sekansa formira odgovarajuće uglove ∠1 i ∠2, koji su po uslovu jednaki jedan drugom. Susedni uglovi ∠3 i ∠4 su takođe označeni. ∠2 u odnosu na ugao ∠3 je vertikalni ugao. A vertikalni uglovi su uvek jednaki. Osim toga, uglovi ∠1 i ∠3 leže jedan preko drugog - njihova jednakost (prema već dokazanoj tvrdnji) znači da su prave a i b paralelne. Teorema je dokazana.

Posljednji dio video tutorijala posvećen je dokazivanju tvrdnje da ako je zbir jednostranih uglova koji se formiraju na presjeku dvije od nekih pravih sekantom jednak 180°, u ovom slučaju će ove prave biti paralelno jedno s drugim. Dokaz je prikazan pomoću crteža koji prikazuje prave a i b koje sijeku sekansu c. Uglovi formirani presjekom su označeni slično kao u prethodnom dokazu. Pod uslovom, zbir uglova ∠1 i ∠4 je jednak 180°. Poznato je da je zbir uglova ∠3 i ∠4 jednak 180°, pošto su oni susedni. To znači da su uglovi ∠1 i ∠3 međusobno jednaki. Ovaj zaključak daje pravo da se tvrdi da su prave a i b paralelne. Teorema je dokazana.

Video lekciju "Znakovi paralelizma dvije prave" nastavnik može koristiti kao samostalni blok koji demonstrira dokaze ovih teorema, zamjenjujući objašnjenje nastavnika ili ga prati. Detaljno objašnjenje omogućava studentima korištenje materijala za samostalno učenje i pomoći će u objašnjavanju gradiva u učenju na daljinu.

Prvo, pogledajmo razliku između pojmova atributa, svojstva i aksioma.

Definicija 1

sign naziva se određena činjenica pomoću koje je moguće utvrditi istinitost suda o predmetu interesa.

Primjer 1

Prave su paralelne ako njihova sekansa tvori jednake poprečne uglove.

Definicija 2

Nekretnina formuliše se u slučaju kada postoji poverenje u pravosnažnost presude.

Primjer 2

Kod paralelnih linija, njihova sekansa tvori jednake poprečne uglove.

Definicija 3

aksiom nazovite takvu tvrdnju koja ne zahtijeva dokaz i koja se bez toga prihvaća kao istinita.

Svaka nauka ima aksiome na kojima se grade kasniji sudovi i njihovi dokazi.

Aksiom paralelnih pravih

Ponekad se aksiom paralelnih pravih uzima kao jedno od svojstava paralelnih pravih, ali se u isto vrijeme na njegovoj valjanosti grade i drugi geometrijski dokazi.

Teorema 1

Kroz tačku koja ne leži na datoj pravoj, na ravni se može povući samo jedna prava koja će biti paralelna sa datom.

Aksiom ne zahtijeva dokaz.

Svojstva paralelnih pravih

Teorema 2

Svojstvo1. Svojstvo tranzitivnosti paralelnih pravih:

Kada je jedna od dvije paralelne prave paralelna s trećom, tada će i druga prava biti paralelna s njom.

Svojstva zahtijevaju dokaz.

dokaz:

Neka postoje dvije paralelne prave $a$ i $b$. Prava $c$ je paralelna pravoj $a$. Provjerimo da li je i u ovom slučaju prava $s$ paralelna pravoj $b$.

Za dokaz ćemo koristiti suprotan prijedlog:

Zamislite da postoji takva varijanta u kojoj je prava $c$ paralelna s jednom od pravih, na primjer, prava $a$, a druga - prava $b$ - seče u nekoj tački $K$.

Dobijamo kontradikciju prema aksiomu paralelnih pravih. Ispostavlja se situacija u kojoj se dvije prave seku u jednoj tački, štoviše, paralelne su sa istom pravom $a$. Takva situacija je nemoguća, stoga se prave $b$ i $c$ ne mogu seći.

Dakle, dokazano je da ako je jedna od dvije paralelne prave paralelna s trećom pravom, onda je i druga prava paralelna sa trećom pravom.

Teorema 3

Nekretnina 2.

Ako se jedna od dvije paralelne prave siječe s trećom, onda će se i druga prava sjeći s njom.

dokaz:

Neka postoje dvije paralelne prave $a$ i $b$. Također, neka postoji neka prava $c$ koja siječe jednu od paralelnih pravih, na primjer, prava $a$. Potrebno je pokazati da prava $c$ seče i drugu pravu, pravu $b$.

Konstruirajmo dokaz kontradikcijom.

Zamislite da prava $c$ ne siječe pravu $b$. Tada dvije prave $a$ i $c$ prolaze kroz tačku $K$ i ne sijeku pravu $b$, tj. paralelne su s njom. Ali ova situacija je u suprotnosti sa aksiomom paralelnih linija. Dakle, pretpostavka je bila pogrešna i prava $c$ će seći pravu $b$.

Teorema je dokazana.

Corner Properties, koji formiraju dvije paralelne prave i sekantu: poprečni uglovi su jednaki, odgovarajući uglovi su jednaki, * zbir jednostranih uglova je jednak $180^(\circ)$.

Primjer 3

Date su dvije paralelne prave i treća prava okomita na jednu od njih. Dokažite da je ova prava okomita na drugu od paralelnih pravih.

Dokaz.

Neka imamo prave $a \paralelno b$ i $c \perp a$.

Pošto prava $c$ seče pravu $a$, onda će, prema svojstvu paralelnih pravih, preseći i pravu $b$.

Sekansa $c$, koja siječe paralelne prave $a$ i $b$, formira s njima jednake unutrašnje poprečne uglove.

Jer $c \perp a$, tada će uglovi biti $90^(\circ)$.

Otuda $c \perp b$.

Dokaz je potpun.

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju određene osobe ili kontaktiranje s njom.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke kako bismo vam poslali važna obavještenja i poruke.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• U slučaju da je to potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim nalogom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno iz razloga sigurnosti, provođenja zakona ili drugih razloga javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše lične podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i od neovlašćenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i striktno provodimo praksu privatnosti.

POGLAVLJE III.
PARALELNE PRAVE

§ 35. ZNACI PARALELNOSTI DVE PRAVE.

Teorema da su dve okomite na jednu pravu paralelne (§ 33) daje znak da su dve prave paralelne. Moguće je izvesti općenitije znakove paralelizma dvije prave.

1. Prvi znak paralelizma.

Ako su u presjeku dvije prave s trećom unutrašnji uglovi koji leže poprečno jednaki, tada su ove prave paralelne.

Neka prave AB i CD sijeku prave EF i / 1 = / 2. Uzmite tačku O - sredinu segmenta KL sekante EF (Sl. 189).

Ispustimo okomitu OM iz tačke O na pravu AB i nastavimo je sve dok se ne seče sa pravom CD, AB_|_MN. Hajde da dokažemo da je CD_|_MN.
Da biste to učinili, razmotrite dva trokuta: MOE i NOK. Ovi trouglovi su međusobno jednaki. Zaista: / 1 = / 2 uslovom teoreme; OK = OL - po konstrukciji;
/ MOL = / NOK kao vertikalni uglovi. Dakle, stranica i dva susedna ugla jednog trougla su, respektivno, jednaki strani i dva susedna ugla drugog trougla; dakle, /\ MOL = /\ NOK, i stoga
/ LMO = / kno but / LMO je direktan, dakle, i / KNO je također direktan. Dakle, prave AB i CD su okomite na istu pravu MN, pa su paralelne (§ 33), što je trebalo dokazati.

Bilješka. Presek pravih MO i CD može se utvrditi rotacijom trougla MOL oko tačke O za 180°.

2. Drugi znak paralelizma.

Hajde da vidimo da li su prave AB i CD paralelne ako su, na preseku njihove treće prave EF, odgovarajući uglovi jednaki.

Neka su neki odgovarajući uglovi jednaki, na primjer / 3 = / 2 (razv. 190);
/ 3 = / 1, pošto su uglovi vertikalni; znači, / 2 će biti jednako / 1. Ali uglovi 2 i 1 su unutrašnji poprečni uglovi, a već znamo da ako su na preseku dve prave za trećinu unutrašnji poprečno ležeći uglovi jednaki, onda su ove prave paralelne. Dakle, AB || CD.

Ako su u presjeku dvije prave trećeg odgovarajući uglovi jednaki, tada su ove dvije prave paralelne.

Na ovoj osobini se zasniva konstrukcija paralelnih linija uz pomoć ravnala i trougla za crtanje. To se radi na sljedeći način.

Pričvrstimo trougao na lenjir kao što je prikazano na crtežu 191. Trougao ćemo pomeriti tako da jedna njegova strana klizi duž lenjira, a duž bilo koje druge strane trougla povući nekoliko pravih linija. Ove linije će biti paralelne.

3. Treći znak paralelizma.

Znajmo da je na presjeku dviju pravih AB i CD trećom pravom zbir svih unutrašnjih jednostranih uglova jednak 2 d(ili 180°). Da li će u ovom slučaju prave AB i CD biti paralelne (Sl. 192).

Neka bude / 1 i / 2 unutrašnja jednostrana ugla i zbir do 2 d.
Ali / 3 + / 2 = 2d kao susedni uglovi. dakle, / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

Odavde / 1 = / 3, a ovi uglovi su iznutra poprečno postavljeni. Dakle, AB || CD.

Ako je na presjeku dvije prave trećinom, zbir unutrašnjih jednostranih uglova jednak je 2 d, tada su dvije prave paralelne.

Vježba.

Dokaži da su prave paralelne:
a) ako su spoljašnji poprečni uglovi jednaki (Sl. 193);
b) ako je zbir vanjskih jednostranih uglova 2 d(đavo 194).