Dom » Sistem grijanja » Glavni presjek krnjeg konusa je. konus (geometrijska figura)

Glavni presjek krnjeg konusa je. konus (geometrijska figura)

i ravninom paralelnom sa bazom ( pirinač. ). Zapremina U. do. je jednaka , gdje r 1 i r 2 – osnovni radijusi, h- visina.

Velika sovjetska enciklopedija. - M.: Sovjetska enciklopedija. 1969-1978 .

Pogledajte šta je "krnji konus" u drugim rječnicima:

Geometrijsko tijelo odsječeno od konusa ravninom koja je paralelna osnovici (sl.). Zapremina krnjeg konusa je * * * KRNJI KONUS KRNJI KONUS, geometrijsko tijelo odsječeno od konusa ravninom koja je paralelna osnovici. Volumen… … enciklopedijski rječnik

frustum- — Teme Industrija nafte i gasa EN krnji konus… Priručnik tehničkog prevodioca

skraćeno, skraćeno, skraćeno; skraćeno, skraćeno, skraćeno. 1. uklj. patnja prošlost temp. iz okrnjiti (knjiga). 2. Onaj kod kojeg je gornji dio odsječen ravninom koja je paralelna osnovici (oko konusa, piramide; mat.). Frustum. Krnja piramida... Objašnjavajući Ušakovljev rječnik

skraćeno- oh, oh .; math. Onaj u kojem je gornji dio odsječen ravninom koja je paralelna s bazom. Frustum. Vau piramida... Rječnik mnogih izraza

SKRAĆENO, oh, oh. U matematici: takav, kod kojeg je gornji dio odvojen, odsječen ravninom paralelnom s bazom. W. cone. Krnja piramida. Objašnjavajući Ožegovov rječnik. S.I. Ozhegov, N.Yu. Shvedova. 1949 1992 ... Objašnjavajući Ožegovov rječnik

Aja, oh. 1. uklj. patnja prošlost od truncate. 2. u vrijednosti adj. mat. Onaj u kojem je gornji dio odsječen ravninom koja je paralelna s bazom. Frustum. Krnja piramida. 3. u vrijednosti adj. gram, lit. Sa skraćenjem (u 2 vrijednosti), što predstavlja ... Mali akademski rječnik

Pravi kružni konus. Direktno i ... Wikipedia

- (latinski conus, od grč. konos) konusna površina je skup linija (generatora) prostora koje povezuju sve tačke određene linije (vodiče) sa datom tačkom (vrhom) prostora. Najjednostavniji K. je okrugli, ili ravno kružni, usmjeren na ... Veliki enciklopedijski politehnički rječnik

- (lat. conus, od grčkog konos) (matematika), 1) K., ili konusna površina, geometrijski lokus linija (generatora) prostora koji povezuje sve tačke određene prave (vodiče) sa datom tačkom (vrhom) ) prostora ... ... Velika sovjetska enciklopedija

Svijet oko nas je dinamičan i raznolik i ne može se svaki predmet jednostavno izmjeriti lenjirom. Za takav prijenos koriste se posebne tehnike, poput triangulacije. Potreba za sastavljanjem složenih pregleda, po pravilu, ... ... Wikipedia

Dobija se udruživanjem svih zraka koje izlaze iz jedne tačke ( vrhovi konus) i prolazi kroz ravnu površinu. Ponekad se konus naziva dijelom takvog tijela, koji se dobija spajanjem svih segmenata koji povezuju vrh i tačke ravne površine (potonje se u ovom slučaju naziva osnovučunjeva, a konus se zove zasnovano na ovoj osnovi). Ovaj slučaj će biti razmotren u nastavku, osim ako nije drugačije navedeno. Ako je osnova konusa poligon, konus postaje piramida.

"== Povezane definicije ==

Segment linije koji povezuje vrh i granicu baze naziva se generatrisa konusa.
Unija generatora konusa se zove generatrix(ili strana) konusna površina. Generator konusa je konusna površina.
Segment koji je spušten okomito sa vrha na ravan baze (a takođe i dužina takvog segmenta) naziva se visina konusa.
Ako osnova stošca ima centar simetrije (na primjer, to je krug ili elipsa) i ortogonalna projekcija vrha stošca na ravan baze poklapa se s tim centrom, tada se konus naziva direktno. Prava koja povezuje vrh i centar baze naziva se konus osi.
koso (sklon) konus - konus u kojem se ortogonalna projekcija temena na bazu ne poklapa sa njegovim centrom simetrije.
kružni konus Konus čija je osnova kružnica.
Pravi kružni konus(često se naziva jednostavno konusom) može se dobiti rotiranjem pravokutnog trokuta oko linije koja sadrži krak (ova linija predstavlja os konusa).
Konus zasnovan na elipsi, paraboli ili hiperboli naziva se respektivno eliptični, parabolic i hiperbolički konus(poslednja dva imaju beskonačan volumen).
Dio konusa koji leži između osnove i ravni paralelne bazi i između vrha i baze naziva se skraćeni konus.

Svojstva

Ako je površina baze konačna, tada je i volumen konusa konačan i jednak je jednoj trećini proizvoda visine i površine baze. Dakle, svi čunjevi koji počivaju na datoj osnovi i imaju vrh koji se nalazi na datoj ravni paralelnoj bazi imaju isti volumen, jer su im visine jednake.
Težište bilo kojeg konusa konačnog volumena nalazi se na četvrtini visine od baze.
Čvrsti ugao na vrhu pravog kružnog konusa jednak je

gdje - ugao otvaranja konus (to jest, dvostruki ugao između ose konusa i bilo koje prave linije na njegovoj bočnoj površini).

Bočna površina takvog konusa jednaka je

gdje je polumjer baze, dužina generatrise.

Zapremina kružnog konusa je

Presjek ravni s pravim kružnim konusom je jedan od konusnih presjeka (u nedegeneriranim slučajevima elipsa, parabola ili hiperbola, ovisno o položaju sekantne ravni).

Generalizacije

U algebarskoj geometriji kornet je proizvoljan podskup vektorskog prostora nad poljem za koji, za bilo koji

vidi takođe

konus (topologija)

Wikimedia fondacija. 2010 .

Pogledajte šta je "Direktni kružni konus" u drugim rječnicima:

Pravi kružni konus. Direktno i ... Wikipedia

Desni kružni konus Konus je tijelo dobiveno udruživanjem svih zraka koje izlaze iz jedne tačke (vrh kupe) i prolaze kroz ravnu površinu. Ponekad se konus naziva dijelom takvog tijela, dobivenog kombinacijom svih segmenata koji povezuju ... Wikipedia

Kornet- Pravi kružni konus. KONUS (od latinskog conus, od grčkog konus konus), geometrijsko tijelo omeđeno okruglom konusnom površinom i ravninom koja ne prolazi kroz vrh konične površine. Ako vrh leži na ... ... Ilustrovani enciklopedijski rječnik

- (latinski conus; grčki konos). Tijelo omeđeno površinom nastalom od preokreta prave linije, čiji je jedan kraj fiksiran (vrh konusa), a drugi se kreće duž obima date krive; izgleda kao vekna šećera. Rječnik stranih riječi, ... ... Rečnik stranih reči ruskog jezika

KORNET- (1) u elementarnoj geometriji, geometrijsko tijelo ograničeno površinom formiranom kretanjem prave linije (konus generatrix) kroz fiksnu tačku (vrh konusa) duž vodilice (osnova konusa). Formirana površina zatvorena između ... Velika politehnička enciklopedija

- (desno kružno) geometrijsko tijelo formirano rotacijom pravokutnog trougla u blizini jedne od kateta. Hipotenuza se naziva generatriksa; fiksna visina nogu; krug opisan rotirajućom osnovom noge. Bočna površina K. ... ... Enciklopedija Brockhausa i Efrona

- (desno kružno K.) geometrijsko tijelo nastalo rotacijom pravokutnog trougla oko jedne od kateta. Hipotenuza se naziva generatriksa; fiksna visina nogu; krug opisan rotirajućom osnovom noge. Bočna površina…

- (desno kružno) geometrijsko tijelo formirano rotacijom pravokutnog trougla oko jedne od kateta. Hipotenuza se naziva generatriksa; fiksna visina nogu; krug opisan rotirajućom osnovom noge. Bočna površina K ... Enciklopedijski rječnik F.A. Brockhaus i I.A. Efron

Rice. 1. Predmeti iz života koji imaju oblik krnjeg konusa

Šta mislite odakle dolaze novi oblici u geometriji? Sve je vrlo jednostavno: osoba u životu naiđe na slične predmete i smisli kako da ih nazove. Uzmimo u obzir postolje na kojem sjede lavovi u cirkusu, komad šargarepe, koji se dobije kada odsiječemo samo dio, aktivni vulkan i, na primjer, svjetlo baterijske lampe (vidi sliku 1).

Rice. 2. Geometrijski oblici

Vidimo da su sve ove figure sličnog oblika - i odozdo i odozgo su ograničene krugovima, ali se sužavaju prema gore (vidi sliku 2).

Rice. 3. Odsijecanje vrha konusa

Izgleda kao konus. Samo nedostaje vrh. Zamislimo mentalno da uzmemo konus i jednim zamahom oštrog mača odsiječemo mu gornji dio (vidi sliku 3).

Rice. 4. Krnji konus

Ispada samo naša figura, zove se skraćeni konus (vidi sliku 4).

Rice. 5. Presjek paralelan s osnovom konusa

Neka je dat konus. Nacrtajmo ravan paralelnu ravni osnove ovog konusa i koja seče konus (vidi sliku 5).

To će podijeliti konus na dva tijela: jedno od njih je manji konus, a drugo se zove krnji konus (vidi sliku 6).

Rice. 6. Dobijena tijela sa paralelnim presjekom

Dakle, skraćeni konus je dio konusa zatvoren između njegove baze i ravnine paralelne bazi. Kao iu slučaju konusa, skraćeni konus može imati krug u osnovi - u ovom slučaju se naziva kružnim. Ako je prvobitni konus bio ravan, tada se skraćeni konus naziva ravan. Kao iu slučaju čunjeva, razmatrat ćemo samo ravne kružne krnje čunjeve, osim ako nije posebno naznačeno da je riječ o indirektnom krnjem konusu ili u njegovim osnovama nema kružnica.

Rice. 7. Rotacija pravokutnog trapeza

Naša globalna tema su tijela revolucije. Skraćeni konus nije izuzetak! Podsjetimo se da smo da bismo dobili konus, razmatrali pravokutni trokut i rotirali ga oko kraka? Ako se rezultirajući konus preseče ravninom paralelnom s bazom, tada će od trokuta ostati pravokutni trapez. Njegova rotacija oko manje bočne strane će nam dati skraćeni konus. Napominjemo još jednom da, naravno, govorimo samo o desnom kružnom konusu (vidi sliku 7).

Rice. 8. Osnove krnjeg konusa

Hajde da damo neke napomene. Osnova punog konusa i kružnica dobijena u presjeku stošca ravninom nazivaju se osnovama krnjeg stošca (donja i gornja) (vidi sliku 8).

Rice. 9. Generatori krnjeg konusa

Segmenti generatora potpunog konusa, zatvoreni između osnova krnjeg konusa, nazivaju se generatorima krnjeg konusa. Pošto su svi generatori prvobitnog konusa jednaki i svi generatori krnjeg stošca jednaki, onda su i generatori krnjeg stošca jednaki (nemojte brkati skraćeni i skraćeni!). Otuda slijedi jednakokraki trapez aksijalnog presjeka (vidi sl. 9).

Segment ose rotacije zatvoren unutar krnjeg konusa naziva se osa krnjeg konusa. Ovaj segment, naravno, povezuje centre svojih baza (vidi sliku 10).

Rice. 10. Osa krnjeg konusa

Visina skraćenog konusa je okomita povučena iz tačke jedne od osnova na drugu osnovu. Najčešće se njegova os smatra visinom skraćenog konusa.

Rice. 11. Aksijalni presjek krnjeg konusa

Aksijalni presjek krnjeg konusa je presjek koji prolazi kroz njegovu osu. Izgleda kao trapez, malo kasnije ćemo dokazati njegovu jednakokraku (vidi sliku 11).

Rice. 12. Konus sa uvedenom notacijom

Pronađite površinu bočne površine skraćenog konusa. Neka osnovice krnjeg konusa imaju poluprečnike i , a generator je jednak (vidi sliku 12).

Rice. 13. Zapis generatrise krnjeg konusa

Nađimo površinu bočne površine krnjeg konusa kao razliku između površina bočnih površina prvobitnog i skraćenog konusa. Da bismo to učinili, označavamo generatricom skraćenog konusa (vidi sliku 13).

Zatim željeni.

Rice. 14. Slični trouglovi

Ostaje da se izrazi

Imajte na umu da iz sličnosti trouglova , odakle (vidi sliku 14).

Moglo bi se izraziti dijeljenjem s razlikom polumjera, ali nam to ne treba, jer se proizvod pojavljuje u željenom izrazu. Zamjena umjesto , konačno imamo: .

Sada nije teško dobiti formulu za ukupnu površinu. Da biste to učinili, samo dodajte područja dva osnovna kruga: .

Rice. 15. Ilustracija za problem

Neka se skraćeni konus dobije rotacijom pravougaonog trapeza oko njegove visine. Srednja linija trapeza je jednaka, a velika bočna strana je (vidi sl. 15). Pronađite površinu bočne površine rezultirajućeg skraćenog konusa.

Odluka

Iz formule to znamo .

Generator konusa će biti velika strana originalnog trapeza, odnosno poluprečnici stošca su osnove trapeza. Ne možemo ih pronaći. Ali ne treba nam: potreban je samo njihov zbir, a zbir osnova trapeza je dvostruko veći od njegove srednje linije, odnosno jednak je. Onda .

Imajte na umu da smo, kada smo govorili o konusu, povukli paralele između njega i piramide - formule su bile slične. I ovdje je isto, jer je krnji stožac vrlo sličan krnjoj piramidi, pa su formule za površine bočne i pune površine krnjeg stošca i piramide (a uskoro će postojati formule za zapreminu) slične .

Rice. 1. Ilustracija za problem

Polumjeri baza skraćenog konusa jednaki su i , a generatrisa je jednaka . Pronađite visinu skraćenog konusa i površinu njegovog aksijalnog presjeka (vidi sliku 1).

Skraćeni konus se dobija ako se manji konus odsječe od konusa ravninom koja je paralelna osnovici (sl. 8.10). Skraćeni konus ima dvije osnove: "donju" - osnovu prvobitnog stošca - i "gornju" - osnovu odsječenog konusa. Prema teoremi o presjeku stošca, osnovice krnjeg stošca su slične .

Visina skraćenog konusa je okomica koja je spuštena iz tačke jedne baze na ravan druge. Sve takve okomite su jednake (vidjeti odjeljak 3.5). Visina se naziva i njihova dužina, odnosno rastojanje između ravnina baza.

Skraćeni konus obrtanja se dobija iz konusa obrtanja (slika 8.11). Stoga su njegove osnove i svi njegovi dijelovi paralelni s njima kružnice sa središtima na jednoj pravoj liniji - na osi. Skraćeni stožac se dobija rotacijom pravougaonog trapeza oko njegove bočne strane okomito na osnovice, ili rotacijom

jednakokraki trapez oko ose simetrije (slika 8.12).

Bočna površina krnjeg stošca okretanja

Ovo je dio bočne površine stošca okretanja koji mu pripada, iz kojeg je izveden. Površina krnjeg stošca okretanja (ili njegova puna površina) sastoji se od njegove baze i bočne površine.

8.5. Slike stožca revolucije i skraćenih stožaca revolucije.

Ovako se crta pravi kružni konus. Prvo se nacrta elipsa koja predstavlja obim baze (slika 8.13). Zatim pronađu centar baze - tačku O i okomito nacrtaju segment RO, koji prikazuje visinu konusa. Iz tačke P povlače se tangentne (referentne) prave na elipsu (praktično se to radi okom, primjenom ravnala) i od tačke P do dodirnih tačaka A biraju se segmenti RA i PB ovih pravih. B. Imajte na umu da segment AB nije prečnik osnovnog konusa, a trougao ARV nije aksijalni presek konusa. Aksijalni presjek konusa je trougao APC: segment AC prolazi kroz tačku O. Nevidljive linije su povučene potezima; segment OP se često ne crta, već se samo mentalno ocrtava kako bi se prikazao vrh konusa P direktno iznad centra baze - tačke O.

Prikazujući krnji stožac okretanja, zgodno je prvo nacrtati konus iz kojeg se dobija krnji stožac (slika 8.14).

8.6. Konusni presjeci. Već smo rekli da ravan siječe bočnu površinu okretnog cilindra duž elipse (Sek. 6.4). Također, presjek bočne površine stošca okretanja ravninom koja ne siječe njegovu osnovu je elipsa (slika 8.15). Stoga se elipsa naziva konusni presjek.

Konusni presjeci uključuju i druge dobro poznate krive - hiperbole i parabole. Razmotrimo neograničeni konus koji se dobija proširenjem bočne površine stošca obrtanja (slika 8.16). Presijecimo ga ravninom a koja ne prolazi kroz vrh. Ako a siječe sve generatore konusa, tada u presjeku, kao što je već spomenuto, dobijamo elipsu (slika 8.15).

Rotacijom OS ravni moguće je osigurati da ona siječe sve generatore konusa K, osim jednog (sa kojim je OS paralelan). Tada u presjeku dobijamo parabolu (slika 8.17). Konačno, dalje rotirajući OS ravan, prenosimo je u takav položaj da a, prelazeći dio generatora stošca K, ne siječe već beskonačan broj svojih drugih generatora i paralelan je sa dva od njih (slika 8.18 ). Tada u presjeku konusa K sa ravninom a dobijamo krivu koja se zove hiperbola (tačnije, jedna od njenih "grana"). Dakle, hiperbola, koja je graf funkcije, je poseban slučaj hiperbole - jednakokračna hiperbola, kao što je krug poseban slučaj elipse.

Bilo koja hiperbola se može dobiti iz jednakokraka projekcijom, kao što se elipsa dobija paralelnom projekcijom kružnice.

Da bi se dobile obje grane hiperbole, potrebno je uzeti presjek konusa koji ima dvije "šupljine", to jest, konus formiran ne zrakama, već pravim linijama koje sadrže generatrikse bočne površine stošca okretanja (sl. 8.19).

Konične presjeke proučavali su starogrčki geometri, a njihova teorija je bila jedan od vrhunaca antičke geometrije. Najpotpunije proučavanje konusnih presjeka u antici izvršio je Apolonije iz Perge (3. vijek prije nove ere).

Postoji niz važnih svojstava koja kombinuju elipse, hiperbole i parabole u jednu klasu. Na primjer, iscrpljuju "nedegenerirane", tj. nesvodljive na tačku, pravu liniju ili par pravih linija, krive koje su definirane na ravni u kartezijanskim koordinatama jednadžbama oblika

Konusni presjeci igraju važnu ulogu u prirodi: tijela se kreću po eliptičnim, paraboličnim i hiperboličnim orbitama u gravitacionom polju (sjetite se Keplerovih zakona). Izvanredna svojstva konusnih presjeka često se koriste u nauci i tehnologiji, na primjer, u proizvodnji nekih optičkih instrumenata ili reflektora (površina zrcala u reflektoru dobiva se rotacijom luka parabole oko ose parabole ). Konusni presjeci se mogu uočiti kao granice sjene od okruglih abažura (sl. 8.20).

Konus (od grčkog "konos")- Šišarka. Konus je poznat ljudima od davnina. Godine 1906. otkrivena je knjiga "O metodi", koju je napisao Arhimed (287-212 pne), u kojoj je dato rešenje problema zapremine zajedničkog dela cilindara koji se seku. Arhimed kaže da ovo otkriće pripada starogrčkom filozofu Demokritu (470-380 pne), koji je, koristeći ovaj princip, dobio formule za izračunavanje zapremine piramide i konusa.

Konus (kružni konus) - tijelo koje se sastoji od kružnice - osnove stošca, tačke koja ne pripada ravni ove kružnice - vrha stošca i svih segmenata koji povezuju vrh konusa i baze kružne tačke. Segmenti koji spajaju vrh konusa sa tačkama kružnice baze nazivaju se generatori konusa. Površina konusa se sastoji od baze i bočne površine.

Konus se naziva pravim ako je prava koja povezuje vrh konusa sa središtem osnove okomita na ravan osnove. Pravi kružni konus se može smatrati tijelom koje se dobije rotacijom pravokutnog trokuta oko svoje noge kao ose.

Visina stošca je okomita povučena od njegovog vrha do ravni njegove osnove. Za pravi konus, osnova visine poklapa se sa centrom baze. Osa pravog konusa je prava linija koja sadrži njegovu visinu.

Presjek konusa ravninom koja prolazi kroz tvornicu stošca i okomita na aksijalni presjek povučen kroz ovu generatricu naziva se tangentna ravan stošca.

Ravan okomita na os konusa siječe konus u kružnici, a bočna površina u kružnici sa središtem na osi konusa.

Ravan okomita na osu konusa odsijeca manji konus od njega. Ostatak se naziva skraćeni konus.

Zapremina konusa jednaka je jednoj trećini proizvoda visine i površine baze. Dakle, svi stošci koji počivaju na datoj osnovi i imaju vrh koji se nalazi na datoj ravni paralelnoj bazi imaju isti volumen, jer su im visine jednake.

Bočna površina konusa može se pronaći pomoću formule:

S strana \u003d πRl,

Ukupna površina stošca nalazi se po formuli:

S con \u003d πRl + πR 2,

gdje je R polumjer baze, l je dužina generatrise.

Zapremina kružnog konusa je

V = 1/3 πR 2 H,

gdje je R polumjer osnove, H je visina konusa

Površina bočne površine krnjeg stošca može se naći po formuli: