www.site omogućava vam da pronađete. Sajt vrši kalkulaciju. Za nekoliko sekundi server će dati ispravno rješenje. Karakteristična jednačina za matricuće biti algebarski izraz koji se nalazi po pravilu za izračunavanje determinante matrice matrice, dok će na glavnoj dijagonali biti razlike u vrijednostima dijagonalnih elemenata i varijable. Prilikom izračunavanja karakteristična jednačina za matricu online, svaki element matriceće se pomnožiti sa odgovarajućim drugim elementima matrice. Pronađi u načinu rada online moguće samo za kvadrat matrice. Pronađi operaciju karakteristična jednačina za matricu online svodi se na izračunavanje algebarskog zbroja proizvoda elemenata matrice kao rezultat nalaženja determinante matrice, samo u svrhu utvrđivanja karakteristična jednačina za matricu online. Ova operacija zauzima posebno mjesto u teoriji matrice, omogućava vam da pronađete svojstvene vrijednosti i vektore koristeći korijene. Pronalaženje zadatka karakteristična jednačina za matricu online je množenje elemenata matrice uz naknadno zbrajanje ovih proizvoda prema određenom pravilu. www.site nalazi karakteristična jednačina za matricu datu dimenziju u modu online. proračun karakteristična jednačina za matricu online za datu dimenziju, ovo je pronalaženje polinoma sa numeričkim ili simboličkim koeficijentima koji se nalaze po pravilu za izračunavanje determinante matrice- kao zbir proizvoda odgovarajućih elemenata matrice, samo u svrhu utvrđivanja karakteristična jednačina za matricu online. Pronalaženje polinoma u odnosu na varijablu za kvadrat matrice, kao definicija karakteristična jednačina za matricu, uobičajeno u teoriji matrice. Vrijednost korijena polinoma karakteristična jednačina za matricu online koristi se za definiranje svojstvenih vektora i svojstvenih vrijednosti za matrice. Međutim, ako je determinanta matrice onda će biti nula matrična karakteristična jednačinaće i dalje postojati, za razliku od obrnutog matrice. Da bi izračunali karakteristična jednačina za matricu ili tražite nekoliko odjednom matrice karakteristične jednačine, potrebno je uložiti puno vremena i truda, dok će naš server pronaći karakteristična jednačina za online matricu. U ovom slučaju, odgovor pronalaženjem karakteristična jednačina za matricu onlineće biti ispravan i sa dovoljnom tačnošću, čak i ako su brojevi prilikom pronalaženja karakteristična jednačina za matricu online biće iracionalno. Online www.site unosi znakova su dozvoljeni u elementima matrice, tj karakteristična jednačina za online matricu može se predstaviti u opštem simboličkom obliku prilikom izračunavanja matrica karakterističnih jednačina na mreži. Korisno je provjeriti dobijeni odgovor prilikom rješavanja zadatka nalaženja karakteristična jednačina za matricu online korištenjem stranice www.site. Prilikom izvođenja operacije izračunavanja polinoma - karakteristična jednačina matrice, potrebno je biti pažljiv i izuzetno koncentrisan u rješavanju ovog problema. Zauzvrat, naša stranica će vam pomoći da provjerite svoju odluku o ovoj temi matrica karakterističnih jednačina na mreži. Ako nemate vremena za duge provjere riješenih problema, onda www.siteće svakako biti zgodan alat za provjeru prilikom pronalaženja i izračunavanja karakteristična jednačina za matricu online.

Kako ubaciti matematičke formule na sajt?

Ako ikada trebate dodati jednu ili dvije matematičke formule na web stranicu, najlakši način da to učinite je kako je opisano u članku: matematičke formule se lako ubacuju na web stranicu u obliku slika koje Wolfram Alpha automatski generiše. Osim jednostavnosti, ova univerzalna metoda pomoći će poboljšanju vidljivosti stranice u pretraživačima. Radi već dugo (i mislim da će raditi zauvijek), ali je moralno zastario.

Ako stalno koristite matematičke formule na svom sajtu, onda preporučujem da koristite MathJax, posebnu JavaScript biblioteku koja prikazuje matematičke zapise u web pretraživačima koristeći MathML, LaTeX ili ASCIIMathML oznake.

Postoje dva načina da počnete koristiti MathJax: (1) pomoću jednostavnog koda možete brzo povezati MathJax skriptu na svoju web lokaciju, koja će se automatski učitati sa udaljenog servera u pravo vrijeme (lista servera); (2) prenesite MathJax skriptu sa udaljenog servera na vaš server i povežite ga sa svim stranicama vašeg sajta. Druga metoda je složenija i dugotrajnija i omogućit će vam da ubrzate učitavanje stranica vaše stranice, a ako roditeljski MathJax server iz nekog razloga postane privremeno nedostupan, to ni na koji način neće utjecati na vašu vlastitu stranicu. Unatoč ovim prednostima, odabrao sam prvi metod, jer je jednostavniji, brži i ne zahtijeva tehničke vještine. Slijedite moj primjer i u roku od 5 minuta moći ćete koristiti sve mogućnosti MathJaxa na svojoj web stranici.

Možete povezati skriptu MathJax biblioteke sa udaljenog servera koristeći dvije opcije koda preuzete sa glavne MathJax web stranice ili sa stranice dokumentacije:

Jednu od ovih opcija koda potrebno je kopirati i zalijepiti u kod vaše web stranice, po mogućnosti između oznaka i ili odmah nakon oznake . Prema prvoj opciji, MathJax se brže učitava i manje usporava stranicu. Ali druga opcija automatski prati i učitava najnovije verzije MathJaxa. Ako unesete prvi kod, morat ćete ga povremeno ažurirati. Ako zalijepite drugi kod, stranice će se sporije učitavati, ali nećete morati stalno pratiti ažuriranja MathJaxa.

Najlakši način za povezivanje MathJax-a je u Bloggeru ili WordPress-u: u kontrolnu ploču stranice dodajte widget dizajniran za umetanje JavaScript koda treće strane, kopirajte prvu ili drugu verziju koda za učitavanje prikazanu iznad u njega i postavite widget bliže na početak šablona (usput, to uopće nije potrebno, pošto se MathJax skripta učitava asinhrono). To je sve. Sada naučite MathML, LaTeX i ASCIIMathML sintaksu označavanja i spremni ste da ugradite matematičke formule u svoje web stranice.

Svaki fraktal se gradi prema određenom pravilu, koje se dosljedno primjenjuje neograničen broj puta. Svako takvo vrijeme naziva se iteracija.

Iterativni algoritam za konstruisanje Mengerovog sunđera je prilično jednostavan: originalna kocka sa stranom 1 podeljena je ravninama paralelnim sa njenim plohama na 27 jednakih kocki. Iz nje se uklanjaju jedna središnja kocka i 6 susjednih kocki duž lica. Ispada set koji se sastoji od 20 preostalih manjih kockica. Učinivši isto sa svakom od ovih kockica, dobijamo set koji se sastoji od 400 manjih kockica. Nastavljajući ovaj proces u nedogled, dobijamo Menger sunđer.

". U prvom dijelu su navedene odredbe koje su minimalno neophodne za razumijevanje kemometrije, a drugi dio sadrži činjenice koje morate znati za dublje razumijevanje metoda multivarijantne analize. Prezentacija je ilustrovana primjerima napravljenim u Excel radnoj svesci Matrix.xls koji prati ovaj dokument.

Veze na primjere se postavljaju u tekst kao Excel objekti. Ovi primjeri su apstraktne prirode i ni na koji način nisu vezani za probleme analitičke hemije. O pravim primjerima upotrebe matrične algebre u kemometriji govori se u drugim tekstovima posvećenim različitim kemometrijskim primjenama.

Većina mjerenja u analitičkoj hemiji nisu direktna, ali indirektno. To znači da se u eksperimentu, umjesto vrijednosti željenog analita C (koncentracija), dobije druga vrijednost x(signal) povezan sa, ali nije jednak C, tj. x(C) ≠ C. Po pravilu, vrsta zavisnosti x(C) nije poznato, ali na sreću u analitičkoj hemiji većina mjerenja je proporcionalna. To znači da kao koncentracija C in a puta, signal X će se povećati za isti iznos, tj. x(a C) = sjekira(C). Osim toga, signali su i aditivni, tako da će signal iz uzorka koji sadrži dvije supstance sa koncentracijama C 1 i C 2 biti jednak zbiru signala svake komponente, tj. x(C1 + C2) = x(C1)+ x(C2). Proporcionalnost i aditivnost zajedno daju linearnost. Može se navesti mnogo primjera da se ilustruje princip linearnosti, ali dovoljno je spomenuti dva najupečatljivija primjera - hromatografiju i spektroskopiju. Druga karakteristika inherentna eksperimentu u analitičkoj hemiji je višekanalni. Moderna analitička oprema istovremeno mjeri signale za mnoge kanale. Na primjer, intenzitet propuštanja svjetlosti se mjeri za nekoliko talasnih dužina odjednom, tj. domet. Stoga, u eksperimentu imamo posla sa različitim signalima x 1 , x 2 ,...., x n karakterizira skup koncentracija C 1 ,C 2 , ..., C m supstanci prisutnih u sistemu koji se proučava.

Rice. 1 Spectra

Dakle, analitički eksperiment karakteriše linearnost i višedimenzionalnost. Stoga je zgodno eksperimentalne podatke posmatrati kao vektore i matrice i manipulirati njima pomoću aparata matrične algebre. Plodnost ovog pristupa ilustruje primjer prikazan na , koji prikazuje tri spektra snimljena za 200 valnih dužina od 4000 do 4796 cm–1. Prvi ( x 1) i drugi ( x 2) spektri su dobijeni za standardne uzorke u kojima su poznate koncentracije dvije supstance A i B: u prvom uzorku [A] = 0,5, [B] = 0,1, au drugom uzorku [A] = 0,2, [ B] = 0,6. Šta reći o novom, nepoznatom uzorku, čiji je spektar naznačen x 3 ?

Razmotrimo tri eksperimentalna spektra x 1 , x 2 i x 3 kao tri vektora dimenzije 200. Koristeći linearnu algebru, to se lako može pokazati x 3 = 0.1 x 1 +0.3 x 2 , pa treći uzorak očigledno sadrži samo supstance A i B u koncentracijama [A] = 0,5×0,1 + 0,2×0,3 = 0,11 i [B] = 0,1×0,1 + 0,6×0,3 = 0,19.

1. Osnovne informacije

1.1 Matrice

Matrix nazvana, na primjer, pravokutna tablica brojeva

Rice. 2 Matrix

Matrice su označene velikim podebljanim slovima ( A), a njihovi elementi - odgovarajućim malim slovima sa indeksima, tj. a ij . Prvi indeks numerira redove, a drugi broj stupaca. U kemometriji je uobičajeno da se maksimalna vrijednost indeksa označi istim slovom kao i sam indeks, ali velikim slovima. Dakle, matrica A može se napisati i kao ( a ij , i = 1,..., I; j = 1,..., J). Za primjer matrice I = 4, J= 3 i a 23 = −7.5.

Par brojeva I i J naziva se dimenzija matrice i označava se kao I× J. Primjer matrice u kemometriji je skup spektra dobivenih za I uzorci na J talasne dužine.

1.2. Najjednostavnije operacije sa matricama

Matrice mogu pomnožiti brojevima. U ovom slučaju, svaki element se množi ovim brojem. Na primjer -

Rice. 3 Množenje matrice brojem

Dvije matrice iste dimenzije mogu biti elementarne fold i oduzimati. Na primjer,

Rice. 4 Sabiranje matrice

Kao rezultat množenja brojem i sabiranja, dobiva se matrica iste dimenzije.

Nulta matrica je matrica koja se sastoji od nula. Određeno je O. Očigledno je da A+O = A, A−A = O i 0 A = O.

Matrica može transponovati. Tokom ove operacije, matrica se okreće, tj. redovi i kolone se zamjenjuju. Transpozicija je označena crticom, A" ili indeks A t . Dakle, ako A = {a ij , i = 1,..., I; j = 1,...,J), onda A t = ( a ji , j = 1,...,J; i = 1,..., I). na primjer

Rice. 5 Matrična transpozicija

Očigledno je da ( A t) t = A, (A+B) t = A t + B t .

1.3. Množenje matrice

Matrice mogu umnožiti, ali samo ako imaju odgovarajuće dimenzije. Zašto je to tako, biće jasno iz definicije. Matrični proizvod A, dimenzija I× K, i matrice B, dimenzija K× J, naziva se matrica C, dimenzija I× J, čiji su elementi brojevi

Dakle, za proizvod AB potrebno je da broj kolona u lijevoj matrici A bio jednak broju redova u desnoj matrici B. Primjer matričnog proizvoda -

Slika 6 Proizvod matrica

Pravilo množenja matrice može se formulirati na sljedeći način. Za pronalaženje elementa matrice C stoji na raskrsnici i-ti red i j-ta kolona ( c ij) mora se pomnožiti element po element i-ti red prve matrice A na j-ti stupac druge matrice B i zbrojite sve rezultate. Dakle, u prikazanom primjeru, element iz trećeg reda i drugog stupca dobija se kao zbir proizvoda trećeg reda po elementima A i druga kolona B

Slika 7 Element proizvoda matrica

Proizvod matrica zavisi od redosleda, tj. AB ≠ BA, barem iz dimenzionalnih razloga. Kaže se da je nekomutativno. Međutim, proizvod matrica je asocijativan. To znači da ABC = (AB)C = A(BC). Štaviše, ona je i distributivna, tj. A(B+C) = AB+AC. Očigledno je da AO = O.

1.4. Kvadratne matrice

Ako je broj stupaca matrice jednak broju njenih redova ( I = J=N), tada se takva matrica naziva kvadratna. U ovom dijelu ćemo razmotriti samo takve matrice. Među tim matricama mogu se izdvojiti matrice sa posebnim svojstvima.

Samica matrica (označeno I i ponekad E) je matrica u kojoj su svi elementi jednaki nuli, osim dijagonalnih, koji su jednaki 1, tj.

Ocigledno AI = IA = A.

Matrica se zove dijagonala, ako su svi njegovi elementi, osim dijagonalnih ( a ii) jednaki su nuli. na primjer

Rice. 8 Dijagonalna matrica

Matrix A zove vrh trouglasti, ako su svi njegovi elementi koji leže ispod dijagonale jednaki nuli, tj. a ij= 0, at i>j. na primjer

Rice. 9 Gornja trokutasta matrica

Donja trokutasta matrica definirana je na sličan način.

Matrix A pozvao simetrično, ako A t = A. Drugim riječima a ij = a ji. na primjer

Rice. 10 Simetrična matrica

Matrix A pozvao ortogonalno, ako

A t A = aa t = I.

Matrica se zove normalno ako

1.5. Trag i determinanta

Praćenje kvadratna matrica A(označeno Tr( A) ili Sp( A)) je zbir njegovih dijagonalnih elemenata,

Na primjer,

Rice. 11 Trag matrice

Očigledno je da

Sp(α A) = α Sp( A) i

Sp( A+B) = Sp( A)+ Sp( B).

To se može pokazati

Sp( A) = Sp( A t), Sp( I) = N,

a takođe i to

Sp( AB) = Sp( BA).

Još jedna važna karakteristika kvadratne matrice je njena odrednica(označeno sa det( A)). Definicija determinante u općem slučaju je prilično komplicirana, pa ćemo početi s najjednostavnijom opcijom - matricom A dimenzija (2×2). Onda

Za (3×3) matricu, determinanta će biti jednaka

U slučaju matrice ( N× N) determinanta se izračunava kao zbir 1 2 3 ... N= N! pojmova, od kojih je svaki jednak

Indeksi k 1 , k 2 ,..., kN definirani su kao sve moguće uređene permutacije r brojevi u skupu (1, 2, ... , N). Izračunavanje determinante matrice je složena procedura, koja se u praksi izvodi pomoću posebnih programa. Na primjer,

Rice. 12 Matrična determinanta

Napominjemo samo očigledna svojstva:

det( I) = 1, det( A) = det( A t),

det( AB) = det( A)det( B).

1.6. Vektori

Ako matrica ima samo jedan stupac ( J= 1), onda se takav objekat naziva vektor. Tačnije, vektor kolone. na primjer

Na primjer, mogu se uzeti u obzir i matrice koje se sastoje od jednog reda

Ovaj objekt je također vektor, ali vektor reda. Prilikom analize podataka važno je razumjeti s kojim vektorima imamo posla – stupcima ili redovima. Dakle, spektar uzet za jedan uzorak može se smatrati vektorom reda. Tada skup spektralnih intenziteta na nekoj talasnoj dužini za sve uzorke treba tretirati kao vektor kolone.

Dimenzija vektora je broj njegovih elemenata.

Jasno je da se bilo koji vektor kolone može transformisati u vektor reda transpozicijom, tj.

U onim slučajevima kada oblik vektora nije posebno određen, već se jednostavno kaže vektor, onda oni označavaju vektor stupac. I ovog pravila ćemo se pridržavati. Vektor se označava malim direktnim podebljanim slovom. Nulti vektor je vektor čiji su svi elementi jednaki nuli. To je označeno 0 .

1.7. Najjednostavnije operacije s vektorima

Vektori se mogu sabirati i množiti brojevima na isti način kao i matrice. Na primjer,

Rice. 13 Operacije s vektorima

Dva vektora x i y pozvao kolinearno, ako postoji broj α takav da

1.8. Proizvodi vektora

Dva vektora iste dimenzije N može se umnožiti. Neka postoje dva vektora x = (x 1 , x 2 ,...,x N) t i y = (y 1 , y 2 ,...,y N) t . Vođeni pravilom množenja "red po stupac", od njih možemo napraviti dva proizvoda: x t y i xy t . Prvi rad

pozvao skalar ili interni. Njegov rezultat je broj. Takođe koristi notaciju ( x,y)= x t y. Na primjer,

Rice. 14 Unutrašnji (skalarni) proizvod

Drugi rad

pozvao vanjski. Njegov rezultat je matrica dimenzija ( N× N). Na primjer,

Rice. 15 Spoljašnji proizvod

Pozivaju se vektori čiji je skalarni proizvod jednak nuli ortogonalno.

1.9. Vektorska norma

Skalarni proizvod vektora sa samim sobom naziva se skalarni kvadrat. Ova vrijednost

definira kvadrat dužina vektor x. Za označavanje dužine (također se naziva norma vektor) koristi se notacija

Na primjer,

Rice. 16 Vektorska norma

Vektor jedinične dužine (|| x|| = 1) naziva se normalizovanim. Nenulti vektor ( x ≠ 0 ) može se normalizirati dijeljenjem dužine, tj. x = ||x|| (x/||x||) = ||x|| e. Evo e = x/||x|| je normalizovani vektor.

Vektori se nazivaju ortonormalni ako su svi normalizirani i po paru ortogonalni.

1.10. Ugao između vektora

Skalarni proizvod definira i injekcijaφ između dva vektora x i y

Ako su vektori ortogonalni, onda je cosφ = 0 i φ = π/2, a ako su kolinearni, onda je cosφ = 1 i φ = 0.

1.11. Vektorska reprezentacija matrice

Svaka matrica A veličina I× J može se predstaviti kao skup vektora

Ovdje svaki vektor a j je j-ta kolona i vektor reda b i je i-ti red matrice A

1.12. Linearno zavisni vektori

Vektori iste dimenzije ( N) se može sabirati i množiti brojem, baš kao i matrice. Rezultat je vektor iste dimenzije. Neka postoji nekoliko vektora iste dimenzije x 1 , x 2 ,...,x K i isti broj brojeva α α 1 , α 2 ,...,α K. Vector

y= α 1 x 1 + α 2 x 2 +...+α K x K

pozvao linearna kombinacija vektori x k .

Ako postoje takvi brojevi različiti od nule α k ≠ 0, k = 1,..., K, šta y = 0 , onda takav skup vektora x k pozvao linearno zavisna. Inače, vektori se nazivaju linearno nezavisni. Na primjer, vektori x 1 = (2, 2) t i x 2 = (−1, −1) t su linearno zavisne, jer x 1 +2x 2 = 0

1.13. Matrix rang

Razmotrite skup K vektori x 1 , x 2 ,...,x K dimenzije N. Rang ovog sistema vektora je maksimalni broj linearno nezavisnih vektora. Na primjer u setu

postoje samo dva linearno nezavisna vektora, na primjer x 1 i x 2, pa je njegov rang 2.

Očigledno, ako u skupu ima više vektora od njihove dimenzije ( K>N), onda su oni nužno linearno zavisni.

Matrix rang(označeno rangom ( A)) je rang sistema vektora od kojih se sastoji. Iako se bilo koja matrica može predstaviti na dva načina (vektori stupaca ili vektori reda), to ne utiče na vrijednost ranga, jer

1.14. inverzna matrica

kvadratna matrica A naziva se nedegenerisanim ako ima jedinstvenu obrnuto matrica A-1 , utvrđeno uslovima

aa −1 = A −1 A = I.

Inverzna matrica ne postoji za sve matrice. Neophodan i dovoljan uslov za nedegeneraciju je

det( A) ≠ 0 ili rang ( A) = N.

Inverzija matrice je složena procedura za koju postoje posebni programi. Na primjer,

Rice. 17 Inverzija matrice

Dajemo formule za najjednostavniji slučaj - matrice 2 × 2

Ako matrice A i B su onda nedegenerisani

(AB) −1 = B −1 A −1 .

1.15. Pseudo-inverzna matrica

Ako je matrica A je degenerisana i inverzna matrica ne postoji, onda se u nekim slučajevima može koristiti pseudo-inverzno matrica, koja je definisana kao takva matrica A+ to

aa + A = A.

Pseudo-inverzna matrica nije jedina i njen oblik zavisi od načina konstrukcije. Na primjer, za pravokutnu matricu možete koristiti Moore-Penroseov metod.

Ako je broj kolona manji od broja redova, onda

A + =(A t A) −1 A t

Na primjer,

Rice. 17a Inverzija pseudo matrice

Ako je broj kolona veći od broja redova, onda

A + =A t ( aa t) −1

1.16. Množenje vektora matricom

Vector x može se pomnožiti matricom A odgovarajuću dimenziju. U ovom slučaju, vektor stupca se množi na desnoj strani Sjekira, a vektorski niz je na lijevoj strani x t A. Ako je dimenzija vektora J, i dimenziju matrice I× J onda je rezultat vektor dimenzija I. Na primjer,

Rice. 18 Vektorsko-matrično množenje

Ako je matrica A- kvadratni ( I× I), zatim vektor y = Sjekira ima istu dimenziju kao x. Očigledno je da

A(α 1 x 1 + α 2 x 2) = α 1 Sjekira 1 + α 2 Sjekira 2 .

Stoga se matrice mogu smatrati linearnim transformacijama vektora. Posebno x = x, Ox = 0 .

2. Dodatne informacije

2.1. Sistemi linearnih jednačina

Neka bude A- veličina matrice I× J, a b- vektor dimenzija J. Razmotrite jednačinu

Sjekira = b

u odnosu na vektor x, dimenzije I. U suštini, ovo je sistem I linearne jednačine sa J nepoznato x 1 ,...,x J. Rješenje postoji ako i samo ako

rang ( A) = rang( B) = R,

gdje B je matrica proširene dimenzije I×( J+1) koji se sastoji od matrice A, podstavljena kolonom b, B = (A b). Inače, jednačine su nekonzistentne.

Ako a R = I = J, onda je rješenje jedinstveno

x = A −1 b.

Ako a R < I, tada postoji mnogo različitih rješenja koja se mogu izraziti u terminima linearne kombinacije J−R vektori. Sistem homogenih jednačina Sjekira = 0 sa kvadratnom matricom A (N× N) ima netrivijalno rješenje ( x ≠ 0 ) ako i samo ako det( A) = 0. Ako R= rang( A)<N, onda postoje N−R linearno nezavisna rješenja.

2.2. Bilinearni i kvadratni oblici

Ako a A je kvadratna matrica, i x i y- vektori odgovarajuće dimenzije, zatim skalarni proizvod forme x t Ay pozvao bilinearni oblik definisan matricom A. At x = y izraz x t Sjekira pozvao kvadratni formu.

2.3. Pozitivno određene matrice

kvadratna matrica A pozvao pozitivno definitivno, ako je za bilo koji vektor različit od nule x ≠ 0 ,

x t Sjekira > 0.

The negativan (x t Sjekira < 0), nenegativan (x t Sjekira≥ 0) i nepozitivna (x t Sjekira≤ 0) određene matrice.

2.4. Cholesky decomposition

Ako je simetrična matrica A je pozitivno određen, onda postoji jedinstvena trokutasta matrica U sa pozitivnim elementima, za koje

A = U t U.

Na primjer,

Rice. 19 Cholesky dekompozicija

2.5. polarna dekompozicija

Neka bude A je nedegenerirana kvadratna matrica dimenzija N× N. Zatim postoji jedinstvena polar performanse

A = SR,

gdje S je nenegativna simetrična matrica, i R je ortogonalna matrica. matrice S i R može se eksplicitno definirati:

S 2 = aa t or S = (aa t) ½ i R = S −1 A = (aa t) −½ A.

Na primjer,

Rice. 20 Polarna dekompozicija

Ako je matrica A je degenerisan, onda dekompozicija nije jedinstvena - naime: S i dalje sam, ali R može biti mnogo. Polarna dekompozicija predstavlja matricu A kao kombinacija kompresije/rastezanja S i okretanje R.

2.6. Svojstveni vektori i sopstvene vrijednosti

Neka bude A je kvadratna matrica. Vector v pozvao sopstveni vektor matrice A, ako

Av = λ v,

gdje se zove broj λ vlastita vrijednost matrice A. Dakle, transformacija koju matrica izvodi A preko vektora v, svodi se na jednostavno rastezanje ili kompresiju s faktorom λ. Svojstveni vektor je određen do množenja konstantom α ≠ 0, tj. ako v je svojstveni vektor, onda je α v je također svojstveni vektor.

2.7. Svojstvene vrijednosti

Na matrici A, dimenzija ( N× N) ne može biti veći od N sopstvene vrijednosti. Oni zadovoljavaju karakteristična jednačina

det( A − λ I) = 0,

koja je algebarska jednadžba N-th red. Konkretno, za matricu 2×2, karakteristična jednačina ima oblik

Na primjer,

Rice. 21 Sopstvene vrijednosti

Skup svojstvenih vrijednosti λ 1 ,..., λ N matrice A pozvao spektra A.

Spektar ima različita svojstva. Posebno

det( A) = λ 1×...×λ N, Sp( A) = λ 1 +...+λ N.

Vlastite vrijednosti proizvoljne matrice mogu biti kompleksni brojevi, ali ako je matrica simetrična ( A t = A), tada su njegove vlastite vrijednosti realne.

2.8. Vlastiti vektori

Na matrici A, dimenzija ( N× N) ne može biti veći od N svojstvene vektore, od kojih svaki odgovara svojoj vrijednosti. Odrediti svojstveni vektor v n potrebno je da rešite sistem homogenih jednačina

(A − λ n I)v n = 0 .

Ima netrivijalno rješenje jer det( A-λ n I) = 0.

Na primjer,

Rice. 22 Sopstveni vektori

Svojstveni vektori simetrične matrice su ortogonalni.