Paralelna prava i ravan, znak i uslovi paralelne prave i ravni. Međusobni raspored prave i ravni u prostoru

Teorema

Ako je prava koja ne pripada ravni paralelna sa nekom pravom u toj ravni, onda je paralelna i sa samom ravninom.

Dokaz

Neka je α ravan, prava koja ne leži u njoj, a a1 prava u ravni α paralelna pravoj a. Povucimo ravan α1 kroz prave a i a1. Ravnine α i α1 seku se duž prave a1. Ako prava a siječe ravan α, tada bi tačka presjeka pripadala pravoj a1. Ali to je nemoguće, jer su prave a i a1 paralelne. Dakle, prava a ne seče ravan α, pa je stoga paralelna sa ravninom α. Teorema je dokazana.

18. AVIONI

Ako se dvije paralelne ravni sijeku s trećom, tada su linije ukrštanja paralelne.(Sl. 333).

Zaista, prema definiciji Paralelne prave su prave koje leže u istoj ravni i ne seku se. Naše linije leže u istoj ravni - sekuntnoj ravni. Oni se ne sijeku, jer se paralelne ravni koje ih sadrže ne sijeku.

Dakle, prave su paralelne, što smo želeli da dokažemo.

Svojstva

§ Ako je ravan α paralelna svakoj od dve prave koje se seku koje leže u drugoj ravni β, tada su ove ravni paralelne

§ Ako se dvije paralelne ravni seku trećom, tada su linije njihovog preseka paralelne

§ Kroz tačku van date ravni moguće je povući ravan paralelnu datoj, i štaviše, samo jednu

§ Segmenti paralelnih pravih ograničeni sa dve paralelne ravni su jednaki

§ Dva ugla sa paralelnim i jednako usmerenim stranicama su jednaka i leže u paralelnim ravnima

19.

Ako dvije linije leže u istoj ravni, ugao između njih je lako izmjeriti - na primjer, pomoću kutomjera. I kako izmjeriti ugao između prave i ravni?

Neka prava siječe ravan, i to ne pod pravim uglom, već pod nekim drugim uglom. Takva linija se zove koso.

Ispustimo okomicu iz neke tačke nagnute na našu ravan. Spojite osnovu okomice sa tačkom preseka nagnute i ravni. Imamo projekcija kose ravni.

Ugao između prave i ravni je ugao između prave i njene projekcije na datu ravan..

Imajte na umu - mi biramo oštar ugao kao ugao između prave i ravni.

Ako je prava paralelna sa ravninom, tada je ugao između prave i ravni nula.

Ako je prava okomita na ravan, njena projekcija na ravan je tačka. Očigledno, u ovom slučaju ugao između prave i ravni je 90°.

Prava je okomita na ravan ako je okomita na bilo koju pravu u toj ravni..

Ovo je definicija. Ali kako raditi s njim? Kako provjeriti da je data prava okomita na sve prave koje leže u ravni? Na kraju krajeva, postoji beskonačan broj njih.

U praksi se primjenjuje znak okomitosti prave i ravni:

Prava je okomita na ravan ako je okomita na dvije prave koje se ukrštaju koje leže u toj ravni.

21. Diedarski ugao- prostorna geometrijska figura koju čine dvije poluravnine koje izlaze iz jedne prave linije, kao i dio prostora omeđen tim poluravnama.

Za dvije ravni se kaže da su okomite ako je diedarski ugao između njih 90 stepeni.

§ Ako ravan prolazi kroz pravu okomitu na drugu ravan, onda su ove ravni okomite.

§ Ako iz tačke koja pripada jednoj od dve okomite ravni povučemo okomicu na drugu ravan, onda ta okomita potpuno leži u prvoj ravni.

§ Ako u jednoj od dvije okomite ravni povučemo okomicu na njihovu presječnu liniju, onda će ta okomita biti okomita na drugu ravan.

Dve ravni koje se seku formiraju četiri dvodelna ugla sa zajedničkom ivicom: parovi vertikalnih uglova su jednaki, a zbir dva susedna ugla je 180°. Ako je jedan od četiri ugla pravi, onda su i ostala tri jednaka i prava. Dvije ravni se nazivaju okomite ako je ugao između njih pravi.

Teorema. Ako ravan prolazi kroz pravu okomitu na drugu ravan, tada su te ravni okomite.

Neka su i dvije ravni takve da prolazi kroz pravu AB, okomito na nju i siječe se s njom u tački A (slika 49). Dokažimo da je _|_ . Ravnine i seku se duž neke prave AC, i AB _|_ AC, jer AB _|_ . Nacrtajmo pravu AD u ravni, okomitu na pravu AC.

Tada je ugao BAD linearni ugao diedralnog ugla formiranog od i . Ali< ВАD - 90° (ибо AB _|_ ), а тогда, по определению, _|_ . Теорема доказана.

22. Poliedar je tijelo čija se površina sastoji od konačnog broja ravnih poligona.

1. bilo koji od poligona koji čine poliedar, možete doći do bilo kojeg od njih tako što ćete otići do onog koji mu je susjedan, a od ovog, pak, do onog koji mu se graniči, itd.

Ovi poligoni se nazivaju lica, njihove strane - rebra, a njihovi vrhovi su vrhovi poliedar. Najjednostavniji primjeri poliedara su konveksni poliedri, to jest, granica ograničenog podskupa euklidskog prostora je presjek konačnog broja poluprostora.

Gornja definicija poliedra poprima različito značenje ovisno o tome kako je poligon definiran, za koje su moguće sljedeće dvije opcije:

§ ravne zatvorene izlomljene linije (čak i ako se same sijeku);

§ Delovi ravni omeđeni isprekidanim linijama.

U prvom slučaju dobijamo koncept zvjezdanog poliedra. U drugom, poliedar je površina sastavljena od poligonalnih komada. Ako se ova površina ne siječe, onda je to puna površina nekog geometrijskog tijela, koje se također naziva poliedar. Otuda nastaje treća definicija poliedra, kao samog geometrijskog tijela.

ravna prizma

Prizma se zove ravno ako su njegove bočne ivice okomite na osnovice.
Prizma se zove koso ako njegove bočne ivice nisu okomite na osnovice.
Prava prizma ima lica koja su pravokutnici.

Prizma se zove ispravan ako su njegove osnove pravilni poligoni.
Područje bočne površine prizme naziva se zbir površina bočnih strana.
Puna površina prizme jednak zbiru bočne površine i površina baza

Elementi prizme:
Tačke - nazivaju se vrhovi
Segmenti se nazivaju bočnim rubovima
Poligoni i - se nazivaju bazama. Sami avioni se takođe nazivaju bazama.

24. Paralelepiped(od grčkog παράλλος - paralela i grčkog επιπεδον - ravan) - prizma čija je osnova paralelogram, ili (ekvivalentno) poliedar, koji ima šest lica i svaka od njih je paralelogram.

§ Paralelepiped je simetričan oko sredine svoje dijagonale.

§ Svaki segment čiji krajevi pripadaju površini paralelepipeda i koji prolaze kroz sredinu njegove dijagonale dijeli se na pola; posebno, sve dijagonale paralelepipeda se sijeku u jednoj tački i dijele je na pola.

§ Suprotne strane paralelepipeda su paralelne i jednake.

§ Kvadrat dužine dijagonale pravougaonog paralelepipeda jednak je zbiru kvadrata njegove tri dimenzije.

Površina kvadra jednak je dvostrukom zbiru površina triju strana ovog paralelepipeda:

1.	S= 2(S a+Sb+S c)= 2(ab+bc+ac)

25 .Piramida i njeni elementi

Razmotrimo ravan, poligon koji leži u njoj i tačku S koja ne leži u njoj. Povežite S sa svim vrhovima poligona. Rezultirajući poliedar naziva se piramida. Segmenti se nazivaju bočnim rubovima. Poligon se naziva baza, a tačka S se naziva vrh piramide. U zavisnosti od broja n, piramida se naziva trokutasta (n=3), četvorougaona (n=4), petougaona (n=5) i tako dalje. Alternativni naziv za trouglastu piramidu - tetraedar. Visina piramide je okomica povučena od njenog vrha do ravni osnove.

Piramida se naziva pravilnom ako je pravilan poligon i ako je osnova visine piramide (osnova okomice) njeno središte.

Program je dizajniran za izračunavanje bočne površine pravilne piramide.
Piramida je poliedar sa osnovom u obliku mnogougla, a preostale strane su trouglovi sa zajedničkim vrhom.

Formula za izračunavanje bočne površine pravilne piramide je:

gdje je p obim baze (poligon ABCDE),
a - apotema (OS);

Apotema je visina bočne strane pravilne piramide, koja je povučena sa njenog vrha.

Da biste pronašli bočnu površinu pravilne piramide, unesite obim piramide i vrijednosti apoteme, zatim kliknite na dugme "IZRAČUNAJ". Program će odrediti bočnu površinu pravilne piramide čija vrijednost može biti postavljeno u međuspremnik.

Krnja piramida

Skraćena piramida je dio pune piramide zatvoren između baze i dijela koji mu je paralelan.
Poprečni presjek se zove gornja osnova krnje piramide, a osnova pune piramide je donja baza krnje piramide. (Osnove su slične.) Bočne strane skraćene piramide su trapezi. U skraćenoj piramidi 3 n rebra, 2 n vrhovi, n+ 2 lica, n(n- 3) dijagonale. Udaljenost između gornje i donje baze je visina krnje piramide (segment odsječen od visine pune piramide).
Ukupna površina krnje piramide jednaka je zbiru površina njenih lica.
Volumen krnje piramide ( S i s- bazna površina, H- visina)

Telo rotacije nazivamo tijelo koje nastaje kao rezultat rotacije linije oko prave.

Pravi kružni cilindar je upisan u sferu ako krugovi njegovih osnova leže na sferi. Osnove cilindra su mali krugovi lopte, centar lopte se poklapa sa sredinom ose cilindra. [ 2 ]

Pravi kružni cilindar je upisan u sferu ako krugovi njegovih osnova leže na sferi. Očigledno, centar sfere ne leži ni u sredini ose cilindra. [ 3 ]

Zapremina bilo kog cilindra jednak je umnošku površine baze i visine:

1.

V=π r 2 h

Ukupna površina cilindra jednaka je zbroju bočne površine cilindra i dvostrukoj površini baze cilindra.

Formula za izračunavanje ukupne površine cilindra je:

27. Okrugli konus se može dobiti okretanjem pravokutnog trokuta oko jedne od njegovih krakova, zbog čega se okrugli konus naziva i rotacijski konus. Vidi također Volumen okruglog konusa

Ukupna površina kružnog konusa jednak je zbiru površina bočne površine stošca i njegove baze. Osnova stošca je krug i njegova površina se izračunava pomoću formule za površinu kruga:

2.	S=π r l+π r 2=π r(r+l)

28. Frustum dobijeno crtanjem presjeka paralelnog osnovici konusa. Tijelo ograničeno ovim presjekom, bazom i bočnom površinom stošca naziva se krnji konus. Vidi također Volumen skraćenog konusa

Ukupna površina krnjeg konusa jednak je zbiru površina bočne površine krnjeg konusa i njegovih baza. Osnove skraćenog konusa su krugovi i njihova površina se izračunava pomoću formule za površinu kruga: S= π (r 1 2 + (r 1 + r 2)l+ r 2 2)

29. Lopta je geometrijsko tijelo omeđeno površinom čije su sve tačke na jednakoj udaljenosti od centra. Ova udaljenost se naziva poluprečnik sfere.

Sfera(grč. σφαῖρα - lopta) - zatvorena površina, lokus tačaka u prostoru, jednako udaljena od date tačke, koja se naziva središte sfere. Sfera je poseban slučaj elipsoida, u kojem su sve tri ose (poluose, radijusi) jednake. Sfera je površina lopte.

Površina sferne površine sfernog segmenta (sfernog sektora) i sfernog sloja ovisi samo o njihovoj visini i polumjeru lopte i jednaka je obimu velikog kruga lopte, pomnoženoj sa visinom

Volumen lopte jednaka zapremini piramide, čija osnova ima istu površinu kao i površina lopte, a visina je poluprečnik lopte

Zapremina kugle je jedan i po puta manja od zapremine cilindra koji je opisan oko nje.

loptasti elementi

Segment kugle Ravan sečenja deli loptu na dva segmenta lopte. H- visina segmenta, 0< H < 2 R, r- polumjer osnove segmenta, Volumen segmenta lopte Područje sferne površine sfernog segmenta
Sferni sloj Sferični sloj je dio sfere zatvoren između dva paralelna dijela. Razdaljina ( H) između sekcija se poziva visina sloja, i same sekcije - baze slojeva. Sferna površina ( volumen) sfernog sloja može se naći kao razlika između površina sfernih površina (volumena) sfernih segmenata.

 1. Množenje vektora brojem(Sl. 56).

Vektorski proizvod ALI po broju λ zove se vektor AT, čiji je modul jednak proizvodu modula vektora ALI po modulu broju λ :

Smjer se ne mijenja ako λ > 0 ; mijenja u suprotno if λ < 0 . Ako a λ = −1, zatim vektor

Zove se vektor suprotan vektoru ALI, i označava se

 2. Vektorsko sabiranje. Da nađemo zbir dva vektora ALI i AT vektor

Tada će zbroj biti vektor, čiji se početak poklapa s početkom prvog, a kraj - s krajem drugog. Ovo pravilo vektorskog sabiranja naziva se „pravilo trougla“ (slika 57). potrebno je sabirne vektore prikazati tako da se početak drugog vektora poklopi sa krajem prvog.

Lako je dokazati da se za vektore "zbir ne mijenja promjenom mjesta članova."
Naznačimo još jedno pravilo za dodavanje vektora - „pravilo paralelograma“. Ako spojimo početke vektora sabirnika i na njima izgradimo paralelogram, onda će zbir biti vektor koji se poklapa sa dijagonalom ovog paralelograma (slika 58).

Jasno je da sabiranje prema “pravilu paralelograma” dovodi do istog rezultata kao i prema “pravilu trougla”.
"Pravilo trougla" je lako generalizirati (na slučaj nekoliko pojmova). Da nađemo zbir vektora

Potrebno je kombinovati početak drugog vektora sa krajem prvog, početak trećeg - sa krajem drugog, itd. Zatim početak vektora With poklapa se sa početkom prvog i krajem With- sa krajem potonjeg (Sl. 59).

 3. Oduzimanje vektora. Operacija oduzimanja se svodi na dvije prethodne operacije: razlika dva vektora je zbir prvog i vektora suprotnog drugom:

Također možete formulirati "pravilo trokuta" za oduzimanje vektora: potrebno je kombinirati početke vektora ALI i AT, tada će njihova razlika biti vektor

Nacrtano sa kraja vektora AT prema kraju vektora ALI(Sl. 60).

U budućnosti ćemo govoriti o vektoru pomaka materijalne tačke, odnosno vektoru koji povezuje početnu i konačnu poziciju tačke. Slažem se da su uvedena pravila djelovanja na vektore prilično očigledna za vektore pomaka.

 4. Tačkasti proizvod vektora. Rezultat skalarnog proizvoda dva vektora ALI i AT je broj c jednak proizvodu modula vektora i kosinusa ugla α između

Skalarni proizvod vektora se vrlo široko koristi u fizici. U budućnosti ćemo se često morati suočiti s takvom operacijom.

Video kurs "Osvoji A" obuhvata sve teme neophodne za uspešno polaganje ispita iz matematike za 60-65 poena. U potpunosti svi zadaci 1-13 Profila USE iz matematike. Pogodan i za polaganje Osnovnog USE iz matematike. Ako želite da položite ispit sa 90-100 bodova, potrebno je da riješite prvi dio za 30 minuta i bez greške!

Pripremni kurs za ispit za 10-11 razred, kao i za nastavnike. Sve što vam je potrebno za rješavanje 1. dijela ispita iz matematike (prvih 12 zadataka) i 13. zadatka (trigonometrija). A to je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne može ni student sa sto bodova ni humanista.

Sva potrebna teorija. Brza rješenja, zamke i tajne ispita. Analizirani su svi relevantni zadaci 1. dijela iz zadataka Banke FIPI. Kurs je u potpunosti usklađen sa zahtjevima USE-2018.

Kurs sadrži 5 velikih tema, svaka po 2,5 sata. Svaka tema je data od nule, jednostavno i jasno.

Stotine ispitnih zadataka. Tekstovni problemi i teorija vjerovatnoće. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. Teorija, referentni materijal, analiza svih tipova USE zadataka. Stereometrija. Lukavi trikovi za rješavanje, korisne varalice, razvoj prostorne mašte. Trigonometrija od nule - do zadatka 13. Razumijevanje umjesto nabijanja. Vizuelno objašnjenje složenih koncepata. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i derivacija. Osnova za rješavanje složenih zadataka 2. dijela ispita.

Definicija paralelnih pravih i njihova svojstva u prostoru su ista kao u ravni (vidi tačku 11).

Istovremeno, moguć je još jedan slučaj rasporeda linija u prostoru - kosih linija. Prave koje se ne seku i ne leže u istoj ravni nazivaju se prave koje se seku.

Na slici 121 prikazan je raspored dnevnog boravka. Vidite da su linije kojima pripadaju segmenti AB i BC nagnute.

Ugao između linija koje se seku je ugao između linija koje se seku paralelne sa njima. Ovaj ugao ne zavisi od toga koje linije se ukrštaju.

Pretpostavlja se da je stepen stepena ugla između paralelnih linija nula.

Zajednička okomica dvije prave koje se sijeku je segment sa krajevima na tim pravima, koji je okomit na svaku od njih. Može se dokazati da dvije prave koje se sijeku imaju zajedničku okomicu, i osim toga, samo jednu. To je zajednička okomica na paralelne ravni koje prolaze kroz ove prave.

Udaljenost između linija koje se sijeku je dužina njihove zajedničke okomice. Jednaka je udaljenosti između paralelnih ravnina koje prolaze kroz ove prave.

Dakle, da bismo pronašli rastojanje između pravih a i b koje se seku (slika 122), potrebno je povući paralelne ravni a i kroz svaku od ovih pravih. Udaljenost između ovih ravni će biti udaljenost između pravih a i b koji se sijeku. Na slici 122, ovo rastojanje je, na primjer, rastojanje AB.

Primjer. Prave a i b su paralelne, a prave c i d se seku. Može li svaka od pravih a i sijeći obje prave

Odluka. Prave a i b leže u istoj ravni, pa stoga svaka prava koja ih siječe leži u istoj ravni. Prema tome, ako svaka od pravih a, b siječe obje prave c i d, tada bi te bile u istoj ravni sa pravima a i b, a to ne može biti, jer se prave sijeku.

42. Paralelnost prave i ravni.

Prava i ravan se nazivaju paralelne ako se ne seku, odnosno nemaju zajedničke tačke. Ako je prava a paralelna ravni a, tada pišu:.

Na slici 123 prikazana je prava linija a paralelna ravni a.

Ako je prava koja ne pripada ravni paralelna nekoj pravoj u ovoj ravni, onda je paralelna i sa samom ravninom (znak paralelnosti prave i ravni).

Ova teorema omogućava da se u određenoj situaciji dokaže da su prava i ravan paralelne. Na slici 124 prikazana je prava b paralelna sa pravom a koja leži u ravni a, odnosno duž prave b paralelne ravni a, tj.

Primjer. Kroz vrh pravog ugla C pravouglog trougla ABC povučena je ravan paralelna hipotenuzi na udaljenosti od 10 cm od njega. Projekcije kateta na ovu ravan su 30 i 50 cm.Naći projekciju hipotenuze na istu ravan.

Odluka. Iz pravokutnih trougla BBVC i (slika 125) nalazimo:

Iz trougla ABC nalazimo:

Projekcija hipotenuze AB na ravan a je . Kako je AB paralelan ravni a, onda je So,.

43. Paralelne ravni.

Dvije ravni se nazivaju paralelne. ako se ne seku.

Dvije ravni su paralelne" ako je jedna od njih paralelna sa dvije prave koje se ukrštaju koje leže u drugoj ravni (znak paralelnosti dvije ravni).

Na slici 126, ravan a je paralelna sa pravima koje se seku a i b koje leže u ravni, a zatim su duž ove ravni paralelne.

Kroz tačku van date ravni može se povući ravan paralelna datoj, i štaviše, samo jednu.

Ako se dvije paralelne ravni sijeku s trećom, tada su linije ukrštanja paralelne.

Na slici 127 prikazane su dvije paralelne ravni, a ravan y ih siječe duž pravih a i b. Tada, prema teoremi 2.7, možemo tvrditi da su prave a i b paralelne.

Segmenti paralelnih pravih zatvorenih između dvije paralelne ravni su jednaki.

Prema T.2.8, segmenti AB i prikazani na slici 128 su jednaki, jer

Neka se ove ravni seku. Nacrtajte ravan okomitu na liniju njihovog presjeka. On siječe ove ravni duž dvije prave. Ugao između ovih pravih naziva se ugao između ovih ravnina (Sl. 129). Ugao između ovako definisanih ravni ne zavisi od izbora presečne ravni.

1. Formulirajte definiciju kosih linija. Formulirajte i dokažite teoremu koja izražava znak kosih linija. 2/ Dokaži da ako je dva

prave su paralelne sa trećom linijom, onda su paralelne. 3. Konstruisati presek paralelepipeda ABCDA1B1C1D1 ravninom koja prolazi kroz tačke A, C i M, gde je M središte ivice AlDl.

Koja od figura nije glavna figura u prostoru? 1) tačka; 2) segment; 3) ravno; 4) avion.

2. Ravnoa ib prelaz. Kako je linijab u odnosu na ravan α ako je prava ϵ α?

1) krstovi; 2) paralelni; 3) leži u ravni; 4) krstovi.

3. Odredite koja je izjava tačna:

1) Okomita je duža od kose.

2) Ako dvije kose nisu jednake, onda veća kosa ima manju projekciju.

3) Prava je okomita na ravan ako je okomita na dvije stranice trougla koji leže u ovoj ravni.

4) Ugao između paralelne prave i ravni je 90º.

4. Udaljenost između dvije paralelne ravni je 8 cm.Između njih je smješten odsječak prave dužine 17 cm tako da njegovi krajevi pripadaju ravnima. Pronađite projekciju ovog segmenta na svaku od ravnina.

1) 15 cm; 2) 9 cm; 3) 25 cm) 4) 12 cm.

5. Okomita TE jednaka 6 dm povučena je u MKRT ravan. Izračunajte udaljenost od tačke E do vrha romba K, ako je MK = 8 dm, ugao M romba je 60º.

1) 10 dm; 2) 14 dm; 3) 8 dm; 4) 12 dm.

6. Hipotenuza pravouglog trougla je 12 cm Izvan ravni trougla data je tačka koja je od svakog vrha trougla udaljena 10 cm. Nađi rastojanje od tačke do ravni trougla.

1) 4 cm; 2) 16 cm; 3) 8 cm; 4) 10 cm.

7. Iz određene tačke na datu ravan povučene su okomita i kosa linija, ugao između kojih je 60º. Naći projekciju kose na datu ravan ako je okomica 5 cm.

1) 5√3 cm; 2) 10 cm; 3) 5 cm; 4) 10√3 cm.

8. Nađi bočnu površinu pravilne trouglaste piramide ako je stranica osnove 2 cm, a svi dvouglovi u osnovi su 30º.

1) 2 cm2; 2) 2√3 cm2; 3) √3 cm2; 4) 3√2 cm2.

9. Nađite površinu pravougaonog paralelepipeda prema tri dimenzije, jednake 3 cm, 4 cm, 5 cm.

1) 94 cm2; 2) 47 cm2; 3) 20 cm2; 4) 54 cm2.

avioni.

b) ako jedna od dvije paralelne prave siječe datu ravan, onda i druga prava siječe ovu ravan.

c) ako su dvije prave paralelne s trećom pravom, onda se sijeku

d) ako prava i ravan nemaju zajedničkih tačaka, onda prava leži u ravni

e) prava i ravan se nazivaju ukrštanjem ako nemaju zajedničke tačke

ravan; b) ako jedna od dvije paralelne prave siječe datu ravan, onda i druga prava siječe ovu ravan; c) ako su dvije prave paralelne s trećom pravom, onda se sijeku; d) ako prava i ravan sijeku nemaju zajedničkih tačaka, onda prava leži u ravnima e) prava i ravan se nazivaju presečnima ako nemaju zajedničke tačke.
2. Prava c, paralelna pravoj a, seče ravan β. Prava b je paralelna pravoj a, tada: