Piramida je višestruka figura, čija je osnova poligon, a preostala lica su predstavljena trouglovima sa zajedničkim vrhom.

Ako je osnova kvadrat, onda se piramida zove četvorougaona, ako je trougao – onda trouglasti. Visina piramide povučena je od njenog vrha okomito na osnovu. Također se koristi za izračunavanje površine apothem– visina bočne strane, spuštena sa njenog vrha.
Formula za površinu bočne površine piramide je zbir površina njenih bočnih strana, koje su međusobno jednake. Međutim, ovaj način izračunavanja se koristi vrlo rijetko. U osnovi, površina piramide se izračunava kroz perimetar baze i apoteme:

Razmotrimo primjer izračunavanja površine bočne površine piramide.

Neka je data piramida sa osnovom ABCDE i vrhom F. AB=BC=CD=DE=EA=3 cm Apotema a = 5 cm. Nađite površinu bočne površine piramide.
Nađimo perimetar. Pošto su sve ivice baze jednake, obim petougla će biti jednak:
Sada možete pronaći bočnu površinu piramide:

Površina pravilne trouglaste piramide

Pravilna trouglasta piramida sastoji se od osnove u kojoj leži pravilan trokut i tri bočne strane koje su jednake po površini.
Formula za bočnu površinu pravilne trokutaste piramide može se izračunati na različite načine. Možete primijeniti uobičajenu formulu za izračunavanje koristeći perimetar i apotemu, ili možete pronaći površinu jednog lica i pomnožiti je sa tri. Budući da je lice piramide trokut, primjenjujemo formulu za površinu trokuta. To će zahtijevati apotemu i dužinu baze. Razmotrimo primjer izračunavanja bočne površine pravilne trokutaste piramide.

Zadata je piramida sa apotemom a = 4 cm i osnovnom površinom b = 2 cm. Nađite površinu bočne površine piramide.
Prvo pronađite površinu jedne od bočnih strana. U ovom slučaju to će biti:
Zamijenite vrijednosti u formulu:
Kako su u pravilnoj piramidi sve stranice iste, površina bočne površine piramide će biti jednaka zbiru površina triju strana. odnosno:

Područje skraćene piramide

Truncated Piramida je poliedar koji je formiran od piramide čiji je poprečni presjek paralelan s bazom.
Formula za bočnu površinu krnje piramide je vrlo jednostavna. Površina je jednaka umnošku polovine zbira opsega baza i apoteme:

Razmotrimo primjer izračunavanja bočne površine skraćene piramide.

Zadata je pravilna četvorougaona piramida. Dužine osnove su b = 5 cm, c = 3 cm Apotema a = 4 cm. Nađite površinu bočne površine figure.
Prvo, pronađimo perimetar baza. Na većoj osnovi to će biti jednako:
U manjoj bazi:
Izračunajmo površinu:

Površina bočne površine pravilne piramide jednaka je umnošku njene apoteme i polovine perimetra osnove.

Što se tiče ukupne površine, jednostavno dodamo osnovnu površinu bočnoj.

Bočna površina pravilne piramide jednaka je proizvodu poluperimetra osnove i apoteme.

dokaz:

Ako je stranica baze a, broj stranica je n, tada je bočna površina piramide jednaka:

a l n/2 =a n l/2=pl/2

gdje je l apotema, a p je obim osnove piramide. Teorema je dokazana.

Ova formula glasi ovako:

Površina bočne površine pravilne piramide jednaka je polovini umnoška perimetra osnove i apoteme piramide.

Ukupna površina piramide izračunava se po formuli:

S pun = S strana +S osnovni

Ako je piramida nepravilna, tada će njena bočna površina biti jednaka zbiru površina njenih bočnih strana.

Volumen piramide

Volume piramida je jednaka jednoj trećini proizvoda površine baze i visine.

Dokaz. Počećemo od trouglaste prizme. Provucimo ravan kroz vrh A" gornje osnove prizme i suprotnu ivicu BC donje osnove. Ova ravan ce odsjeci trouglastu piramidu A" ABC od prizme. Preostali dio prizme ćemo razložiti na čvrsta tijela, provlačeći ravan kroz dijagonale A"C i B"C bočnih strana. Dobijena dva tijela su također piramide. Smatrajući da je trokut A"B"C" osnova jednog od njih, a C njegov vrh, vidimo da su mu osnova i visina iste kao i kod prve piramide koju smo odsjekli, dakle piramide A"ABC i CA"B"C" su jednake veličine. Osim toga, obe nove piramide CA"B"C" i A"B"BC su takođe jednake veličine - to će postati jasno ako uzmemo trouglove BBC" i B"CC kao njihove osnove. Piramide CA"B"C" i A"B "Sunca imaju zajednički vrh A", a njihove osnove se nalaze u istoj ravni i jednake su, dakle, piramide su jednake veličine. Dakle, prizma se rastavlja na tri piramide jednake veličine, zapremina svake od njih jednaka je jednoj trećini zapremine prizme.Pošto je oblik osnove nebitan, onda je, generalno, zapremina n-ugaone piramide jednaka jednak jednoj trećini zapremine prizme iste visine i iste (ili jednake) osnove. Prisjetimo se formule koja izražava zapreminu prizme, V=Sh, dobijamo konačan rezultat: V=1/3Sh

Video kurs “Osvoji A” obuhvata sve teme potrebne za uspješno polaganje Jedinstvenog državnog ispita iz matematike sa 60-65 bodova. U potpunosti svi zadaci 1-13 profilnog Jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Pogodan i za polaganje osnovnog jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Ako želite da položite Jedinstveni državni ispit sa 90-100 bodova, prvi dio morate riješiti za 30 minuta i bez greške!

Pripremni kurs za Jedinstveni državni ispit za 10-11 razred, kao i za nastavnike. Sve što vam je potrebno za rješavanje 1. dijela Jedinstvenog državnog ispita iz matematike (prvih 12 zadataka) i 13. zadatka (trigonometrija). A to je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne mogu ni student sa 100 bodova ni student humanističkih nauka.

Sva potrebna teorija. Brza rješenja, zamke i tajne Jedinstvenog državnog ispita. Analizirani su svi tekući zadaci 1. dijela iz FIPI banke zadataka. Kurs je u potpunosti usklađen sa zahtjevima Jedinstvenog državnog ispita 2018.

Kurs sadrži 5 velikih tema, svaka po 2,5 sata. Svaka tema je data od nule, jednostavno i jasno.

Stotine zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Riječni problemi i teorija vjerovatnoće. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. Teorija, referentni materijal, analiza svih vrsta zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Stereometrija. Šaljiva rješenja, korisne varalice, razvoj prostorne mašte. Trigonometrija od nule do problema 13. Razumijevanje umjesto nabijanja. Jasna objašnjenja složenih koncepata. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i derivacija. Osnova za rješavanje složenih zadataka 2. dijela Jedinstvenog državnog ispita.

je figura čija je osnova proizvoljan poligon, a bočne strane su predstavljene trouglovima. Njihovi vrhovi leže u istoj tački i odgovaraju vrhu piramide.

Piramida može biti raznolika - trouglasta, četverokutna, šesterokutna itd. Njegovo ime se može odrediti ovisno o broju uglova koji se nalaze uz bazu.
Prava piramida naziva se piramida u kojoj su stranice osnove, uglovi i ivice jednaki. I u takvoj piramidi će površina bočnih strana biti jednaka.
Formula za površinu bočne površine piramide je zbir površina svih njenih strana:
Odnosno, da biste izračunali površinu bočne površine proizvoljne piramide, morate pronaći površinu svakog pojedinačnog trokuta i sabrati ih. Ako je piramida skraćena, tada su njena lica predstavljena trapezom. Postoji još jedna formula za pravilnu piramidu. U njemu se bočna površina izračunava kroz poluperimetar baze i dužinu apoteme:

Razmotrimo primjer izračunavanja površine bočne površine piramide.
Neka je data pravilna četvorougaona piramida. Osnovna strana b= 6 cm, apotema a= 8 cm Nađite površinu bočne površine.

U osnovi pravilne četvorougaone piramide je kvadrat. Prvo, pronađimo njegov perimetar:

Sada možemo izračunati bočnu površinu naše piramide:

Da biste pronašli ukupnu površinu poliedra, morat ćete pronaći površinu njegove baze. Formula za površinu osnove piramide može se razlikovati ovisno o tome koji poligon leži u osnovi. Da biste to učinili, koristite formulu za površinu trokuta, površina paralelograma itd.

Razmotrimo primjer izračunavanja površine osnove piramide date našim uvjetima. Pošto je piramida pravilna, u njenoj osnovi je kvadrat.
Kvadratna površina izračunato po formuli: ,
gdje je a stranica kvadrata. Za nas je to 6 cm. To znači da je površina osnove piramide:

Sada ostaje samo pronaći ukupnu površinu poliedra. Formula za površinu piramide sastoji se od zbira površine njene osnove i bočne površine.

Trouglasta piramida je poliedar čija je osnova pravilan trougao.

U takvoj piramidi, rubovi baze i ivice stranica jednaki su jedni drugima. Prema tome, površina bočnih strana nalazi se iz zbira površina tri identična trokuta. Pomoću formule možete pronaći površinu bočne površine pravilne piramide. A izračunavanje možete napraviti nekoliko puta brže. Da biste to učinili, morate primijeniti formulu za površinu bočne površine trokutaste piramide:

gdje je p obim baze, čije su sve strane jednake b, a je apotema spuštena od vrha do ove baze. Razmotrimo primjer izračunavanja površine trokutaste piramide.

Problem: Neka je data pravilna piramida. Stranica trokuta u osnovi je b = 4 cm. Apotem piramide je a = 7 cm. Nađite površinu bočne površine piramide.
Pošto prema uslovima zadatka znamo dužine svih potrebnih elemenata, naći ćemo obim. Sjećamo se da su u pravilnom trokutu sve strane jednake, pa se stoga obim izračunava po formuli:

Zamijenimo podatke i pronađemo vrijednost:

Sada, znajući perimetar, možemo izračunati bočnu površinu:

Da biste primijenili formulu za površinu trokutaste piramide za izračunavanje pune vrijednosti, morate pronaći površinu baze poliedra. Da biste to učinili, koristite formulu:

Formula za površinu osnove trokutaste piramide može biti drugačija. Moguće je koristiti bilo koji proračun parametara za datu cifru, ali to najčešće nije potrebno. Razmotrimo primjer izračunavanja površine osnove trokutaste piramide.

Problem: U pravilnoj piramidi, stranica trokuta u osnovi je a = 6 cm. Izračunajte površinu osnove.
Da bismo izračunali, potrebna nam je samo dužina stranice pravilnog trougla koji se nalazi na dnu piramide. Zamijenimo podatke u formulu:

Često morate pronaći ukupnu površinu poliedra. Da biste to učinili, morat ćete zbrojiti površinu bočne površine i baze.

Razmotrimo primjer izračunavanja površine trokutaste piramide.

Problem: Neka je data pravilna trouglasta piramida. Osnovna stranica je b = 4 cm, apotema je a = 6 cm. Nađite ukupnu površinu piramide.
Prvo, pronađimo površinu bočne površine koristeći već poznatu formulu. Izračunajmo obim:

Zamijenite podatke u formulu:
Sada pronađimo površinu baze:
Znajući površinu baze i bočne površine, nalazimo ukupnu površinu piramide:

Prilikom izračunavanja površine pravilne piramide, ne treba zaboraviti da je osnova pravilan trokut i da su mnogi elementi ovog poliedra jednaki jedni drugima.