Aproksimacija pi. Proračun sa potrebnom tačnošću broja pi

Spomenuli su pitanje "Šta bi se dogodilo sa svijetom da je broj Pi 4?" Odlučio sam da malo razmislim o ovoj temi, koristeći neka (iako ne najopsežnija) znanja iz relevantnih oblasti matematike. Kome je zanimljivo - pitam pod kat.

Da bismo zamislili takav svijet, potrebno je matematički realizirati prostor s drugačijim omjerom obima kruga i njegovog prečnika. Ovo sam pokušao da uradim.

Pokušaj #1.

Odmah ćemo odrediti da ću razmatrati samo dvodimenzionalne prostore. Zašto? Zato što je krug, zapravo, definiran u dvodimenzionalnom prostoru (ako uzmemo u obzir dimenziju n>2, tada omjer mjere (n-1)-dimenzionalne kružnice i njenog polumjera neće biti čak ni konstanta) .
Dakle, za početak, pokušao sam smisliti barem neki prostor gdje Pi nije jednako 3,1415 ... Da bih to učinio, uzeo sam metrički prostor s metrikom u kojoj je udaljenost između dvije tačke jednaka maksimumu među moduli koordinatne razlike (tj. Čebiševljeva udaljenost).

Kakav će oblik imati jedinični krug u ovom prostoru? Uzmimo tačku sa koordinatama (0,0) kao centar ove kružnice. Tada je skup tačaka, rastojanje (u smislu date metrike) od koje je do centra jednako 1, 4 segmenta paralelna sa koordinatnim osa, formirajući kvadrat sa stranom 2 i centriranim na nuli.

Da, u nekoj metrici to je krug!

Izračunajmo Pi ovdje. Radijus je 1, dakle prečnik je 2. Definiciju prečnika možete smatrati i najvećim rastojanjem između dve tačke, ali i pored toga je 2. Ostaje da pronađemo dužinu našeg „kruga“ u ovom metrički. Ovo je zbir dužina sva četiri segmenta, koji u ovoj metrici imaju dužinu max(0,2)=2. Dakle, obim je 4*2=8. Pa, onda je Pi ovdje jednako 8/2=4. Desilo se! Ali da li je zaista potrebno radovati se? Ovaj rezultat je praktički beskoristan, jer je prostor o kojem je riječ apsolutno apstraktan, čak ne definira uglove i zaokrete. Možete li zamisliti svijet u kojem skretanje zapravo nije definirano i gdje je krug kvadrat? Iskreno, pokušao sam, ali nisam imao mašte.

Radijus je 1, ali postoje neke poteškoće s pronalaženjem dužine ovog "kruga". Nakon izvjesnog traženja informacija na internetu, došao sam do zaključka da se u pseudoeuklidskom prostoru koncept kao što je „Pi broj“ uopće ne može definirati, što je svakako loše.

Ako mi neko u komentarima kaže kako da formalno izračunam dužinu krive u pseudo-euklidskom prostoru, bit ću jako sretan, jer moje poznavanje diferencijalne geometrije, topologije (kao i tvrdog guglanja) nije bilo dovoljno za ovo.

Nalazi:

Ne znam da li je moguće pisati o zaključcima nakon tako ne tako dugih studija, ali nešto se može reći. Prvo, kada sam pokušao da zamislim prostor sa drugačijim brojem pi, shvatio sam da bi to bilo previše apstraktno da bih bio model stvarnog sveta. Drugo, kada pokušate da smislite uspješniji model (sličan našem, stvarnom svijetu), ispada da će broj Pi ostati nepromijenjen. Ako uzmemo zdravo za gotovo mogućnost negativnog kvadrata udaljenosti (što je za običnog čovjeka jednostavno apsurdno), onda Pi uopće neće biti određen! Sve ovo sugerira da, možda, svijet s drugim brojem Pi uopće ne bi mogao postojati? Uostalom, nije uzalud Univerzum upravo onakav kakav jeste. Ili je možda ovo stvarno, samo obična matematika, fizika i ljudska mašta nisu dovoljni za ovo. Šta ti misliš?

Upd. Znao sam sigurno. Dužina krive u pseudo-euklidskom prostoru može se odrediti samo na nekim od njegovih euklidskih podprostora. To jest, posebno za „krug“ dobijen u pokušaju N3, koncept „dužine“ uopšte nije definisan. Shodno tome, ni tu se Pi ne može izračunati.

14. marta se u cijelom svijetu obilježava veoma neobičan praznik - Dan broja Pi. Svi to znaju još od školskih dana. Učenicima se odmah objašnjava da je broj Pi matematička konstanta, odnos obima kruga i njegovog prečnika, koji ima beskonačnu vrijednost. Ispostavilo se da je puno zanimljivih činjenica povezano s ovim brojem.

1. Istorija broja ima više od jednog milenijuma, skoro koliko postoji nauka matematike. Naravno, tačna vrijednost broja nije odmah izračunata. U početku se smatralo da je odnos obima i prečnika jednak 3. Ali s vremenom, kada se arhitektura počela razvijati, bilo je potrebno preciznije mjerenje. Inače, broj je postojao, ali je slovnu oznaku dobio tek početkom 18. vijeka (1706. godine) i dolazi od početnih slova dvije grčke riječi koje znače “obim” i “perimetar”. Matematičar Jones je broj obdario slovom "π", a ona je čvrsto ušla u matematiku već 1737. godine.

2. U različitim epohama i među različitim narodima, broj Pi je imao različita značenja. Na primjer, u starom Egiptu je bio 3,1604, kod Hindusa je dobio vrijednost od 3,162, Kinezi su koristili broj jednak 3,1459. Vremenom se π sve preciznije računao, a kada se pojavila kompjuterska tehnologija, odnosno kompjuter, počeo je da ima više od 4 milijarde znakova.

3. Postoji legenda, tačnije, stručnjaci smatraju da je broj Pi korišten u izgradnji Vavilonske kule. Međutim, nije gnjev Božji uzrokovao njegovo urušavanje, već pogrešni proračuni tokom izgradnje. Kao da su stari majstori pogriješili. Slična verzija postoji u vezi sa Solomonovim hramom.

4. Važno je napomenuti da su vrijednost Pi pokušali uvesti čak i na državnom nivou, odnosno kroz zakon. Godine 1897. u državi Indijana je napravljen nacrt zakona. Prema dokumentu, Pi je bio 3,2. Međutim, naučnici su na vrijeme intervenirali i tako spriječili grešku. Konkretno, profesor Purdue, koji je bio prisutan u zakonodavnoj skupštini, izjasnio se protiv zakona.

5. Zanimljivo je da nekoliko brojeva u beskonačnom nizu Pi ima svoje ime. Dakle, šest devetki Pi je nazvano po američkom fizičaru. Jednom je Richard Feynman držao predavanje i zaprepastio publiku primedbom. Rekao je da želi da nauči cifre od pi do šest devetki napamet, da bi na kraju priče rekao "devet" šest puta, nagoveštavajući da je njegovo značenje racionalno. Kada je u stvari iracionalno.

6. Matematičari širom svijeta ne prestaju sa istraživanjima vezanim za broj Pi. Doslovno je obavijeno velom misterije. Neki teoretičari čak vjeruju da sadrži univerzalnu istinu. U cilju razmjene znanja i novih informacija o Pi, organizirali su Pi klub. Ulazak u njega nije lak, potrebno je imati izvanredno pamćenje. Dakle, ispituju se oni koji žele da postanu član kluba: osoba mora izgovoriti što više znakova broja Pi napamet.

7. Čak su smislili razne tehnike za pamćenje broja Pi nakon decimalnog zareza. Na primjer, smišljaju cijele tekstove. U njima riječi imaju isti broj slova kao i odgovarajuća cifra iza decimalnog zareza. Da bi dodatno pojednostavili pamćenje tako dugog broja, sastavljaju stihove po istom principu. Članovi Pi kluba se često na ovaj način zabavljaju, a ujedno treniraju pamćenje i domišljatost. Na primjer, takav hobi imao je Mike Keith, koji je prije osamnaest godina smislio priču u kojoj je svaka riječ bila jednaka gotovo četiri hiljade (3834) prvih cifara pi.

8. Postoje čak i ljudi koji su postavili rekorde u pamćenju znakova Pi. Dakle, u Japanu je Akira Haraguchi zapamtio više od osamdeset tri hiljade znakova. Ali domaći rekord nije tako izvanredan. Stanovnik Čeljabinska uspio je zapamtiti samo dvije i po hiljade brojeva nakon decimalnog zareza broja Pi.

"Pi" u perspektivi

9. Dan Pi se obilježava više od četvrt vijeka, od 1988. godine. Jednom je fizičar iz Muzeja popularne nauke u San Francisku, Larry Shaw, primijetio da se 14. mart piše isto kao pi. U datumu, mjesecu i danu obrasca 3.14.

10. Dan Pi se slavi ne samo na originalan način, već i na zabavan način. Naravno, naučnici koji se bave egzaktnim naukama to ne propuštaju. Za njih je ovo način da se ne odvoje od onoga što vole, ali da se istovremeno opuste. Na ovaj dan ljudi se okupljaju i kuvaju razne poslastice sa likom Pi. Posebno tu ima mjesta za slastičare. Mogu napraviti pi torte i kolačiće sličnog oblika. Nakon degustacije poslastica, matematičari priređuju razne kvizove.

11. Postoji zanimljiva koincidencija. 14. marta rođen je veliki naučnik Albert Ajnštajn, koji je, kao što znate, stvorio teoriju relativnosti. Bilo kako bilo, i fizičari se mogu pridružiti obilježavanju Dana broja Pi.

Broj π pokazuje koliko je puta obim kruga veći od njegovog prečnika. Nije bitno kolika je veličina kruga, kao što je zabeleženo pre najmanje 4 hiljade godina, odnos uvek ostaje isti. Pitanje je samo šta to znači.

Za približno izračunavanje dovoljan je običan konac. Grčki Arhimed u 3. veku pre nove ere koristio sofisticiraniju metodu. Nacrtao je pravilne poligone unutar i izvan kruga. Sabirajući dužine stranica poligona, Arhimed je sve preciznije određivao viljušku u kojoj se nalazi broj π i shvatio da je on približno jednak 3,14.

Metoda poligona korištena je skoro 2 hiljade godina nakon Arhimeda, što je omogućilo da se sazna vrijednost broja π do 38. znamenke nakon decimalnog zareza. Još jedan ili dva znaka - i možete sve do atoma izračunaj obim kruga prečnika poput univerzuma.

Dok su neki naučnici koristili geometrijsku metodu, drugi su pretpostavili da se broj pi može izračunati dodavanjem, oduzimanjem, dijeljenjem ili množenjem drugih brojeva. Zahvaljujući tome, "rep" je narastao na nekoliko stotina cifara nakon decimalnog zareza.

Pojavom prvih kompjutera i posebno modernih kompjutera, tačnost se povećala za redove veličine - 2016. godine Švajcarac Peter Trub odredio je vrijednost broja π do 22,4 triliona decimalnih mjesta. Ako se ovaj rezultat odštampa na liniji normalne širine od 14 tačaka, unos će biti nešto kraći od prosječne udaljenosti od Zemlje do Venere.

U principu, ništa ne sprečava postizanje još veće tačnosti, ali za naučne proračune odavno nema potrebe za tim - osim možda za testiranje računara, algoritama i istraživanja u matematici. I postoji nešto za istražiti. Čak ni o samom broju π nije sve poznato. To dokazao zapisuje se kao beskonačan neperiodični razlomak, to jest, nema ograničenja za cifre iza decimalnog zareza i ne zbrajaju se blokovi koji se ponavljaju. Ali da li se brojevi i njihove kombinacije pojavljuju s istom frekvencijom, nije jasno. Očigledno je tako, ali do sada niko nije pružio rigorozne dokaze.

Daljnji proračuni se provode uglavnom za sport - i iz istog razloga ljudi pokušavaju zapamtiti što više cifara nakon decimalnog zareza. Rekord pripada Indijcu Rajveer Mina, koji u 2015. imenovao 70 hiljada znakova za uspomenu sedeći s povezom na očima skoro deset sati.

Vjerovatno, da biste nadmašili njegov rezultat, potreban vam je poseban talenat. Ali svako je sposoban jednostavno iznenaditi prijatelje dobrim pamćenjem. Glavna stvar je koristiti jednu od mnemotehničkih tehnika, koja kasnije može biti korisna za nešto drugo.

Podaci o strukturi

Najočigledniji način je da se broj podijeli na identične blokove. Na primjer, možete zamisliti pi kao telefonski imenik sa desetocifrenim brojevima ili ga možete zamisliti kao fensi udžbenik istorije (i budućnosti) koji navodi godine. Nećete se mnogo toga sjećati, ali da biste ostavili utisak, dovoljno je par desetina decimalnih mjesta.

Pretvorite broj u priču

Vjeruje se da je najzgodniji način za pamćenje brojeva osmisliti priču u kojoj će odgovarati broju slova u riječima (bilo bi logično zamijeniti nulu razmakom, ali tada će se većina riječi spojiti; umjesto toga, bolje je koristiti riječi od deset slova). Fraza „Mogu li dobiti veliko pakovanje kafe u zrnu?“ zasnovana je na ovom principu. na engleskom:

maj-3,

imati-4

veliki - 5

kontejner - 9

kafa - 6

pasulj - 5

U predrevolucionarnoj Rusiji smislili su sličnu rečenicu: "Ko, u šali i uskoro poželi (b) Pi da zna broj, već zna (b)". Preciznost - do desete decimale: 3,1415926536. Ali lakše je zapamtiti moderniju verziju: "Bila je i bit će poštovana na poslu." Postoji i pjesma: "Znam ovo i savršeno je pamtim - ma, mnogi znakovi su mi suvišni, uzalud." A sovjetski matematičar Jakov Perelman sastavio je čitav mnemonički dijalog:

Šta ja znam o krugovima? (3.1415)

Tako da znam broj koji se zove pi - bravo! (3.1415927)

Naučite i znajte u broju poznatom iza broja broj, kako primijetiti sreću! (3.14159265359)

Američki matematičar Michael Keith čak je napisao cijelu knjigu Not A Wake, čiji tekst sadrži informacije o prvih 10 hiljada cifara broja π.

Zamijenite brojeve slovima

Neki ljudi lakše pamte nasumična slova nego nasumične brojeve. U ovom slučaju, brojevi se zamjenjuju prvim slovima abecede. Ovako se pojavila prva riječ u naslovu priče Cadaeic Cadenza Michaela Keitha. Ukupno, 3835 cifara pi je kodirano u ovom radu - međutim, na isti način kao u knjizi Not a Wake.

Na ruskom, u takve svrhe, možete koristiti slova od A do I (potonje će odgovarati nuli). Koliko će biti zgodno zapamtiti kombinacije sastavljene od njih, otvoreno je pitanje.

Smislite slike za kombinacije brojeva

Za postizanje zaista izvanrednih rezultata prethodne metode nisu dobre. Rekorderi koriste tehniku ​​vizualizacije: slike se lakše pamte od brojeva. Prvo morate svaki broj spojiti sa suglasnikom. Ispada da svaki dvocifreni broj (od 00 do 99) odgovara kombinaciji od dva slova.

Recimo jedan n- ovo je "n", četiri R e - "p", pya t b - "t". Tada je broj 14 "nr", a 15 je "nt". Sada ove parove treba dopuniti drugim slovima kako bi se napravile riječi, na primjer, " n o R a" i " n i t Trebat će vam ukupno stotinu riječi – čini se puno, ali iza njih je samo deset slova, pa zapamtiti nije tako teško.

Broj π će se pojaviti u umu kao niz slika: tri cijela broja, rupa, konac, itd. Da biste bolje zapamtili ovaj niz, slike se mogu nacrtati ili odštampati na štampaču i staviti ispred vaših očiju. Neki ljudi jednostavno postavljaju relevantne predmete po prostoriji i pamte brojeve dok gledaju unutrašnjost. Redovni trening pomoću ove metode omogućit će vam da zapamtite stotine, pa čak i hiljade decimalnih mjesta - ili bilo koje druge informacije, jer možete vizualizirati ne samo brojeve.

Marat Kuzaev, Kristina Nedkova

Šta je broj pi znamo i pamtimo iz škole. Jednako je 3,1415926 i tako dalje... Obična osoba je dovoljno da zna da se ovaj broj dobija tako što se obim kruga podijeli sa njegovim prečnikom. Ali mnogi ljudi znaju da se broj Pi pojavljuje u neočekivanim područjima ne samo u matematici i geometriji, već iu fizici. Pa, ako se zadubite u detalje prirode ovog broja, možete vidjeti mnoga iznenađenja među beskrajnim nizovima brojeva. Da li je moguće da Pi krije najdublje tajne univerzuma?

Beskonačan broj

Sam broj Pi nastaje u našem svijetu kao dužina kruga čiji je prečnik jednak jedan. Ali, uprkos činjenici da je segment jednak Pi prilično konačan, broj Pi počinje kao 3,1415926 i ide u beskonačnost u redovima brojeva koji se nikada ne ponavljaju. Prva iznenađujuća činjenica je da se ovaj broj, koji se koristi u geometriji, ne može izraziti kao razlomak cijelih brojeva. Drugim riječima, ne možete ga napisati kao omjer dva broja a/b. Osim toga, broj Pi je transcendentalan. To znači da ne postoji takva jednačina (polinom) sa cjelobrojnim koeficijentima čije bi rješenje bilo Pi.

Činjenicu da je broj Pi transcendentan dokazao je 1882. godine njemački matematičar von Lindemann. Upravo je ovaj dokaz postao odgovor na pitanje da li je moguće nacrtati kvadrat šestarom i ravnalom, čija je površina jednaka površini datog kruga. Ovaj problem je poznat kao potraga za kvadratom kruga, koji muči čovječanstvo od davnina. Činilo se da ovaj problem ima jednostavno rješenje i da će uskoro biti otkriven. Ali to je bilo neshvatljivo svojstvo pi koje je pokazalo da problem kvadrature kruga nema rješenja.

Najmanje četiri i po milenijuma, čovečanstvo pokušava da dobije sve precizniju vrednost pi. Na primjer, u Bibliji u 1. Knjizi o kraljevima (7:23), broj pi je uzet jednak 3.

Izvanredna po tačnosti, vrijednost Pi se može naći u piramidama u Gizi: omjer perimetra i visine piramida je 22/7. Ovaj razlomak daje približnu vrijednost Pi, jednaku 3,142 ... Osim ako, naravno, Egipćani slučajno nisu postavili takav omjer. Istu vrijednost već u odnosu na izračunavanje broja Pi dobio je u III vijeku prije nove ere veliki Arhimed.

U Ahmesovom papirusu, staroegipatskom udžbeniku matematike koji datira iz 1650. godine prije Krista, Pi je izračunat kao 3,160493827.

U drevnim indijskim tekstovima oko 9. veka pre nove ere, najpreciznija vrednost je bila izražena brojem 339/108, koji je iznosio 3,1388 ...

Skoro dvije hiljade godina nakon Arhimeda, ljudi su pokušavali pronaći načine za izračunavanje pi. Među njima su bili i poznati i nepoznati matematičari. Na primjer, rimski arhitekta Mark Vitruvius Pollio, egipatski astronom Klaudije Ptolomej, kineski matematičar Liu Hui, indijski mudrac Ariabhata, srednjovjekovni matematičar Leonardo iz Pize, poznat kao Fibonacci, arapski naučnik Al-Khwarizmi, iz čijeg je imena riječ pojavio se "algoritam". Svi oni i mnogi drugi ljudi tražili su najtačnije metode za izračunavanje Pi, ali sve do 15. vijeka nikada nisu dobili više od 10 cifara nakon decimalnog zareza zbog složenosti proračuna.

Konačno, 1400. godine, indijski matematičar Madhava iz Sangamagrama izračunao je Pi sa tačnošću do 13 cifara (iako je ipak napravio grešku u posljednje dvije).

Broj znakova

U 17. veku, Leibniz i Newton su otkrili analizu beskonačno malih veličina, što je omogućilo progresivnije izračunavanje pi - putem nizova stepena i integrala. Njutn je sam izračunao 16 decimala, ali to nije spomenuo u svojim knjigama - to je postalo poznato nakon njegove smrti. Njutn je tvrdio da je Pi izračunao samo iz dosade.

Otprilike u isto vrijeme i drugi manje poznati matematičari su se izvukli, predlažući nove formule za izračunavanje broja Pi kroz trigonometrijske funkcije.

Na primjer, evo formule koju je za izračunavanje Pi koristio učitelj astronomije John Machin 1706. godine: PI / 4 = 4arctg(1/5) - arctg(1/239). Koristeći metode analize, Machin je iz ove formule izveo broj Pi sa stotinu decimala.

Inače, iste 1706. broj Pi je dobio službenu oznaku u obliku grčkog slova: koristio ga je William Jones u svom radu o matematici, uzimajući prvo slovo grčke riječi "periferija", što znači “krug”. Rođen 1707. godine, veliki Leonhard Euler popularizirao je ovu oznaku, koja je danas poznata svakom đaku.

Prije ere kompjutera, matematičari su se bavili izračunavanjem što većeg broja znakova. S tim u vezi, ponekad je bilo i kurioziteta. Matematičar amater W. Shanks izračunao je 707 cifara pi 1875. godine. Ovih sedam stotina znakova ovekovečeno je na zidu Palate otkrića u Parizu 1937. Međutim, devet godina kasnije, pažljivi matematičari su otkrili da je samo prvih 527 znakova ispravno izračunato. Muzej je morao da podnese pristojne troškove da ispravi grešku - sada su svi brojevi tačni.

Kada su se pojavili kompjuteri, broj cifara Pi je počeo da se izračunava potpuno nezamislivim redosledom.

Jedan od prvih elektronskih računara ENIAC, nastao 1946. godine, koji je bio ogroman i generisao je toliko toplote da se prostorija zagrejala na 50 stepeni Celzijusa, izračunao je prvih 2037 cifara Pi. Za ovu kalkulaciju automobilu je trebalo 70 sati.

Kako su se kompjuteri poboljšavali, naše znanje o pi je išlo sve dalje i dalje u beskonačnost. Godine 1958. izračunato je 10 hiljada cifara broja. Japanci su 1987. izračunali 10.013.395 znakova. Japanski istraživač Shigeru Hondo je 2011. godine prešao granicu od 10 biliona.

Gdje još možete pronaći Pi?

Dakle, često naše znanje o broju Pi ostaje na školskom nivou, a sigurno znamo da je ovaj broj neophodan prije svega u geometriji.

Pored formula za dužinu i površinu kruga, broj Pi se koristi u formulama za elipse, kugle, stošce, cilindre, elipsoide i tako dalje: negdje su formule jednostavne i lako pamtljive, a negde sadrže veoma složene integrale.

Tada možemo sresti broj Pi u matematičkim formulama, gdje se na prvi pogled geometrija ne vidi. Na primjer, neodređeni integral od 1/(1-x^2) je Pi.

Pi se često koristi u analizi serija. Na primjer, ovdje je jednostavan niz koji konvergira na pi:

1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - .... = PI/4

Među nizovima, pi se najneočekivanije pojavljuje u poznatoj Riemannovoj zeta funkciji. Neće biti moguće reći o tome ukratko, samo ćemo reći da će jednog dana broj Pi pomoći da se pronađe formula za izračunavanje prostih brojeva.

I apsolutno je nevjerovatno: Pi se pojavljuje u dvije najljepše "kraljevske" formule matematike - Stirlingovoj formuli (koja pomaže u pronalaženju približne vrijednosti faktorijala i gama funkcije) i Eulerovoj formuli (koja povezuje onoliko koliko pet matematičkih konstanti).

Međutim, najneočekivanije otkriće čekalo je matematičare u teoriji vjerovatnoće. Pi je takođe tu.

Na primjer, vjerovatnoća da su dva broja relativno prosta je 6/PI^2.

Pi se pojavljuje u Buffonovom problemu bacanja igle iz 18. stoljeća: kolika je vjerovatnoća da će igla bačena na list papira s uzorkom preći jednu od linija. Ako je dužina igle L, a razmak između linija L, i r > L, tada možemo približno izračunati vrijednost Pi koristeći formulu vjerovatnoće 2L/rPI. Zamislite samo - Pi možemo dobiti iz slučajnih događaja. I usput Pi je prisutan u normalnoj raspodjeli vjerovatnoće, pojavljuje se u jednadžbi čuvene Gausove krive. Znači li to da je pi još fundamentalniji od samo omjera obima kruga i njegovog prečnika?

Pi možemo sresti i u fizici. Pi se pojavljuje u Coulombovom zakonu, koji opisuje silu interakcije između dva naboja, u trećem Keplerovom zakonu, koji pokazuje period okretanja planete oko Sunca, a čak se javlja i u rasporedu elektronskih orbitala atoma vodika. I, opet, najnevjerovatnije je da se broj Pi krije u formuli Hajzenbergovog principa nesigurnosti, temeljnog zakona kvantne fizike.

Tajne Pi

U romanu Carla Sagana "Kontakt", koji je baziran na istoimenom filmu, vanzemaljci obavještavaju heroinu da među znakovima Pi postoji tajna poruka od Boga. Sa određene pozicije, brojevi u broju prestaju biti nasumični i predstavljaju šifru u kojoj su zapisane sve tajne Univerzuma.

Ovaj roman je zapravo odražavao zagonetku koja muči umove matematičara širom planete: da li je broj Pi normalan broj u kojem su cifre raštrkane istom frekvencijom ili nešto nije u redu sa ovim brojem. I iako naučnici teže prvoj opciji (ali to ne mogu dokazati), Pi izgleda vrlo misteriozno. Jedan Japanac je jednom izračunao koliko puta se brojevi od 0 do 9 pojavljuju u prvih bilion cifara broja pi. I vidio sam da su brojevi 2, 4 i 8 češći od ostalih. Ovo može biti jedan od nagoveštaja da Pi nije sasvim normalan i da brojevi u njemu zaista nisu slučajni.

Prisjetimo se svega što smo pročitali gore i zapitajmo se, koji je drugi iracionalni i transcendentalni broj tako čest u stvarnom svijetu?

A tu su i druge neobičnosti. Na primjer, zbir prvih dvadeset cifara broja Pi je 20, a zbir prvih 144 cifara jednak je "broju zvijeri" 666.

Protagonista američke TV serije Osumnjičeni, profesor Finč, rekao je studentima da se zbog beskonačnosti broja pi u njemu može pojaviti bilo koja kombinacija brojeva, od brojeva vašeg datuma rođenja do složenijih brojeva. Na primjer, na 762. poziciji nalazi se niz od šest devetki. Ova pozicija se zove Feynmanova tačka, po slavnom fizičaru koji je uočio ovu zanimljivu kombinaciju.

Takođe znamo da broj Pi sadrži niz 0123456789, ali se nalazi na 17.387.594.880.

Sve to znači da u beskonačnosti Pi možete pronaći ne samo zanimljive kombinacije brojeva, već i kodirani tekst "Rata i mira", Biblije, pa čak i Glavne tajne Univerzuma, ako postoji.

Usput, o Bibliji. Poznati popularizator matematike Martin Gardner je 1966. godine izjavio da će milioniti znak broja Pi (u to vrijeme još nepoznat) biti broj 5. Svoje proračune je objasnio činjenicom da je u engleskoj verziji Biblije, god. 3. knjiga, 14. poglavlje, 16-m stih (3-14-16) sedma riječ sadrži pet slova. Cifra od milion je primljena osam godina kasnije. Bio je broj pet.

Vrijedi li nakon ovoga tvrditi da je broj pi slučajan?

13. januara 2017

***

Šta je zajedničko između točka od Lade Priore, burme i tanjira vaše mačke? Naravno, reći ćete ljepota i stil, ali usuđujem se raspravljati s vama. Pi! Ovo je broj koji objedinjuje sve krugove, krugove i zaobljenosti, uključujući, posebno, mamin prsten, i točak iz omiljenog automobila mog oca, pa čak i tanjir moje voljene mačke Murzik. Spreman sam da se kladim da će na rang listi najpopularnijih fizičkih i matematičkih konstanti broj Pi nesumnjivo zauzeti prvi red. Ali šta je iza toga? Možda neke strašne kletve matematičara? Pokušajmo razumjeti ovo pitanje.

Šta je broj "Pi" i odakle je došao?

Moderna oznaka broja π (pi) pojavio zahvaljujući engleskom matematičaru Džonsonu 1706. godine. Ovo je prvo slovo grčke riječi περιφέρεια (periferija ili obim). Za one koji su prošli kroz matematiku dugo, a osim toga, prošlost, podsjećamo da je broj Pi omjer obima kruga i njegovog prečnika. Vrijednost je konstanta, odnosno konstantna je za bilo koju kružnicu, bez obzira na njen polumjer. Ljudi znaju za ovo od davnina. Tako je u starom Egiptu broj Pi uzet jednak omjeru 256/81, au vedskim tekstovima data je vrijednost 339/108, dok je Arhimed predložio omjer 22/7. Ali ni ovi ni mnogi drugi načini izražavanja broja pi nisu dali tačan rezultat.

Ispostavilo se da je broj Pi transcendentalan, odnosno iracionalan. To znači da se ne može predstaviti kao prosti razlomak. Ako se izrazi u decimalnim zarezima, tada će niz cifara nakon decimalnog zareza juriti u beskonačnost, osim toga, bez periodičnog ponavljanja. Šta sve ovo znači? Veoma jednostavno. Želite li znati broj telefona djevojke koja vam se sviđa? Svakako se može naći u nizu cifara iza decimalnog zareza broja Pi.

Telefon možete pogledati ovdje ↓

Pi broj do 10000 znakova.

π= 3,
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989..

Niste ga našli? Onda pogledaj.

Općenito, to može biti ne samo telefonski broj, već bilo koja informacija kodirana pomoću brojeva. Na primjer, ako sva djela Aleksandra Sergejeviča Puškina predstavimo u digitalnom obliku, onda su ona bila pohranjena u broju Pi i prije nego što ih je napisao, čak i prije nego što se rodio. U principu, i dalje se tamo čuvaju. Inače, kletve matematičara u π prisutni su i ne samo matematičari. Jednom riječju, Pi ima sve, čak i misli koje će vam sutra, prekosutra, za godinu ili možda za dvije posjetiti svijetlu glavu. U ovo je jako teško povjerovati, ali čak i ako se pretvaramo da vjerujemo, biće još teže doći do informacija odatle i dešifrirati ih. Dakle, umjesto da se udubljujete u ove brojke, možda bi bilo lakše prići djevojci koja vam se sviđa i pitati je za broj?.. Ali za one koji ne traže lake načine, dobro, ili ih samo zanima koji je broj Pi, Nudim nekoliko načina izračunavanja. Računajte na zdravlje.

Koja je vrijednost Pi? Metode za njegovo izračunavanje:

1. Eksperimentalna metoda. Ako je pi omjer opsega kruga i njegovog prečnika, onda bi možda prvi i najočitiji način da pronađemo našu misterioznu konstantu bio da ručno izvršimo sva mjerenja i izračunamo pi koristeći formulu π=l/d. Gdje je l obim kruga, a d njegov promjer. Sve je vrlo jednostavno, samo se trebate naoružati koncem za određivanje obima, ravnalom za pronalaženje prečnika, a zapravo i dužine samog konca i kalkulatorom ako imate problema s podjelom na stupac . Lončić ili tegla krastavaca može poslužiti kao izmjereni uzorak, nije važno, glavna stvar? tako da je osnova krug.

Razmatrana metoda proračuna je najjednostavnija, ali, nažalost, ima dva značajna nedostatka koja utiču na tačnost rezultirajućeg broja Pi. Prvo, greška mjernih instrumenata (u našem slučaju to je ravnalo s navojem), a drugo, nema garancije da će krug koji mjerimo imati ispravan oblik. Stoga nije iznenađujuće što nam je matematika dala mnoge druge metode za izračunavanje π, gdje nema potrebe za preciznim mjerenjima.

2. Leibnizova serija. Postoji nekoliko beskonačnih serija koje vam omogućavaju da precizno izračunate broj pi na veliki broj decimalnih mjesta. Jedna od najjednostavnijih serija je Leibnizova serija. π = (4/1) - (4/3) + (4/5) - (4/7) + (4/9) - (4/11) + (4/13) - (4/15) . ..
Jednostavno: uzmemo razlomke sa 4 u brojiocu (ovo je onaj na vrhu) i jedan broj iz niza neparnih brojeva u nazivniku (ovo je onaj na dnu), uzastopno ih zbrajamo i oduzimamo jedan s drugim i dobiti broj Pi. Što više iteracija ili ponavljanja naših jednostavnih radnji, to je točniji rezultat. Jednostavna, ali neefikasna, usput, potrebno je 500.000 iteracija da se dobije tačna vrijednost Pi na deset decimalnih mjesta. Odnosno, nesrećnu četvorku ćemo morati podijeliti čak 500.000 puta, a osim ovoga moramo oduzeti i sabrati dobijene rezultate 500.000 puta. Želite probati?

3. Nilakanta serija. Nemate vremena za petljanje oko Leibniza? Postoji alternativa. Nilakanta serija, iako je malo komplikovanija, omogućava nam brže postizanje željenog rezultata. π = 3 + 4/(2*3*4) - 4/(4*5*6) + 4/(6*7*8) - 4/(8*9*10) + 4/(10*11 *12) - (4/(12*13*14) ... Mislim da ako pažljivo pogledate gornji početni fragment serije, sve postaje jasno, a komentari su suvišni. O ovome idemo dalje.

4. Monte Carlo metoda Prilično zanimljiva metoda za izračunavanje pi je Monte Carlo metoda. Tako ekstravagantno ime dobio je u čast istoimenog grada u kraljevstvu Monako. A razlog za to je nasumičan. Ne, nije slučajno nazvan, samo je metod baziran na slučajnim brojevima, a šta može biti slučajnije od brojeva koji padaju na ruletima kazina Monte Carlo? Proračun pi nije jedina primjena ove metode, budući da je pedesetih godina korištena u proračunima hidrogenske bombe. Ali hajde da ne skrećemo sa pažnje.

Uzmimo kvadrat sa stranicom jednakom 2r, i u njega upiši krug poluprečnika r. Sada, ako nasumično stavite tačke u kvadrat, onda je vjerovatnoća P da tačka stane u krug je omjer površina kruga i kvadrata. P = S cr / S q = 2πr 2 / (2r) 2 \u003d π / 4.

Sada odavde izražavamo broj Pi π=4P. Ostaje samo dobiti eksperimentalne podatke i pronaći vjerovatnoću P kao omjer pogodaka u krug N cr da pogodi kvadrat N sq.. Općenito, formula za izračun će izgledati ovako: π=4N cr / N sq.

Želio bih napomenuti da za implementaciju ove metode nije potrebno ići u kazino, dovoljno je koristiti bilo koji manje-više pristojan programski jezik. Pa, tačnost rezultata ovisit će o broju postavljenih bodova, odnosno što je više, to je tačnije. Želim vam puno sreće 😉

Tau broj (umjesto zaključka).

Ljudi koji su daleko od matematike najvjerovatnije ne znaju, ali dogodilo se da broj Pi ima brata koji je duplo veći od njega. Ovaj broj je Tau(τ), a ako je Pi odnos obima i prečnika, tada je Tau odnos te dužine i poluprečnika. I danas postoje prijedlozi nekih matematičara da se broj Pi napusti i zamijeni sa Tau, jer je to na mnogo načina pogodnije. Ali za sada su to samo prijedlozi, a kako je rekao Lev Davidovič Landau: "Nova teorija počinje da dominira kada pristalice stare izumru."