Про движение навстречу друг другу. Задачи на встречное движение (нахождение времени и скорости)

В жизни нам часто приходится иметь дело с величинами: расстояние, время, скорость движения, При решении таких задач мы исходим из того, что все тела двигаются с постоянной скоростью и по прямолинейному пути. Это далеко от реальности, но и при таком упрощении реальных условий можно получить вполне удобоваримые результаты, находя значение одной из этих величин по значениям двух других.

Задача 1. От Ленинграда до Таллинна 360 км, автобус проходит это расстояние за 6 ч . Найти скорость движения автобуса.

В этой задаче дано расстояние между городами 360 км, время движения автобуса 6 ч. Требуется найти скорость движения автобуса.

Решение. 360:60=60 (км в час).

Ответ. Скорость автобуса 60 км в час.

Составим и решим обратные задачи.

Задача 2. От Ленинграда до Таллинна 360 км. За какое время проходит автобус это расстояние, если он будет ехать со скоростью 60 км в час?

Решение. 360:60=6 (ч.)

Ответ. Время движения автобуса? ч.

Задача 3. Автобус, двигаясь со скоростью 60 км в час, проходит расстояние от Ленинграда до Таллинна за 6 ч. Найти расстояние от Ленинграда до Таллинна.

Решение. 60*?=360 (км).

Ответ. Расстояние от Ленинграда до Таллинна 360 км.

Если обозначить расстояние через , скорость через, время движения через,то зависимость между расстоянием, скоростью и временем движения можно записать формулами:

2.Задачи на встречное движение.

В жизни мы наблюдаем встречное движение. Если выйдем на улицы города, то увидим, как навстречу друг другу двигаются по тротуару пешеходы, по мостовой – троллейбусы, автобусы, трамваи, легковые и грузовые автомашины, велосипедисты, мотоциклисты. По рекам города ходят навстречу друг другу катера. По железной дороге мимо друг друга проносятся поезда, в небе пролетают самолеты.

Задачи, связанные со встречным движением, разнообразны. Прежде всего выясним, с какими величинами приходится иметь дело, когда происходит встречное движение, и какова зависимость между ними.

Пусть из пунктов А и В выходят одновременно навстречу друг другу два пешехода. Один со скоростью 4 км в час, другой 5 км в час.

4 км в час 5 км в час

За час пешеходы вместе пройдут 4+5=9 (км). Расстояние между ними уменьшится на 9 км. Иначе говоря, они приблизятся друг к другу за час движения на 9 км. Расстояние, на которое приблизятся друг к другу два пешеходы за час, назовем скоростью их сближения. 9 км в час – скорость сближения пешеходов.

Если известна скорость сближения пешеходов, то нетрудно узнать, на сколько уменьшится расстояние между ними за 2 ч, 3 ч движения навстречу друг другу.9*2 = 18 (км) – на 18 км уменьшится расстояние между пешеходами за 2 ч.9*3 = 27 (км) - на 27 км уменьшится расстояние между пешеходами за 3 ч.

С каждым часом расстояние между пешеходами уменьшается. Наступит момент, когда они встретятся.

Пусть расстояние между А и В равно 36 км. Найдем, какое расстояние стало между пешеходами через 1 ч после их выхода из пунктов А и В через 2 ч, 3 ч, 4 ч.

Через 4 ч после выхода из пунктов А и В пешеходы встретятся.

Рассматривая встречное движение двух пешеходов, мы имели дело с такими величинами:

1). Расстояние между пунктами, из которых начинается одновременное движение;

2). Скорость сближения;

3). Время с момента начала движения до момента встречи (время движения).

Зная значение двух из этих трех величин, можно найти значение третьей величины.

В таблице записаны условия задач, которые можно составить о встречном движении двух пешеходов.

Выразим зависимость между этими величинами формулой. Обозначим через – расстояние междуи;– скорость сближения,– время с момента выхода до момента встречи.

В задачах на встречное движение чаще всего скорость сближения не дается, но ее легко можно найти по данным задачи.

Задача. Из двух пунктов А и В вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода. Один со скоростью 4 км в час, другой – 5 км в час. Встретились они через 3 часа. Найти расстояние между пунктами А и В.

Графическая иллюстрация задачи:

4 км в час 5 км в час

через 3 часа

Чтобы найти расстояние между пунктами иможно скорость сближения умножить на время движения, скорость сближения равна сумме скоростей пешеходов.Формула решения: =(4+5)*3;=27.

Задачи на движение не любят многие, так как зачастую недопонимают, как их решать. Но, как известно, нет ничего невозможного, и поэтому можно научиться тому, как решать задачи на движение, было бы желание.

Как решать задачи на движение: теория

Все задачи, связанные с движением решаются по одной формуле, которую вы должны знать наизусть. Вот она: S=Vt. S – это расстояние, V- скорость движения, и t – это время.

Эта формула - ключ к решению всех этих задач, а все остальное написано в тексте задачи, главное, задачу внимательно прочесть и понять.

Второй важный момент, это приведение всех данных в задаче величин к единым единицам измерения. То есть, если время дается в часах, то расстояние должно измеряться в километрах, если в секундах, то расстояние в метрах соответственно.

Решение задач

Итак, рассмотрим три основных примера на решение задач на движение.

Два объекта выехали друг за другом.

Предположим, что вам дана такая задача: из города выехал первый автомобиль со скоростью 60 км/ч, через полчаса выехал второй автомобиль со скоростью 90 км/ч. Через сколько километров, второй автомобиль догонит первый?Для решения такой задачи у нас имеется формула: t = S /(v1 - v2).Так как время нам известно, а расстояние нет, то мы ее трансформируем S= t(v1 - v2).Подставляем цифры: S=0,5(90-60), S=15 км.То есть оба автомобиля встретятся через 15 км.

Два объекта выехали в противоположенном направлении

Если вам дана задача, в которой два объекта выехали навстречу друг другу, и нужно узнать, когда они встретятся, то нужно применять следующую формулу:t = S /(v1 + v2).Например, из пункта А и Б, между которыми 43 км, ехал автомобиль со скоростью 80 км/ч, а из пункта Б в А ехал автобус со скоростью 60 км/ч. Через сколько времени они встретятся?Решение: 43/(80+60)=0,30 часа.

Два объекта выехали одновременно в одном направлении

Дана задача: из пункта А в пункт Б вышел пешеход, двигающийся со скоростью 5 км/ч, а также выехал велосипедист со скоростью 15 км/ч. Во сколько раз велосипедист быстрее доберется из пункта А в пункт Б, если известно, что расстояние между этими пунктами 10 км.Сначала нужно найти время, за которое пешеход пройдет это расстояние. Переделываем формулу S=Vt, получаем t =S/V. Подставляем числа 10/5=2. то есть пешеход потратит на дорогу 2 часа.

Теперь высчитываем время для велосипедиста. t =S/V или 10/15=0,7 часа.Третье действие совсем уж простое, мы должны найти разность времени пешехода и человека на велосипеде. 2/0,7=2,8. Ответ таков: велосипедист доберется до пункта Б быстрее пешехода в 2,8 раза.

Таким образом, применяя эти нехитрые формулы, вы всегда будет знать, как решаются задачи на движение. Нужно только очень внимательно прочитать задачу, принять во внимание все данные, привести их в одну систему измерения, а потом уж подобрать для решения нужную формулу.

Но будьте бдительны, не обязательно, что у вашей задачи будет одно только действие, иногда, прежде чем применить наши формулы, вам придется выполнить еще ряд промежуточных действий, чтобы найти необходимые данные. Не забывайте о них, и тогда у вас непременно все получится.

Математика - довольно сложный предмет, но в школьном курсе ее придется пройти абсолютно всем. Особое затруднение у учеников вызывают задачи на движение. Как решать без проблем и массы потраченного времени, рассмотрим в данной статье.

Отметим, что если потренироваться, то эти задания не будут вызывать никаких трудностей. Процесс решения можно выработать до автоматизма.

Разновидности

Что имеется ввиду под таким типом задания? Это довольно-таки простые и нехитрые задачи, которые включают в себя следующие разновидности:

• встречное движение;
• вдогонку;
• движение в противоположном направлении;
• движение по реке.

Предлагаем каждый вариант рассмотреть в отдельности. Конечно же, разбирать будем исключительно на примерах. Но прежде, чем перейдем к вопросу, как на движение, стоит ввести одну формулу, которая будет нам необходима при решении абсолютно всех заданий этого типа.

Формула: S=V*t. Немного пояснений: S - это путь, буквой V обозначается скорость движения, а буква t означает время. Все величины можно выражать через эту формулу. Соответственно, скорость равна пути, разделенному на время, а время - это путь, поделенный на скорость.

Движение навстречу

Это самый распространенный тип задач. Чтобы понять суть решения, рассмотрим следующий пример. Условие: "Два друга на велосипедах отправились одновременно друг другу навстречу, при этом путь от одного дома до другого составляет 100 км. Каково будет расстояние через 120 минут, если известно, что скорость одного - 20 км в час, а второго - пятнадцать". Переходим к вопросу, как решить задачу на встречное движение велосипедистов.

Для этого нам необходимо ввести еще один термин: "скорость сближения". В нашем примере она будет равна 35 км в час (20 км в час + 15 км в час). Это и будет первое действие в решении задачи. Далее умножаем скорость сближения на два, так как они двигались два часа: 35*2=70 км. Мы нашли расстояние, на которое сблизятся велосипедисты через 120 минут. Осталось последнее действие: 100-70=30 километров. Этим вычислением мы нашли расстояние между велосипедистами. Ответ: 30 км.

Если вам непонятно, как решить задачу на встречное движение, используя скорость сближения, то воспользуйтесь еще одним вариантом.

Второй способ

Сначала мы находим путь, который проехал первый велосипедист: 20*2=40 километров. Теперь путь 2-го друга: пятнадцать умножаем на два, что равняется тридцати километрам. Складываем расстояние, пройденное первым и вторым велосипедистом: 40+30=70 километров. Мы узнали, какой путь преодолели они совместно, поэтому осталось из всего пути вычесть пройденный: 100-70=30 км. Ответ: 30 км.

Мы рассмотрели первый тип задачи на движение. Как решать их, теперь понятно, переходим к следующему виду.

Движение в противоположном направлении

Условие: "Из одной норки в противоположном направлении ускакали два зайца. Скорость первого - 40 км в час, а второго - 45 км в час. Как далеко они будут друг от друга через два часа?"

Здесь, как и в предыдущем примере, возможно два варианта решения. В первом мы будем действовать привычным способом:

1. Путь первого зайца: 40*2=80 км.
2. Путь второго зайца: 45*2=90 км.
3. Путь, который они прошли совместно: 80+90=170 км. Ответ: 170 км.

Но возможен и другой вариант.

Скорость удаления

Как вы уже успели догадаться, в этом задании, аналогично первому, появится новый термин. Рассмотрим следующий тип задачи на движение, как решать их с помощью скорости удаления.

Ее мы в первую очередь и найдем: 40+45=85 километров в час. Осталось выяснить, каково расстояние, разделяющее их, поскольку все остальные данные уже известны: 85*2=170 км. Ответ: 170 км. Мы рассмотрели решение задач на движение традиционным способом, а также с помощью скорости сближения и удаления.

Движение вдогонку

Давайте рассмотрим пример задачи и попробуем вместе ее решить. Условие: "Два школьника, Кирилл и Антон, ушли из школы и двигались со скоростью 50 метров в минуту. Костя вышел за ними через шесть минут со скоростью 80 метров в минуту. Через какое количество времени Костя догонит Кирилла и Антона?"

Итак, как решать задачи на движение вдогонку? Здесь нам понадобится скорость сближения. Только в этом случае стоит не складывать, а вычитать: 80-50=30 м в минуту. Вторым действием узнаем, сколько метров разделяет школьников до выхода Кости. Для этого 50*6=300 метров. Последним действием находим время, за которое Костя догонит Кирилла и Антона. Для этого путь 300 метров необходимо разделить на скорость сближения 30 метров в минуту: 300:30=10 минут. Ответ: через 10 минут.

Выводы

Исходя из сказанного ранее, можно подвести некоторые итоги:

• при решении задач на движение удобно использовать скорость сближения и удаления;
• если речь идет о встречном движении или движении друг от друга, то эти величины находятся путем сложения скоростей объектов;
• если перед нами задача на движение вдогонку, то употребляем действие, обратное сложению, то есть вычитание.

Мы рассмотрели некоторые задачи на движение, как решать, разобрались, познакомились с понятиями "скорость сближения" и "скорость удаления", осталось рассмотреть последний пункт, а именно: как решать задачи на движение по реке?

Течение

Здесь могут встречаться опять же:

• задачи на движение навстречу друг другу;
• движение вдогонку;
• движение в противоположном направлении.

Но в отличие от предыдущих задач, у реки есть скорость течения, которую не стоит игнорировать. Здесь объекты будут двигаться либо по течению реки - тогда эту скорость стоит прибавить к собственной скорости объектов, либо против течения - ее необходимо вычесть из скорости движения объекта.

Пример задачи на движение по реке

Условие: шел по течению со скоростью 120 км в час и вернулся обратно, при этом затратил время меньше на два часа, чем против течения. Какова скорость водного мотоцикла в стоячей воде?" Нам дана скорость течения, равная одному километру в час.

Переходим к решению. Предлагаем составить таблицу для наглядного примера. Примем скорость мотоцикла в стоячей воде за х, тогда скорость по течению равна х+1, а против х-1. Расстояние туда и обратно равняется 120 км. Получается, что время, затраченное на движение против течения равно 120:(х-1), а по течению 120:(х+1). При этом известно, что 120:(х-1) на два часа меньше, чем 120:(х+1). Теперь можем переходить к заполнению таблицы.

Что мы имеем: (120/(х-1))-2=120/(х+1) Домножим каждую часть на (х+1)(х-1);

120(х+1)-2(х+1)(х-1)-120(х-1)=0;

Решаем уравнение:

Замечаем, что здесь два варианта ответа: +-11, так как и -11 и +11 дают в квадрате 121. Но наш ответ будет положительным, поскольку скорость мотоцикла не может иметь отрицательного значения, следовательно, можно записать ответ: 11 км в час. Таким образом, мы нашли необходимую величину, а именно скорость в стоячей воде.

Мы рассмотрели все возможные варианты задач на движение, теперь при их решении у вас не должно возникать проблем и затруднений. Для их решения необходимо узнать основную формулу и такие понятия, как "скорость сближения и удаления". Наберитесь терпения, отработайте эти задания, и успех придет.

Одной из базовых тем в математике младших классов является "Движение и задачи на движение". Приступать к ее изучению можно после того, как усвоены основные математические действия (сложение, разность, произведение и частное), устный счет . Совсем не обязательно детям такого возраста показывать формулы, которые связывают путь, скорость и время. Как правило, дети начинают это понимать интуитивно. Конечно, эта тема подготавливает школьника к будущему изучению физики, но до этого еще очень далеко. Однако стоит обсудить с ребенком, например, реальность скоростей, которые присутствуют в решаемых задачах, спросить у школьника что движется быстрее всего, что или кто медленнее всего. Можно подобрать еще массу вопросов, которые будут совпадать с фабулой задачи.

Задача 1. В одно и тоже время друг навстречу другу из двух городов отправились два поезда. Один из них за 1/4 часа проходит 13 км, а второй за 1/3 часа проходит 16 км. Спустя 2 часа эти поезда встретились. Сколько километров между этими городами?

Задача 2. Друг навстречу другу движутся велосипедист и пешеход. На данный момент между ними расстояние 52 км. У велосипедиста скорость 9 км/ч, скорость пешехода меньше на 5 км/ч, а. Каким будет между ними расстояние по истечении 6 часов?

Задача 3. Два велосипедиста одновременно выехали из сел А и В. Между селами расстояние 117 км Велосипедисты отправились друг навстречу другу. У первого велосипедиста скорость 17 км/ч, у второго велосипедиста скорость 24 км/ч. Каким стало расстояние между велосипедистами спустя 2 часа.

Задача 4. Из некоторого города отправился поезд. Второй поезд выехал из этого же города в противоположную сторону спустя 2 часа. Когда прошло 3 часа с этого момента, дистанция между поездами стало 402 км. Скорость первого поезда на 6 км/ч меньше, чем скорость второго. Чему равны скорости поездов?

Задача 5. В одно и тоже время друг навстречу другу вылетело два самолета. Через 10 минут они отдалились на 270 км. У первого самолета скорость 15 км/мин. Какая скорость у второго самолета, если расстояние между аэродромами 540 км? В какое время второй самолет прибудет на противоположный аэродром, если он вылетел в 10 часов 15 минут?

Задача 6. В 9 часов утра из города А выехал поезд, скорость которого 67 км/ч. В тот же день в 12 часов из города В навстречу ему отправился другой поезд, его скорость 50 км/ч. По истечении 7 часов после того, как отправился второй поезд между ними оказалось 365 км. Узнайте сколько километров между городами А и В.

Задача 7. Автомобиль выехал из точки А в точку В, его скорость 65 км/ч. По истечении 2 часов из точки В ему навстречу выехал мотоцикл, его скорость 80 км/ч. На расстоянии 240 км от пункта В он встретил автомобиль. Найдите расстояние от пункта А до пункта В.

Задача 8. По шоссе едут два велосипедиста друг навстречу другу. Между ними сейчас 2700 метров, велосипедисты встретятся через 6 минут. Скорость одного больше на 50 м/мин, чем скорость другого. Определите их скорости.

Задача 9. Два автомобиля выехали одновременно друг навстречу другу. Через сколько дистанция между ними окажется равной 150 км, если первый до этого момента проедет 180 км Известно, что скорость второго в 2 раза меньше, чем скорость первого, и первый автомобиль тратит на весь путь от А до В 7 часов?

Задача 10. От одного до другого города 250 км, из этих городов друг навстречу другу в одно и тоже время отправились два мотоциклиста. Когда прошло 2 часа, оказалось, что дистанция между мотоциклистами стала 30 км. У первого мотоциклиста скорость больше на 10 км/ч, скорости второго. Найдите скорость каждого мотоциклиста.

Узнать как решить эти задачи вы можете по адресу Этот адрес электронной почты защищен от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра. . Мы с удовольствием вышлем вам все решения с методическими рекомендациями.

Задача 1.

Из поселка и города навстречу друг другу, одновременно выехали два автобуса. Один автобус до встречи проехал 100 км со скоростью 25 км/час. Сколько километров до встречи проехал второй автобус, если его скорость 50 км/час.

Решение:
• 1) 100: 25 = 4 (часа ехал один автобус)
• 2) 50 * 4 = 200
• Выражение: 50 * (100: 25) = 200
• Ответ: второй автобус проехал до встречи 200 км.

Задача 2.

Расстояние между двумя пристанями 90 км. От каждой из них одновременно навстречу друг другу вышли два теплохода. Сколько часов им понадобится чтобы встретиться, если скорость первого 20 км/час, а второго 25 км/час?

Решение:
• 1) 25 + 20 = 45 (сумма скоростей теплоходов)
• 2) 90: 45 = 2
• Выражение: 90: (20 + 25) = 2
• Ответ: теплоходы встретятся через 2 часа.

Задача 3.

От двух станций, расстояние между которыми 564 км., одновременно навстречу друг другу вышли два поезда. Скорость одного из них 63 км/час. Какова скорость второго, если поезда встретились через 4 часа?

Решение:
• 1) 63 * 4 = 252 (прошел 1 поезд)
• 2) 564 - 252 =312 (прошел 2 поезд)
• 3) 312: 4 = 78
• Выражение: (63 * 4 - 252) : 4 = 78
• Ответ: скорость второго поезда 78 км/час.

Задача 4.

Через сколько секунд встретятся две ласточки, летящие на встречу друг другу, если скорость каждой из них 23 метра в секунду, а расстояние между ними 920 м.

Решение:
• 1) 23 * 2 = 46 (сумма скоростей ласточек)
• 2) 920: 46 = 20
• Выражение: 920: (23 * 2) = 20
• Ответ: ласточки встретятся через 20 секунд.

Задача 5

С двух поселков, навстречу друг другу выехали одновременно велосипедист и мотоциклист. Скорость мотоциклиста 54 км/час, велосипедиста 16 км/час. Сколько километров проехал мотоциклист до встречи, если велосипедист проехал 48 км?

Решение:
• 1) 48: 16 = 3 (часа потратил велосипедист)
• 2) 54 * 3 = 162
• Выражение: 54 * (48: 16) = 162
• Ответ: мотоциклист проехал 162 км.

Задача 6

Две лодки, расстояние между которыми 90 км, начали движение на встречу друг другу. Скорость одной из лодок 10 км /час, другой 8 км/час. Сколько часов понадобится лодкам, чтобы встретится?

Решение:
• 1) 10 + 8 = 18 (скорость двух лодок вместе)
• 2) 90: 18 = 5
• Выражение: 90: (10 + 8) = 5
• Ответ: лодки встретятся через 5 часов.

Задача 7

По дорожке, длинна которой 200 метров, навстречу друг другу побежали два мальчика. Один из них бежал со скоростью 5 м/сек. Какова скорость второго мальчика, если встретились они через 20 сек?

Решение:
• 1) 20 * 5 = 100 (метров пробежал первый мальчик)
• 2) 200 - 100 = 100 (метров пробежал второй мальчик)
• 3) 100: 20 = 5
• Выражение: (200 - 5 * 20) : 20 = 5
• Ответ: скорость второго мальчика 5 км/сек.

Задача 8

Два поезда выехали навстречу друг другу. Скорость одного из них 35 км/час, другого 29 км/час. Какое расстояние между поездами было сначала, если встретились они через 5 часов?

Решение:
• 1) 35 + 29 = 64 (скорсть двух поездов вместе)
• 2) 64 * 5 = 320
• Выражение: (35 + 29) * 5 = 320
• Ответ: расстояние между поездами было 320 км.

Задача 9

Из двух поселков навстречу друг другу выехали два всадника. Скорость одного из них 13 км/час, встретились они через 4 часа. С какой скоростью двигался второй всадник, если расстояние между поселками 100 км.

Решение:
• 1) 13 * 4 = 52 (проехал первый всадник)
• 2) 100 - 52 = 48 (проехал второй всадник)
• 3) 48: 4 = 12
• Выражение: (100 - 13 * 4) : 4 = 12
• Ответ: скорость второго всадника 12 км/час.