Šta su ekstremi funkcije: kritične tačke maksimuma i minimuma. Kako pronaći minimalne i maksimalne točke funkcije: karakteristike, metode i primjeri

Iz ovog članka čitatelj će saznati šta je ekstremum funkcionalne vrijednosti, kao i o značajkama njegove upotrebe u praksi. Proučavanje takvog koncepta izuzetno je važno za razumijevanje osnova više matematike. Ova tema je fundamentalna za dublje proučavanje kursa.

U kontaktu sa

Šta je ekstrem?

U školskom kursu daju se mnoge definicije pojma "ekstremum". Ovaj članak ima za cilj da pruži najdublje i najjasnije razumijevanje pojma za one koji nisu upoznati s tim pitanjem. Dakle, pod pojmom se podrazumijeva u kojoj mjeri funkcionalni interval poprima minimalnu ili maksimalnu vrijednost na određenom skupu.

Ekstremum je istovremeno i minimalna vrijednost funkcije i maksimum. Postoji minimalna i maksimalna tačka, odnosno ekstremne vrijednosti argumenta na grafu. Glavne nauke u kojima se ovaj koncept koristi:

• statistika;
• upravljanje mašinama;
• ekonometrija.

Ekstremne tačke igraju važnu ulogu u određivanju redosleda date funkcije. Koordinatni sistem na grafu u svom najboljem izdanju pokazuje promjenu ekstremnog položaja ovisno o promjeni funkcionalnosti.

Ekstremi funkcije derivacije

Postoji i nešto kao "derivat". Potrebno je odrediti tačku ekstrema. Važno je ne brkati minimalne ili maksimalne tačke s najvećim i najmanjim vrijednostima. To su različiti koncepti, iako mogu izgledati slični.

Vrijednost funkcije je glavni faktor u određivanju kako pronaći maksimalnu tačku. Derivat se ne formira iz vrijednosti, već isključivo iz njegovog ekstremnog položaja u ovom ili onom redu.

Sam izvod se određuje na osnovu podataka ekstremnih tačaka, a ne najveće ili najmanje vrednosti. U ruskim školama granica između ova dva koncepta nije jasno povučena, što utiče na razumijevanje ove teme općenito.

Razmotrimo sada tako nešto kao "oštar ekstremum". Do danas postoji akutna minimalna vrijednost i akutna maksimalna vrijednost. Definicija je data u skladu sa ruskom klasifikacijom kritičnih tačaka funkcije. Koncept tačke ekstrema je osnova za pronalaženje kritičnih tačaka na grafikonu.

Za definiranje takvog koncepta koristi se Fermatova teorema. Ono je najvažnije u proučavanju ekstremnih tačaka i daje jasnu predstavu o njihovom postojanju u ovom ili onom obliku. Da bi se osigurala ekstremnost, važno je stvoriti određene uslove za smanjenje ili povećanje na grafikonu.

Da biste tačno odgovorili na pitanje "kako pronaći maksimalan poen", morate slijediti ove odredbe:

1. Pronalaženje tačne oblasti definicije na grafikonu.
2. Traži derivaciju funkcije i tačku ekstrema.
3. Riješite standardne nejednakosti za domenu argumenta.
4. Znati dokazati u kojim funkcijama je tačka na grafu definirana i kontinuirana.

Pažnja! Potraga za kritičnom tačkom funkcije je moguća samo ako postoji derivacija najmanje drugog reda, što je osigurano visokim udjelom prisutnosti tačke ekstrema.

Neophodan uslov za ekstremum funkcije

Da bi postojao ekstrem, važno je da postoje i minimalni i maksimalni bodovi. Ako se ovo pravilo poštuje samo djelimično, onda se krši uslov postojanja ekstremuma.

Svaka funkcija u bilo kojoj poziciji mora biti diferencirana kako bi se identificirala njena nova značenja. Važno je shvatiti da slučaj kada tačka nestane nije glavni princip pronalaženja diferencijabilne tačke.

Oštar ekstrem, kao i minimum funkcije, izuzetno je važan aspekt rješavanja matematičkog problema korištenjem ekstremnih vrijednosti. Da bismo bolje razumjeli ovu komponentu, važno je obratiti se na tabelarne vrijednosti za dodjelu funkcionalnosti.

Maksimalne i minimalne tačke su tačke ekstrema funkcije koje se nalaze prema određenom algoritmu. Ovo je glavni indikator u pronalaženju funkcije. Tačka x0 je minimalna tačka ako je za sve x iz određene okoline x0 nejednakost f(x) ? f(x0) (za tačku maksimuma, suprotna nejednakost je objektivno f(x) ? f(x0)).

Uputstvo

1. Pronađite izvod funkcije. Derivat karakterizira metamorfozu funkcije u određenoj tački i definira se kao granica omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, onog koji teži nuli. Da biste ga pronašli, koristite tabelu izvedenica. Recimo da će derivacija funkcije y = x3 biti jednaka y' = x2.

2. Izjednačite ovu derivaciju sa nulom (u ovom slučaju x2=0).

3. Pronađite vrijednost varijable datog izraza. To će biti vrijednosti na kojima će ovaj izvod biti jednak 0. Da biste to učinili, zamijenite proizvoljne brojeve u izraz umjesto x, pri čemu će cijeli izraz postati nula. Recite: 2-2×2= 0(1-x)(1+x) = 0x1= 1, x2 = -1

4. Dobijene vrijednosti primijenite na koordinatnu liniju i izračunajte predznak derivacije za sve dobijene intervale. Na koordinatnoj liniji su označene tačke koje se uzimaju kao predgovor reference. Da biste izračunali vrijednost na intervalima, zamijenite proizvoljne vrijednosti koje odgovaraju kriterijima. Recimo da je za prethodnu funkciju prije intervala -1 dozvoljeno preferirati vrijednost -2. Na intervalu od -1 do 1 možete odabrati 0, a za vrijednosti veće od 1 izabrati 2. Zamijenite ove brojeve u izvod i saznajte predznak izvoda. U ovom slučaju, derivacija sa x = -2 će biti jednaka -0,24, tj. negativan i u ovom intervalu će biti znak minus. Ako je x=0, tada će vrijednost biti jednaka 2, što znači da se na ovaj interval stavlja pozitivan predznak. Ako je x=1, onda će i derivacija biti jednaka -0,24 i stoga se stavlja minus.

5. Ako pri prolasku kroz tačku na koordinatnoj liniji derivacija promijeni svoj predznak s minusa na plus, onda je ovo minimalna točka, a ako je od plusa u minus, onda je ovo maksimalna točka.

Maksimalne tačke funkcije zajedno sa minimalnim tačkama nazivaju se tačke ekstrema. U tim točkama funkcija mijenja prirodu ponašanja. Ekstremi se određuju u ograničenim numeričkim intervalima i uvijek su lokalni.

Uputstvo

1. Proces pronalaženja lokalnih ekstrema naziva se pretraživanje funkcije i izvodi se pregledom prvog i drugog izvoda funkcije. Prije nego započnete pretragu, uvjerite se da dati raspon vrijednosti argumenata pripada mogućim vrijednostima. Recimo, za funkciju F=1/x, vrijednost argumenta x=0 je neprihvatljiva. Ili za funkciju Y=tg(x), argument ne može imati vrijednost x=90°.

2. Uvjerite se da je Y funkcija diferencibilna na svakom danom intervalu. Pronađite prvi izvod od Y'. Očigledno, prije dostizanja tačke lokalnog maksimuma, funkcija raste, a kada prolazi kroz maksimum, funkcija postaje opadajuća. Prvi derivat u svom fizičkom značenju karakterizira brzinu metamorfoze funkcije. Dok funkcija raste, brzina ovog procesa je pozitivna vrijednost. Prilikom prolaska kroz lokalni maksimum, funkcija počinje opadati, a brzina procesa metamorfoze funkcije postaje negativna. Prijelaz brzine metamorfoze funkcije kroz nulu događa se u lokalnoj tački maksimuma.

3. Posljedično, na mjestu rastuće funkcije, njen prvi izvod je pozitivan za sve vrijednosti argumenta na ovom intervalu. I obrnuto - na mjestu opadajuće funkcije vrijednost prvog izvoda je manja od nule. U tački lokalnog maksimuma, vrijednost prve derivacije je nula. Očigledno, da bi se pronašao lokalni maksimum funkcije, potrebno je pronaći tačku x?, u kojoj je prvi izvod ove funkcije jednak nuli. Za bilo koju vrijednost argumenta na segmentu xx koji se proučava? - negativan.

4. Da pronađem x? riješiti jednačinu Y'=0. Vrijednost Y(x?) će biti lokalni maksimum ako je drugi izvod funkcije u ovoj tački manji od nule. Pronađite drugi izvod Y", zamijenite u rezultirajući izraz vrijednost argumenta x \u003d x? i uporedi rezultat proračuna sa nulom.

5. Recimo da funkcija Y=-x?+x+1 na intervalu od -1 do 1 ima konstantan izvod Y'=-2x+1. Kod x=1/2 derivacija je jednaka nuli, a pri prolasku kroz ovu tačku derivacija mijenja predznak iz "+" u "-". Drugi izvod funkcije Y”=-2. Izgradite tačku po tačku grafik funkcije Y=-x?+x+1 i provjerite da li je tačka sa apscisom x=1/2 lokalni maksimum na datom segmentu numeričke ose.

Povezani video zapisi

Koristan savjet
Da biste pronašli derivat, postoje online usluge koje izračunavaju potrebne vrijednosti i prikazuju rezultat. Na takvim stranicama moguće je detektirati derivat do 5. reda.

Funkcija i proučavanje njenih karakteristika zauzima jedno od ključnih poglavlja moderne matematike. Glavna komponenta bilo koje funkcije su grafovi koji prikazuju ne samo njena svojstva, već i parametre derivacije ove funkcije. Hajde da pogledamo ovu zeznutu temu. Dakle, koji je najbolji način za pronalaženje maksimalne i minimalne tačke funkcije?

Funkcija: definicija

Svaka varijabla koja na neki način ovisi o vrijednostima druge veličine može se nazvati funkcijom. Na primjer, funkcija f(x 2) je kvadratna i određuje vrijednosti za cijeli skup x. Recimo da je x = 9, tada će vrijednost naše funkcije biti jednaka 9 2 = 81.

Funkcije dolaze u različitim tipovima: logičke, vektorske, logaritamske, trigonometrijske, numeričke i druge. Takvi izvanredni umovi kao što su Lacroix, Lagrange, Leibniz i Bernoulli bili su angažovani u njihovom proučavanju. Njihovi spisi služe kao bedem u modernim načinima proučavanja funkcija. Prije pronalaženja minimalnih tačaka, vrlo je važno razumjeti samo značenje funkcije i njenog izvoda.

Derivat i njegova uloga

Sve funkcije zavise od svojih varijabli, što znači da mogu promijeniti svoju vrijednost u bilo kojem trenutku. Na grafikonu će to biti prikazano kao kriva koja se ili spušta ili podiže duž y-ose (ovo je cijeli skup brojeva "y" duž vertikale grafikona). I tako je definicija tačke maksimuma i minimuma funkcije upravo povezana sa ovim "oscilacijama". Hajde da objasnimo kakav je to odnos.

Izvod bilo koje funkcije se crta kako bi se proučile njene glavne karakteristike i izračunala brzina promjene funkcije (tj. mijenja svoju vrijednost u zavisnosti od varijable "x"). U trenutku kada funkcija raste, grafik njene derivacije će se takođe povećati, ali u bilo kojoj sekundi funkcija može početi da opada, a zatim će se graf derivacije smanjiti. One tačke u kojima derivacija ide od minusa do plusa nazivaju se minimalne tačke. Da biste znali kako pronaći minimalne bodove, trebali biste bolje razumjeti

Kako izračunati derivat?

Definicija i funkcije podrazumijevaju nekoliko koncepata iz Općenito, sama definicija derivacije može se izraziti na sljedeći način: to je vrijednost koja pokazuje brzinu promjene funkcije.

Matematički način definisanja za mnoge studente izgleda komplikovano, ali u stvari je sve mnogo jednostavnije. Potrebno je samo slijediti standardni plan za pronalaženje derivacije bilo koje funkcije. Sljedeće opisuje kako možete pronaći minimalnu točku funkcije bez primjene pravila diferencijacije i bez pamćenja tablice derivacija.

1. Možete izračunati derivaciju funkcije koristeći graf. Da biste to učinili, morate prikazati samu funkciju, zatim uzeti jednu tačku na njoj (tačka A na slici), nacrtati liniju okomito dolje na os apscise (tačka x 0) i nacrtati tangentu na graf funkcija u tački A. Os apscisa i tangenta tvore ugao a. Da biste izračunali koliko brzo funkcija raste, morate izračunati tangens ovog ugla a.
2. Ispada da je tangenta ugla između tangente i pravca x-ose derivacija funkcije u maloj površini sa tačkom A. Ova metoda se smatra geometrijskim načinom određivanja derivacije.

Metode za ispitivanje funkcije

U školskom programu matematike minimalnu tačku funkcije moguće je pronaći na dva načina. Već smo analizirali prvu metodu koristeći graf, ali kako odrediti numeričku vrijednost derivacije? Da biste to učinili, morat ćete naučiti nekoliko formula koje opisuju svojstva izvoda i pomažu u pretvaranju varijabli poput "x" u brojeve. Sljedeća metoda je univerzalna, tako da se može primijeniti na gotovo sve vrste funkcija (i geometrijske i logaritamske).

1. Potrebno je izjednačiti funkciju sa deriviranom funkcijom, a zatim pojednostaviti izraz koristeći pravila diferencijacije.
2. U nekim slučajevima, kada je data funkcija u kojoj je varijabla "x" djelitelj, potrebno je odrediti raspon prihvatljivih vrijednosti izuzevši iz njega tačku "0" (iz jednostavnog razloga što se u matematici ni u kom slučaju se ne može dijeliti sa nulom).
3. Nakon toga, originalni oblik funkcije treba pretvoriti u jednostavnu jednačinu, izjednačavajući cijeli izraz sa nulom. Na primjer, ako je funkcija izgledala ovako: f (x) = 2x 3 + 38x, tada je prema pravilima diferencijacije njena derivacija jednaka f "(x) \u003d 3x 2 + 1. Zatim transformiramo ovo izraz u jednadžbu sljedećeg oblika: 3x 2 +1 \u003d 0 .
4. Nakon rješavanja jednačine i pronalaženja tačaka "x", treba ih prikazati na x-osi i odrediti da li je izvod u ovim područjima između označenih tačaka pozitivan ili negativan. Nakon oznake, postat će jasno u kojem trenutku funkcija počinje opadati, odnosno mijenja predznak od minusa do suprotnog. Na taj način možete pronaći i minimalne i maksimalne bodove.

Pravila diferencijacije

Najosnovnija komponenta u proučavanju funkcije i njenog derivata je poznavanje pravila diferencijacije. Samo uz njihovu pomoć moguće je transformirati glomazne izraze i velike složene funkcije. Hajde da se upoznamo s njima, ima ih puno, ali su svi vrlo jednostavni zbog regularnih svojstava i stepena i logaritamskih funkcija.

1. Derivat bilo koje konstante je nula (f(x) = 0). Odnosno, derivacija f (x) = x 5 + x - 160 imat će sljedeći oblik: f "(x) = 5x 4 +1.
2. Derivat zbira dva člana: (f+w)" = f"w + fw".
3. Derivat logaritamske funkcije: (log a d)" = d/ln a*d. Ova formula se primjenjuje na sve vrste logaritama.
4. Derivat snage: (x n)"= n*x n-1. Na primjer, (9x 2)" = 9*2x = 18x.
5. Derivat sinusoidne funkcije: (sin a)" = cos a. Ako je sin ugla a 0,5, onda je njegov izvod √3/2.

ekstremne tačke

Već smo razgovarali o tome kako pronaći minimalne točke, međutim, postoji koncept i funkcije. Ako minimum označava one tačke u kojima funkcija ide od minusa do plusa, tada su tačke maksimuma one tačke na x-osi u kojima se derivacija funkcije menja sa plusa na suprotno - minus.

Maksimalne točke možete pronaći pomoću gore opisane metode, samo treba uzeti u obzir da one označavaju ona područja u kojima funkcija počinje opadati, odnosno derivacija će biti manja od nule.

U matematici je uobičajeno generalizirati oba koncepta, zamjenjujući ih izrazom "tačke ekstrema". Kada se u zadatku traži određivanje ovih tačaka, to znači da je potrebno izračunati derivaciju ove funkcije i pronaći minimalnu i maksimalnu tačku.

77419.Pronađi maksimalnu tačku funkcije y = x 3 -48x + 17

Nađimo nule derivacije:

Uzmimo korijene:

Odredimo predznake derivacije funkcije zamjenom vrijednosti iz intervala u rezultirajuću derivaciju i opišemo ponašanje funkcije na slici:

Otkrili smo da u tački –4 derivacija mijenja svoj predznak iz pozitivnog u negativan. Dakle, tačka x=-4 je željena maksimalna tačka.

Odgovor: -4

77423. Pronađite maksimalnu tačku funkcije y = x 3 -3x 2 +2

Pronađite izvod date funkcije:

Izjednačite derivaciju sa nulom i riješite jednačinu:

U tački x=0 derivacija mijenja predznak iz pozitivnog u negativan, što znači da je ovo tačka maksimuma.

77427. Pronađite maksimalnu tačku funkcije y = x 3 + 2x 2 + x + 3

Pronađite izvod date funkcije:

Kada derivaciju izjednačimo sa nulom i riješimo jednačinu:

Odredimo predznake izvoda funkcije i nacrtajmo na slici intervale povećanja i smanjenja funkcije zamjenom vrijednosti iz svakog intervala u izraz derivacije:

U tački x=-1 derivacija mijenja predznak iz pozitivnog u negativan, što znači da je ovo željena maksimalna tačka.

Odgovor: -1

77431. Pronađite maksimalnu točku funkcije y = x 3 -5x 2 + 7x -5

Nađimo derivaciju funkcije:

Nađimo nule derivacije:

3x 2 - 10x + 7 = 0

3∙0 2 – 10∙0 + 7 = 7 > 0

3∙2 2 – 10∙2 + 7 = – 1< 0

3∙3 2 – 10∙3 + 7 = 4 > 0

U tački x = 1 derivacija mijenja svoj predznak iz pozitivnog u negativan, što znači da je ovo željena maksimalna tačka.

77435. Pronađite maksimalnu tačku funkcije y = 7 + 12x - x 3

Nađimo derivaciju funkcije:

Nađimo nule derivacije:

12 - 3x 2 = 0

Rješavajući kvadratnu jednačinu dobijamo:

*Ovo su moguće maksimalne (minimalne) tačke funkcije.

Napravimo numeričku osu, označimo nule izvoda. Određujemo predznake derivacije zamjenom proizvoljne vrijednosti iz svakog intervala u izraz derivacije funkcije i shematski prikazujemo povećanje i smanjenje na intervalima:

12 – 3∙(–3) 2 = –15 < 0

12 – 3∙0 2 = 12 > 0

12 – 3∙3 2 = –15 < 0

U tački x = 2 derivacija mijenja svoj predznak iz pozitivnog u negativan, što znači da je ovo željena maksimalna tačka.

*Za istu funkciju, minimalna tačka je tačka x = - 2.

77439. Pronađite maksimalnu točku funkcije y = 9x 2 -x 3

Nađimo derivaciju funkcije:

Nađimo nule derivacije:

18x -3x 2 = 0

3x(6 - x) = 0

Rješavajući jednačinu dobijamo:

*Ovo su moguće maksimalne (minimalne) tačke funkcije.

Napravimo numeričku osu, označimo nule izvoda. Određujemo predznake derivacije zamjenom proizvoljne vrijednosti iz svakog intervala u izraz derivacije funkcije i shematski prikazujemo povećanje i smanjenje na intervalima:

18 (–1) –3 (–1) 2 = –21< 0

18∙1 –3∙1 2 = 15 > 0

18∙7 –3∙7 2 = –1 < 0

U tački x=6 derivacija mijenja svoj predznak iz pozitivnog u negativan, što znači da je ovo željena maksimalna tačka.

*Za istu funkciju, minimalna tačka je x = 0.

Šta je ekstrem funkcije i koji je neophodan uslov za ekstrem?

Ekstremum funkcije je maksimum i minimum funkcije.

Neophodan uslov za maksimum i minimum (ekstremum) funkcije je sledeći: ako funkcija f(x) ima ekstrem u tački x = a, tada je u ovoj tački izvod ili nula, ili beskonačan, ili ima ne postoji.

Ovaj uslov je neophodan, ali nije dovoljan. Derivat u tački x = a može nestati, otići u beskonačnost ili ne postojati bez da funkcija ima ekstrem u ovoj tački.

Koji je dovoljan uslov za ekstremum funkcije (maksimum ili minimum)?

Prvi uslov:

Ako je, u dovoljnoj blizini tačke x = a, derivacija f?(x) pozitivna lijevo od a i negativna desno od a, tada u samoj tački x = a funkcija f(x) ima maksimum

Ako je, u dovoljnoj blizini tačke x = a, derivacija f?(x) negativna lijevo od a i pozitivna desno od a, tada u samoj tački x = a funkcija f(x) ima minimum pod uslovom da je funkcija f(x) ovdje kontinuirana.

Umjesto toga, možete koristiti drugi dovoljan uvjet za ekstremum funkcije:

Neka je u tački x = i prvi izvod f?(x) nestaje; ako je drugi izvod f??(a) negativan, tada funkcija f(x) ima maksimum u tački x = a, ako je pozitivna, onda minimum.

Koja je kritična tačka funkcije i kako je pronaći?

Ovo je vrijednost argumenta funkcije na kojoj funkcija ima ekstrem (tj. maksimum ili minimum). Da biste ga pronašli, trebate pronađite izvod funkcija f?(x) i, izjednačavajući je sa nulom, riješi jednačinu f?(x) = 0. Korijeni ove jednadžbe, kao i one tačke u kojima izvod ove funkcije ne postoji, su kritične tačke, tj. vrijednosti argumenta u kojima može postojati ekstrem . Lako se mogu prepoznati gledanjem derivirani graf: zanimaju nas one vrijednosti argumenta pri kojima graf funkcije siječe os apscise (os Ox) i one na kojima graf trpi lomove.

Na primjer, hajde da pronađemo ekstremuma parabole.

Funkcija y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Derivat funkcije: y?(x) = 6x + 2

Rješavamo jednačinu: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

U ovom slučaju, kritična tačka je x0=-1/3. Funkcija ima za ovu vrijednost argumenta ekstrem. Da ga dobijem naći, zamjenjujemo pronađeni broj u izrazu za funkciju umjesto "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Kako odrediti maksimum i minimum funkcije, tj. njegove najveće i najmanje vrijednosti?

Ako se predznak derivacije promijeni iz “plus” u “minus” pri prolasku kroz kritičnu tačku x0, tada je x0 maksimalni poen; ako se predznak derivacije promijeni iz minusa u plus, tada je x0 minimalna tačka; ako se predznak ne mijenja, tada u tački x0 nema ni maksimuma ni minimuma.

Za razmatrani primjer:

Uzimamo proizvoljnu vrijednost argumenta lijevo od kritične tačke: x = -1

Kada je x = -1, vrijednost izvoda će biti y? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (tj. znak minus).

Sada uzimamo proizvoljnu vrijednost argumenta desno od kritične tačke: x = 1

Za x = 1, vrijednost izvoda će biti y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (tj. znak plus).

Kao što vidite, prilikom prolaska kroz kritičnu tačku, derivacija je promijenila predznak iz minusa u plus. To znači da na kritičnoj vrijednosti x0 imamo minimalnu tačku.

Najveća i najmanja vrijednost funkcije na intervalu(na segmentu) se nalaze istom procedurom, samo uzimajući u obzir činjenicu da, možda, neće sve kritične tačke ležati unutar navedenog intervala. One kritične tačke koje su izvan intervala moraju biti isključene iz razmatranja. Ako postoji samo jedna kritična tačka unutar intervala, ona će imati maksimum ili minimum. U ovom slučaju, da bismo odredili najveću i najmanju vrijednost funkcije, uzimamo u obzir i vrijednosti funkcije na krajevima intervala.

Na primjer, pronađimo najveću i najmanju vrijednost funkcije

y (x) \u003d 3 sin (x) - 0,5x

u intervalima:

Dakle, derivacija funkcije je

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Rješavamo jednačinu 3cos(x) - 0.5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x \u003d ± arccos (0,16667) + 2πk.

Nalazimo kritične tačke na intervalu [-9; 9]:

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 2 \u003d -11,163 (nije uključeno u interval)

x \u003d -arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -7,687

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -4,88

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d -1,403

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d 1,403

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4,88

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 1 = 7,687

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 2 \u003d 11,163 (nije uključeno u interval)

Nalazimo vrijednosti funkcije na kritičnim vrijednostima argumenta:

y(-7.687) = 3cos(-7.687) - 0.5 = 0.885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1.403) = 3cos(1.403) - 0.5 = 2.256

y(4.88) = 3cos(4.88) - 0.5 = -5.398

y(7.687) = 3cos(7.687) - 0.5 = -0.885

Može se vidjeti da na intervalu [-9; 9] funkcija ima najveću vrijednost pri x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

a najmanji - na x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Na intervalu [-6; -3] imamo samo jednu kritičnu tačku: x = -4,88. Vrijednost funkcije na x = -4,88 je y = 5,398.

Pronalazimo vrijednost funkcije na krajevima intervala:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Na intervalu [-6; -3] imamo najveću vrijednost funkcije

y = 5,398 pri x = -4,88

najmanja vrijednost je

y = 1,077 pri x = -3

Kako pronaći tačke pregiba grafa funkcije i odrediti strane konveksnosti i konkavnosti?

Da biste pronašli sve točke pregiba prave y = f (x), morate pronaći drugi izvod, izjednačiti ga s nulom (riješiti jednadžbu) i testirati sve one vrijednosti x za koje je drugi izvod nula , beskonačan ili ne postoji. Ako, pri prolasku kroz jednu od ovih vrijednosti, drugi izvod promijeni predznak, tada graf funkcije u ovoj tački ima fleksiju. Ako se ne promijeni, onda nema fleksije.

Korijeni jednačine f ? (x) = 0, kao i moguće tačke diskontinuiteta funkcije i drugog izvoda, dijele domenu funkcije na više intervala. Konveksnost u svakom od njihovih intervala određena je predznakom druge derivacije. Ako je druga derivacija u tački na ispitivanom intervalu pozitivna, tada je prava y = f(x) ovdje konkavna prema gore, a ako je negativna onda naniže.

Kako pronaći ekstreme funkcije dvije varijable?

Da biste pronašli ekstreme funkcije f(x, y), koji se mogu razlikovati u području njenog dodjeljivanja, trebate:

1) pronaći kritične tačke i za to riješiti sistem jednačina

fx? (x,y) = 0, fy? (x,y) = 0

2) za svaku kritičnu tačku P0(a;b) istražiti da li predznak razlike ostaje nepromijenjen

za sve tačke (x; y) dovoljno blizu P0. Ako razlika zadrži pozitivan predznak, tada u tački P0 imamo minimum, ako je negativan onda maksimum. Ako razlika ne zadrži svoj predznak, onda nema ekstremuma u tački R0.

Slično, ekstremi funkcije se određuju za veći broj argumenata.

Koja je službena web stranica grupe Banderos
Stranice hip-hop umjetnika koji govore ruski: mad-a.ru - službena stranica rep umjetnika MAD-A (fotografije, muzika, biografija); st1m.ru - službena web stranica rap izvođača St1m (muzika, video, fotografije, informacije o koncertima, vijesti, forum); all1.ru - službena web stranica kreativnog udruženja

U kojim slučajevima inspektor saobraćajne policije ima pravo da zaustavi vozilo
Na osnovu odredbe stava 20. člana 13. Zakona o policiji, inspektor saobraćajne policije ima pravo da zaustavi vozilo (u daljem tekstu: vozilo), ako je to neophodno za obavljanje poslova koji su povereni policiji. kako bi se osigurala sigurnost na putu iu drugim slučajevima (pogledajte kompletnu listu ispod). Ako inspektor vizuelno

Kako zaštititi radnu knjižicu od namjernog gubitka od strane poslodavca
Da bi se radna knjižica zaštitila od namjernog gubitka (oštećenja) od strane poslodavca, preporučuje se da zaposleni u preduzeću pribavi kopiju radne knjižice na bilo koji pravni način, na primjer, pod izgovorom za dobijanje kredita i čuvajte ga na sigurnom mjestu. Ako nesavjesni poslodavac namjerno uništi činjenice o zaposlenju zaposlenog u svom preduzeću (kako bi izbjegao otkrivanje kršenja zakona o radu tokom

Gdje na internetu pronaći pomoć svih telefona
Stranice "Žutih stranica" na Internetu: yellow-pages.ru - online časopis referentnih informacija "Žute stranice"; ypag.ru - žute stranice CIS-a; yellowpages.rin.ru - žute stranice

Koliko stepeni u radijanu
1 lučna minuta (1′) = 60 lučnih sekundi (60″) 1 stepen luka (1°) = 60 lučnih minuta (60′) = 3600 lučnih sekundi (3600″) 1 radijan ≈ 57,295779513°7 ≈ °17&prim

Muzika je oblik umjetnosti. Sredstva za prenošenje raspoloženja i osećanja u muzici su posebno organizovani zvuci. Glavni elementi i izražajna sredstva muzike su: melodija, ritam, metar, tempo, dinamika, tembar, harmonija, instrumentacija i dr. Muzika je veoma dobro sredstvo za vaspitanje umjetničkog ukusa djeteta. Muzika može uticati na raspoloženje

Koje su zemlje bile domaćini Velike nagrade Formule 1 2005
2005. Svjetsko prvenstvo se sastojalo od 19 Grand Prixa koji su održani u sljedećim zemljama: Australija, Malezija, Bahrein, San Marino, Španija, Monako, Kanada, SAD, Francuska, Velika Britanija, Njemačka, Mađarska, Turska, Italija, Belgija, Brazil, Japan, Kina. Velika nagrada Evrope održana je u Nemačkoj (Nürburg) Više detalja na sajtu http:/

Šta je alokazija
Alocasia (Alocasia) Aroid porodica. Domovina Južna Amerika. Rijetka biljka koja voli uvjete staklenika (vlagu i toplinu) i stoga se ne koristi široko među uzgajivačima cvijeća. Alocasia je lijepa sobna biljka, s velikim zamašenim ovalnim (ili srcolikim) listovima, kojih nema više od 6-7. Najčešći u

Šta znači izraz "Već smo pomirisali ovaj cvijet"?
Izraz “Već smo pomirisali ovaj cvijet” koristi se u istom smislu kao i poznata frazeološka jedinica “Dvaput stati na iste grablje”, tj. suočiti se sa poznatom neprijatnom situacijom. Ovaj izraz se nalazi u feljtonu Ilje Ilfa "Mlade dame" (1929) u sljedećem

Gdje mogu pronaći recept za panna cottu?
Panna cotta (Panna cotta) je najdelikatniji i primamljivi desert od kajmaka i želatine, koji se priprema u Italiji, regiji Emilia-Romagna. Doslovno, naziv deserta se prevodi kao “kuvana pavlaka” ili “kuvana pavlaka”, ali u suštini je krem ​​puding bez ili sa raznim dodacima.

Koliki je kosinus od 90 stepeni
Kosinus je jedna od trigonometrijskih funkcija, označena sa cos. U pravokutnom trokutu kosinus oštrog ugla jednak je omjeru kateta koji izlazi iz ovog ugla (susjedne noge) i hipotenuze.