Ovi geometrijski oblici nas svuda okružuju. Konveksni poligoni su prirodni, kao što je saće, ili umjetni (uvijeni). Ove figure se koriste u proizvodnji raznih vrsta premaza, u slikarstvu, arhitekturi, dekoraciji itd. Konveksni poligoni imaju svojstvo da su sve njihove tačke na istoj strani prave linije koja prolazi kroz par susjednih vrhova ove geometrijske figure. Postoje i druge definicije. Poligon se naziva konveksan ako se nalazi u jednoj poluravni u odnosu na bilo koju pravu liniju koja sadrži jednu od njegovih strana.

U toku elementarne geometrije uvijek se razmatraju samo jednostavni poligoni. Da bismo razumjeli sva svojstva takvih, potrebno je razumjeti njihovu prirodu. Za početak, treba shvatiti da se svaka linija naziva zatvorenom, čiji se krajevi poklapaju. Štoviše, figura koju formira može imati različite konfiguracije. Poligon je jednostavna zatvorena izlomljena linija, u kojoj se susjedne veze ne nalaze na istoj pravoj liniji. Njegove veze i vrhovi su, respektivno, stranice i vrhovi ove geometrijske figure. Jednostavna polilinija ne smije imati samopresijecanja.

Vrhovi poligona nazivaju se susjednim ako predstavljaju krajeve jedne od njegovih stranica. Geometrijska figura koja ima n-ti broj vrhova, a time i n-ti broj stranica, naziva se n-ugao. Sama izlomljena linija naziva se ivica ili kontura ove geometrijske figure. Poligonalna ravan ili ravan poligon naziva se krajnji dio bilo koje ravni koja je njome ograničena. Susedne strane ove geometrijske figure nazivaju se segmenti izlomljene linije koja izlazi iz jednog vrha. Oni neće biti susjedni ako dolaze iz različitih vrhova poligona.

Druge definicije konveksnih poligona

U elementarnoj geometriji postoji još nekoliko ekvivalentnih definicija koje pokazuju koji se poligon naziva konveksan. Sve ove izjave su podjednako tačne. Konveksni poligon je onaj koji ima:

Svaki segment koji povezuje bilo koje dvije tačke unutar njega leži u potpunosti unutar njega;

Sve njegove dijagonale leže unutar njega;

Svaki unutrašnji ugao ne prelazi 180°.

Poligon uvijek dijeli ravan na 2 dijela. Jedan od njih je ograničen (može biti zatvoren u krug), a drugi je neograničen. Prvi se zove unutrašnja regija, a drugi je vanjski dio ove geometrijske figure. Ovaj poligon je sjecište (drugim riječima, zajednička komponenta) nekoliko poluravni. Štaviše, svaki segment koji ima krajeve u tačkama koje pripadaju poligonu u potpunosti mu pripada.

Vrste konveksnih poligona

Definicija konveksnog poligona ne ukazuje na to da ih ima mnogo vrsta. I svaki od njih ima određene kriterije. Dakle, konveksni poligoni koji imaju unutrašnji ugao od 180° nazivaju se slabo konveksnim. Konveksna geometrijska figura koja ima tri vrha naziva se trougao, četiri - četvorougao, pet - petougao, itd. Svaki od konveksnih n-uglova ispunjava sledeći osnovni uslov: n mora biti jednako ili veće od 3. Svaki od konveksnih n-uglova trouglovi su konveksni. Geometrijska figura ove vrste, u kojoj se svi vrhovi nalaze na istoj kružnici, naziva se upisana u krug. Konveksni poligon se naziva opisanim ako ga dodiruju sve njegove strane u blizini kruga. Za dva poligona se kaže da su jednaka samo ako se mogu superponirati superpozicijom. Ravni poligon je poligonalna ravan (dio ravni) koja je ograničena ovom geometrijskom figurom.

Pravilni konveksni poligoni

Pravilni poligoni su geometrijski oblici sa jednakim uglovima i stranicama. Unutar njih se nalazi tačka 0, koja je na istoj udaljenosti od svakog svog vrha. Naziva se središtem ove geometrijske figure. Segmenti koji povezuju centar sa vrhovima ove geometrijske figure nazivaju se apotemi, a oni koji spajaju tačku 0 sa stranicama nazivaju se poluprečnici.

Pravilan četvorougao je kvadrat. Jednakostranični trokut se naziva jednakostranični trokut. Za takve figure postoji sljedeće pravilo: svaki ugao konveksnog poligona je 180° * (n-2)/n,

gdje je n broj vrhova ove konveksne geometrijske figure.

Površina bilo kojeg pravilnog poligona određena je formulom:

gdje je p jednako polovini zbira svih strana datog poligona, a h je jednako dužini apoteme.

Svojstva konveksnih poligona

Konveksni poligoni imaju određena svojstva. Dakle, u njemu se nužno nalazi segment koji povezuje bilo koje 2 točke takve geometrijske figure. dokaz:

Pretpostavimo da je P dati konveksni poligon. Uzimamo 2 proizvoljne tačke, na primjer, A, B, koje pripadaju P. Prema postojećoj definiciji konveksnog poligona, ove tačke se nalaze na istoj strani prave koja sadrži bilo koju stranu od P. Prema tome, AB također ima ovo svojstvo i sadržan je u P. Konveksan poligon je uvijek moguće razbiti na više trouglova po apsolutno svim dijagonalama koje su povučene iz jednog od njegovih vrhova.

Uglovi konveksnih geometrijskih oblika

Uglovi konveksnog poligona su uglovi koje formiraju njegove stranice. Unutrašnji uglovi se nalaze u unutrašnjem delu date geometrijske figure. Ugao koji formiraju njegove strane koje se konvergiraju u jednom vrhu naziva se ugao konveksnog poligona. sa unutrašnjim uglovima date geometrijske figure nazivaju se spoljašnji. Svaki ugao konveksnog poligona koji se nalazi unutar njega jednak je:

gdje je x vrijednost vanjskog ugla. Ova jednostavna formula se odnosi na sve geometrijske oblike ovog tipa.

Općenito, za vanjske uglove postoji sljedeće pravilo: svaki ugao konveksnog poligona jednak je razlici između 180° i vrijednosti unutrašnjeg ugla. Može imati vrijednosti u rasponu od -180° do 180°. Stoga, kada je unutrašnji ugao 120°, vanjski ugao će biti 60°.

Zbir uglova konveksnih poligona

Zbir unutrašnjih uglova konveksnog poligona određuje se formulom:

gdje je n broj vrhova n-ugla.

Zbir uglova konveksnog poligona prilično je lako izračunati. Razmotrite bilo koju takvu geometrijsku figuru. Da bi se odredio zbir uglova unutar konveksnog poligona, jedan od njegovih vrhova mora biti povezan sa drugim vrhovima. Kao rezultat ove akcije, dobijaju se (n-2) trokuta. Znamo da je zbir uglova bilo kojeg trougla uvijek 180°. Pošto je njihov broj u bilo kom poligonu (n-2), zbir unutrašnjih uglova takve figure je 180° x (n-2).

Zbir uglova konveksnog poligona, odnosno bilo koja dva unutrašnja i susedna spoljašnja ugla, za datu konveksnu geometrijsku figuru će uvek biti 180°. Na osnovu toga možete odrediti zbir svih njegovih uglova:

Zbir unutrašnjih uglova je 180° * (n-2). Na osnovu toga, zbir svih vanjskih uglova date figure određuje se formulom:

180° * n-180°-(n-2)= 360°.

Zbir vanjskih uglova bilo kojeg konveksnog poligona uvijek će biti 360° (bez obzira na broj strana).

Vanjski ugao konveksnog poligona općenito je predstavljen razlikom između 180° i unutrašnjeg ugla.

Ostala svojstva konveksnog poligona

Pored osnovnih svojstava ovih geometrijskih oblika, oni imaju i druga koja nastaju prilikom manipulacije njima. Dakle, bilo koji od poligona se može podijeliti na nekoliko konveksnih n-kutova. Da biste to učinili, potrebno je nastaviti svaku njegovu stranu i izrezati ovu geometrijsku figuru duž ovih ravnih linija. Također je moguće podijeliti bilo koji poligon na nekoliko konveksnih dijelova na način da se vrhovi svakog od komada poklapaju sa svim njegovim vrhovima. Od takve geometrijske figure mogu se vrlo jednostavno napraviti trouglovi crtanjem svih dijagonala iz jednog vrha. Dakle, bilo koji poligon, u konačnici, može se podijeliti na određeni broj trokuta, što se ispostavilo da je vrlo korisno u rješavanju različitih problema povezanih s takvim geometrijskim oblicima.

Perimetar konveksnog poligona

Segmenti izlomljene linije, koji se nazivaju stranice poligona, najčešće se označavaju sljedećim slovima: ab, bc, cd, de, ea. Ovo su stranice geometrijske figure sa vrhovima a, b, c, d, e. Zbir dužina svih strana ovog konveksnog poligona naziva se njegov perimetar.

Poligon krug

Konveksni poligoni mogu biti upisani i opisani. Krug koji dodiruje sve strane ove geometrijske figure naziva se upisan u nju. Takav poligon se naziva opisanim. Središte kružnice koja je upisana u poligon je presjek simetrala svih uglova unutar date geometrijske figure. Površina takvog poligona je:

gdje je r poluprečnik upisane kružnice, a p poluperimetar datog poligona.

Krug koji sadrži vrhove poligona naziva se opisanim oko njega. Štaviše, ova konveksna geometrijska figura se zove upisana. Središte kružnice, koja je opisana oko takvog poligona, je presjek takozvanih okomitih simetrala svih strana.

Dijagonale konveksnih geometrijskih oblika

Dijagonale konveksnog poligona su segmenti koji povezuju nesusedne vrhove. Svaki od njih leži unutar ove geometrijske figure. Broj dijagonala takvog n-ugla određuje se formulom:

N = n (n - 3) / 2.

Broj dijagonala konveksnog poligona igra važnu ulogu u elementarnoj geometriji. Broj trokuta (K) na koje se svaki konveksni poligon može podijeliti izračunava se po sljedećoj formuli:

Broj dijagonala konveksnog poligona uvijek zavisi od broja njegovih vrhova.

Dijeljenje konveksnog poligona

U nekim slučajevima, za rješavanje geometrijskih problema, potrebno je konveksni poligon podijeliti na nekoliko trouglova s ​​dijagonalama koje se ne sijeku. Ovaj problem se može riješiti izvođenjem specifične formule.

Definicija problema: nazovimo ispravnu podjelu konveksnog n-ugla na nekoliko trouglova dijagonalama koje se sijeku samo u vrhovima ove geometrijske figure.

Rješenje: Pretpostavimo da su R1, R2, R3 …, Pn vrhovi ovog n-ugla. Broj Xn je broj njegovih particija. Razmotrimo pažljivo dobijenu dijagonalu geometrijske figure Pi Pn. U bilo kojoj od regularnih particija P1 Pn pripada određenom trokutu P1 Pi Pn, koji ima 1

Neka je i = 2 jedna grupa regularnih particija koja uvijek sadrži dijagonalu R2 Pn. Broj particija uključenih u njega poklapa se sa brojem particija (n-1)-ugla R2 R3 R4… Pn. Drugim riječima, jednako je Xn-1.

Ako je i = 3, onda će ova druga grupa particija uvijek sadržavati dijagonale P3 P1 i P3 Pn. U ovom slučaju, broj regularnih particija koje se nalaze u ovoj grupi će se poklopiti sa brojem particija (n-2)-ugla P3 P4 ... Pn. Drugim riječima, to će biti jednako Xn-2.

Neka je i = 4, tada će među trouglovima pravilna particija sigurno sadržavati trougao P1 P4 Pn, na koji će se pridružiti četverougao P1 P2 P3 P4, (n-3)-ugao P4 P5 ... Pn. Broj pravilnih particija takvog četvorougla je X4, a broj particija (n-3)-ugla je Xn-3. Na osnovu prethodno navedenog, možemo reći da je ukupan broj ispravnih particija sadržanih u ovoj grupi Xn-3 X4. Ostale grupe sa i = 4, 5, 6, 7… sadržaće Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … regularne particije.

Neka je i = n-2, tada će broj tačnih particija u ovoj grupi biti isti kao i broj particija u grupi gdje je i=2 (drugim riječima, jednako je Xn-1).

Kako je X1 = X2 = 0, X3=1, X4=2…, tada je broj svih particija konveksnog poligona jednak:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

Broj regularnih particija koje sijeku jednu dijagonalu unutra

Pri provjeravanju posebnih slučajeva može se doći do pretpostavke da je broj dijagonala konveksnih n-uglova jednak proizvodu svih particija ove figure sa (n-3).

Dokaz ove pretpostavke: zamislite da je P1n = Xn * (n-3), tada se svaki n-ugao može podijeliti na (n-2)-trouglove. Štaviše, od njih se može sastaviti (n-3)-četvorougao. Uz to, svaki četverougao će imati dijagonalu. Kako se u ovoj konveksnoj geometrijskoj figuri mogu nacrtati dvije dijagonale, to znači da se dodatne (n-3) dijagonale mogu nacrtati u bilo kojem (n-3)-četvorouglu. Na osnovu ovoga možemo zaključiti da je u bilo kojoj regularnoj particiji moguće nacrtati (n-3)-dijagonale koje ispunjavaju uslove ovog problema.

Područje konveksnih poligona

Često, prilikom rješavanja različitih problema elementarne geometrije, postaje potrebno odrediti površinu konveksnog poligona. Pretpostavimo da je (Xi. Yi), i = 1,2,3… n niz koordinata svih susjednih vrhova poligona koji nema samopresjeka. U ovom slučaju, njegova površina se izračunava po sljedećoj formuli:

S = ½ (∑ (X i + X i + 1) (Y i + Y i + 1)),

gdje je (X 1, Y 1) = (X n +1, Y n + 1).

Tvoja je njegova poligon. Na primjer, ako trebate pronaći uglovi ispravan poligon sa 15 strana, uključiti n=15 u jednačinu. Dobićete S=180⁰(15-2), S=180⁰x13, S=2340⁰.

Zatim podijelite rezultirajuću sumu unutrašnjih uglova njihovim brojem. Na primjer, u poligonu, broj uglova je broj strana, odnosno 15. Tako ćete dobiti da je ugao 2340⁰/15=156⁰. Svaki unutrašnji ugao poligon jednako 156⁰.

Ako više voliš računati uglovi poligon u radijanima, postupite na sljedeći način. Oduzmite broj 2 od broja strana i pomnožite rezultujuću razliku brojem P (Pi). Zatim podijelite proizvod s brojem uglova u poligonu. Na primjer, ako trebate izračunati uglovi obični 15-kut, ponašajte se ovako: P * (15-2) / 15 \u003d 13 / 15P, ili 0,87P, ili 2,72 (ali, kao, broj P ostaje nepromijenjen). Ili jednostavno podijelite veličinu ugla u stepenima sa 57,3 - to je koliko se nalazi u jednom radijanu.

Također možete pokušati izračunati uglovi ispravan poligon u gradovima. Da biste to učinili, oduzmite broj 2 od broja strana, podijelite rezultirajući broj s brojem stranica i pomnožite rezultat sa 200. Ovaj kut se gotovo nikada ne koristi, ali ako odlučite uglovi u ocjenama, ne zaboravite da su ocjene raščlanjene na metričke sekunde i minute (po 100 sekundi).

Možda ćete morati izračunati vanjski ugao ispravnog poligon, u ovom slučaju to učinite. Oduzmite unutrašnji ugao od 180⁰ - kao rezultat, dobit ćete vrijednost susjednog, odnosno vanjskog ugla. Može od -180⁰ do +180⁰.

Koristan savjet

Ako ste uspjeli saznati uglove pravilnog poligona, lako ga možete izgraditi. Nacrtajte jednu stranu određene dužine i kutomjerom odvojite od nje željeni ugao. Izmjerite potpuno istu udaljenost (sve strane pravilnog poligona su jednake) i ponovo odložite željeni ugao. Nastavite dok se strane ne sretnu.

Izvori:

• ugao u pravilnom poligonu

Poligon se sastoji od nekoliko segmenata povezanih jedan s drugim i koji tvore zatvorenu liniju. Sve figure ove klase podijeljene su na jednostavne i složene. Jednostavni su trokut i četverokut, a složeni su poligoni s velikim brojem stranke, kao i zvezdasti poligoni.

Uputstvo

Najčešće u problemima postoji pravilan trougao sa stranke oh a. Pošto je poligon pravilan, onda su sva tri stranke s su jednake. Stoga, znajući medijan i visinu trokuta, možete pronaći sve njegove stranke s. Da biste to učinili, koristite metodu pronalaženja stranke s : a=x/cosα stranke s , tj. a=b=c=a, a=b=c=x/cosα, gdje je x visina, medijana ili simetrala. Slično, pronađite sve tri nepoznate stranke s u jednakokračnom trouglu, ali pod jednim uslovom - datom visinom. Trebalo bi da se projektuje na osnovu trougla. Znajući visinu baze x, nađi stranke a:a=x/cosα Pošto je a=b, pošto je trougao jednakokraki, pronađite ga stranke s kako slijedi: a=b=x/cosα Nakon što ste pronašli stranu stranke s trougla, izračunajte dužinu osnove trokuta koristeći Pitagorinu teoremu da biste pronašli polovinu baze: c/2=√(x/cosα)^2-(x^2)=√x^2 (1-cos^ 2α)/ cos^2α =xtgα Odavde pronađite bazu: c=2xtgα.

Kvadrat predstavlja stranke koji se računaju na više načina. Svaki od njih je razmotren u nastavku.Prva metoda predlaže pronalaženje stranke s square. Pošto su svi uglovi kvadrata pravi uglovi, prepolovite ih na način da se formiraju dva pravougaona trougla sa uglovima od 45 stepeni. odnosno stranke a kvadrat je: a=b=c=f=d*cosα=d√2/2, gdje je d kvadrat. Ako je kvadrat upisan u krug, onda znajući polumjer ovog kruga, pronađite ga stranke y:a4=R√2, gde je R poluprečnik kružnice.

Bilješka. Ovaj materijal sadrži teoremu i njen dokaz, kao i niz problema koji ilustruju primjenu teoreme o zbiru uglova konveksnog poligona na praktičnim primjerima.

Teorema o sumi uglova konveksnog poligona

Dokaz.

Da bismo dokazali teoremu o zbiru uglova konveksnog mnogougla, koristimo već dokazanu teoremu da je zbir uglova trougla 180 stepeni.

Neka je A 1 A 2... A n zadani konveksni poligon, a n > 3. Nacrtaj sve dijagonale poligona iz temena A 1. Podijele ga na n – 2 trokuta: Δ A 1 A 2 A 3 , Δ A 1 A 3 A 4, ... , Δ A 1 A n – 1 A n . Zbir uglova poligona je isti kao i zbir uglova svih ovih trouglova. Zbir uglova svakog trougla je 180°, a broj trouglova je (n - 2). Dakle, zbir uglova konveksnog n-ugla A 1 A 2... A n je 180° (n – 2).

Zadatak.

U konveksnom poligonu, tri ugla su 80 stepeni, a ostali 150 stepeni. Koliko uglova ima konveksni poligon?

Rješenje.

Teorema kaže: Za konveksni n-ugao, zbir uglova je 180°(n-2) .

Dakle za naš slučaj:

180(n-2)=3*80+x*150, gdje je

U skladu sa uslovom zadatka data su nam 3 ugla od 80 stepeni, a broj ostalih uglova nam je još uvek nepoznat, pa njihov broj označavamo sa x.

Međutim, iz unosa na lijevoj strani odredili smo broj uglova poligona kao n, pošto znamo vrijednosti tri od njih iz uslova zadatka, očito je da je x=n-3.

Dakle, jednačina će izgledati ovako:

180(n-2)=240+150(n-3)

Rješavamo rezultirajuću jednačinu

180n - 360 = 240 + 150n - 450

180n - 150n = 240 + 360 - 450

odgovor: 5 vrhova

Zadatak.

Koliko vrhova može imati poligon ako je svaki ugao manji od 120 stepeni?

Rješenje.

Za rješavanje ovog problema koristimo teoremu o zbiru uglova konveksnog poligona.

Teorema kaže: Za konveksni n-ugao, zbir svih uglova je 180°(n-2) .

Stoga je za naš slučaj potrebno prvo procijeniti granične uslove problema. Odnosno, pretpostavite da je svaki od uglova jednak 120 stepeni. Dobijamo:

180n - 360 = 120n

180n - 120n = 360 (ovaj izraz ćemo posebno razmotriti u nastavku)

Na osnovu dobijene jednačine zaključujemo: kada su uglovi manji od 120 stepeni, broj uglova poligona je manji od šest.

Objašnjenje:

Na osnovu izraza 180n - 120n = 360, pod uslovom da je oduzeta desna strana manja od 120n, razlika bi trebala biti veća od 60n. Dakle, količnik deljenja će uvek biti manji od šest.

odgovor: broj vrhova poligona će biti manji od šest.

Zadatak

Poligon ima tri ugla od 113 stepeni, a ostali su međusobno jednaki i stepen im je ceo broj. Pronađite broj vrhova poligona.

Rješenje.

Za rješavanje ovog problema koristimo teoremu o zbiru vanjskih uglova konveksnog poligona.

Teorema kaže: Za konveksni n-ugao, zbir svih vanjskih uglova je 360° .

dakle,

3*(180-113)+(n-3)x=360

desna strana izraza je zbir vanjskih uglova, na lijevoj strani zbir tri ugla je poznat po uslovu, a stepen mjera ostatka (njihov broj, respektivno, n-3, jer su tri ugla poznato) označava se kao x.

159 se rastavlja samo na dva faktora 53 i 3, a 53 je prost broj. Odnosno, ne postoje drugi parovi faktora.

Dakle, n-3 = 3, n=6, odnosno broj uglova poligona je šest.

Odgovori: šest uglova

Zadatak

Dokažite da konveksni poligon može imati najviše tri oštra ugla.

Rješenje

Kao što znate, zbir vanjskih uglova konveksnog poligona je 360 ​​0 . Dokažimo kontradikcijom. Ako konveksni poligon ima najmanje četiri oštra unutrašnja ugla, tada među njegovim vanjskim uglovima postoje najmanje četiri tupa, što znači da je zbir svih vanjskih uglova poligona veći od 4 * 90 0 = 360 0 . Imamo kontradikciju. Tvrdnja je dokazana.